A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes.

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1 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. Paulo Canas Rodrigues Faculdade de Ciências e Tecnologia/Universidade Nova de Lisboa João A. Branco Instituto Superior Técnico/Universidade Técnica de Lisboa Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 1/26

2 1. Introdução 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum A Análise de Componentes Principais (ACP) é um dos métodos estatísticos mais usados quando se pretendem analisar dados multivariados. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 2/26

3 1. Introdução 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum A Análise de Componentes Principais (ACP) é um dos métodos estatísticos mais usados quando se pretendem analisar dados multivariados. Ela permite transformar um conjunto de variáveis originais, intercorrelacionadas, num novo conjunto de variáveis não correlacionadas, as componentes principais. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 2/26

4 1. Introdução 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum A Análise de Componentes Principais (ACP) é um dos métodos estatísticos mais usados quando se pretendem analisar dados multivariados. Ela permite transformar um conjunto de variáveis originais, intercorrelacionadas, num novo conjunto de variáveis não correlacionadas, as componentes principais. O objectivo mais imediato da ACP é verificar se existe um pequeno número das primeiras componentes principais que seja responsável por explicar uma proporção elevada da variação total associada ao conjunto original. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 2/26

5 1. Exemplo da 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 3/26

6 1. Exemplo da 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Conjunto de dados: apresentado por Jolicoeur e Mosimann (1960) e refere-se ao estudo das relações entre o tamanho e a forma das carapaças de 24 tartarugas pintadas masculinas. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 3/26

7 1. Exemplo da 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Conjunto de dados: apresentado por Jolicoeur e Mosimann (1960) e refere-se ao estudo das relações entre o tamanho e a forma das carapaças de 24 tartarugas pintadas masculinas. Variáveis: comprimento (X 1 ), largura (X 2 ) e altura (X 3 ), em milímetros, das carapaças. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 3/26

8 1. Exemplo da 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Conjunto de dados: apresentado por Jolicoeur e Mosimann (1960) e refere-se ao estudo das relações entre o tamanho e a forma das carapaças de 24 tartarugas pintadas masculinas. Variáveis: comprimento (X 1 ), largura (X 2 ) e altura (X 3 ), em milímetros, das carapaças. Componentes principais: Y 1 = e 1X = 0.681X X X 3 Y 2 = e 2X = 0.208X X X 3 Y 3 = e 3X = 0.702X X X 3 Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 3/26

9 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Mas, e se as observações forem dependentes? Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 4/26

10 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Spectrum Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 5/26

11 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O método SSA consiste na decomposição de uma série temporal em várias componentes, que usualmente podem ser identificadas como tendências, sazonalidades e outros tipos de séries oscilatórias ou componentes de ruído. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 6/26

12 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O método SSA consiste na decomposição de uma série temporal em várias componentes, que usualmente podem ser identificadas como tendências, sazonalidades e outros tipos de séries oscilatórias ou componentes de ruído. Este método é uma ferramenta muito útil e potente quando se pretendem analisar séries temporais em áreas como a meteorologia, hidrologia, geofísica, climatologia, etc. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 6/26

13 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O método SSA consiste na decomposição de uma série temporal em várias componentes, que usualmente podem ser identificadas como tendências, sazonalidades e outros tipos de séries oscilatórias ou componentes de ruído. Este método é uma ferramenta muito útil e potente quando se pretendem analisar séries temporais em áreas como a meteorologia, hidrologia, geofísica, climatologia, etc. A versão mais básica da SSA consiste em quatro passos, que podem ser descritos como se apresenta em seguida, ver Golyandina (2001). Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 6/26

14 Primeiro passo: Encaixe 1. Introdução 1. Exemplo da O processo de encaixe permite representar a série temporal original numa sequência retardada (lagged) de vectores multidimensionais. Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 7/26

15 Primeiro passo: Encaixe 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O processo de encaixe permite representar a série temporal original numa sequência retardada (lagged) de vectores multidimensionais. Seja F = (f 0, f 1,...,f n 1 ) uma sequência numérica ou série temporal de comprimento n, e L, 1 < L < n, um inteiro que será chamado de comprimento da janela. Considere-se K = n L + 1 e definam-se os K vectores L-lagged X j = (f j 1,...,f j+l 2 ) T, j = 1, 2,...,K e a matriz de trajectórias X = (f i+j 2 ) L,K i,j=1 = [X 1 : : X K ] =¾ x1 x2 xk x 2 x 3 x K x L x L+1 x n Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 7/26

16 Segundo passo: Decomposição em valores singulares 1. Introdução 1. Exemplo da O segundo passo é a DVS da matriz X, que pode ser obtida através dos valores e vectores próprios da matriz S = XX T de dimensão L L. Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 8/26

17 Segundo passo: Decomposição em valores singulares 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O segundo passo é a DVS da matriz X, que pode ser obtida através dos valores e vectores próprios da matriz S = XX T de dimensão L L. Assim, obtém-se uma representação de X como a soma de matrizes bi-ortogonais de ordem um, X i (i = 1,...,d), em que d (d < L) é o número de valores singulares de X diferentes de zero. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 8/26

18 Segundo passo: Decomposição em valores singulares 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O segundo passo é a DVS da matriz X, que pode ser obtida através dos valores e vectores próprios da matriz S = XX T de dimensão L L. Assim, obtém-se uma representação de X como a soma de matrizes bi-ortogonais de ordem um, X i (i = 1,...,d), em que d (d < L) é o número de valores singulares de X diferentes de zero. Ao considerar V i = XT λi U i trajectórias X pode ser escrita como, i = 1,...,d, a DVS da matriz de X = X X d, (1) onde X i = λ i U i V T i. As matrizes X i têm ordem 1 e o conjunto ( λ i, U i, V i ) é designado pelo i-ésimo trio-próprio (eigentriple) da DVS (1). Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 8/26

19 Terceiro passo: agrupar 1. Introdução 1. Exemplo da Uma vez obtida a expansão (1), o processo de agrupamento produz partições do conjunto de índices {1,...,d} em m subconjuntos disjuntos I 1,...,I m. Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 9/26

20 Terceiro passo: agrupar 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Uma vez obtida a expansão (1), o processo de agrupamento produz partições do conjunto de índices {1,...,d} em m subconjuntos disjuntos I 1,...,I m. Considere-se I = {i 1,...,i p }. Assim, a matriz resultante X I associada ao grupo I é definida como X I = X i1 + + X ip. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 9/26

21 Terceiro passo: agrupar 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Uma vez obtida a expansão (1), o processo de agrupamento produz partições do conjunto de índices {1,...,d} em m subconjuntos disjuntos I 1,...,I m. Considere-se I = {i 1,...,i p }. Assim, a matriz resultante X I associada ao grupo I é definida como X I = X i1 + + X ip. Estas matrizes são determinadas para todos os conjuntos I 1,...,I m e a expansão (1) pode ser reescrita como X = X I1 + + X Im. (2) Este processo de escolha dos conjuntos I 1,...,I m é designado de agrupamento do triplo próprio (eigentriple grouping). Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 9/26

22 Quarto passo: Média diagonal 1. Introdução 1. Exemplo da O último passo permite transformar cada matriz X do passo anterior, numa nova série de dimensão n. Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 10/26

23 Quarto passo: Média diagonal 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O último passo permite transformar cada matriz X do passo anterior, numa nova série de dimensão n. Aplicando o procedimento Média diagonal às matrizes X Ik obtém-se a série ( ) F (k) = f(k) (k) 0,..., f n 1 e a série inicial é decomposta na soma de m séries: f n = m k=1 f (k) n, n = 0,...,n 1; k = 1,...,K. (3) Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 10/26

24 Quarto passo: Média diagonal 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum SSA Primeiro passo: Encaixe Segundo passo: DVS Terceiro passo: agrupar Quarto passo: Média diagonal O último passo permite transformar cada matriz X do passo anterior, numa nova série de dimensão n. Aplicando o procedimento Média diagonal às matrizes X Ik obtém-se a série ( ) F (k) = f(k) (k) 0,..., f n 1 e a série inicial é decomposta na soma de m séries: f n = m k=1 f (k) n, n = 0,...,n 1; k = 1,...,K. (3) Estas m séries representam as m primeiras componentes principais. A igualdade (3) apenas se verifica de m = L. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 10/26

25 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 11/26

26 Descrição dos dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão A série temporal utilizada foi obtida no site do Banco de Portugal e representa a taxa de desemprego nos indivíduos residentes em Portugal medidas trimestralmente entre o primeiro trimestre de 1992 e o primeiro trimestre de 2006, resultando numa série temporal com 57 observações. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 12/26

27 Descrição dos dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão A série temporal utilizada foi obtida no site do Banco de Portugal e representa a taxa de desemprego nos indivíduos residentes em Portugal medidas trimestralmente entre o primeiro trimestre de 1992 e o primeiro trimestre de 2006, resultando numa série temporal com 57 observações. Software utilizado: CatMV 1.00 e CatSSA 1.00 obtidas na página do GistaT Group, disponíveis em Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 12/26

28 Série ajustada e resíduos 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 13/26

29 Série ajustada e resíduos 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 13/26

30 Componentes principais 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 14/26

31 Previsão 1. Introdução 1. Exemplo da A série prevista para um total de 50 períodos/trimestres após o primeiro trimestre de 2006 é dada por: Spectrum Dados Série ajustada e resíduos Componentes principais Previsão Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 15/26

32 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Matriz de dados Matriz de covariâncias S Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 16/26

33 Matriz de dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Para uma série temporal de dimensão p, {x t } t {1,...,n}, onde x t = (x 1,t,...,x p,t ), de comprimento n, é possível considerar, à semelhança do efectuado aquando da SSA, a matriz de dados desfasados (lagged) X K p, onde K = n L + 1 e p = Lp, que pode ser escrita da forma: Matriz de dados Matriz de covariâncias S Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 17/26

34 Matriz de dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Para uma série temporal de dimensão p, {x t } t {1,...,n}, onde x t = (x 1,t,...,x p,t ), de comprimento n, é possível considerar, à semelhança do efectuado aquando da SSA, a matriz de dados desfasados (lagged) X K p, onde K = n L + 1 e p = Lp, que pode ser escrita da forma: Matriz de dados Matriz de covariâncias S X =¾ x1,1 x1,l x2,1 x 1,2 x 1,L+1 x 2, x 1,K x 1,n x 2,K x 2,L x p,1 x p,l x 2,L+1 x p,2 x p,l x 2,n x p,k x p,n Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 17/26

35 Matriz de covariâncias S 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Matriz de dados Matriz de covariâncias S Considerando p séries temporais {x i,t } t {1,...,n}, i = 1,...,p de comprimento n, a generalização da SSA para séries temporais multivariadas requer a construção de uma super-matriz em blocos, S X para as covariâncias, da forma S 11 S 12 S 1p S 21 S 22 S 2p S X = S p1 S p2 S pp Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 18/26

36 Matriz de covariâncias S 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Matriz de dados Matriz de covariâncias S Considerando p séries temporais {x i,t } t {1,...,n}, i = 1,...,p de comprimento n, a generalização da SSA para séries temporais multivariadas requer a construção de uma super-matriz em blocos, S X para as covariâncias, da forma S 11 S 12 S 1p S 21 S 22 S 2p S X = S p1 S p2 S pp onde S kl é a matriz de covariâncias entre as sub-variáveis desfasadas no tempo das variáveis k e l. Esta matriz tem uma dimensão (pl pl). Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 18/26

37 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 19/26

38 Descrição dos dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum O conjunto de dados em estudo prende-se com a produção e consumo de electricidade em Portugal, em GigaWatts, entre os meses de Janeiro de 1991 e Maio de 2006 (185 observações). Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 20/26

39 Descrição dos dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas O conjunto de dados em estudo prende-se com a produção e consumo de electricidade em Portugal, em GigaWatts, entre os meses de Janeiro de 1991 e Maio de 2006 (185 observações). São apresentadas cinco variáveis: energia produzida por meios hidráulicos; energia produzida por meios térmicos; energia importada; energia exportada; consumo de energia. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 20/26

40 Descrição dos dados 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas O conjunto de dados em estudo prende-se com a produção e consumo de electricidade em Portugal, em GigaWatts, entre os meses de Janeiro de 1991 e Maio de 2006 (185 observações). São apresentadas cinco variáveis: energia produzida por meios hidráulicos; energia produzida por meios térmicos; energia importada; energia exportada; consumo de energia. Software utilizado: Algumas rotinas implementados por Eric Breitenberger, em MatLab. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 20/26

41 Séries iniciais 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum GigaWatts Hidraulica Termica Importada Exportada Consumo Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Ano Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 21/26

42 Componentes obtidas pelo método ACP 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum GigaWatts PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Ano Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 22/26

43 Loadings vs Matriz de correlações PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Hidráulica Térmica Importada Exportada Consumo % de variância explicada % acumulada de variância Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 23/26

44 Loadings vs Matriz de correlações PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Hidráulica Térmica Importada Exportada Consumo % de variância explicada % acumulada de variância Hidráulica Térmica Importada Exportada Consumo Hidráulica Térmica Importada Exportada Consumo Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 23/26

45 Componentes obtidas pelo método MSSA 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 GigaWatts Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Ano Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 24/26

46 MSSA vs ACP 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum ACP PC1 PC2 PC3 % de variância explicada % acumulada de variância MSSA PC1 PC2 PC3 % de variância explicada % acumulada de variância Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 25/26

47 MSSA vs ACP 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum ACP PC1 PC2 PC3 % de variância explicada % acumulada de variância MSSA PC1 PC2 PC3 % de variância explicada % acumulada de variância Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas Formas mais suaves para as componentes mais importantes quando se utiliza o método MSSA em detrimento da ACP. Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 25/26

48 Referencias Bibliográficas 1. Introdução 1. Exemplo da Spectrum Dados Séries iniciais ACP Loadings vs Matriz de correlações MSSA MSSA vs ACP Referencias Bibliográficas [1] Golyandina, N., Nekrutkin, V., Zhigljavsky, A. (2001). of Time Séries Structure: SSA and Related Thechniques. Chapman & hall. [2] Golyandina, N., Nekrutkin, V., Solntsev, V. Caterpillar -SSA Technique for of Time Series in Economics. [3] Jolliffe, I.T. (2002). Principal Component. Springer Verlag - New York Inc. [4] Kim, K., Wu, Q. (1998). A comparation study of EOF techniques: analysis of nonstationary data with periodic statistics. Journal of Climate, Vol.12, p [5] Oliveira, I. (2003). Correlated Data in Multivariate. Ph.D Thesis, University of Aberdeen. [6] Vautard, R., Yiou, P., Ghil, M. (1992). Singular spectrum analysis: A toolkit for short noisy chaotic signals. Physica D, Vol.58, p Rodrigues, P.C. & Branco, J.A., 28 de Setembro de 2006 A Análise de Componentes Principais sobre dados dependentes. - p. 26/26