CORRENTES COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PELO VENTO

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1 estabiliador da distribuição da densidade ultrapassa a instabilidade potencial devido aos termos não lineares. O valor critico exacto de R i é determinado experimentalmente para cada escoamento. No entanto, com R i > ¼ é muito difícil gerar turbulência. Notemos que, em todas as equações que temos usado, o efeito das variações de densidade, em particular na vertical, é indirecto: actua sobre a turbulência modificando a eddy viscosity, mas não actua directamente no escoamento médio. De facto, não há derivadas de ρ (ou σ t ou α) nas equações de Reynolds, ρ' e despreamos os termos que continham α por exemplo, α' quando x deduimos as equações de Reynolds! A raão disto é que as variações da densidade são pequenas, quer as variações dos valores médios quer as flutuações. sta aproximação é aquilo que se chama aproximação de Boussinesq. Ou seja: se as variações da densidade são pequenas, numa primeira aproximação podemos desprear o seu efeito na massa do fluido, mas manter o seu efeito no peso. Ou seja ainda: temos que manter o efeito das variações de densidade na flutualidade (buoyancy), através da estabilidade estática, por exemplo, mas podemos desprea-los nas acelerações laterais geradas por forças devidas a variações laterais de densidade (ou seja ainda: temos que considerar as variações de densidade quando estão associadas a g peso!). Assim, nas equações do movimento horiontal podemos usar uma densidade média da região considerada, mas na equação em temos de usar os valores verdadeiros da densidade! (porque ela redu-se à equação da equação hidrostática). CORRNTS COM ATRITO CIRCULAÇÃO INDUZIDA PLO VNTO A circulação no Atlântico Norte é no sentido dos ponteiros do relógio (Ciclónico) e no Atlântico Sul é no sentido contrario (Anticiclónico). ste facto é conhecido desde o tempo dos descobrimentos! Até que ponto esta circulação

2 pode ser atribuída ao vento? Até finais do século XIX era assim que se pensava. A transferência de momento do vento para a água do oceano é um processo muito lento, caso não ocorra turbulência. Ou seja, se o escoamento induido pelo vento for considerado laminar, utiliando então o coeficiente de viscosidade molecular, verifica-se que modificações na circulação na camada superior do oceano (tipicamente deenas de metros) induidas pela acção do vento demoram meses!!! No entanto o que se observa é que estas modificações ocorrem em horas ou poucos dias e não meses! Isto deve-se ao facto de o escoamento no oceano ser quase sempre turbulento e, neste tipo de escoamento, a transferência vertical de momento e energia ocorre a uma taxa na ordem de centenas ou milhares de vees superiores à transferência que ocorre através da viscosidade molecular. Nos escoamentos turbulentos temos que utiliar a viscosidade turbulenta, ou seja o eddy viscosity que já tínhamos visto ser muito (muitíssimo!!!) superior à viscosidade turbulenta. Quer os efeitos causados pelo vento quer as variações de densidade lateral do oceano são muito importantes para definir a circulação oceânica. O vento é muito importante nos 1 m superiores. No final do século XIX (1898) Nansen verificou que os icebergs no Árctico derivam não na direcção do vento, mas sim para a direita da direcção do vento à superfície. Porque seria? Solução de Nansen: força tangencial induida pelo vento F t direcção do movimento no estado estacionário V cubo de água do oceano F C inicial força de Coriolis que aparece mal o cubo entra em movimento (estado inicial) F b força de atrito entre as faces submersas do cubo e a água do oceano F C força de Coriolis depois de atingido o estado estacionário VNTO

3 O cubo começa por acelerar na direcção do vento, mas assim que entra em movimento roda para a direita por acção da Força de Coriolis. O estado r r r estacionário é atingido quando F,F e F entram em balanço e nessa altura a t C velocidade V r é constante (estado estacionário) e para a direita da direcção do vento. A determinação da direcção exacta do movimento relativamente ao vento, seria feita mais tarde (entre 195 e 193) por kman, com base em argumentos quantitativos, ao contrário de Nansen que utiliou apenas argumentos qualitativos. kman teve de recorrer à matemática! ( Nansen era biólogo... ) b AS QUAÇÕS DO MOVIMNTO COM ATRITO INCLUÍDO Se pegarmos nas equações do movimento para o equilíbrio geostrófico e incluirmos o atrito, temos: du P = f.v α + Fx dt x dv P = f.u α + Fy dt y onde F x e F y são as componentes do atrito por unidade de massa. No estado estacionário: P f.v + Fx α = x P f.u + Fy α = y (Coriolis + atrito + Grad P = ) F grad.p F Coriolis ou vectorialmente: a resultante é nula! F atrito Assim, caso haja atrito, o Gradiente de Pressão e a Força de Coriolis já não são directamente opostas! O movimento será ageostrófico.

4 Temos pois que encontrar soluções para estas equações (tal como já tínhamos feito para o caso do equilíbrio geostrófico). Foi isso que kman fe! A primeira coisa a faer será escrever expressões para os termos F x e F y. Vejamos os argumentos qualitativos: se duas partes de um fluído se moverem relativamente uma à outra, deve ocorrer atrito. stas duas partes podem mover-se em direcções opostas ou na mesma direcção com velocidades diferentes. Neste caso ocorre shear na velocidade. A quantificação do shear fa- u u 3 4 = ou no limite =. Para um fluído Newtoniano, classe a que pertence a água do oceano, a se: ( u )/( ) u4 3 tensão de atrito, τ, definida como uma força por unidade de área paralela ao escoamento, é dada por: u u τ = ν = ρµ conforme utiliemos o coeficiente dinâmico de viscosidade molecular ( ν 1 3 Kg.m 1.s 6 1 ( µ = 1 m.s ). 1 ) ou o coeficiente cinemático de viscosidade molecular A utiliação do coeficiente dinâmico de viscosidade vai faer com que as forças de atrito venham em Força / Unidade de volume. O coeficiente de viscosidade cinemático fa as forças virem em Força / Unidade de massa, que tem sido o que temos utiliado nas equações de Navier-Stokes já escritas. stes são os valores moleculares que se usam nos escoamentos laminares, ou seja, escoamentos suaves, de pequeno diâmetro, com baixos 3 números de Reynolds ( < 1 ). No entanto, no oceano o movimento é em geral turbulento e o valor efectivo da viscosidade cinemática é a eddy

5 viscosity cinemática, que já vimos, e que são A x, A y e A, com A x e A y com valores até m s u u v para o shear horiontal (por exemplo, ; ; ;etc...) x y x 1 1 u v e A com valores até 1 m s para o shear vertical (por exemplo, ou ). As tensões de atrito turbulento (eddy friction stress, também chamado em português tensões de corte ) escrevem-se portanto, por exemplo: u τ x = ρa ou τ e expressam a força que uma camada de fluído fa numa área da camada viinha, acima ou abaixo. Para substituir na equação do movimento necessitamos dessa força mas feita na massa do fluído viinho: xy = ρ A y u y perfil da velocidade: ( ) τ 1 Na figura acima há shear segundo. A força que actua no cubo é: τ na direcção x. τ τ τ Como τ = τ1 + δ, logo: ( τ τ1) δs = δδs = δv, onde δ V é o volume do cubo. No limite δ s e δ, logo δv. τ Portanto, representa uma força por unidade de volume. Para ser por unidade de massa, virá: 1 τ τ u = α = α ρa ρ utiliamos A porque estamos a tratar shear vertical. No entanto, isto é válido para o shear em qualquer direcção. Se assumirmos que A não varia com a profundidade:

6 u Força de atrito turbulento por unidade de massa = A (Sabemos tão pouco sobre A, que limitar a nossa análise ao caso de A igual a uma constante em profundidade não será grande erro!!!) Verifiquemos que já tínhamos obtido esta expressão quando estudámos as eddy viscosities e tínhamos feito a decomposição à Reynolds : uma parte média mais uma parte perturbada. Também assumimos que uma variação de ρ com a profundidade é pequena comparado com A u! É uma aproximação consistente com a aproximação de Boussinesq. ntão os termos F x e F y podem ser escritos: F F x y τ x = α τ y = α e as equações do movimento horiontal: = A = A u v u P fv + A = α x v P fu + A = α y A equação em redu-se ao equilíbrio hidrostático. Tínhamos visto que estes termos de atrito eram despreáveis no oceano interior. Para que estes termos sejam significativos, eles têm que ter uma magnitude aproximada, por exemplo, ao termo de Coriolis, ou seja: U A f U H 1 Por exemplo, com A = 1 m / s e f 4 1 = 1 s, temos 1 A 1 3 H = 1 m H 3 m ; com H 1m o termo de atrito será ainda 4 f 1 1% do termo de Coriolis. stamos, pois, à espera de ter que entrar em linha de conta com os termos de atrito dentro destas distâncias, quer do fundo quer da superfície. Isto corresponde a dier que, dentro destas distâncias da

7 superfície ou do fundo, o número de kman vertical ordem da unidade. A = deve ser da fh A SOLUÇÃO D KMAN A dificuldade com estas equações é que ficamos com duas causas para o movimento: a distribuição da massa (ou seja, a densidade) que dá origem ao termo do Gradiente de Pressão e o termo do Atrito, que na solução de kman é o atrito do vento. Podemos separar estas duas acções forçadoras e resolver separadamente a influência do vento e a influência do gradiente de pressão e depois juntá-las. sta separação só é possível se assumirmos que as expressões são lineares. Se os efeitos não lineares se tornarem importantes esta separação já não pode ser feita (tivemos um exemplo disso quando fiemos a decomposição à Reynolds, em que, ao achar medias de perturbações não pudemos considerar nulos os termos que continham o produto de duas perturbações não independentes!). Mas enfim, são lineares!!!! Uff!!!! ntão podemos faer: fv = f P u ( v g + v ) = α A x onde: fv g P α x = v g u é a velocidade geostrófica e fv A = v é a velocidade de kman, associada ao shear vertical. A solução de kman é para v apenas, ou seja, admitiu v g =, ou seja, admitir a não existência de declive da superfície livre do oceano. Para facilitar o problema, kman admitiu ainda: - não existência de fronteiras no oceano; - um oceano de profundidade infinita (para evitar o atrito no fundo, ou seja, limitou-se a estudar o efeito da tensão do vento); - A constante em profundidade; - um vento estacionário soprando durante um período longo;

8 P P - = e = x y, ou seja, condições barotrópicas. As equações de kman são, então: u fv + A = v fu + A = ou seja, Coriolis + Atrito = agora a matemática (um passe de mágica!)!!! Se o vento soprar segundo a direcção y (não esquecer), mostra-se que a solução para as equações de kman são: u = ± v v = v π cos + 4 π sen + 4 π D π D.e.e (sinal + para o Hemisfério Norte, sinal para o Hemisfério Sul) onde v (. π. τ )/( D..f ) = η é a corrente à superfície, com f sendo o módulo y ρ π D π D de f, τ y η a magnitude de tensão do vento na superfície do oceano e D A = π a profundidade de kman, ou seja, a profundidade até onde a f influencia do atrito à superfície se fa sentir. Podemos agora interpretar as soluções: - À superfície, =, temos: = ± v cos(45º ) e = v sen(45º ) ou seja, a corrente à superfície flui faendo um ângulo de 45º para a direita da direcção para onde sopra o vento (para a esquerda no H. Sul). - A velocidade da corrente à superfície é proporcional à tensão do vento à superfície, τ y η, e depende também inversamente da latitude, densidade da água e do u v

9 coeficiente de viscosidade de turbulento ( eddy viscosity ), A (stá incluído na definição de D ). - A magnitude da corrente diminui exponencialmente com o aumento da profundidade ( cada ve mais negativo!). A corrente total é: v e π D, a que depois se acrescenta o cos (...) ou o sen (...) para achar a projecção u ou v. Logo, a magnitude decresce exponencialmente com a profundidade. - A velocidade roda linearmente para a direita com o aumento de profundidade ( cada ve mais negativo...) no Hemisfério Norte (para a esquerda no Hemisfério Sul), ou seja, roda segundo os ponteiros do relógio no H. Norte, ou seja, anticiclónicamente. A tangente do ângulo entre a velocidade da corrente e o eixo dos x é v π dada por: = Tg(45º + Z). Com a profundidade a aumentar ( cada ve mais u D negativo), a tangente é cada ve menor, logo o ângulo cada ve menor, ou seja, o vector velocidade vai rodando para a direita. (se fosse no Hemisferio Sul existiria um sinal (-) atrás da Tg ). A diminuição da velocidade em profundidade em conjunto com a y V rotação para a direita (no H. Norte) v forma a espiral de kman (figura π 45+ abaixo). D - À profundidade = D : vento u D = V e - π cos (45º- π) v D = V e - π sen (45º- π) u x A esta profundidade a velocidade diminuiu para e - π (.4=1/3) daquilo que era à superfície (u= V cos 45º e v= V sen 45º) e é oposta do que era à superfície ( pois cos(45º- π) = - cos45º e sem (45º- π)=-sen45º). Neste modelo, a velocidade tende assintóticamente para ero quando mas de longe os efeitos mais importantes estão circunscritos à camada superficial à espessura D. kmam chamou D a profundidade de influência do atrito ( depth of frictional influence ). Também se chama frequentemente camada de kman (kman layer) a esta camada. velocidade à superfície

10 É curioso notar que D não depende do atrito do vento (τ yη ), embora aumente com viscosidades turbulentas crescentes e latitudes decrescentes. No equador D, logo o modelo de kman falha nessas regiões (ou melhor, as condições do modelo não se verificam, pois nesta região nem num oceano infinitamente profundo se verifica u = e v = para =. Para sucessivos valores de verificamos que o vector velocidade, além de diminuir de intensidade vai rodando para a direita no Hemisfério Norte (esquerda no Hemisfério Sul). A extremidade dos vectores forma assim uma espiral logarítmica, conhecida como a espiral de kman. direcção do vento corrente à superfície Profundidade (-) spiral de kman Analisar exemplos do Pond e Pickard, pag STIMATIVAS PARA A RLAÇÃO NTR A VLOCIDAD DA CORRNT À SUPRFICI, V, A VLOCIDAD DO VNTO, W, PROFUNDIDAD DA CAMADA D KMAN, D : τ η = ρ C a D 3 ρa densidade do ar ( 1,3 Kg/m ) W W velocidade do vento -3 CD "drag coef."( 1,4 1 sem dimensão)

11 3 Logo: τ = 1,3 1,4 1 W e : η V = 3 π 1,8 1 W D f ρ do da mar água =, W D f m/s As observações mostram que a seguinte estimativa é válida para fora das regiões equatoriais ( fora de +/- 1º latitude): V W =.17 sen φ Se substituirmos na expressão acima: D = 4.3W sen Φ ntão se medirmos a velocidade do vento, W, e sabendo a latitude, temos uma estimativa de D e dai podermos estimar a velocidade da corrente à superfície, V, e depois a qualquer profundidade abaixo da superfície. Reparemos que na equação acima D depende do W ( mas na solução das equações de kman não dependia de τ!). Como na solução das equações de kman D depende de A (D = A π ), logo, em princípio, A aumenta f com W Bom, se tivermos medições de D podemos estimar A. Valores numéricos (do Pond e Pickard): Φ 1º 45º 8º V / W,3,15,13 W = 1 m/s D 1 m 5 m 45 m W = m/s D m 1 m 9 m Analisar estes valores!!!! NOTA: Reparemos que substituímos D na expressão da V obtemos: V = πτ D ρ f η = π πτ A f η ρ f = ρ τ η A f

12 Problema: Para um vento de 18 Km/h que sopre sobre o oceano a 4ºN, qual a velocidade da corrente induida à superfície. Faer pela estimativa Faer pelas equações assumindo: C D = 1.4x1-3 ; A = 1-1 kg/ms ρ ar = 1.3 kg/m 3 ; ρ água =1 3 kg/m 3 Comparar os valores! Qual a velocidade induida pelo vento a 5m de profundidade? Comentários: Muitas vees compara-se (e por vees confunde-se) a camada de mistura com a camada de kman, o que não é correcto na maioria das vees: - a camada de mistura depende da história passada do vento no local. - a camada de kman depende da velocidade do vento na altura. - a camada de mistura depende da estabilidade da água subjacente, dos perfis de salinidade e temperatura. A teoria de kman assume A constante em profundidade e que o vento é constante, sabe-se que nenhuma destas premissas se verifica! mbora os resultados fundamentais desta teoria sejam para levar a sério, (como o desvio para a direita da camada superficial relativamente ao vento, ou o seu decréscimo exponencial em profundidade) os pormenores da teoria não são para levar a sério! Ainda hoje há poucas medições para confirmar a teoria de kman!!! (embora os resultados fundamentais estejam correctos e confirmados). Também há uma camada de kman atmosférica e ai há mais medições a confirmar a teoria. O problema com a teoria de kman tem sobretudo a ver com efeitos que dependem das variações temporais tais como o vento. TRANSPORT AFLORAMNTO A corrente de kman induida pelo vento é máxima à superfície e decresce em profundidade à medida que vai rodando para a direita no Hemisfério Norte! Vamos ver que o transporte integrado na camada de kman fa-se com 9º para a direita relativamente à direcção do vento.

13 Na ausência de gradiente de pressão, uma das formas das equações do movimento, que já tínhamos escrito, era: τx ρfv + = ρfvd = dτx τy ρfu + = ρfud = dτy Analisemos o que significa ρvd : representa a massa que flui por unidade de tempo na direcção y através de uma área de profundidade d e largura uma unidade (1 metro...) na direcção x, perpendicular ao escoamento o mesmo para ρud!!! Logo ρ vd será a massa total passa desde a profundidade até à superfície numa unidade de largura do escoamento, perpendicular a esse escoamento, ou seja, é a massa total transportada por unidade de largura na direcção y. Se escolhermos a profundidade - bem funda, então o transporte irá incluir toda a corrente induida pelo vento. Seja então = -D, onde a velocidade da corrente será e π., da corrente à superfície, logo virtualmente nula. ntão os transportes de kman (ou seja, os transportes induidos pelo vento), serão: fm fm y X = f = f D D ρvd = ρud = D D dτ x dτ y = τ = τ x y sup sup + τ + τ x ( D ) y ( D ) Mas τ e τ serão aproximadamente nulos porque à profundidade -D x( ) y, ( ) D D as velocidades e consequentemente as tensões, serão quase inexistentes. Logo fm X = τ e fm = τ ou em transporte de volume em ve de y sup y x sup massa : M X = ρq x e My = ρq y, temos: fq x ατ y e fq sup y = ατ xsup =. Continuando a considerar o vento soprando segundo y, então: τ = e M, mas M X > porque τ, mostrando que o transporte x sup y = y > sup total induido pelo vento fa-se para a direita e com um ângulo de 9º em relação à direcção de onde sopra o vento! (vice-versa no Hemisfério Sul).

14 Notas: upwelling A equação da continuidade impõe que haja substituição de água que é transportada para a direita relativamente à direcção do vento. ssa água terá então que vir da esquerda (isto tudo no Hemisfério Norte). Contudo, se o vento soprar paralelamente a uma linha de costa, deixando a costa à esquerda (no Hemisfério Norte) de onde virá a água? ( para o oceano infinito de kman isto não seria problema!!). O que ocorre na naturea é que essa água de substituição vem das camadas subsuperficiais. ste comportamento é conhecido como afloramento costeiro ou upwelling em inglês. As regiões de

15 upwelling são por isso regiões de divergência. ste fenómeno ocorre com frequência ao longo das fronteiras ste dos oceanos. No Hemisfério Norte, o vento tem que soprar para Sul ao longo da costa, o que ocorre com frequência em especial no Verão, devido ao estabelecimento de baixas pressões de origem térmica. No Hemisfério Sul o transporte é para a esquerda em relação ao vento e o vento tem que soprar para Norte ao longo de fronteira ste para ocorrer upwelling (o que ocorrer com frequência). Ou seja, o upwelling ocorre quando o vento sopra para o quador ao longo de uma fronteira Leste do oceano ou para o Pólo ao longo de uma fronteira Oeste (situação muito menos comum ) De que profundidades vêm as águas afloradas? Não mais de - 3 m de profundidade. O upwelling tem grandes implicações biológicas. Downwelling : o vento sopra deixando a linha de costa à direita (no Hemisfério Norte). Correntes geostróficas asociadas ao Upwelling / Downwelling: stas correntes ao longo da costa têm em geral velocidades muito maiores que as correntes para o largo ou para a costa induidas directamente pelo vento, via teoria de kman, tornando estas ultimas muito difíceis de medir. Muitas vees estas correntes geostróficas associadas ao upwelling não são bem geostróficas!: perto das costas e/ou em águas pouco profundas, o atrito no fundo pode ser importante e o balanço entre o gradiente de Pressão e a Força de Coriolis não funciona! A um dado nível, perto da superfície, a água junto à costa será mais densa que a água ao largo. sta diferença de densidades vai diminuindo em profundidade, logo a corrente geostrófica associada ao afloramento vai diminuindo em profundidade, sendo portanto baroclínica. Por vees há uma sobre compensação e o gradiente de pressão muda de sinal, gerando-se uma undercurrent (corrente de sub-superfície) para o Pólo (para norte no Hemisfério Norte).

16 UPWLLING DOWNWLLING LONG DAS COSTAS A teoria de kman assume que o vento é uniforme, o que não é verdade. Por exemplo, se considerarmos um vento que é constante na direcção e sentido, mas varia na intensidade, irá gerar onas de convergência e de divergência, que serão acompanhadas de movimentos de downwelling e upwelling respectivamente, nas camadas superficiais do oceano: Nesta situação há convergência, logo downwelling

17 Caso do Atlântico Norte: Nas altas latitudes o vento sopra para leste e nas baixas latitudes para oeste: Subida kman pumping : Assim regiões de convergência são regiões de subida do nível do mar (regiões de downwelling). Regiões de divergência são regiões de descida do nível do mar (regiões de upwelling) logo kman pumping :

18 Upwelling quatorial: Um vento a soprar para oeste ao longo da região equatorial irá causar divergência e upwelling no equador, porque o transporte será para a direita no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul (assumindo que a teoria de kman funciona no equador...). ATRITO NO FUNDO FITOS PARTICULARS M ÁGUAS POUCO PROFUNDAS: Quando a corrente flui junto ao fundo do oceano, o atrito indu uma espiral de kman de fundo, de forma análoga espiral induida pelo vento, com a diferença que as espirais são opostas! A demonstração matemática pode ser vista no Pond e Pickard!!!! Vejamos os resultados e a análise qualitativa: A corrente roda da sua direcção geostrófica para a esquerda de um ângulo de 45º enquanto a velocidade se torna ero no fundo: Análise qualitativa Longe do fundo a corrente é geostrófica força de Coriolis, equilíbra a força do gradiente de pressão, com a força de Coriolis a actuar para a direita e a força do gradiente de pressão para a esquerda da corrente geostrófica. Com a aproximação do fundo, a corrente diminui de velocidade devido ao atrito. Logo a força de Coriolis diminui, porque é proporcional à velocidade. ntão a força do gradiente de pressão não é compensada e o escoamento roda para a esquerda até que haja balanço entre a força de Coriolis, a força do gradiente de pressão e a força de atrito no fundo, o que ocorre quando a velocidade rodou 45º para a esquerda. Mas também nessa altura a velocidade é nula!! Por isso não chega a rodar 45º...

19 velocidade geostrófica F grad.p corrente F atrito F Coriolis fundo do mar equilíbrio perto do fundo rodou para a esquerda Coisas interessantes: sta mesma solução aplica-se ao vento, ou seja à interface Atmosfera Terra (ou Oceano). Assim o vento à superfície, no hemisfério Norte, sopra 45º para a esquerda do vento geostrófico e a corrente de superfície é 45º para a direita do vento à superfície. Assim, a corrente à superfície terá a mesma direcção do vento geostrófico, ou seja, do vento acima da camada de kman atmosférica. Contudo, estes resultados não são para ser levados muito a sério, porque fiemos muitas aproximações ao escolher a forma de A... Assim, o que se verifica na prática é que o vento à superfície roda menos que 45º, em geral entre 1º e º, isto também porque o vento não sopra de forma constante, é dependente do tempo e também a factores de estabilidade. Da mesma forma, a corrente à superfície induida pelo vento também não chega a rodar 45º para a direita em relação ao vento à superfície, mas neste caso aproxima-se bastante. A 1 m de altitude o vento é cerca de 6 a 7% do vento geostrófico. A redução para vento igual a ero ocorre muito perto da superfície. A espessura da camada de kman atmosférica é tipicamente 1 vees a do oceano. Se olharmos para o oceano real, verificamos que é possível pensar na seguinte combinação: uma corrente geostrófica devido a um forçamento

20 termohalino, uma espiral de kman nas camadas superiores, uma espiral de kman no fundo que se sobreporá à da superfície se o oceano for pouco profundo (junto à costa, sobre a plataforma) e ainda uma corrente de maré. A descrição do movimento torna-se assim muito complicada. Por isso é muito difícil analisar o movimento nas suas três componentes: geostrófica, induida pelo vento e de maré, em particular se todas estiverem a variar no tempo. À medida que a água se torna pouco profunda, na ordem de D ou menos, as espirais de kman de superfície e de fundo sobrepõem-se. As duas espirais tendem a cancelar-se e o transporte total dá-se sobretudo na direcção do vento à superfície e não perpendicularmente a ele. Quando a profundidade decresce para cerca de D /1, o transporte dá-se na direcção do vento, sendo o efeito de Coriolis abafado pelo atrito é o que acontece nas praias. LIMITAÇÕS DA TORIA D KMAN: A teoria de kman é bem fundamentada, é bonita, mas na realidade nunca ninguém observa uma espiral de kman bem desenhada no oceano! O que não quer dier que a teoria esteja errada! A espiral de kman é bem observada em laboratório, onde a viscosidade é molecular e não turbulenta. há evidencia que os seus efeitos integrados ocorrem, como é o caso do upwelling. Contudo, o problema resolvido por kman é ideal: - Não existem fronteiras: não é realista, mas não é uma má aproximação longe da costa e as consequências junto ás costas suportam a solução obtida. - Oceano de profundidade infinita: não é exacto mas é uma pequena fonte de erro: D 1 m e a profundidade média do oceano é 4 m. - A constante O mais certo é não ser verdade, mas o nosso conhecimento sobre isto é tão pouco que não se sabe se é ou não uma grande fonte de erro. - Vento estacionário, o que leva a uma solução apenas para o estado estacionário Provavelmente a maior fonte de erro, pois nem o vento nem o oceano são estacionários.

21 - Água homogénea (o que implica condições barotrópicas) Não é manifestamente verdade. Sverdrup tentou corrigir esta falha na teoria de kman, como veremos a seguir. A SOLUÇÃO D SVRDRUP PARA A CIRCULAÇÃO INDUZIDA PLO VNTO As equações do movimento para um movimento uniforme e despreado o atrito devido aos gradientes horiontais da velocidade, são: P τ x u α = fv + A x P τ y v α = fv + A y (F.grad P = F. Coriolis + F. Atrito) kman assumiu um oceano horiontal e por isso ignorou os termos à P P esquerda α e α. Aqui apenas estamos a ignorar os gradientes x y horiontais da velocidade num movimento uniforme. Ou seja, a solução que vamos encontrar não será própria para descrever movimentos onde esses gradientes sejam importantes (nas correntes muito fortes!). O que Sverdrup fe foi faer constar da equação os gradientes de pressão e abandonou qualquer tentativa de descrever o comportamento da velocidade em profundidade. Ou seja, apenas procurou descrever o transporte total nas direcções x e y em toda a camada afectada pelo vento (ou seja, M x e M y em termos de transporte de massa). Assim, integrou as equações desde = - h, que será uma profundidade onde o efeito do vento já não se fa sentir. Por isso h >> D. Logo: h h P d = x P d = y h h ρfvd + τ ρfud + τ xsup xsup = fm y = fm x + τ + τ xsup xsup Lembrar que: ρvd, é o transporte de massa na direcção y entre as camadas 1 e (M y ). 1