Tiago de Holanda Cunha Nobrega. Sistema de Partículas para Modelagem e Simulação Interativa de Fluidos

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1 Tiago de Holanda Cunha Nobrega Sistema de Partículas para Modelagem e Simulação Interativa de Fluidos Florianópolis, Santa Catarina Fevereiro de 2007

2 Tiago de Holanda Cunha Nobrega Sistema de Partículas para Modelagem e Simulação Interativa de Fluidos Rascunho do Trabalho de Conclusão de Curso do curso de Ciências da Computação da Universidade Federal de Santa Catarina Orientador: Prof. Dr. rer.nat. Aldo von Wangenheim Co-orientador: Thiago Ramos dos Santos Florianópolis, Santa Catarina Fevereiro de 2007

3 Resumo Este trabalho discute e implementa um método para a simulação de fluidos através de sistemas de partículas. Vários métodos existentes na literatura são apresentados. Tópicos alheios ao método, como detecções de colisão e busca rápida de vizinhança, são abordados e implementados. Por fim, os resultados são apresentados e diferentes implementações comparadas e discutidas.

4 Sumário Lista de Figuras 1 Introdução p Objetivo Geral p Objetivos Específicos p Notação e Conceitos Matemáticos p Dinâmica dos Fluidos Computacional p Métodos baseados em Grids para Representação de Fluidos p Método Semi-Lagrangeano p Marker-and-Cell (MAC) Grids p Aproximações HeightField p Sistemas de Partículas p Smoothed Particle Hydrodynamics p Método Moving Particle Semi-Implicit (MPS) p Outras Metodologias de Simulações de Fluidos p Simulação de Fluidos utilizando Smoothed Particle Hydrodynamics p Núcleos de Suavização p. 25

5 4.1.1 Núcleo de Suavização Poly p Núcleo de Suavização Spiky p Núcleo de Suavização Viscosity p As grandezas que governam os fluidos em SPH p Densidade das massas p Pressão p Força de Pressão p Força de Viscosidade p Forças externas p Força da Gravidade p Força de Superfície p Integração Temporal p Implementação p Detecção e Tratamento de Colisões p Definições de Planos e suas Propriedades p Distância Perpendicular Ponto-Plano p Intersecção Reta-Plano p Intersecções Partículas - Planos p Obtenção do Raio de um Partícula p Intersecção sem trajetória p Intersecção com trajetória p Interações entre dois ou mais planos p. 57

6 5.3 Balanço do recipiente p Implementação p Busca por Vizinhos p Força Bruta p Otimização p Vantagens p Desvantagens p Busca em Grid p Inserção e Remoção no Grid p Otimização p Grids Fora da Origem p Vantagens p Desvantagens p Implementação p Resultados e Conclusões p Busca de Vizinhança p Conclusões p. 74 Referências p. 77

7 Lista de Figuras 1 Exemplo da simulação de um líquido interagindo com uma esfera (FOSTER; FEDKIW, 2001) p Um exemplo do grid estático de células que contém o fluido (STAM, 1999)... p Retrocesso no tempo de execução para obtenção de x (STAM, 1999).... p Uma célula com a densidade p avaliada em seu centro, e a velocidade v decompostas em u, v e w (BRIDSON; MULLER-FISCHER; GUENDELMAN, 2006).. p Heightfield em duas dimensões: as colunas variam de altura h ao longo da simulação (KASS; MILLER, 1990) p Uma Octree funcionando como um grid de fluido (LOSASSO; GIBOU; FEDKIW, 2004) p O núcleo de suavização pode ser visto como uma esfera ao redor de uma partícula. (KELAGER, 2006) p Duas partículas em proximidade. Por causa da propriedade de reflexão, W ( r, h) = W ( q, h) p O núcleo gaussiano com h = 1(KELAGER, 2006) p Os três núcleos utilizados neste trabalho: Poly6, Spiky e Viscosity, respectivamente. As linhas grossas representam o valor dos núcleos, as finas o valor dos gradientes, e as tracejadas os laplacianos (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003) p. 29

8 11 A relação entre a densidade das massas e a pressão. No primeiro caso, as partículas destacadas estão em equilíbrio. No segundo, a concentração de partículas aumenta a densidade das massas e consequentemente, a pressão na região. Por fim, no terceiro caso a baixa densidade das massas acarreta em uma pressão baixa, porém existente (KELAGER, 2006) p A força exercida na superfície do fluido aponta para seu interior.(kelager, 2006) p O erro introduzido pelo processo de integração temporal. A curva cheia representa a trajetória ideal, contínua da partícula A. Integrando a aceleração a durante um intervalo de tempo t, a nova posição da partícula é B. Com 2t, a partícula pára em C, visivelmente distante da trajetória correta p No método Leap-Frog, a velocidade (u) pula por cima da posição (r), e vice-versa (KELAGER, 2006) p As situações do recipiente aberto e fechado. Em (A), a partícula não tem como alcançar as porções dos planos infinitos que não compõem as paredes. Em (B), uma partícula pode escapar pelo topo do recipiente e ainda assim colidir com o plano que forma a parede da esquerda p O ponto A está do lado positivo de plano, enquanto B se encontra no lado negativo. Consequentemente, a é positivo e b é negativo p No caso mais simples, se a distância d do centro C ao plano for menor do que o raio r, então a partícula está colidindo com a superfície p Uma partícula cruzando um plano ao longo de sua trajetória em um intervalo de tempo p. 48

9 19 Os três casos possíveis para o valor da distância d de C 1 ao plano. Em (A), o fato de d ser maior que o raio da partícula evidencia a não colisão. Em (B), d é positiva e menor que r. Em (C), d é negativa pois C 1 está do lado negativo do plano. Nos últimos dois casos houve colisão p O vetor u liga a posição final atual e a correta da partícula. Na posição inicial C 0, a esfera já toca o plano p A trajetória de três dos pontos da partícula. Como todos viajam à mesma velocidade e o ponto P 0 é o que tem a menor distância (x) a percorrer até chegar ao plano, ele é o que entra em contato primeiro p A distância a de P 1 ao plano vale r + d. Como d é garantidamente negativa no caso da figura, o valor desta distância pode ser escrito como r d..... p Mesmo quando C 1 se encontra do lado positivo do plano, a distância de P 1 à ele ainda vale r d p C f = C 1 + u, onde o tamanho de u vale duas vezes o valor da distância do ponto mais distante ao plano p O eixo E a partir do qual começa a reflexão do centro passa pelo ponto C I.. p Utilizando o eixo E como eixo de reflexão, o comprimento do vetor u ainda é r d p v 2 é o resultado da reflexão de v 1 no plano com normal n p O que pode acontecer quando dois ou mais planos existem no ambiente. Por causa da escolha do plano B para o teste, a posição final Cf não representa o que aconteceria na realidade p O resultado esperado da situação da figura 28. A partícula deve primeiro colidir com o plano A, para então colidir com o plano B p. 57

10 30 A distância d de C 1 ao plano indica se P I deve ser obtido, pela presença ou não de colisão p A distância entre a posição inicial da partícula e sua posição no instante da colisão vale I P p C 0 é o novo início da trajetória da partícula, e pode ser obtido por C 0 +(P I P 0 ). p Na esquerda, as estruturas que representam as partículas ocupam regiões consecutivas em um vetor. Na direita, cada estrutura sabe o endereço da próxima em uma lista p Em um determinado momento (A), está sendo efetuada a busca por vizinhos da partícula A. Testa-se esta relação entre A e B. Quando, em (B), for feita a busca por vizinhos de B, não é necessário testar com A, pois a relação de vizinhança é simétrica e este teste já foi efetuado, sendo elas vizinhas ou não. p Com um Grid, todas as partículas potencialmente vizinhas à partícula A se encontram na célula de A e nas células diretamente adjacentes p Uma partícula com centro C = (9, 3) fica na posição (4, 1) do Grid da imagem. p A região hachurada em azul contém todas as partículas candidatas à vizinhança de A e B p Uma partícula com centro C = (12, 5) fica na célula (4, 1) em um Grid deslocado (3, 2) da origem p Cenas de seis pontos diferentes da simulação p. 75

11 10 1 Introdução A simulação realista de fluidos não é um problema novo. A maneira como líquidos se comportam é intuitivamente natural para nós - É simples prever com um certo grau de precisão o que acontece quando uma torneira é aberta e água é despejada numa bacia. Métodos e equações para modelar fluidos já existem a várias décadas, como as equações elaboradas por Claude Navier em 1822 e, posteriormente, George Stokes, em 1845 (WRENNINGE, 2003). Stam (2003) afirma que há um consenso entre cientistas da área de que estas equações, conhecidas como equações Navier-Stokes, são um modelo bastante apropriado para fluidos. As equações de Navier-Stokes cumprem um papel no objetivo deste trabalho, de forma que serão brevemente apresentadas no capítulo 2. Estas equações são geralmente difíceis (ou impossíveis) de resolver analiticamente (STAM, 2003), de forma que desde então vários métodos foram propostos no campo da Dinâmica dos Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics - CDF) para simular fluidos resolvendo estas equações numericamente, tais como os métodos de Kass e Miller (1990), Foster e Metaxas (1996), Stam (1999) e Losasso, Gibou e Fedkiw (2004). O propósito deste trabalho é discutir e implementar um destes métodos, conhecido como Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), inicialmente concebido por Lucy (1977) e Gingold e Monaghan (1977), para simular eficientemente um recipiente retangular, em três dimensões e com uma determinada quantidade de líquido. Este método foi escolhido por apresentar resultados promissores (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003), particularmente na interatividade com o usuário, que é um dos objetivos principais deste trabalho. Muller, Charypar e Gross (2003) comentam que o método é flexível o bastante para simular qualquer tipo de fluido, mas este

12 11 trabalho foca na simulação de líquidos. O método SPH em si possui alguns pontos abstratos em seu algoritmo: Não há definição precisa da evolução do tempo de simulação, ou da estrutura de dados que representa os obstáculos do ambiente. Não é mencionada a forma de detecção de colisões entre as várias entidades integrantes do sistema, e nem o que fazer no momento da colisão. Também fica em aberto a questão do valor dos parâmetros iniciais ideais (como velocidade, massa, pressão, etc). Este trabalho se propõe a solucionar estas questões, tendo em vista a eficiência da simulação e da interatividade com o usuário. A motivação do trabalho vem da necessidade de simulação realista de fluidos em diversas áreas: Muller, Schirm e Teschner (2004) afirmam que a modelagem interativa de fluidos como a água e o sangue humano é um componente essencial na cirurgia computacional, enquanto Stam (2003) observa que é desejável incluir modelagens de fluidos em engines de jogos pois um dos maiores objetivos dos mesmos é a imersão do jogador num mundo virtual plausível. Figura 1: Exemplo da simulação de um líquido interagindo com uma esfera (FOSTER; FEDKIW, 2001). 1.1 Objetivo Geral Projetar e implementar uma aplicação consistindo de um recipiente em três dimensões, com posição variável e definível interativamente pelo usuário da aplicação, e com uma determinada quantidade de líquido em seu interior.

13 Objetivos Específicos Para alcançar o objetivo geral, este trabalho assume os seguintes objetivos intermediários: Analisar brevemente os métodos existentes na literatura para simulação de fluidos - em particular os métodos baseados em Grid (Eulerianos) e os baseados em partículas (Lagrangeanos). Analisar mais especificamente o método conhecido como Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) para a simulação de fluidos. Projetar um sistema para a implementação eficiente do SPH, tratando os componentes de um sistema de simulação física que o método não aborda, como valores iniciais dos parâmetros do sistema, busca de vizinhança eficiente e detecção eficiente de colisão entre as partículas e o ambiente externo (neste caso, o recipiente).

14 13 2 Notação e Conceitos Matemáticos Em 1822, Claude Louis Marie Henri Navier derivou as equações que regem o movimento de um fluido viscoso. Ele partiu do trabalho de Euler de 1755, que já havia derivado as equações para fluidos ideais não viscosos. Após isso, em 1845 George Gabriel Stokes derivou as equações na maneira como elas são conhecidas hoje. Fluidos incompressíveis são fluidos cuja densidade não varia. Líquidos são fluidos compressíveis, mas como a compressão só se dá sobre grande pressão eles são geralmente simplificados como incompressíveis(bridson; MULLER-FISCHER; GUENDELMAN, 2006). A evolução do estado de um fluido incompressível no tempo é dada pelas seguintes especializações das equações de Claude Navier e George Stokes (M.S.CRAMER, 2002): ρ t +. (ρ v) = 0 (2.1) ρ ( ) v t + v. v = p + f ext + µ 2 v (2.2) A equação 2.1 rege a conservação da massa no líquido, e a equação 2.2 dita a conservação do momento. Em ambas: ρ p t é a densidade do líquido no ponto considerado; é a pressão do líquido no ponto considerado; é o tempo;

15 14 v f ext é a velocidade do líquido no ponto considerado; é o vetor das forças externas ao líquido, e.g. a gravidade. É útil também definir as seguintes convenções de notação: f x é a derivada de f em relação a x ; f.f é o gradiente de uma função f de n variáveis, e é definido como o vetor ( f x 1, f x 2,..., f x n ) ; é o operador vetorial de divergência de uma função f de n variáveis, e é definido como a soma dos componentes de f; 2 f é o operador laplaciano escalar, definido como a divergência do gradiente de f, i.e.. f. No espaço cartesiano R n ele é definido como a soma das derivadas parciais de segunda ordem não mistas, ou seja, 2 f = 2 f + 2 f x 2 1 x f ; x 2 n 2 v é o operador laplaciano vetorial.

16 15 3 Dinâmica dos Fluidos Computacional Os modelos matemáticos gerados pelas equações descritas no capítulo 2 só possuem solução analítica nos casos mais simples. Com a introdução da ferramenta computacional começaram a surgir métodos para resolver estas equações numéricamente na tentativa de simular o comportamento de fluidos. Tais métodos podem ser divididos em dois tipos distintos (BRIDSON; MULLER-FISCHER; GUENDELMAN, 2006): Métodos baseados em Grids (ou Eulerianos), e métodos baseados em Partículas (ou Lagrangeanos). Como o sistema proposto por este trabalho é baseado em partículas, uma discussão mais elaborada será feita sobre esta segunda categoria de métodos na seção Métodos baseados em Grids para Representação de Fluidos Os métodos baseados em Grids (Malhas), têm sua base na discretização do espaço onde ocorre a simulação em subespaços de tamanho fixo (Células), transformando o espaço inteiro em uma Malha n-dimensional. Nestes métodos, a evolução do fluido é dada pela evolução do espaço de velocidade v, o espaço de densidade ρ e o espaço de pressão p, avaliados em cada célula. A figura 2 ilustra o grid. Figura 2: Um exemplo do grid estático de células que contém o fluido (STAM, 1999).

17 16 A maneira como as três quantidades são avaliadas na malha varia de acordo com o método Método Semi-Lagrangeano Stam (1999) considera o valor das grandezas de interesse no centro de cada célula, e obtém este valor usando o valor que a porção de líquido em questão possuía no início da simulação. Por exemplo, para obter a velocidade do fluido em uma célula qualquer do grid, o método percorre o campo vetorial de velocidade no sentido inverso ( voltando no tempo), e obtém a velocidade que aquela porção de líquido possuía no instante inicial. Segundo Stam, a velocidade na nova célula é igual à velocidade na célula original, no tempo inicial, conforme ilustra a figura 3. Figura 3: Retrocesso no tempo de execução para obtenção de x (STAM, 1999) Este método é chamado de Semi-Lagrangeano porque os métodos originais lagrangeanos para a simulação de fluidos são baseados em partículas, e não em grids de posições fixas. Neste método, a partícula é apenas uma abstração para a resolução do sistema euleriano, não aparecendo explicitamente na solução em código. Stam aponta que seu método é isento de instabilidade numérica, e o considera extremamente eficiente na simulação realista em tempo real de gases, enquanto Foster e Metaxas (1996) indicam que a dissipação de massa resultante o torna impróprio para a simulação de líquidos Marker-and-Cell (MAC) Grids O método Marker-and-Cell, originalmente proposto por Harlow e Welch (1965), tem como característica principal o fato de avaliar diferentes quantidades em diferentes regiões das células,

18 17 ao contrário do método anterior que sempre as avalia nos centros. A pressão p continua sendo avaliada no centro de cada célula, porém o vetor de velocidade v é decomposto em suas três coordenadas, u, v, e w, e cada coordenada é avaliada em um dos três pares de faces opostos da célula, conforme ilustra a figura 4. Figura 4: Uma célula com a densidade p avaliada em seu centro, e a velocidade v decompostas em u, v e w (BRIDSON; MULLER-FISCHER; GUENDELMAN, 2006). O nome do método deriva da necessidade de saber aonde se encontra a superfície do fluido (por exemplo, a superfície do líquido). Para resolver este problema, Harlow e Welch (1965) incluem no conjunto de células um grupo de partículas, chamadas de Marker Particles (partículas marcadoras), inicialmente posicionadas em células que sabidamente contém o fluido. Estas partículas se movem com o fluido, utilizando uma interpolação linear das velocidades nas várias faces da célula que contém a partícula para determinar a velocidade da mesma. Desta forma, a qualquer momento da simulação, células que contém partículas são células com fluido, e células sem partículas estão vazias. Células que possuem vizinhas vazias são células de superfície. Este método simplifica a obtenção da superfície do líquido, sob custo da perda da garantia da estabilidade numérica de Stam (1999).

19 Aproximações HeightField As aproximações baseadas em Heightfields para grids surgiram do fato de que, para algumas aplicações, é desnecessário e custoso levar em conta todo o volume do fluido considerado para se obter uma simulação realista. Bridson, Muller-Fischer e Guendelman (2006) apontam como exemplo a simulação de um lago. Do ponto de vista de um observador externo, só interessa a evolução da superfície do lago. Nestes métodos, o grid Euleriano é visto como um conjunto de colunas de fluido. Ao longo da simulação, a altura de cada coluna varia e o conjunto de alturas h das colunas caracteriza a superfície do fluido. As desvantagens apontadas por Kass e Miller (1990) incluem a inabilidade de simular respingos de água e ondas quebrando. A vantagem marcante é a grande redução da complexidade computacional, conforme indicam Kass e Miller (1990) em seu trabalho relacionado. Figura 5: Heightfield em duas dimensões: as colunas variam de altura h ao longo da simulação (KASS; MILLER, 1990). Os métodos baseados em Grids, por possuírem pontos fixos no espaço onde avaliar o estado do fluido, possuem como vantagem a simplicidade de implementação (de fato, Stam (2003) desafia o leitor a implementar um algoritmo mais simples que o seu, que possui em torno de 100 linhas de código escrito na linguagem C). Estes métodos se estabeleceram na literatura

20 19 por serem úteis para simulações estáticas e sem variações durante a execução. São, porém, computacionalmente caros e de difícil uso em aplicações que requerem interatividade com o usuário em tempo real. 3.2 Sistemas de Partículas Sistemas de partículas foram originalmente propostos por Reeves (1983), como uma maneira de modelar objetos que o autor denominou fuzzy ( nebulosos ), como o fogo, água, fumaça, etc. As características principais deste tipo de objeto são as seguintes: 1. Objetos deste tipo não são representados por um conjunto de polígonos que delimitam sua superfície, mas por uma nuvem de tipos primitivos denomidados Partículas que definem o seu volume. 2. Tais objetos não são estáticos - as partículas se movimentam, alteram sua forma, saem e entram do sistema com o passar do tempo. 3. Geralmente há um fator estocástico (aleatório) que influencia o comportamento geral do objeto, i.e., o comportamento do objeto não é determinístico. Desde então, sistemas de partículas foram refinados para representar uma grande variedade de elementos - sólidos deformáveis, como por exemplo órgãos do corpo humano (JAILLET; SHA- RIAT; VANDORPE, 1997), fogo e fumaça (STAM, 2000), líquidos (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003; PREMOZE et al., 2003; MUELLER et al., 2004), entre outros. Cada tipo de elemento possui suas características distintas - objetos sólidos, por exemplo, atribuem menos liberdade de movimento às partículas, enquanto é comum modelar o fogo como um conjunto de partículas onde cada partícula nasce, se desloca para cima com algum grau de variação (o elemento estocástico), e morre. Para líquidos, que são o foco deste trabalho, o sistema é bem definido: A massa do líquido é fixa, e como a massa é distribuída entre as partículas, o número de partículas é fixo. A evolução

21 20 do sistema ao longo do tempo é regida por equações conhecidas da mecânica dos fluidos, de forma que não existe o elemento aleatório. Sistemas de partículas possuem vantagens sobre a maneira clássica baseada em malhas para simulação de fluidos: São geralmente mais computacionalmente eficientes, por avaliarem os parâmetros que regem o estado do fluido apenas em pontos específicos do espaço, ao contrário de em todo ele. Por serem mais eficientes, eles são mais facilmente implementados em aplicações que requerem interatividade com o usuário. Em contrapartida, uma desvantagem significativa é a dificuldade da geração da superfície do líquido representado pelas partículas Smoothed Particle Hydrodynamics O método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) (LUCY, 1977; GINGOLD; MONAGHAN, 1977; MONAGHAN, 1992) foi originalmente concebido para a solução de modelos astrofísicos em três dimensões, mas é genérico a ponto de ter sido adaptado para vários outros campos da engenharia e computação, particularmente a simulação de fluidos compressíveis e não compressíveis. A síntese do método está em seu nome: As grandezas relevantes ao sistema são discretizadas nas partículas através de uma interpolação ponderada do valor destas grandezas nas partículas vizinhas. Ou seja, o estado de cada partícula depende do estado de suas partículas vizinhas. Generalizando para uma grandeza A na posição espacial r: Onde: A s (r) = n j=1 m j A j ρ j W (r r j, h) (3.1) m j é a massa da partícula j; ρ j é a densidade da partícula j; W é a função de suavização utilizada, arbitrária;

22 21 h é uma constante que define o raio máximo de atuação da função W. A função de suavização W (Smoothing Kernel) é o que caracteriza o método. É prático pensar neste núcleo como uma função que leva todo valor a uma distância r r j do centro de uma esfera de raio h a um valor de interpolação. Um exemplo da aplicação da equação 3.1 é o cálculo da densidade em uma partícula que se encontra na posição r: ρ s (r) = n j=1 m j ρ j ρ j W (r r j, h) = n m j W (r r j, h) (3.2) j=1 Como esta equação pode auxiliar na simulação realista de fluidos? Por praticidade, apresentase novamente a equação da conservação do momento de Navier-Stokes ( 2.2 na página 13): ρ ( ) v t + v. v = p + f ext + µ 2 v a v t Muller, Charypar e Gross (2003) afirmam que a expressão v + v. v pode ser simplificada t pois, ao contrário dos sistemas estáticos baseados em malhas, em sistemas de partículas as mesmas se deslocam junto com o fluido, significando que a variação do espaço vetorial de velocidade do fluido é representado simplesmente pela variação no tempo da velocidade das partículas que o compõem. Desta forma, dividindo esta simplificação de 2.2 por ρ, obtém-se: v t = p + ρ f ext + µ 2 v ρ (3.3) Que lembra intuitivamente a segunda lei de Newton, aplicada para líquidos: a = F ρ O método então consiste em determinar as grandezas que compõem F através dos núcleos de suavização, utilizando a equação 3.1. O método SPH foi o escolhido para a simulação do fluido neste trabalho e será discutido com mais detalhes no capítulo 4.

23 Método Moving Particle Semi-Implicit (MPS) Este método, originalmente proposto por Koshizuka, Nobe e Oka (1998) também utiliza a idéia de que o estado de uma partícula é influenciado por suas partículas vizinhas. Desta forma, existe neste método uma função de peso w que, semelhantemente ao método SPH, interpola um valor a partir de uma distância r rj. A diferença básica entre os dois métodos é o comportamento da função de peso e o algoritmo de atualização das grandezas do líquido. Premoze et al. (2003) citam diversas aplicações do método MPS, como transições de fase, fluxo multifásico, fluidos com sedimentação e estruturas elásticas. 3.3 Outras Metodologias de Simulações de Fluidos Além dos métodos apresentados nas seções anteriores, vários outros foram propostos ao longo dos anos e com o avanço da capacidade computacional, geralmente com a intenção de solucionar eficientemente um problema específico. Métodos híbridos, que misturam em sua solução partículas e grids eulerianos estáticos, têm se tornado bastante populares por apresentarem as vantagens de cada abordagem. Um exemplo de uma abordagem híbrida é o uso de grids para cálculo das grandezas do fluido, e partículas para derivação da superfície implícita (FOSTER; METAXAS, 1996; FOSTER; FEDKIW, 2001). Losasso, Gibou e Fedkiw (2004) ilustram um método que implementa a abordagem de grid utilizando uma Octree. Enquanto Foster e Metaxas (1996) consideravam as faces da célula como ponto de interesse do cálculo de certas grandezas do líquido (figura 4), a abordagem com Octree decompõe a célula em nodos, tomando assim as grandezas nas quinas da célula para interpolação, conforme ilustra a figura 6. Finalmente, avanços na tecnologia de hardware gráfico possibilitam otimizações de performance que exploram os recursos dedicados da placa aceleradora de vídeo, conforme ilustram Amada et al. (2004), que indicam conseguirem o dobro de velocidade de processamento em sua versão utilizando a Unidade de Processamento Gráfico, em comparação ao processamento em

24 23 Figura 6: Uma Octree funcionando como um grid de fluido (LOSASSO; GIBOU; FEDKIW, 2004). CPU.

25 24 4 Simulação de Fluidos utilizando Smoothed Particle Hydrodynamics O método Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) foi apresentado brevemente na seção Por ter sido o método escolhido para este trabalho, é válido discutí-lo com maior profundidade. Conforme mencionado, o coração do método SPH está em seus núcleos de suavização. São eles que descrevem a forma como as partículas interagem entre si e o comportamento geral do fluido simulado. A equação 3.1 na página 20 dita o valor de uma grandeza A qualquer na posição representada pelo ponto r. Muller, Charypar e Gross (2003) afirmam que as derivadas destas grandezas, comuns em equações de fluidos, afetam apenas o núcleo de suavização envolvido. Desta forma, podemos simplificar o gradiente de uma grandeza A, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de A, conforme mencionado no capítulo 2: A s (r) = n j=1 m j A j ρ j W (r r j, h) (4.1) E seu laplaciano, que é a soma das derivadas parciais de segunda ordem não mistas: 2 A s (r) = Por que esta propriedade é interessante, ou até mesmo relevante? n j=1 m j A j ρ j 2 W (r r j, h) (4.2) A equação 3.3 na página 21 apresenta a variação da velocidade em um fluido, representado por um sistema de partículas. O método apresentado por Muller, Charypar e Gross (2003)

26 25 consiste em resolver a expressão p+ f ext +µ 2 v através de SPH, de forma a obter a variação da velocidade e simular o fluido. O fato da derivação das grandezas poder ser realizada em função dos núcleos de suavização simplifica bastante o processo, conforme será demonstrado na seção 4.2. Mas antes, é preciso abordar os núcleos de suavização. 4.1 Núcleos de Suavização A maneira mais simples e intuitiva de abordar os núcleos de suavização é pensar nas partículas no espaço. Se isolarmos uma destas partículas, a qual chamaremos de p, pensarmos em uma esfera hipotética de raio h ao redor de p e considerarmos que cada partícula dentro desta esfera hipotética contribui para o comportamento de p, então um núcleo de suavização nada mais faz do que explicitar a maneira pela qual esta contribuição é feita. A região compreendida dentro desta esfera hipotética é chamada de vizinhança de p e todas as partículas dentro desta região são ditas na vizinhança de p. Figura 7: O núcleo de suavização pode ser visto como uma esfera ao redor de uma partícula. (KELAGER, 2006) Um núcleo de suavização é uma função. Segundo Muller, Charypar e Gross (2003), se esta função assumir as propriedades de reflexão e normalização, ela é de segunda ordem de precisão, o que significa dizer que o erro obtido ao interpolar A(r) utilizando o núcleo é da ordem de O (h 2 )ou menor (KELAGER, 2006), onde h é o raio da esfera. A primeira propriedade diz que o núcleo deve ser uma função reflexiva, ou seja, W ( r, h) deve ser igual a W ( r, h). Isto permite que as partículas sejam relacionadas em qualquer ordem, como ilustra a figura 8.

27 26 Figura 8: Duas partículas em proximidade. Por causa da propriedade de reflexão, W ( r, h) = W ( q, h) A segunda propriedade diz que o núcleo deve ser normalizado, para que as constantes presentes na função da grandeza A sejam interpoladas corretamente (GINGOLD; MONAGHAN, 1977), ou seja: W ( r, h) d r = 1 Adicionalmente, existe um limite ao módulo de r, acima do qual a função sempre vale zero. Na analogia de que o núcleo de suavização representa uma esfera, este limite é o raio da mesma, h. Este valor é também chamado de raio de suporte do núcleo, e serve para limitar o número de partículas em uma vizinhança. Isto é computacionalmente interessante, visto que uma partícula não dependerá de todas as outras do sistema. A figura 9 exemplifica o gráfico do núcleo de suavização gaussiano com h = 1. Figura 9: O núcleo gaussiano com h = 1(KELAGER, 2006) Kelager (2006) afirma que a escolha de um valor para o raio de suporte h apropriado é vital para a simulação robusta e estável do fluido. O autor afirma que um valor grande demais diminuiria a contribuição de partículas próximas ao centro no núcleo, e propõe uma maneira

28 27 simples de obter um valor aceitável. Dado o volume total V do líquido, o número n de partículas que o representa, e o número médio x de partículas dentro de uma região de vizinhança qualquer, o valor do raio de suporte pode ser obtido por: h = 3 3V x 4πn Esta fórmula é obtida do fato que n V é a densidade das partículas no líquido, ou seja, o número de partículas por unidade de volume. Multiplicando este valor pelo volume de uma esfera de raio h, obtém-se o número de partículas que ocupam aquele volume: ( ) n 4 x = V 3 πh3 Ambas equações possuem duas incógnitas não disponíveis imediatamente, x e h. Kelager (2006) sugere que x seja testado até o menor número possível que simule o fluido e suas propriedades convincentemente. Nas seguintes subseções serão apresentados os núcleos de suavização utilizados neste trabalho, conforme o modelo de Muller, Charypar e Gross (2003). Em todos os casos, se r > h, W ( r, h) = 0: Núcleo de Suavização Poly6 O primeiro núcleo proposto por Muller, Charypar e Gross (2003) é atraente por não requerer o cálculo de raízes, computacionalmente caros: W poly6 ( r, h) = πh 9 ( h 2 r 2) 3 (4.3) O gradiente de núcleo Poly6 vale: W poly6 ( r, h) = πh 9 r ( h 2 r 2) 2 (4.4)

29 28 E seu laplaciano: 2 W poly6 ( r, h) = πh 9 ( h 2 r 2) ( 3h 2 7 r 2) (4.5) Núcleo de Suavização Spiky Este núcleo é utilizado no cálculo da força de pressão sobre as partículas, e sua utilidade será explicada na subseção 4.2.2: Com gradiente: W spiky ( r, h) = 15 πh 6 (h r )3 (4.6) E laplaciano: W spiky ( r, h) = 45 πh 6 r r (h r )2 (4.7) 2 W spiky ( r, h) = 90 1 (h r ) (h 2 r ) (4.8) πh 6 r Núcleo de Suavização Viscosity O terceiro núcleo proposto por Muller, Charypar e Gross (2003) é utilizado no cálculo da força de viscosidade atuando sobre as partículas, por uma razão que será discutida na subseção 4.2.4: Com gradiente: W viscosity ( r, h) = 15 2πh 3 r 3 2h 3 + r 2 h 2 + h 2 r 1 (4.9)

30 29 W viscosity ( r, h) = 15 ( 3 r 2πh 3 r + 2 2h 3 h h ) 2 2 r 3 (4.10) E laplaciano: 2 W viscosity ( r, h) = 45 (h r ) (4.11) πh6 Figura 10: Os três núcleos utilizados neste trabalho: Poly6, Spiky e Viscosity, respectivamente. As linhas grossas representam o valor dos núcleos, as finas o valor dos gradientes, e as tracejadas os laplacianos (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003). 4.2 As grandezas que governam os fluidos em SPH Finalmente é possível aplicar o método SPH sobre a equação da variação da velocidade no fluido (equação 3.3). Para isso é preciso utilizar os núcleos de suavização em cada grandeza envolvida na expressão p + f ext + µ 2 v. Observando novamente a equação geral do método (equação 3.1 na página 20), A s (r) = n j=1 m j A j ρ j W (r r j, h) nota-se que, além do valor da própria grandeza A, a equação também depende da massa das partículas (m) e da densidade das massas (ρ) em uma vizinhança. A massa é conhecida e constante, definida no início da simulação. A densidade das massas varia de acordo com a

31 30 vizinhança de uma partícula, de forma que esta grandeza sempre deve ser calculada primeiro, antes de ser possível obter as outras. Esta é a única restrição de ordem no método, todas as outras grandezas podem ser calculadas na ordem que for mais conveniente Densidade das massas O valor da densidade das massas em partícula pode ser entendido como a quantidade de massa em sua vizinhança. Quanto maior o número de partículas em uma determinada vizinhança, maior a densidade das massas. A equação para o cálculo da densidade das massas é obtida simplesmente substituindo-se a variável A por ρ na equação 3.1. O resultado desta substituição foi obtido na seção na página 20: ρ s (r) = n j=1 m j ρ j ρ j W (r r j, h) = n m j W (r r j, h) (4.12) j=1 Vale notar que a densidade das massas em uma partícula depende unicamente do valor da massa das partículas em sua vizinhança e de sua própria massa Pressão De posse da densidade das massas, é possível calcular a pressão de cada partícula diretamente, sem a necessidade da interpolação do método SPH. Este valor pode ser obtido através da fórmula do gás ideal (KELAGER, 2006): pv = nrt (4.13) onde V é o volume por unidade de massa, n é o número de partículas de gás em 1 mol, R é a constante universal dos gases, e T é a temperatura. Se a massa do fluido é constante (ou seja, não existe introdução ou perda de fluido durante a simulação) e a temperatura também, a expressão nrt pode ser abreviada para uma constante k. O resultado se torna:

32 31 pv = k (4.14) V é o volume em uma unidade de massa. A densidade é definida como a quantidade de massa por volume. Em uma unidade de massa, obtém-se: ρ = m V ρ = 1 V V = 1 ρ Substituindo na equação 4.14, obtém-se: p 1 ρ = k p = kρ (4.15) O valor p obtido na equação 4.15 é utilizado posteriormente no cálculo da força de pressão exercida sobre uma partícula (subseção 4.2.3). Ele pode ser visto como o potencial que uma partícula apresenta para influenciar suas vizinhas. Quanto maior a densidade das massas de uma partícula, maior o valor da pressão p, e consequentemente maior a força que ela exercerá para repelir suas vizinhas. A figura 11 ilustra esta relação. Desbrun e Gascuel (1996) comentam que o uso da equação 4.15 resulta em forças puramente repulsivas. Em aplicações em astrofísica, a força de pressão é comumente combinada com forças gravitacionais que balanceiam a repulsão. Forças de pressão puramente repulsivas fazem sentido em gases, que tendem a se expandir e ocupar todo o espaço, mas líquidos tendem a manter uma coesão interna (KELAGER, 2006). Desbrun e Gascuel (1996) propõem uma

33 32 Figura 11: A relação entre a densidade das massas e a pressão. No primeiro caso, as partículas destacadas estão em equilíbrio. No segundo, a concentração de partículas aumenta a densidade das massas e consequentemente, a pressão na região. Por fim, no terceiro caso a baixa densidade das massas acarreta em uma pressão baixa, porém existente (KELAGER, 2006). alternativa à equação 4.15: p = k (ρ ρ 0 ) (4.16) Onde ρ 0 é chamado de densidade de repouso e depende do tipo de fluido. O resultado é que partículas distantes tenderão a se atrair, enquanto que partículas muito próximas tenderão a se afastar. Desbrun e Gascuel (1996) identificam duas vantagens significativas na inclusão de ρ 0 à equação Primeiro, se as partículas possuírem a mesma massa (ou seja, se a massa do líquido for proporcionalmente distribuída entre as partículas), elas tenderão a se distribuir uniformemente no espaço. Segundo, como as partículas tenderão a encontrar um estado de equilíbrio entre a atração e a repulsão, a densidade das massas tenderá a ser constante, o que resulta em um volume total aproximadamente constante. Desta forma, o fluido tenderá a assumir este estado de equilíbrio após uma deformação. Kelager (2006) chama a atenção para um cuidado em especial com a constante k. Este valor, como mencionado, representa as três constantes nrt da equação 4.13, mas os valores físicos reais dessas grandezas não podem ser utilizados na obtenção de k por gerarem valores absurdamente grandes, fato que também foi observado durante a implementação deste sistema. Desta forma, k deve ser obtido empiricamente, idealmente sendo o maior possível que ainda permita uma simulação realista. Quanto maior este valor, menor deve ser o intervalo de tempo entre iterações da simulação, para evitar instabilidade no fluido. Uma hipótese para os valores exageradamente grandes de k obtidos por Kelager (2006) é

34 33 que a lei do gás ideal, além de ser um modelo estritamente teórico, diz respeito apenas a substâncias no estado gasoso (ATKINS, 1999). Como fluidos no estado líquido possuem pressão interna e temperatura intuitivamente mais baixas do que gases, faz sentido que k deva ser amenizada quando simulando líquidos. De posse da densidade e da pressão nas partículas, pode-se extrair a força de pressão resultante em cada uma delas Força de Pressão Retornando à equação 3.3, a parcela relevante à força de pressão( p) é obtida pelo gradiente do núcleo de suavização Spiky, da seção na página 28: p (r) = n j=1 m j p j ρ j W (r r j, h) (4.17) Por que este núcleo deve ser utilizado, ao invés do núcleo padrão Poly6 (subseção na página 27)? Observando novamente a equação 4.17, nota-se que o gradiente do núcleo de suavização deve ser utilizado. O gráfico do gradiente do núcleo Poly6 (ilustrado na figura 10 na página 29) mostra que conforme r tende a 0, W ( r, h) também o faz. Espacialmente, isto significa que quanto mais próximas duas partículas estiverem de si, menor a força de pressão gerada entre elas. Isto é exatamente o oposto do comportamento intuitivo para uma força de pressão: partículas muito próximas deveriam se repelir com uma intensidade maior do que partículas distantes. Desbrun e Gascuel (1996) propuseram então o núcleo Spiky, cujo gráfico da figura 10 ilustra que W ( r, h) tende a aumentar conforme r tende a 0. Tal estratégia foi posteriormente adotada por Muller, Charypar e Gross (2003) e Kelager (2006). Desbrun e Gascuel (1996) atentam ao fato de a força resultante da equação 4.17 não ser simétrica. Em outras palavras, a força que uma partícula exerce sobre sua vizinha não será igual à força que ela sofre em retorno, a não ser que as densidades de ambas sejam iguais. Como resultado, a lei de ação-reação não é garantida e o resultado não é realista.

35 34 Estes mesmos autores propõem a seguinte variação à equação, que garante a simetria: p ( r i ) = ρ i n j=1 m j ( pi ρ 2 i + p ) j W ( r r ρ 2 j, h) j Muller, Charypar e Gross (2003) propõem uma outra alternativa, computacionalmente mais eficiente: n ( pi + p j p ( r i ) = j=1 2 ) mj ρ j W ( r r j, h) Força de Viscosidade A viscosidade em um fluido representa a capacidade do fluido de resistir à deformação. Conforme o fluido se deforma, suas moléculas atritam entre si, gerando calor e reduzindo a energia cinética (KELAGER, 2006). A parcela na equação 2.2 referente à viscosidade é µ 2 v. Interpolando com o método SPH obtém-se: n µ 2 v = µ v j 2 W (r r j, h) (4.18) j=1 Esta equação gera forças assimétricas, tal qual a equação 4.17, mas pelo motivo de que a velocidade varia entre as partículas. Uma alternativa é utilizar no lugar da velocidade absoluta a velocidade relativa entre as partículas (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003): n µ 2 v = µ ( v j v i ) 2 W (r r j, h) j=1 Muller, Charypar e Gross (2003) afirmam que, se 2 W ( r r j, h) não for positivo para todo r < h, a força de viscosidade ao invés de agir como um atenuante irá introduzir energia no sistema e aumentar a velocidade das partículas. Desta forma, tanto o núcleo Poly6 quanto o Spiky não podem ser utilizados no cálculo da força de viscosidade, por possuírem valores negativos em determinados pontos (figura 10 na página 29). Os autores então propuseram o

36 35 núcleo Viscosity, cujo laplaciano é positivo em todo o domínio, como a própria figura 10 ilustra Forças externas A última parcela restante na expressão p + f ext + µ 2 v diz respeito às forças externas que influenciam o fluido. São elas a força gerada pela aceleração da gravidade e a força gerada na superfície do fluido, ou seja: f ext = f grav + f sup onde: f grav equivale a força exercida pelo campo gravitacional da Terra (subseção ), f sup é a força exercida na superfície do líquido (subseção ) Força da Gravidade A força que a aceleração gravitacional exerce sobre o fluido é igual a todas as partículas, e vale (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003): f i = ρ i g onde g é a aceleração da gravidade, geralmente denotada como [ ] T Força de Superfície A segunda força externa atuando sobre o fluido é aquela agindo sobre a superfície do mesmo. Esta força aponta sempre para o interior do fluido e serve para suavizar curvaturas acentuadas (figura 12) (MORRIS, 2000). Para simular a força de superfície Muller, Charypar e Gross (2003) utilizam as idéias de Morris (2000), que diz:

37 36 Figura 12: A força exercida na superfície do fluido aponta para seu interior.(kelager, 2006) f sup (r) = σ 2 c(r) n(r) n(r) (4.19) onde: σ é um coeficente de tensão que depende das duas substâncias que interagem na superfície (como o ar agindo na superfície da água); n i é o vetor normal que aponta para dentro do fluido na posição da partícula i; c i é o valor do campo de cor na posição da partícula i. O campo de cor é um quantidade adicional que sempre vale exatamente 1 nas posições do espaço que contém fluido e 0 em todos os outros pontos. Assim, as partículas representam os pontos não-nulos deste campo. Com a interpolação do método SPH, este campo vale c(r) = j c j m j ρ j W (r r j, h) = j m j ρ j W (r r j, h) E o gradiente deste valor, que vale n(r) = c( r)

38 37 = j m j ρ j W (r r j, h) É o vetor normal que aponta para dentro da superfície do fluido na posição r i (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003). Este vetor só possui módulo diferente de zero na região próxima da superfície, de forma que n tende a zero conforme as partículas se distanciam das bordas n do fluido. E conforme n tende a zero, tende a um vetor com módulo infinitamente grande, n introduzindo instabilidade no fluido (KELAGER, 2006). Uma maneira de evitar esta instabilidade é calcular a força de superfície apenas para partículas onde n > ε, onde ε é algum limite observado empiricamente. Kelager (2006) recomenda o uso de ρ ε = x onde ρ é a densidade do material e x é o número médio de partículas em uma vizinhança. Outra possibilidade é o limite de Morris (2000), que vale ε = 0.01 h onde h é o raio de suporte dos núcleos de suavização. Finalmente, o laplaciano do campo de cor c vale 2 c(r) = j m j ρ j 2 W (r r j, h) Agora é possível obter o valor da força de superfície atuando sobre as partículas: f sup (r) = σ 2 c(r) n(r) n(r) m j j f sup (r) = σ( m j 2 W (r r j j, h)) ( ρ j W (r r j, h)) ρ j ( m j j ρ j W (r r j, h)) (4.20)

39 Integração Temporal O resultado da aplicação do método SPH sobre a equação de conservação de momento ( 3.3 na página 21) é um vetor de aceleração a para cada partícula. O passo seguinte é aplicar este vetor sobre as partículas para atualizar suas velocidades e posições e assim simular a dinâmica do fluido. Idealmente, todo este cálculo seria feito instantâneamente e a posição de cada partícula seria atualizada continuamente, em um intervalo de tempo absolutamente pequeno. Infelizmente isto não é possível, o processamento das várias grandezas do fluido leva tempo. Assim, é preciso aplicar o vetor de aceleração obtido em um instante qualquer durante um intervalo de tempo consideravelmente grande, para anular pelo menos uma parcela do custo do processamento do estado do fluido. A escolha do tamanho deste intervalo de tempo (ou tamanho do frame) deve ser cuidadosa: Valores pequenos demais significarão uma simulação lenta, e valores grandes demais introduzirão instabilidade na simulação. A razão para esta instabilidade é que o vetor de aceleração é simplesmente isto, um vetor com direção, módulo e sentido. Por melhor que seja o método de integração utilizado, sempre é introduzido um erro na posição obtida da partícula com relação à sua posição correta, da trajetória contínua (figura 13). O método mais simples de aplicar a aceleração na atualização da velocidade e posição das partículas é o o esquema de Euler (KELAGER, 2006). Nele: R t+ t = R t + t v t v t+ t = v t + t a t onde R é a posição da partícula, v a sua velocidade e a sua aceleração. Kelager (2006) comenta que, se a atualização da posição já levar em conta a atualização na velocidade, este método se torna o método Euleriano Semi-Implícito, mais estável:

40 39 Figura 13: O erro introduzido pelo processo de integração temporal. A curva cheia representa a trajetória ideal, contínua da partícula A. Integrando a aceleração a durante um intervalo de tempo t, a nova posição da partícula é B. Com 2t, a partícula pára em C, visivelmente distante da trajetória correta. R t+ t = R t + t v t+ t Ambos os métodos são extremamente simples de implementar e eficientes, mas dependem de intervalos de tempo muito pequenos para manterem a estabilidade (HUT; MAKINO, ). Vários outros métodos foram propostos na literatura, e neste trabalho utiliza-se um método chamado Leap-Frog. A característica principal do método Leap-Frog é que a posição de uma partícula é definida em intervalos de tempo t i, t i+1, t i+2, como no método de Euler, mas a velocidade é definida na metade destes intervalos, i.e. t i 1, t 2 i+ 1, t 2 i+ 3 2 (HUT; MAKINO, ). O nome deste método vem do fato que a posição e a velocidade pulam uma sobre a outra (figura 14). Assim: R i = R i 1 + t v i 1 2

41 40 Figura 14: No método Leap-Frog, a velocidade (u) pula por cima da posição (r), e vice-versa (KELAGER, 2006). v i+ 1 2 = v i t a i Esta maneira de utilizar a aceleração para atualizar a velocidade e posição da partícula é mais estável, mas requer definir a velocidade em meio-intervalos, que não são diretamente intuitivos. Hut e Makino () apresentam uma outra maneira de reescrever as equações do método, agora considerando todas as grandezas em intervalos inteiros: R i+1 = R i + v i a i( t) 2 (4.21) v i+1 = v i ( a i + a i+1 ) t (4.22) 4.4 Implementação A classe Particle é a base de todo o sistema. Ela representa uma partícula, e para tal possui atributos como massa, densidade, pressão, e uma lista de vizinhos. Ela também possui como atributos sua posição e velocidade e sabe aplicar o método Leap-Frog para a integração temporal. A classe System representa o sistema inteiro, com as partículas e o ambiente externo. Ele é responsável pela inicialização da simulação e pelo seu fluxo. Seus atributos incluem a lista de partículas, os núcleos de suavização e o recipiente.

42 41 Finalmente, a classes Poly6Kernel, SpikyKernel e ViscosityKernel representam os núcleos de suavização. Elas possuem métodos para o cálculo do núcleo, seu gradiente e seu laplaciano em função de um vetor de distância entre duas partículas. O algoritmo 1 explicita a principal função do sistema. Nele, deltat é o intervalo de tempo entre cada instante da simulação, e P é a lista de partículas do objeto da classe System. A função busquevizinhos (linha 3) é discutida no capítulo 6, e a função colidacomobjetos (linha 11) no capítulo 5. Algorithm 1 Pseudocódigo da principal função do sistema. 1 função atualize(deltat: Real) 2 para cada partícula p em P 3 busquevizinhos(p) 4 atualizedensidadeepressao(p) 5 fim-para 6 para cada partícula p em P 7 calculeforça(p) 8 fim-para 9 para cada partícula p em P 10 integrecomleapfrog(p, deltat) 11 colidacomobjetos(p) 12 fim-para 13 para cada partícula p em P 14 renderize(p) 15 fim-para 16 renderizerecipiente 17 fim As funções atualizedensidadeepressao (linha 4) e calculeforça (linha 7) calculam as grandezas do fluido utilizando os núcleos de suavização do método SPH, conforme foi discutido ao longo deste capítulo. Isto é, a densidade das massas, pressão, forças de pressão, viscosidade, gravidade e superfície em cada partícula são calculadas utilizando o método SPH sobre a lista de vizinhos de cada partícula, obtida na função busquevizinhos. O resultado é um vetor de aceleração, a. A função integrecomleapfrog (linha 10) utiliza o vetor a para atualizar a velocidade e posição das partículas, implementando as equações 4.21 e Finalmente, a renderização das partículas é feita utilizando chamadas à biblioteca OpenGL para desenhar uma esfera na posição de cada partícula, e com seu raio (seção na página 47). O recipiente é renderizado como seis quadriláteros com transparência. A figura

43 FALTANDO ilustra o diagrama das classes envolvidas nestes estágios da simulação. 42

44 43 5 Detecção e Tratamento de Colisões O método SPH do capítulo 4 fornece a maneira para representar e simular fluidos utilizando partículas, mas não trata dos outros componentes que fazem parte de um sistema de simulação física, como por exemplo a interação do fluido com o seu ambiente. Esta interação é essencial: na ausência de objetos no ambiente, o máximo que é possível simular é um líquido em queda livre, ou um gás subindo na atmosfera. Na maioria das aplicações o interesse é tanto pelo comportamento realista do fluido quanto pela interação do mesmo com outros objetos. Exemplos incluem frascos contendo líquidos, cubos de gelo boiando em água, artérias se expandindo devido à pressão do sangue que corre por dentro delas, etc. E isto significa que o contato entre o fluido e os objetos deve ser devidamente detectado (detecção de colisão), e a reação correspondente deve ser então tratada. A proposta deste trabalho é implementar um recipiente retangular que contém uma determinada quantidade de líquido, de forma que as interações entre estes dois tipos de objetos (o recipiente e o fluido) em particular serão discutidas aqui. O recipiente pode ser visto como sendo composto por seis planos, se ele for fechado, ou cinco, caso seja aberto. Se o recipiente for fechado de forma que não haja maneira do líquido escapar, pode-se utilizar as equações do plano clássico da geometria, que é infinito, para tratar as colisões. Caso contrário, é preciso tomar o cuidado adicional de considerar apenas o quadrilátero que compõe cada parede. A figura 15 ilustra ambos os casos. A seção 5.2 discutirá o método para detectar e tratar as colisões entre partículas e planos, mas para isso é preciso primeiro apresentar definições e propriedades relevantes da Geometria.

45 44 Figura 15: As situações do recipiente aberto e fechado. Em (A), a partícula não tem como alcançar as porções dos planos infinitos que não compõem as paredes. Em (B), uma partícula pode escapar pelo topo do recipiente e ainda assim colidir com o plano que forma a parede da esquerda. 5.1 Definições de Planos e suas Propriedades Um plano é totalmente definido por um ponto X 0, pertencente ao plano, e um vetor n nãonulo e perpendicular à ele. O conjunto de pontos pertencentes ao plano é aquele que satisfaz a equação n. (X X 0 ) = 0 (5.1) Por convenção: n = [a, b, c] t X 0 = [x 0, y 0, z 0 ] t X = [x, y, z] t Aplicando estas convenções à equação 5.1 obtém-se: ax + by + cz ax 0 by 0 cz 0 = 0

46 45 A expressão ax 0 by 0 cz 0 é comumente abreviada para uma constante d, resultando em ax + by + cz + d = 0 (5.2) que é a equação geral do plano (WEISSTEIN, 2002) Distância Perpendicular Ponto-Plano A medida da distância entre um ponto e um plano é vital para a interação entre as partículas e o recipiente, por razões que ficarão explícitas na seção 5.2. A distância D entre um ponto P = [x p, y p, z p ] e um plano qualquer é definida pela seguinte equação: D = ax p + by p + cz p + d a2 + b 2 + c 2 (5.3) Caso o vetor normal n esteja normalizado (ou seja, seu módulo é 1), o denominador da equação 5.3 pode ser omitido, já que é a equação do módulo do vetor. Um aspecto interessante é que o valor D obtido na equação 5.3 não é absoluto: ele é positivo caso o ponto P esteja do lado do plano para qual o vetor normal aponta, e negativo caso contrário (WEISSTEIN, 2003). A figura 16 ilustra ambos casos. Figura 16: O ponto A está do lado positivo de plano, enquanto B se encontra no lado negativo. Consequentemente, a é positivo e b é negativo.

47 Intersecção Reta-Plano Assim como a distância ponto-plano, o cálculo da intersecção entre uma reta e um plano é essencial para o método de detecção e tratamento de colisão deste trabalho. As razões para tal serão discutidas na seção 5.2. Uma reta L pode ser definida por um ponto P 0 e um vetor u que indica sua direção. Desta forma, a equação paramétrica P (s) = P 0 + s u (5.4) representa todos os pontos pertencentes à reta. Ela indica que todo ponto da reta pode ser obtido somando-se um vetor paralelo à u escalado por um fator s ao ponto conhecido P 0. A seguinte equação dá o valor de s que resulta no ponto P I da intersecção entre a reta e um plano: s I = (ax 0 + by 0 + cz 0 ) n. u (5.5) P I = P 0 + s I u (5.6) Vale notar que é preciso verificar antes se a reta L não é paralela ao plano. Se este for o caso, a reta nunca toca o plano, ou nele está contida completamente. O teste de paralelismo pode ser efetuado verificando-se se os vetores n e u são perpendiculares entre si: n. u = 0 Em caso positivo, a reta é paralela ao plano. Para verificar se a reta está então contida no plano, basta obter a distância entre o ponto L 0 e o plano, com a equação 5.3. Se esta for zero, o ponto está no plano, e consequentemente também a reta.

48 Intersecções Partículas - Planos Para finalmente ser possível a discussão da colisão entre uma partícula e um plano, é preciso definir como uma partícula é representada no espaço. Uma partícula pode ser abstraída como uma esfera com centro C e raio r. O centro é o ponto utilizado ao longo do método SPH, de forma que falta apenas obter o valor do raio Obtenção do Raio de um Partícula O raio de uma partícula pode ser obtido através da densidade das massas e a massa da partícula. O volume V de uma esfera vale V = 4 3 πr3 e também V = m ρ sendo m a massa da partícula e ρ a densidade das massas ao redor do centro C. Substituindo uma equação na outra, obtém-se 4 3 πr3 = m ρ r 3 = 3m 4πρ r = 3 3m 4πρ (5.7) que é o raio da partícula.

49 Intersecção sem trajetória A maneira mais simples e intuitiva de verificar se uma partícula está em colisão com um plano é obtendo a distância d entre o centro C da partícula e o plano utilizando a equação 5.3. Sendo d menor do que o raio, a partícula está atravessando o plano, como ilustra a figura 17. Figura 17: No caso mais simples, se a distância d do centro C ao plano for menor do que o raio r, então a partícula está colidindo com a superfície. Esta maneira de verificar a colisão é simples e rápida, mas insuficiente. Dados dois instantes de tempo consecutivos t 0 e t 1, é completamente possível que a partícula atravesse totalmente o plano entre os instantes, mas nas posições inicial e final não o intersecte. A figura 18 ilustra esta situação. Figura 18: Uma partícula cruzando um plano ao longo de sua trajetória em um intervalo de tempo.

50 49 Uma solução possível neste caso é diminuir o tamanho do intervalo entre os instantes de simulação, forçando a partícula a colidir com o plano em um instante observável. Como o tempo de processamento não será proporcionalmente diminuído, o resultado é uma simulação mais lenta. Outra solução é considerar a trajetória da partícula entre os instantes, e usar também esta informação no teste de colisão. Esta é a solução adotada neste trabalho, e será discutida a seguir Intersecção com trajetória Os pontos inicial e final de uma partícula durante um intervalo de tempo podem ser utilizados para um teste (e tratamento) de colisões mais realista e robusto. Para isto, convém adotar algumas convenções: r é o raio da partícula. C 0 é o centro da partícula no início de sua trajetória, ou seja, no instante t 0. C 1 é o centro da partícula no final da sua trajetória, no instante t 1. Esta é a posição obtida após todo o cálculo do método SPH e subsequente integração no tempo, sem o teste de colisão ainda. C f é o centro da partícula no final da sua trajetória, mas após o teste e tratamento de colisão. Esta é a posição final correta e desejada. Se não houve colisão, C f = C 1. Assumem-se também duas premissas: 1. No instante inicial t 0, a partícula sempre está totalmente dentro do recipiente que a contém, ou seja, a distância entre C 0 e qualquer plano do recipiente é sempre maior ou igual a r. 2. O lado de dentro do recipiente é o lado positivo de todos os planos que o formam (segundo a definição da subseção na página 45), e os vetores normais destes planos estão sempre normalizados.

51 50 O primeiro passo é verificar o valor da distância d entre o centro C 1 da partícula e um dado plano, usando a equação 5.3 na página 45. O resultado obtido cai em um de três possíveis casos, ilustrados na figura 19: d é positiva, e maior ou igual a r. Neste caso a partícula, em sua posição final, não intercepta o plano (ou no máximo o toca, no caso em que d = r ). Como na origem da trajetória a partícula está totalmente do lado positivo do plano (premissa 2) e no final também, e como a trajetória é uma linha reta, conclui-se que a partícula não colidiu com o plano durante este intervalo de tempo. Nada mais precisa ser feito para este plano e esta partícula. d é positiva, mas menor do que r. Neste caso, a partícula, em sua posição final, está intersectando o plano, mas sua maior parte ainda está dentro da caixa, do lado positivo do plano. Houve colisão. d é negativa. Agora a partícula, em sua posição final, está toda ou parcialmente fora da caixa, e houve colisão. Na figura 19, no primeiro caso não houve colisão, e C f = C 1. Nos dois últimos houve colisão, e o tratamento em ambos os casos é o mesmo. O próximo passo é colocar a partícula em sua posição final correta, simulando a reflexão da mesma na parede da caixa. Para isso é preciso obter um vetor u que desloca a partícula de C 1 a C f. Intuitivamente, este vetor tem a mesma direção e sentido que o vetor normal do plano, n, como mostra a figura 20. Basta então encontrar o seu módulo. Esta perspectiva do tratamento da colisão é análoga ao método híbrido de Impulso-Projeção de Kelager (2006). O primeiro ponto da partícula que, durante a sua trajetória, tocou o plano é aquele que está mais próximo do mesmo na posição inicial. Este é o ponto P 0 da figura 21. P 1 é o ponto final da trajetória que parte de P 0. A distância a de P 1 ao plano é r d, onde d é a distância do centro da partícula ao plano (equação 5.3) e r é o raio da mesma. A figura 22 ilustra estas grandezas.

52 Figura 19: Os três casos possíveis para o valor da distância d de C 1 ao plano. Em (A), o fato de d ser maior que o raio da partícula evidencia a não colisão. Em (B), d é positiva e menor que r. Em (C), d é negativa pois C 1 está do lado negativo do plano. Nos últimos dois casos houve colisão. 51

53 52 Figura 20: O vetor u liga a posição final atual e a correta da partícula. Na posição inicial C 0, a esfera já toca o plano. Figura 21: A trajetória de três dos pontos da partícula. Como todos viajam à mesma velocidade e o ponto P 0 é o que tem a menor distância (x) a percorrer até chegar ao plano, ele é o que entra em contato primeiro.

54 53 Figura 22: A distância a de P 1 ao plano vale r + d. Como d é garantidamente negativa no caso da figura, o valor desta distância pode ser escrito como r d. O valor de a sempre pode ser obtido por r d, independentemente da posição final atual da partícula ser dentro ou fora da caixa. Para provar, vale lembrar que o valor da distância de um ponto ao plano da seção é sinalizado. Se a partícula estiver no lado positivo do plano, d será positivo e a expressão r d representará exatamente a porção da partícula que está do lado de fora dele (figura 23). Estando a partícula no lado negativo, d será negativo e r d será r + d, ou seja, o raio da partícula mais o valor absoluto da distância do plano ao centro (figura 22). Figura 23: Mesmo quando C 1 se encontra do lado positivo do plano, a distância de P 1 à ele ainda vale r d. Em seu comportamento correto e no caso de uma colisão totalmente elástica (ou seja, uma colisão aonde não haja perda de energia e consequente desaceleração), o ponto P 1 ainda estaria a uma distância a do plano, mas em seu outro lado. Assim, o valor procurado do módulo do vetor u é 2a:

55 54 a = r d u = n.2a (5.8) Somando-se u à C 1, obtém-se C f. A figura 24 ilustra estes valores. Figura 24: C f = C 1 + u, onde o tamanho de u vale duas vezes o valor da distância do ponto mais distante ao plano. Outra maneira de entender porquê u = n.2a é pensar neste deslocamento por u como uma reflexão ao redor do plano, como se este fosse um espelho e C f fosse o reflexo de C 1. A questão é que o eixo ao redor do qual é feita a reflexão não está contido no plano, mas sim acima dele. Mais especificamente, ele passa pelo ponto C I, que é o centro da partícula no exato instante da colisão (figura 25). É daquele momento que começa a reflexão, de modo que toda a distância que a partícula percorreria sem a presença do plano deve ainda ser percorrida, na direção da reflexão.

56 55 Figura 25: O eixo E a partir do qual começa a reflexão do centro passa pelo ponto C I. Assim, tal qual em um reflexo de espelho, a distância a entre C 1 e o eixo E da figura 25 deve ser a mesma que a distância deste mesmo eixo à C f. Este valor é a distância de C 1 ao plano mais a distância do plano ao eixo. Como o eixo é paralelo ao plano e passa por C I, esta segunda distância é igual ao raio da partícula! Assim, a distância de C 1 ao eixo vale r d sendo d a distância negativa de C 1 ao plano. Este valor é idêntico ao obtido utilizando P 1 como referência (figura 22), de modo que u realmente vale 2(r d) (equação 5.8). A figura 26 ilustra todos estes valores. Figura 26: Utilizando o eixo E como eixo de reflexão, o comprimento do vetor u ainda é r d. Vale notar que é possível alterar o tamanho de u para simular perdas de energia na colisão. Basta alterar o coeficiente que multiplica a para qualquer valor entre 1 e 2. 1 simula uma colisão totalmente inelástica (como um punhado de lama arremessado contra uma parede), e

57 56 2 uma colisão totalmente elástica. Na prática valores como 1,5 e 1,6 foram observados como úteis. Finalmente, quando a partícula colidiu com o plano, a direção de sua velocidade se alterou, de forma que o último passo é atualizar a velocidade da partícula. O vetor v de velocidade da partícula pode ser decomposto em outros dois: Um vetor v n paralelo ao vetor normal do plano (normalizado), e outro vetor v p perpendicular ao mesmo (MOLLER ERIC HAINES, 2002): v n = n( v. n) v p = v v n Assim, o método para refletir a velocidade ao redor do plano consiste em inverter v n e somá-lo novamente a v p : v f = v p v n A figura 27 ilustra a idéia. Figura 27: v 2 é o resultado da reflexão de v 1 no plano com normal n.

58 Interações entre dois ou mais planos O método apresentado na subseção anterior é suficiente na presença de apenas um plano. Quando existem vários planos (como as seis paredes da caixa deste trabalho), a escolha arbitrária da ordem dos planos para o teste pode produzir resultados absolutamente errados, conforme a figura 28 exemplifica. A figura 29 mostra o resultado correto esperado. Figura 28: O que pode acontecer quando dois ou mais planos existem no ambiente. Por causa da escolha do plano B para o teste, a posição final Cf não representa o que aconteceria na realidade. Figura 29: O resultado esperado da situação da figura 28. A partícula deve primeiro colidir com o plano A, para então colidir com o plano B. Assim, a escolha cuidadosa de qual plano será testado primeiro é essencial. O critério para seleção do primeiro plano a ser verificado é simples: O plano que possuir ponto de contato com

59 58 a partícula (em qualquer ponto de sua trajetória) mais próximo da posição inicial dela é o ideal. Traduzindo, a parede na qual a partícula bateria primeiro é a candidata correta. Como este plano pode ser obtido? Na seção foi convencionado que o ponto P 0 é o primeiro ponto a entrar em contato com o plano. A trajetória deste ponto ao longo do intervalo de tempo é um segmento de reta paralelo à trajetória do centro da partícula, e de mesmo tamanho. Assim, os dois pontos que formam esta nova trajetória são obtidos diretamente somando-se um vetor r aos dois pontos da trajetória do centro da partícula. Intuitivamente, r é paralelo ao vetor n do plano, com sentido contrário e módulo igual ao raio da partícula: r = r n Com este vetor e os dois pontos da trajetória do centro, obtém-se agora a trajetória do ponto P 0 ao longo do intervalo de tempo. As equações 5.5 e 5.6 na página 46 dão o ponto de contato P I entre esta trajetória (um segmento de reta) e o plano. Este é o ponto onde a partícula tocou pela primeira vez o plano. Essas duas equações, a 5.5 e a 5.6 na página 46, são para retas infinitas mas podem ser utilizadas com as trajetórias (segmentos de retas), se for tomado um cuidado em potencial: O ponto P I de intersecção da trajetória só deve ser calculado se, e somente se, a distância d entre C 1 e o plano indicar uma colisão (vide seção 5.2.3). Se d indicar que não houve colisão, não é necessário calcular a trajetória de P 0 e obter P I, já que a partícula não colidiu com o plano em momento algum. O resultado disso é que P I só deve ser obtido para aqueles planos que potencialmente colidem com a partícula. Tomando este cuidado em especial, tem-se a garantia de que o ponto P I resultante das duas equações de intersecção estará contido na trajetória de P 0. Se não estivesse, a partícula não colidiria com o plano, e logo este nem deveria ter sido considerado. A figura 30 ilustra esta justificativa.

60 Figura 30: A distância d de C 1 ao plano indica se P I deve ser obtido, pela presença ou não de colisão. 59

61 60 O módulo do vetor P I P 0 é a distância entre o ponto de contato e o ponto mais próximo do plano no instante inicial. Como as duas trajetórias (a do centro e a do ponto P 0 ) são paralelas, este valor é também a distância entre o centro das partículas nos dois instantes. A figura 31 ilustra esta idéia. Figura 31: A distância entre a posição inicial da partícula e sua posição no instante da colisão vale I P 0. O método consiste em obter o valor desta distância para todos os planos, tomar o plano com a menor distância, e aplicar o procedimento da seção na página 49. Em seguida, repetir até que não existam mais colisões. Mas antes de repetir é preciso tomar uma última medida: atualizar os pontos da trajetória da partícula. Após a colisão e consequente reflexão a trajetória da partícula ao longo do intervalo não é mais a mesma do início do processo. O ponto inicial da nova trajetória é o ponto do centro da partícula no momento de primeiro contato, e o ponto final é o ponto obtido na seção anterior, após o tratamento da colisão. Obter o novo ponto inicial é simples: Ele está contido na trajetória antiga, a uma distância P I P 0 do centro inicial (figura 32): C 0novo = C 0antigo + (P I P 0 ) O fato deste procedimento ter que ser repetido até que não existam mais colisões implica em um custo computacional razoável. Para poucos planos (como as 6 paredes do recipiente), este custo é pequeno em relação ao custo maior de busca por vizinhança e o método SPH, mas

62 61 Figura 32: C 0 é o novo início da trajetória da partícula, e pode ser obtido por C 0 + (P I P 0 ). conforme o número de planos cresce este método tem o potencial de se tornar um dos gargalos da performance da simulação. 5.3 Balanço do recipiente O método da seção 5.2 é suficiente para o caso mais comum em uma simulação, que é um ambiente com objetos estacionários. O tratamento para os casos nos quais os obstáculos do fluido também podem se deslocar é diferente; é preciso considerar os obstáculos como entidades físicas também, com massa, velocidade e etc. Quando dois objetos se chocam ocorre uma troca instantânea de energia entre eles. Esta troca se traduz na mudança na velocidade dos objetos. O modelo de colisão para esta situação utilizado neste trabalho é chamado Lei de Newton de Restituição para Colisões Instantâneas sem Fricção (HECKER, 1997). O primeiro passo é avaliar se a colisão entre dois objetos realmente ocorreu. Neste trabalho, isto significa verificar a colisão entre os planos do recipiente e as partículas do fluido. Como neste caso não apenas as partículas, mas também os planos, estão se movendo, não é válido utilizar o modelo de colisão com trajetória da seção puro. Se o deslocamento de cada plano do recipiente for pequeno o suficiente para que nenhuma partícula chegue a sair totalmente do recipiente, é suficiente utilizar o modelo de colisão sem trajetória da seção na página 48. Na prática foi observado que este modelo realmente é suficiente.

63 62 Havendo uma colisão, o segundo passo é determinar a velocidade relativa dos objetos em questão (no caso, a velocidade relativa entre uma partícula e um dos planos) e o vetor normal da colisão (o vetor normal do plano, n). A velocidade relativa entre dois objetos a e b pode ser obtida com a seguinte fórmula: v ab = v a v b Ou seja, a velocidade relativa é a velocidade de um objeto em relação ao outro. É a velocidade na qual b vê a se afastar ou se aproximar dele. Outras grandezas novas são o impulso (j) e o coeficiente de restituição (e), que aparecem na seguinte equação: j = (1 + e) v ab. n n. n( 1 m a + 1 m b ) Onde m é a massa de a ou b. O coeficiente de restituição é um escalar que representa a quantidade de energia dissipada na colisão. Semelhantemente à colisão totalmente elástica da seção na página 49, ele pode variar de 0 (um punhado de lama que atinge o solo e nele fica) a 1 (uma esfera perfeitamente reflexiva). O valor j é o impulso que cada objeto sofre como consequência da colisão. Este impulso é diretamente na direção do vetor normal da colisão ( n), com sentidos opostos para a e b, representando a nova velocidade dos objetos: v 2 a = v 1 a + j m a n v 2 b = v 1 b j m b n O processo para obtenção destas equações é demonstrado por Hecker (1997). Assim, cada colisão detectada entre as partículas e os planos pode ser tratata atualizando as velocidades de ambos e expulsando a partícula da superfície do plano imediatamente ( na página 48).

64 Implementação A detecção e o tratamento de colisões são feitos na função colidacomobjetos, na linha 11 do algoritmo 1 na página 41. Esta função é a implementação direta dos métodos da seções na página 49 e na página 57. Para tal, uma classe extra chamada Box foi acrescentada ao sistema. Esta classe sabe detectar e tratar as colisões com partículas corretamente, levando em conta pontos como a ordem de colisão. Esta classe é ainda responsável pela implementação do balanço do recipiente, utilizando diretamente as equações da seção 5.3. O evento balanço da caixa é disparado por uma tecla, que faz o recipiente transladar em uma direção específica. A classe System utiliza este vetor de translação e simula o deslocamento em um curto intervalo de tempo. Com o deslocamento e o tempo, obtém-se a velocidade do recipiente: v = r t Onde r é o vetor de translação e t é o intervalo de tempo. O objeto Box do sistema utiliza estas informações e a lista de partículas do sistema para implementar o impulso e consequente troca de velocidade das partículas que colidem com o recipiente. Esta implementação é simplista mas na prática funciona para deslocamentos pequenos da caixa. Com o acréscimo da classe Box, o diagrama de classes do sistema é ilustrado na figura FALTANDO.

65 64 6 Busca por Vizinhos Os núcleos de suavização (seção 4.1 na página 25) são o coração do método Smoothed Particle Hydrodynamics. Como mencionado, existe um valor chamado raio de suporte que limita a distância em que uma partícula se encontra de outra para que existam contribuições entre elas. A seção 4.1 explicou um núcleo de suavização como uma esfera ao redor de uma partícula, e o raio de suporte como o raio desta esfera hipotética. Assim, apenas partículas que se encontram dentro desta esfera hipotética possuem contribuições não nulas. Encontrar as partículas na vizinhança de uma partícula p é o primeiro passo do método SPH. A seguir serão apresentados e discutidos dois métodos para a busca de vizinhos, salientandose as vantagens e desvantagens de cada um. 6.1 Força Bruta As partículas existem na memória de um computador como estruturas de dados que contém a posição da partícula, sua densidade, e todas as suas outras propriedades. As maneiras mais simples de organizar estas estruturas na memória são em um vetor, onde cada partícula consecutiva ocupa uma região também consecutiva na memória, ou em uma lista, onde cada estrutura representativa da partícula possui o endereço da região que a estrutura seguinte ocupa. A figura 33 mostra estas duas estruturas de dados. Nenhuma destas estruturas mantém a relação espacial entre as partículas explícita na memória do computador. Duas partículas que ocupam posições consecutivas em um vetor podem estar em extremidades opostas do ambiente da simulação.

66 65 Figura 33: Na esquerda, as estruturas que representam as partículas ocupam regiões consecutivas em um vetor. Na direita, cada estrutura sabe o endereço da próxima em uma lista. A maneira mais simples de encontrar as partículas (na memória) que estão em uma vizinhança (no ambiente simulado) é verificar o valor da posição de cada uma delas em relação às outras. Para cada partícula p, percorre-se inteiramente a estrutura de dados que armazena as partículas procurando partículas vizinhas a p. Esta maneira de encontrar a vizinhança é chamada de Força Bruta por percorrer o vetor ou lista cegamente várias vezes, sem aproveitar nenhuma propriedade que o problema possa possuir Otimização O método Força Bruta original pode ser facilmente acelerado se for levado em consideração o fato de que, se a partícula A é vizinha de B, então B também é vizinha de A. Assim, quando se identifica que uma partícula A é vizinha de B, a informação de que B é uma das vizinhas de A pode também ser registrada garantidamente. No nível das estruturas armazenadoras das partículas, isto significa que o vetor ou lista não mais precisa ser percorrido inteiramente para cada partícula, apenas da região de memória que ela habita em diante, como explica a figura 34.

67 66 Figura 34: Em um determinado momento (A), está sendo efetuada a busca por vizinhos da partícula A. Testa-se esta relação entre A e B. Quando, em (B), for feita a busca por vizinhos de B, não é necessário testar com A, pois a relação de vizinhança é simétrica e este teste já foi efetuado, sendo elas vizinhas ou não Vantagens O método Força Bruta é o mais fácil de todos de compreender e programar. Mesmo com a otimização a implementação é trivial e requer poucos recursos do computador. O tempo total de busca por vizinhos é longo (em relação a outros métodos), mas sempre constante Desvantagens Tempo total de busca imenso, em comparação à outros métodos. O tempo de processamento do método Força Bruta inibe a interatividade da simulação com poucos milhares de partículas. A otimização reduz este tempo consideravelmente, mas ainda assim o tempo obtido é considerado insatisfatório. 6.2 Busca em Grid Um Grid é uma matriz, tridimensional no caso de uma simulação em três dimensões. Ele é uma maneira de se dividir o espaço da simulação em espaços menores, de mesmo tamanho. Se um recipiente contendo fluido for visto como um Grid, cada partícula que compõe o fluido estará contída em uma das células da matriz. Indo um passo além, é possível aproveitar as propriedades do método SPH e dividir um

68 67 recipiente em um Grid onde cada célula tem o lado exatamente igual ao raio de suporte dos núcleos de suavização. Assim, as partículas potencialmente vizinhas à uma partícula em uma célula X estarão necessariamente dentro da célula X ou nas células diretamente adjacentes a ela (MULLER; CHARYPAR; GROSS, 2003). A figura 35 ilustra esta situação. Figura 35: Com um Grid, todas as partículas potencialmente vizinhas à partícula A se encontram na célula de A e nas células diretamente adjacentes. Um detalhe importante é que apenas a posição do centro de uma partícula importa para determinar a qual célula ela pertence. A justificativa é que todos os núcleos de suavização do método SPH utilizam apenas as posições dos centros nos cálculos, de forma que o raio (seção na página 47) não influi. Ele está implicitamente contabilizado no valor da densidade das massas das partículas e suas forças de pressão resultantes. O método por Grid foi utilizado neste trabalho para acelerar a busca por vizinhos, de forma que é válido discutí-lo com mais detalhes. As subseções a seguir assumem que o ponto de origem do Grid está na origem do universo do sistema, e que o Grid é alinhado aos eixos x, y e z. O caso mais genérico aonde o Grid se encontra em qualquer posição será tratado na seção na página 70.

69 Inserção e Remoção no Grid Para inserir uma partícula com centro C = (x p, y p, z p ) em um Grid é necessário encontrar os índices da célula que a conterá. Estes índices podem ser obtidos diretamente através de C e do tamanho dos lados das células. Seja G um Grid tridimensional onde cada célula possui h x de base, h y de altura e h z de profundidade. A célula onde uma partícula com centro C = (x p, y p, z p ) se encontra possui índices i, j e k que podem ser obtidos com as seguintes equações: i = xp h x (6.1) j = yp h y k = zp h z Onde a b é o valor da divisão de a por b arredondado para baixo. Como exemplo, seja o Grid bidimensional da figura 36 na página seguinte. A partícula da figura possui centro C = (9, 3), de forma que a célula que ela ocupará possui os índices 9 i = = j = = 1 2 O método para busca de vizinhos em Grid consiste então em obter o índice da célula que contém a partícula de interesse para então obter o conjunto de todas as partículas que habitam esta célula e as adjacentes.

70 69 Figura 36: Uma partícula com centro C = (9, 3) fica na posição (4, 1) do Grid da imagem Otimização O método de busca em Grid pode ser acelerado à uma maneira semelhante do método de busca por Força Bruta. As partículas candidatas à vizinhança de uma partícula qualquer P, obtidas pelas células de P e adjacentes a ela, são também as candidatas à vizinhança de todas as partículas na célula de P, como exemplifica a figura 37. Figura 37: A região hachurada em azul contém todas as partículas candidatas à vizinhança de A e B. Assim, quando se testa a vizinhança de P pode-se imediatamente testar também a vizi-

71 70 nhança de todas as outras partículas da célula de P. A abordagem passa de considerar cada partícula individualmente para considerar cada célula que contém partículas individualmente. Este truque economiza novas buscas no Grid e melhora a performance Grids Fora da Origem É absolutamente possível que a origem do Grid não se encontre na origem do universo (como o ponto (0, 0, 0) do plano cartesiano). Neste trabalho, isto acontece frequentemente com o balanço do recipiente ( 5.3 na página 61), que se desloca livremente pelo espaço. O Grid deve se deslocar junto com o recipiente para continuar representando todo seu interior. Por sorte, o tratamento para deslocar o Grid é simples. Basta manter controle do ponto de origem do Grid (por exemplo o ponto (0, 0, 0) no início da simulação). Seja este ponto o ponto A. Quando o recipiente é deslocado por um vetor de translação x, aplica-se também esta translação a A. No momento de inserção e remoção leva-se em conta então também o ponto de origem do Grid nas equações 6.1 na página 68: xp x A i = h x j = yp y A h y zp z A k = h z Como exemplo, seja novamente o Grid da figura 36 na página anterior, mas deslocado da origem de forma que a origem do recipiente está no ponto A = (3, 2) (figura 38 na próxima página). A partícula da figura possui centro C = (12, 5), de forma que a célula que ela ocupará possui os índices 12 3 i = = 4 2

72 j = = 1 2 Figura 38: Uma partícula com centro C = (12, 5) fica na célula (4, 1) em um Grid deslocado (3, 2) da origem Vantagens Busca por Grids é muito mais rápida do que a busca por Força Bruta. Em testes foram observadas melhorias de até 7 vezes no tempo de busca total. Apesar de mais difícil de implementar do que a Força Bruta, o Grid ainda é relativamente simples de modelar e implementar Desvantagens A grande desvantagem do Grid é seu consumo de memória. O espaço inteiro da simulação é dividido em células de tamanho igual (e geralmente pequeno). Mesmo com uma quantidade razoável de fluido a maioria das células sempre vai estar vazia, ocupando espaço desnecessário. O tempo total de busca de vizinhos geralmente não é constante ao longo da simulação. Ele depende da quantidade de partículas nas células. Células com mais partículas representam

73 72 um conjunto maior de candidatas a vizinhança. 6.3 Implementação A classe Grid é fundamental para a busca eficiente de vizinhos na simulação. No algoritmo do ciclo principal de simulação ( 1 na página 41), esta classe é responsável pela função busquevizinhos (linha 3). No início da simulação, o objeto da classe System cria um objeto Grid com as dimensões do recipiente, e de forma que cada célula tenha como lado o tamanho do raio de suporte dos núcleos de suavização. Em seguida, ele insere todas as partículas da lista no Grid. Na função busquevizinhos o Grid primeiramente obtém o índice de uma partícula p em questão e retorna todas as partículas contidas naquela célula e em suas vizinhas. O System então verifica a relação de vizinhança correta naquele grupo, isto é, apenas partículas a uma distância menor ou igual ao raio de suporte dos núcleos de suavização são realmente vizinhas de p. Como otimização, o System aproveita o grupo de partículas obtido pelo Grid e testa todas as partículas da célula de p.

74 O diagrama de classes final, acrescido da classe Grid é ilustrado na figura FALTANDO 73

75 74 7 Resultados e Conclusões Neste capítulo serão apresentados e discutidos os resultados da implementação do sistema de partículas proposto. A figura 39 ilustra algumas cenas durante a simulação. Utilizando o método de busca de vizinhança mais eficiente (Grid com otimização, seção 6.2 na página 66), a simulação ocorre a uma média de 25 quadros por segundo. Como o intervalo de tempo utilizado na simulação é de 0,01 segundos, e cada quadro leva 1 25 = 0, 04 segundos para ser processado, o resultado é que o fluido parece estar se movendo a uma velocidade quatro vezes menor que a normal. Isto é longe de ser uma simulação em tempo real, de forma que otimizações consideráveis de métodos e código teriam que ser feitas antes de se obter uma simulação totalmente realista. 7.1 Busca de Vizinhança A tabela 1 compara todos os métodos de busca de vizinhança discutidos no capítulo Conclusões O método SPH, em teoria, simula líquidos corretamente. A observação feita é que o método é pesado e possui um custo computacional alto, de forma que não foi possível simular líquidos em tempo real. Medidas que poderiam ser tomadas incluem: Utilização de hardware mais poderoso. Busca de métodos mais eficientes para gargalos da simulação. Por exemplo, um mé-

76 Figura 39: Cenas de seis pontos diferentes da simulação. 75