Introdução. SPH p.2/20. Lucy e Gingold & Monaghan, 1977.

Transcrição

1 SPH p.1/20

2 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, 1977.

3 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias.

4 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias. Método sem malha (Meshless).

5 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias. Método sem malha (Meshless). Sistema de Partículas (EDP EDOs).

6 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias. Método sem malha (Meshless). Sistema de Partículas (EDP EDOs). Bom para capturar superfície livre.

7 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias. Método sem malha (Meshless). Sistema de Partículas (EDP EDOs). Bom para capturar superfície livre. Modela fluidos compressíveis.

8 Introdução SPH p.2/20 Lucy e Gingold & Monaghan, Formulado inicialmente para resolver problemas em astrofísica como formação de galáxias. Método sem malha (Meshless). Sistema de Partículas (EDP EDOs). Bom para capturar superfície livre. Modela fluidos compressíveis. Pode ser extendido para fluidos quasi-incompressíveis.

9 Colisão de Estrelas de Neutrôn SPH p.3/20 massa: 1.4 vezes do Sol. diâmetro: Londres.

10 Interpolação SPH SPH p.4/20 Função Delta A(x) = R d δ(x x )A(x )dx, x R d

11 Interpolação SPH SPH p.4/20 Função Delta A(x) = R d δ(x x )A(x )dx, x R d Operador de Média SPH < A(x) > = R d Φ h (x x )A(x )dx I Φ h(x x I )A(x I ) V I

12 Funções Kernel SPH p.5/20 Φ h positiva e tem suporte compacto de raio h.

13 Funções Kernel SPH p.5/20 Φ h positiva e tem suporte compacto de raio h. Partição da Unidade R 3 Φ h (x)dx = 1

14 Funções Kernel SPH p.5/20 Φ h positiva e tem suporte compacto de raio h. Partição da Unidade R 3 Φ h (x)dx = 1 Converge para Delta de Dirac Φ h (x) δ(x), h 0

15 Funções Kernel SPH p.5/20 Φ h positiva e tem suporte compacto de raio h. Partição da Unidade R 3 Φ h (x)dx = 1 Converge para Delta de Dirac Suavidade Φ h (x) δ(x), h 0 Φ h (x) C k, k 1

16 Funções Kernel SPH p.6/20 As propriedades das partículas serão suavizadas pela função kernel e aproximadas por uma soma (interpolação).

17 Funções Kernel SPH p.6/20 As propriedades das partículas serão suavizadas pela função kernel e aproximadas por uma soma (interpolação).

18 Funções Kernel SPH p.6/20 As propriedades das partículas serão suavizadas pela função kernel e aproximadas por uma soma (interpolação). Interpolando a Densidade < ρ(x) > = I Φ h(x x I )ρ(x I ) m I ρ I I Φ h(x x I )m I

19 Funções Kernel Exemplos SPH p.7/20 Gaussiana Φ h (r) = 1 (πh 2 ) d 2 exp [ r2 h 2 ]

20 Funções Kernel Exemplos SPH p.7/20 Gaussiana Φ h (r) = 1 (πh 2 ) d 2 exp [ r2 h 2 ] Spline Cúbica Φ h (r) = C h d q q3 ; 0 q < (2 q)3 ; 1 q 2 0; q > 2

21 Funções Kernel Exemplos SPH p.8/20 Gaussiana Kernels Gaussiana (Gingold e Monaghan 1977) W(x,y) X Y 3 4 5

22 Funções Kernel Exemplos Spline Cúbica Kernels Cubic Spline (Monaghan e Lattanzio 1985) W(x,y) X Y SPH p.9/20

23 Aproximações em SPH SPH p.10/20 Gradiente: < A(x) >= < A(x) >

24 Aproximações em SPH SPH p.10/20 Gradiente: < A(x) >= < A(x) > SPH Gradiente I (escalar) A(x I ) = J (A J A I ) I Φ IJ V J

25 Aproximações em SPH SPH p.10/20 Gradiente: < A(x) >= < A(x) > SPH Gradiente I (escalar) A(x I ) = J (A J A I ) I Φ IJ V J SPH Gradiente I (vetorial) A(x I ) = J (A J A I ) I Φ IJ V J

26 Aproximações em SPH SPH p.10/20 Gradiente: < A(x) >= < A(x) > SPH Gradiente I (escalar) A(x I ) = J (A J A I ) I Φ IJ V J SPH Gradiente I (vetorial) A(x I ) = J (A J A I ) I Φ IJ V J SPH Divergente I (vetorial).a(x I ) = J (A J A I ). I Φ IJ V J

27 Equação da Continuidade SPH p.11/20 ρ t + ρ (v) = 0

28 Equação da Continuidade SPH p.11/20 ρ t + ρ (v) = 0 Interpolação SPH da Densidade < ρ I >= J Φ IJ m J

29 Equação da Continuidade SPH p.11/20 ρ t + ρ (v) = 0 Interpolação SPH da Densidade < ρ I >= J Φ IJ m J Aproximação SPH da Equação da Continuidade ρ t = ρ I J v IJ. I Φ IJ m J ρ J

30 Equação do Momento SPH p.12/20 Equação de Navier-Stokes S = 2µ ρ v t = σ, (D 13 ) tr (D) I σ = pi + S, D = 1 2 ( v + ( v) T)

31 Equação do Momento SPH p.12/20 Equação de Navier-Stokes S = 2µ ρ v t = σ, (D 13 ) tr (D) I σ = pi + S, D = 1 2 ( v + ( v) T) Aproximação SPH ρ I v I t = J σ JI. I Φ IJ V J

32 Compressibilidade Artificial SPH p.13/20 "Teoricamente um fluido incompressível pode ser extendido para um fluido compressível tomando uma Equação de Estado." (Batchelor)

33 Compressibilidade Artificial SPH p.13/20 "Teoricamente um fluido incompressível pode ser extendido para um fluido compressível tomando uma Equação de Estado." (Batchelor) Equação de Estado (Monaghan, 1992) p = B (( ρ ρ 0 ) γ 1) B = c2 ρ 0 γ ρ 0 densidade de referência c velocidade do som

34 Integrador SPH p.14/20 Leap-Frog

35 Integrador SPH p.14/20 Leap-Frog Precisão de segunda ordem & reversível no tempo.

36 Integrador SPH p.14/20 Leap-Frog Precisão de segunda ordem & reversível no tempo. v n+1/2 = v n + h 2 a(x n) x n+1 = x n + hv n+1/2 v n+1 = v n+1/2 + h 2 a(x n+1) x 0 x 1 x 2 v1/2 v3/2 v5/2 t 0 t 1/2 t 1 t 3/2 t 2 t 5/2

37 Integrador SPH p.14/20 Leap-Frog Precisão de segunda ordem & reversível no tempo. v n+1/2 = v n + h 2 a(x n) x n+1 = x n + hv n+1/2 v n+1 = v n+1/2 + h 2 a(x n+1) x 0 x 1 x 2 v1/2 v3/2 v5/2 t 0 t 1/2 t 1 t 3/2 t 2 t 5/2 Condição CFL t < CFL min h I max {c I + v I }

38 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH

39 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles)

40 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles) Difícil de modelar

41 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles) Difícil de modelar Computacionalmente caro

42 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles) Difícil de modelar Computacionalmente caro Teste de Colisão

43 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles) Difícil de modelar Computacionalmente caro Teste de Colisão Rápido & consome pouca memôria

44 Condição de Fronteira SPH p.15/20 Tradicionalmente em SPH Fronteiras feitas de partículas (Ghost Particles) Difícil de modelar Computacionalmente caro Teste de Colisão Rápido & consome pouca memôria Fácil de modelar geometrias complexas

45 Teste de Colisão SPH p.16/20 t v

46 Teste de Colisão SPH p.16/20 t v v

47 Teste de Colisão SPH p.16/20 t v n v v v t

48 Teste de Colisão SPH p.16/20 t v n v v v n v t v v t

49 Teste de Colisão SPH p.16/20 t v t+1 v

50 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação

51 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH

52 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH Subdivisão Espacial (Octree)

53 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH Subdivisão Espacial (Octree) Busca Hierárquica

54 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH Subdivisão Espacial (Octree) Busca Hierárquica Complexidade: O(n log n)

55 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH Subdivisão Espacial (Octree) Busca Hierárquica Complexidade: O(n log n) Eficiente e Robusto

56 Busca de Partículas SPH p.17/20 Gargalo da Aplicação TreeSPH Subdivisão Espacial (Octree) Busca Hierárquica Complexidade: O(n log n) Eficiente e Robusto Principalmente quando h varia

57 TreeSPH SPH p.18/20

58 TreeSPH SPH p.18/20

59 TreeSPH SPH p.18/20

60 TreeSPH SPH p.18/20

61 TreeSPH SPH p.18/20

62 TreeSPH SPH p.18/20

63 TreeSPH SPH p.18/20

64 TreeSPH SPH p.18/20

65 TreeSPH SPH p.18/20

66 TreeSPH SPH p.18/20

67 Rendering SPH p.19/20 Função Cor c s (x) = I Φ h (x x I ) m I ρ I 1, se x S 0, se x / S

68 Rendering SPH p.19/20 Função Cor c s (x) = I Φ h (x x I ) m I ρ I 1, se x S 0, se x / S Marching Cubes

69 Rendering SPH p.19/20 Função Cor c s (x) = I Φ h (x x I ) m I ρ I 1, se x S 0, se x / S Marching Cubes "Efficient Implementation of Marching Cubes cases with Topological Guarantees", T. Lewiner, H. Lopes, G. Tavares & A. Wilson, JGT, 2003.

70 Rendering SPH p.19/20 Função Cor c s (x) = I Φ h (x x I ) m I ρ I 1, se x S 0, se x / S Marching Cubes "Efficient Implementation of Marching Cubes cases with Topological Guarantees", T. Lewiner, H. Lopes, G. Tavares & A. Wilson, JGT, 2003.

71 Rendering SPH p.20/20

72 Rendering SPH p.20/20