Uma abordagem baseada em SPH para animação interativa de águas rasas em jogos

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1 Algemiro Augusto da Silva Neto Uma abordagem baseada em SPH para animação interativa de águas rasas em jogos Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Informática do Departamento de Informática da PUC-Rio Orientador: Prof. Waldemar Celes Rio de Janeiro Dezembro de 2008

2 Algemiro Augusto da Silva Neto Uma abordagem baseada em SPH para animação interativa de águas rasas em jogos Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós graduação em Informática do Departamento de Informática do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada. Prof. Waldemar Celes Orientador Departamento de Informática PUC-Rio Prof. Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio Prof. Luiz Henrique de Figueiredo IMPA Prof. Ivan Menezes PUC-Rio Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio Rio de Janeiro, 5 de Dezembro de 2008

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador. Algemiro Augusto da Silva Neto Graduou-se em Informática pelo Instituto Superior de Tecnologia de Petrópolis em Foi bolsista de Iniciação Científica do CNPq no Laboratório Nacional de Computação Científica onde desenvolveu um sistema de visualização em Hemodinâmica e atuou em pesquisas na área de animação de fluidos. Durante o mestrado foi bolsista CAPES. Ficha Catalográfica Silva Neto, Algemiro Augusto da Uma abordagem baseada em SPH para animação interativa de águas rasas em jogos / Algemiro Augusto da Silva Neto ; orientador: Waldemar Celes f. : il.(color.) ; 30 cm Dissertação (Mestrado em Informática) Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Inclui bibliografia 1. Informática Teses. 2. SPH. 3. Animação. 4. Simulação de Fluidos. 5. Águas rasas. 6. DFC. I. Celes, Waldemar. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Informática. III. Título. CDD: 004

4 Agradecimentos Agradeço a todos os professores com os quais aprendi ao longo dos anos. Ao meu orientador Waldemar Celes, pela paciência e disponibilidade com a qual me orientou durante o Mestrado. Ao professor Marcelo Gattass, pelo apoio com o qual sempre pude contar. Aos amigos Alexandre Gazola, Fábio Guerra, Silvan Luís, Isabelle Desbois e a todos os amigos que fiz no Mestrado. Aos meus grandes amigos Diego Mazala e Bruno Correia, com os quais percorri o mesmo caminho acadêmico desde a Iniciação Científica. Aos companheiros de república pela companhia e, em especial, à Luciana Correia pelas conversas sobre cálculo e modelagem. Ao professor Antônio Lopes pelas dicas técnicas. Um agradecimento especial aos professores Paulo Sérgio Rodrigues e Gilson Giraldi por todo o apoio, paciência, disponibilidade e conselhos acadêmicos desde a orientação na iniciação científica e por contribuírem de maneira fundamental em minha carreira acadêmica. Aos meus pais pelo apoio e confiança. A Deus, pois sem ele nada teria sido possível. À CAPES e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos.

5 Resumo Silva Neto, Algemiro Augusto da; Celes, Waldemar. Uma abordagem baseada em SPH para animação interativa de águas rasas em jogos. Rio de Janeiro, p. Dissertação de Mestrado Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio do Janeiro. Neste trabalho, é apresentada uma abordagem para animação de águas rasas em aplicações interativas baseada em um modelo físico. Para a simulação, foi empregado o método Lagrangeano conhecido como Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Com base no trabalho de Muller et al. (Muller et al., 2003), que utilizou SPH em Computação Gráfica, e no trabalho de Rodriguez-Paz e Bonet (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) que propõe uma variação deste método para a simulação de águas rasas em aplicações de engenharia, propomos uma abordagem simples e eficiente para a simulação de águas rasas em jogos sob a influência de terrenos acidentados. Palavras chave SPH. Animação. Simulação de Fluidos. Águas rasas. DFC.

6 Abstract Silva Neto, Algemiro Augusto da; Celes, Waldemar. A SPH based approach to interactive animation of shallow-water on games. Rio de Janeiro, p. MSc. Dissertation Departamento de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio do Janeiro. In this work is presented an approach to shallow-water animation on interactive applications based on a physic model. For the simulation, was employed a Lagrangian method known as Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). Based on the work of Muller et al. (Muller et al., 2003), which applied SPH in Computer Graphics, and on the work of Rodriguez-Paz (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005), which proposes a variation of this method to shallow-water simulation on engineering applications, we have proposed a simple and efficient approach for shallow-water simulation on games under the influence of irregular terrains. Keywords SPH. Animation. Fluid Simulation. Shallow-waters. CFD.

7 Sumário 1 Introdução Motivação Objetivo Organização da dissertação 11 2 Trabalhos relacionados Métodos para animação de fluidos 12 3 Animação de fluidos com SPH Navier-Stokes em animação de fluidos Navier-Stokes e SPH Simulação 22 4 Abordagem proposta Domínio do problema Combinação dos modelos Funções de suavização Implementação 27 5 Resultados e discussão Rompimento de barragem em canal retangular Barragem cilíndrica Influência do terreno 31 6 Conclusões e trabalhos futuros 35

8 Lista de figuras 4.1 Domínio de simulação de águas rasas Visão geral do processo Dimensões do problema (Visão Superior) Variação da altura h t em x = 2m para o caso de rompimento de barragem. Dimensões do fluido: m, Raio do Kernel: Comparação entre o resultado de (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) e a solução analítica para altura do fluido em x = 2m. (Figura extraída de (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005)) Quebra de barragem vertical. Dimensões do fluido: 2 x 1 x 0.5 m. A coloração varia de acordo com a altura do fluido durante sua evolução Quebra de barragem vertical. 3 instantes de uma simulação com 1500 partículas a 15Fps Vista superior de um rompimento de barragem cilíndrica com 600 partículas Fluido confinado em uma calha (2000 partículas - 13Fps). A cor das partículas de fluido varia em função da altura da coluna de água Avaliação do comportamento do fluido em terreno plano. (1000 partículas - 30Fps) Visualização da superfície do fluido. Simulação com 2K partículas. 34

9 1 Introdução 1.1 Motivação Animação Computacional é um segmento da computação gráfica de intensas pesquisas pelas suas aplicações em áreas como, educação, interação humanocomputador e, principalmente, na indústria de entretenimento. Nesse contexto, além da produção de efeitos especiais, há um interesse em reproduzir elementos presentes na natureza. Dentre tais elementos, destacamos os fluidos. Considerando que os fluidos são sistemas com um número elevado de graus de liberdade, animá-los com realismo satisfatório por meio de métodos puramente geométricos torna-se uma tarefa difícil (Giraldi et al., 2005). Dessa forma, animações onde elementos de uma cena obedecem a princípios físicos têm despertado grande interesse da comunidade pelo grau de realismo que podem obter. Esta área, também denominada Modelagem Baseada em Física (Physics Based Modeling), envolve conhecimentos, tanto de modelagem computacional quanto de computação gráfica. Seguindo este princípio, métodos em Dinâmica de Fluidos Computacional (CFD - Computational Fluid Dynamics) vêm sendo empregados para gerar animações envolvendo fluidos. Tais métodos são aplicados na solução numérica das equações diferenciais que regem o comportamento do fluido. Essas equações descrevem as leis de conservação da mecânica do contínuo (conservação de massa, de energia e da quantidade de movimento) e muitas vezes não apresentam solução analítica. Daí a necessidade de métodos numéricos para discretizar o problema e obter uma solução com um nível de aproximação aceitável. O nível de precisão da solução deve variar de acordo com a aplicação. A simulação computacional para fins de análise ou estudo de fenômenos físicos envolvendo fluidos exige modelos físicos e numéricos complexos e alto grau de precisão. No entanto, para fins de animação em aplicações de realidade virtual, filmes, jogos e simuladores, podem ser empregados modelos mais simples e um menor grau de precisão, desde que isso não comprometa o realismo visual da animação, visando simulações em tempo real.

10 Capítulo 1. Introdução 10 Dentre os fenômenos físicos envolvendo fluidos, um dos que despertam maior interesse, tanto em engenharia quanto em animação, é o escoamento de fluidos sobre terrenos. Na engenharia, a simulação desse fenômeno é interessante para o estudo do transporte de sedimentos, risco de inundações ou de fluxo de detritos, por exemplo. Em animação, há um interesse em representar, de maneira convincente, os efeitos gerados pelo escoamento, tais como a formação de rios, lagos e quedas d água. A busca por métodos que executem essas tarefas de maneira satisfatória tem motivado intensas pesquisas nesta área (Kipfer; Westermann, 2006) (Maes et al., 2006). Este tipo de animação exige métodos de simulação com tratamento espacial adequado. Segundo Maes et al. (2006), abordagens tradicionais, baseadas em malha, não são espacialmente eficentes na simulação de escoamentos sobre terrenos. Uma vez que terrenos podem ser altamente irregulares, a malha que discretiza o fluido pode gastar espaço de armazenamento para regiões do domínio que nunca contêm água. Métodos alternativos, utilizando malhas adaptativas (Losasso et al., 2004), colunas d água (Maes et al., 2006) ou partículas (Kipfer; Westermann, 2006), têm sido propostos com o intuito de amenizar ou eliminar tal problema. Com relação ao modelo físico, boa parte dos métodos propostos para simulação de escoamento utiliza as equações de águas rasas (Kass; Miller, 1990; Hagen et al., 2005) para gerar um campo de altura que represente a superfície do fluido. Em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) é apresentado um método baseado em partículas para simulação de escoamentos sobre terrenos. Este método consiste em uma variação do método SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) para lidar com as equações de águas rasas. Esta variação incorpora propriedades do terreno como gradiente e curvatura na formulação. Neste trabalho, nos referimos a esta variação específica do SPH como SW-SPH (Shallow Water - SPH). O SPH é um método Lagrangeano bastante difundido na comunidade de computação gráfica, principalmente, após o trabalho de Muller et al. (Muller et al., 2003), que propôs uma abordagem para animação interativa de fluidos utilizando este método. O SW-SPH foi proposto com o objetivo de representar com precisão fenômenos de fluxo sobre terrenos não uniformes e com altos gradientes em aplicações de engenharia. Uma vez que o SW-SPH foi desenvolvido visando a precisão dos resultados, sua utilização em aplicações gráficas interativas constitui um desafio sob o ponto de vista computacional. Isso se deve ao fato de que algumas características do método o tornam mais custoso do que métodos menos precisos como o proposto por Muller et al. (2003). A principal delas é a utilização de núcleos de interpolação com suporte variável (h variável). Por outro lado, é grande a demanda por realismo visual em Computação Gráfica. Sendo assim, a utilização de métodos precisos torna-se in-

11 Capítulo 1. Introdução 11 teressante, principalmente em aplicações que não exigem interatividade como na produção de efeitos visuais para a indústria do cinema. 1.2 Objetivo O objetivo deste trabalho é desenvolver um sistema capaz de produzir animações interativas de águas rasas para jogos utilizando o método SPH. Para isso, combinaremos o modelo de animação interativa apresentado em (Muller et al., 2003) com as idéias propostas por Rodriguez-Paz e Bonet (2005) que incorporam o terreno na formulação do SPH. Com isso, espera-se obter uma abordagem adequada à animação de escoamentos sobre terrenos e também à animação de pequenos volumes de fluido, como poças d água. 1.3 Organização da dissertação O restante deste trabalho está organizado da seguinte maneira: No Capítulo 2 apresentamos alguns trabalhos relacionados à simulação de fluidos. No Capítulo 3, damos uma breve descrição dos fundamentos do método SPH e apresentamos como este método foi utilizado em (Muller et al., 2003) para animação de fluidos em aplicações interativas. Em seguida, no Capítulo 4, descrevemos a abordagem proposta para simulação de águas rasas com SPH e a implementação do sistema. Nos capítulos 5 e 6 são apresentados os resultados, conclusões e trabalhos futuros.

12 2 Trabalhos relacionados Este capítulo introduz alguns trabalhos importantes na área de animação de fluidos, destacando a simulação de escoamentos sobre terrenos e a utilização de sistemas de partículas. 2.1 Métodos para animação de fluidos Os métodos para animação computacional de fluidos encontrados na literatura adotam técnicas de discretização baseadas em formulações Eulerianas, bem como em formulações Lagrangeanas. Nas formulações Eulerianas o domínio do problema é discretizado por um conjunto de pontos fixos no espaço. As propriedades do fluido são avaliadas a cada instante de tempo através do fluxo que passa por esses pontos. Por sua vez, nas formulações Lagrangeanas, o fluido é discretizado por um conjunto de partículas que acompanham o fluxo. A seguir, alguns dos trabalhos de maior relevância em animação de fluidos. Foster e Metaxas (1997) apresentaram um modelo Euleriano para animação de gases turbulentos e aquecidos. Eles utilizaram um conjunto simplificado de equações para a modelagem do gás, que exigiu menos esforço computacional para simulação do que a modelagem tradicional. Esta modelagem, mostrou-se adequada para a representação dos efeitos desejados. A discretização das equações foi feita via Diferenças Finitas. As fronteiras e os elementos que compõem a cena foram modelados via voxels. A visualização foi feita via Volume Rendering e partículas de prova no interior do fluido. Este método apresenta a desvantagem de ser numericamente instável para grandes passos de tempo. Sendo assim, mesmo com a modelagem simplificada do gás, este método não é capaz de gerar animações em tempo real. Stam (1999) apresentou uma estratégia para solucionar o problema de instabilidade numérica apresentado no trabalho de Foster e Metaxas (1997). Foram utilizados métodos Lagrangeanos e esquemas implícitos para solução numérica das equações de Navier-Stokes, resultando em simulações mais estáveis mesmo com passos de tempo grandes, o que viabilizou a produção de animações em tempo real. Witting (1999) apresentou um modelo para simulação de fluidos bem mais

13 Capítulo 2. Trabalhos relacionados 13 completo. Ao contrário de Foster e Metaxas (1997) e Stam (1999), Witting mantém a modelagem do gás como um fluido compressível. Este método foi utilizado para gerar efeitos visuais no filme O Príncipe do Egito. Premoze e Ashikhmin (2000) apresentaram um método para geração de superfícies de água sob diferentes condições de vento e iluminação. Tal método é adequado à visualização tanto de águas profundas quanto de águas rasas, uma vez que é capaz de reproduzir a opacidade e coloração específicas em cada caso, pois modela o transporte de luz na água. Em (Carlson et al., 2004) é apresentado um método para animação da interação entre sólidos e fluidos de superfície livre. Os objetos sólidos são modelados como se fossem feitos de fluido. A rigidez de um objeto é reproduzida restringindose o campo de velocidade da região do fluido que representa determinado objeto. Objetos de diferentes densidades podem ser modelados, tais como chumbo ou madeira. A influência entre os elementos do sistema se dá tanto no sentido fluidosólido quanto no sentido sólido-fluido. Kass e Miller (1990) propuseram um método para animação de fluidos no qual a superfície do fluido é representada por um campo de altura. A evolução do fluido é controlada por uma versão simplificada das equações de águas rasas. Tal método é adequado à simulação de grandes superfícies de água, como oceanos e escoamentos sobre terrenos. Dentre os métodos Lagrangeanos baseados em partículas, destacam-se o método SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) e o MPS (Moving Particle Semi- Implicit). O método SPH foi desenvolvido por Gingold e Monaghan (1977) e por Lucy (1977) para simulação de problemas astrofísicos. Em (Desbrun; Gascuel, 1996), o SPH foi empregado pela primeira vez em computação gráfica, tendo sido utilizado para animação de objetos deformáveis. Em (Muller et al., 2003) o método SPH foi utilizado na simulação de fluidos para aplicações interativas. A visualização do fluido foi feita por dois métodos distintos para geração de superfícies: O Surface Splatting (Zwicker et al., 2001) e o Marching Cubes (Lorensen; Cline, 1987). O primeiro apresentou melhor performance. No entanto, este último apresentou resultados mais convincentes. Em (Muller et al., ), foi apresentada uma extensão do modelo proposto em (Muller et al., 2003), para animação da interação entre fluidos de diferentes tipos e fases, utilizando SPH. (Nakamura, 2007) apresentou um estudo, sobre animação de fluidos via SPH. Com base nas técnicas descritas por (Muller et al., 2003) e (Muller et al., ), foram gerados diferentes efeitos com fluidos, tais como poças d água, fluidos sob

14 Capítulo 2. Trabalhos relacionados 14 confinamento e interação entre fluidos diferentes. Além disso, foram identificados os gargalos do método e os recursos computacionais necessários para produção de animações interativas utilizando tal abordagem. O MPS foi apresentado inicialmente por (Koshizuka; Oka, 1996) e é uma variante do SPH. Dentre os trabalhos de animação de fluidos para computação gráfica utilizando este método, destaca-se o de (Premoze et al., 2003). Neste trabalho, não foram produzidas animações interativas. O cálculo da pressão via gradientes conjugados e a geração da superfície do fluido via Level Set para renderização foram identificados como gargalos da aplicação. Por outro lado, as simulações produzidas possuem alta resolução ( partículas) e o fluido apresentou um comportamento bastante convincente. Sistemas de partículas foram introduzidos na computação gráfica por (Reeves, 1983) como uma técnica para representação de objetos fuzzy tais como fogo, fumaça ou nuvens. Desde então, sistemas de partículas vêm sendo amplamente utilizados em simulação de fluidos. Para representar o comportamento do fluido de maneira realista, além de modelos matemáticos adequados, é necessária uma grande quantidade de partículas. Para isso, são necessários sistemas de partículas sofisticados, com algoritmos de detecção de interferência e colisão eficientes. A seguir, são apresentados alguns trabalhos que propõem implementações eficientes de sistemas de partículas. Em (Celes; Calomeni, 2003) são apresentados alguns métodos para simulação e visulização de sistemas de partículas. Para aumento de desempenho, é proposta uma estratégia para distribuição eficiente do processamento entre CPU e GPU. No entanto, com o recente avanço do hardware gráfico, algumas implementações de sistemas de partículas foram concebidas explorando totalmente as GPU s. Devido ao alto grau de paralelismo nas GPU s, observa-se um aumento de performance considerável com relação às implementações tradicionais com simulação em CPU. Além disso, tal estratégia elimina a transferência de dados das partículas, em tempo de execução, entre CPU (para simulação) e GPU (para renderização). Latta (2004) apresentou uma implementação totalmente em GPU de um sistema de partículas capaz de simular um milhão de partículas em tempo real. Kolb et al. (2004) apresentaram uma extensão deste trabalho, incluindo detecção de colisão de partículas com objetos de formas arbitrárias e um algoritmo de ordenação das partículas em GPU para renderização correta com alpha blending (Shreiner, 2004). Para detecção de colisão, foram utilizados mapas de profundidade, armazenados em texturas de 8 bits, contendo a forma externa do objeto e seus vetores normais. Para ordenar as partículas, foi utilizada uma textura adicional armazenando a distância das partículas para o observador, e o algoritmo de ordenação odd-even merge sort

15 Capítulo 2. Trabalhos relacionados 15 proposto em (Batcher, 1968) é utilizado para ordenar as partículas em função dessa distância. Kipfer et al. (2004) apresentaram outra implementação inteiramente em GPU, para animação e renderização, em tempo real, de grandes conjuntos de partículas. Kipfer utilizou, nessa implementação, Memory Objects OpenGL como render targets e para armazenar dados de geometria na placa gráfica. Assim como em (Kolb et al., 2004), Kipfer et al. também inclui uma ordenação das partículas em GPU para renderização correta com alpha blending, e adicionalmente trata intercolisões (colisões entre as partículas do sistema), o que também requer uma ordenação. A ordenação, em ambos os casos, foi realizada por uma variação do algoritmo Bitonic sort, proposto em (Purcell et al., 2003), alterando-se apenas a chave de ordenação em cada caso. No caso de detecção de intercolisões, a chave de ordenação utilizada é o índice da célula associado a cada partícula, já para o caso da renderização com transparência através de alpha blending, a chave de ordenação é a distância da partícula para o observador. Mais recentemente, Venetillo e Celes (2007) apresentaram um sistema de partículas baseado em GPU que lida com intercolisões e é capaz de simular um milhão de partículas a taxas interativas. Esse desempenho é obtido nas placas gráficas mais recentes (GeForce 8 Series em diante) e além de intercolisões o sistema trata a colisão contra objetos em cena e simulação de materiais granulares. Vale destacar que, recentemente, diversos trabalhos vêm explorando recursos de GPUs para aceleração da simulação numérica na animação de fluidos. O resultado da exploração de GPUs para este tipo de processamento é, geralmente, um aumento considerável de performance na simulação frente às implementações em CPU. Sendo assim, apesar de não empregarmos este recurso, citamos a seguir alguns trabalhos nesta linha pelos benefícios que podem ser obtidos. Em (Harris, 2004), é detalhada uma versão para GPU do método baseado em grid Stable Fluids proposto em (Stam, 1999). Amada et al. (2004) propuseram uma implementação do método SPH em GPU. No entanto, a detecção da vizinhança de cada partícula, necessária ao cálculo das grandezas em questão, é executada em CPU. Um mapa com as informações de vizinhança é montado e transferido para GPU em uma textura a cada iteração. A montagem e a transferência do mapa de vizinhança para GPU foram identificadas como o gargalo da aplicação, mas ainda assim foi obtido um ganho de desempenho com relação à implementação em CPU apresentada para fins de comparação. Kolb e Cuntz (2005) e, mais recentemente, Harada et al. (2007) propuseram implementações do SPH completamente em GPU, eliminando assim, a transferência de dados entre CPU e GPU.

16 Capítulo 2. Trabalhos relacionados 16 Karsten e Trier (2004) apresentaram um versão em GPU do método proposto em (Kass; Miller, 1990). Kipfer e Westermann (2006) utilizaram SPH em uma simulação, baseada em GPU, de rios e escoamentos em terrenos para aplicações interativas em computação gráfica. Para determinar as partículas vizinhas e detectar colisão, foi proposta uma estrutura baseada em três listas encadeadas. Além disso, foi apresentado um método para extração e visualização da superfície livre do fluido, que utiliza um campo de altura sobre as partículas. Tal método mostrou-se mais eficiente que os métodos Marching Cubes e Surface Splatting para aplicações que demandam tempo real. Maes et al. (2006) propuseram uma outra abordagem baseada em GPU para simulação de escoamentos em terrenos para aplicações interativas. A proposta foi uma otimização do método baseado em colunas de água e variação de pressão hidrostática apresentado por Holmberg e Wunsche (2004). Além disso, um sistema de partículas foi utilizado nesse modelo, para adicionar mais detalhes à superfície do fluido.

17 3 Animação de fluidos com SPH O SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) é um método Lagrangeano baseado em partículas, proposto originalmente para simulação de problemas astrofísicos por Gingold e Monaghan (1977) e por Lucy (1977). No entanto, o método é geral o bastante para ser aplicado em vários tipos de problemas em mecânica, tanto de fluidos quanto de sólidos. A independência de malhas que o método SPH proporciona o tornou atraente para simulações envolvendo fluidos. Este método permite evitar custos adicionais com a geração/adaptação da malha que discretiza o domínio do fluido quando a fronteira deste é modificada. Além disso, o método apresenta uma formulação simples. Estas características o colocam como uma alternativa interessante para aplicações que demandam taxas interativas como jogos e simuladores. A formulação do SPH se baseia no método de representação integral de funções e posterior aproximação por partículas. Detalhes à respeito da formulação e fundamentos do método SPH são apresentados em (Liu; Liu, 2003), (Nakamura, 2007) e (Giraldi et al., 2005). Neste capítulo, descrevemos a metodologia introduzida por Muller et al. (Muller et al., 2003) que utilizou SPH para animação interativa de fluidos em computação gráfica. Na Seção 3.1, o comportamento do fluido é modelado por um sistema de equações diferenciais parciais (equações de Navier-Stokes) sujeito a certas condições iniciais e de contorno. Em seguida (Seção 3.2), o método SPH é aplicado na discretização dessas equações para simulação computacional do movimento do fluido. O resultado é uma representação através de um sistema de partículas que se movem sob a influência de forças decorrentes da gravidade, pressão e viscosidade. 3.1 Navier-Stokes em animação de fluidos O fluido descrito no trabalho de (Muller et al., 2003) corresponde a um fluido incompressível e isotérmico. Em um fluido isotérmico a conservação de energia é garantida e portanto não precisa ser modelada. Sendo assim, a evolução do fluido

18 Capítulo 3. Animação de fluidos com SPH 18 no tempo é dada por duas equações. A primeira delas (Equação (3-1)) é conhecida como equação de continuidade e assegura a conservação de massa. ρ t + (ρ v) = 0, (3-1) A Equação de Navier-Stokes é a equação de conservação do momento, ou equação de movimento, a qual, para este trabalho, será escrita na forma simplificada abaixo: ( ) v ρ + v v = p t + ρ g + µ 2 v, (3-2) onde g é um campo de força externo, µ a viscosidade do fluido e 2 representa o Laplaciano do campo de velocidade v. A utilização de um sistema de partículas em vez de uma malha estacionária para resolver numericamente estas equações simplifica o problema. Primeiramente, mantendo o número de partículas constante durante a simulação e supondo todas as partículas com massa constante, temos como conseqüência a conservação da massa e portanto a equação (3-1) pode ser omitida. Além disto, vamos substituir a expressão v + v v pela derivada material d v, uma vez que as partículas movem-se t dt junto com o fluido. Existem três forças no lado direito da Equação (3-2): modelando a pressão ( p), as forças externas (ρ g) e a viscosidade (µ 2 v). A soma dessas forças determina a alteração do momento ρ d v das partículas. Como aceleração da partícula dt i, temos: a i = d v i dt = f i, (3-3) ρ i onde v i é a velocidade da partícula i e f i representa a força (na verdade, força por unidade de volume) resultante sobre esta partícula. Na seção seguinte será descrito o método SPH e como ele foi aplicado para obtenção da versão discreta da equação (3-2). 3.2 Navier-Stokes e SPH Os fundamentos do método SPH estão na teoria de interpolação. Com o SPH, valores de campos, que são definidos apenas nas posições (discretas) das partículas, podem ser avaliados em qualquer posição no espaço via interpolação. Para este propósito, o SPH distribui as grandezas em uma vizinhança local a cada partícula através do uso de uma função W, chamada de núcleo de suavização (smoothing kernel). De acordo com o método SPH, uma grandeza (escalar ou vetorial) A é interpolada na posição r por uma soma ponderada das contribuições de todas as partículas em sua vizinhança. Essa interpolação é dada por:

19 Capítulo 3. Animação de fluidos com SPH 19 A( r) = j m j A j ρ j W ( r r j, h), (3-4) onde j itera sobre todas as partículas, m j é a massa de cada partícula j, r j é a posição, ρ j a massa específica e A j o valor da grandeza na posição r j. A função W ( r, h) é o núcleo de suavização e deve ser normalizada: W ( r, h)d r = 1, (3-5) onde a constante h é usada para definir o domínio do suporte do núcleo de suavização. A massa e a massa específica da partícula aparecem na Equação (3-4) uma vez que cada partícula i representa um determinado volume V i = m i /ρ i. Enquanto a massa m i é constante para toda a simulação e, nesse caso específico, a mesma para todas as partículas, a massa específica ρ i varia e deve ser calculada a cada instante de tempo. Particularizando a Equação (3-4) para o caso da massa específica obtemos: ρ S ( r) = ρ j m j W ( r r j, h) = m j W ( r r j, h). (3-6) ρ j j j Nas equações de fluidos apresentadas na Seção 3.1, aparecem derivadas das grandezas envolvidas. No método SPH, pode-se demonstrar que tais derivadas são calculadas a partir de derivadas do núcleo de suavização ((Liu; Liu, 2003)). Em particular, o gradiente de A é simplesmente: A S ( r) = A j m j W ( r rj, h). (3-7) ρ j j Enquanto o Laplaciano de A é dado por: 2 A S ( r) = j m j A j ρ j 2 W ( r r j, h). (3-8) É importante perceber que o método SPH apresenta alguns problemas. Quando é utilizado nas equações de fluidos, por exemplo, não é garantido que estas equações satisfaçam certos princípios físicos como simetria de forças e conservação do momento. A seguir apresentamos como o método SPH foi aplicado na discretização da equação de Navier-Stokes. A aplicação da Equação (3-4) sobre o termo da pressão ( p) leva a: f press i = p( r i ) = p j m j W ( ri r j, h). (3-9) ρ j j Entretanto, esta força não é simétrica, como pode ser visto quando apenas duas partículas interagem. Neste caso, uma vez que o núcleo de suavização tem gradiente nulo no centro e a partícula i usa apenas a pressão na posição da partícula j para computar a força de pressão, e vice-versa, as forças de pressão

20 Capítulo 3. Animação de fluidos com SPH 20 não serão simétricas caso a pressão seja diferente nas posições das partículas. Para simetrização da Equação (3-9) será adotada neste trabalho a solução proposta em Muller et al. (2003). f press i = p i + p j m j W ( ri r j, h). (3-10) 2ρ j j Esta forma é simétrica, já que usa uma média aritmética das pressões das partículas que estão interagindo. Uma vez que as partículas apenas carregam três grandezas: massa, posição e velocidade; a pressão nas posições das partículas deve ser avaliada primeiro. Isto é feito em duas etapas. A Equação (3-6) calcula a massa específica da partícula na posição r. Então, a pressão pode ser calculada por uma equação de estado do tipo gás ideal, dada por: p = k(ρ ρ 0 ), (3-11) onde k é um parâmetro (dependente da temperatura no gás ideal) e ρ 0 a massa específica inicial. A aplicação da regra descrita na Equação (3-4) sobre o termo de viscosidade (µ 2 v) leva a: f visc i = µ 2 v( r) = µ v j m j 2 W ( r i r j, h). (3-12) ρ j j Mais uma vez, foram produzidas forças assimétricas. Como a força de viscosidade depende apenas das diferenças de velocidade e não da velocidade absoluta, existe uma maneira natural de simetrizar as forças de viscosidade usando as diferenças de velocidades: f visc i = µ j A força gravitacional na posição da partícula j é dada por: a massa específica ρ j é dada pela expressão (3-6). m j v j v i ρ j 2 W ( r i r j, h). (3-13) f grav j = ρ j g j, (3-14) Além da força gravitacional, presente na equação (3-2), a colisão do fluido com a fronteira do domínio e forças inseridas através da interação com o usuário podem ser modeladas. Em (Muller et al., 2003) e (Silva Neto et al., 2005), a colisão é modelada de forma simples: Quando uma partícula colide com a parede de um objeto sólido, a componente da velocidade, normal à superfície rígida, é refletida para o interior do fluido. As forças de superfície não estão presentes na Equação (3-2), entretanto, foram modeladas em (Muller et al., 2003) explicitamente baseadas nas idéias de

21 Capítulo 3. Animação de fluidos com SPH 21 Morris (Morris, 2000). As moléculas de um fluido estão sujeitas às forças atrativas de suas moléculas vizinhas. Dentro do fluido, essas forças intermoleculares são iguais em todas as direções e, portanto, balanceadas. Ao contrário, as forças que atuam sobre as moléculas da superfície livre (fronteira entre o fluido e o meio externo) não são balanceadas. As forças de tensão de superfície livre atuam na direção normal à superfície do fluido. A superfície do fluido pode ser obtida usandose um campo adicional que assume valor unitário nas posições das partículas e zero em qualquer outra parte. Este campo é denominado campo de cor na literatura e sua versão suavizada é dada pela expressão: c S ( r) = 1 m j W ( r r j, h). (3-15) ρ j j A normal n e curvatura κ da superfície livre podem ser obtidas por: n = c S, κ = 2 c S. (3-16) n Finalmente, as forças na superfície livre são modeladas por: t sup = σκ n n, (3-17) onde σ é um parâmetro que controla a influência desta força. O objetivo final é reproduzir o efeito de minimização da curvatura observado para este tipo de força. De fato, se considerarmos uma superfície inicial S, que se movimenta de acordo com uma equação do tipo: S n = σκ t n, (3-18) observamos, exatamente, uma evolução que suaviza pontos onde a curvatura é mais elevada (Sethian, 1996). Os núcleos de suavização para o caso 3D são dados pelas seguintes expressões: W cor ( r, h) = πh 9 (h 2 r 2 ) 3, 0 r h, 0, cc. (3-19) W press ( r, h) = 15 πh 6 (h r) 3, 0 r h, 0, cc. W visc ( r, h) = 15 r3 + r2 + h 1, 0 r h, 2h 3 h 2 2r 2πh 3 0, cc. (3-20) (3-21) A Equação 3-21 foi escolhida por possuir Laplaciano positivo em todo domínio.

22 Capítulo 3. Animação de fluidos com SPH 22 Esse Laplaciano é dado pela seguinte expressão: 45 (h r), 0 r h, 2 πh W visc ( r, h) = 6 0, cc. (3-22) 3.3 Simulação As equações de Navier-Stokes dadas pela Expressão (3-2) são discretizadas, substituindo-se cada termo do segundo membro pela sua versão obtida via núcleo de suavização; ou seja, pelas Expressões (3-10), (3-13) e (3-14), com a massa específica ρ dada pela equação (3-6), e usando-se no primeiro membro a derivada material d v. Desta forma, obtém-se o seguinte esquema numérico: dt onde d v i dt = Q t i, (3-23) ( )[ 1 Q t i = ρ t j j m j p t j + p t i 2ρ t j W press ( r t i r t j, h)+ρ t j g j +µ j e, usando-se as equações (3-6)-(3-11), reproduzidas abaixo: ( v t j v t ) ] i m j 2 W ρ t visc ( r i r t j, t h) j (3-24) ρ t j = k m k W ( r t j r t k), (3-25) p t j = k(ρ t j ρ 0 j). ( ) (3-26) Uma vez resolvida a Equação (3-23), o campo de acelerações obtido é finalmente utilizado para atualizar a velocidade e posição das partículas, de acordo com o seguinte esquema: v t+ t i r t+ t i d v i dt = v t i + δt 2 Q t i, (3-27) = r t i + δt v t+ t i. (3-28) Este esquema, denominado Leap-Frog, é um método iterativo de segunda ordem. Em (Muller et al., 2003), usou-se um intervalo de tempo constante de δt = 10 2 segundos.

23 4 Abordagem proposta A abordagem proposta consiste na combinação do modelo de animação interativa de fluidos baseado em SPH apresentado por Muller et al. (2003), com o modelo para simulação de águas rasas, também baseado em SPH, apresentado em Rodriguez-Paz e Bonet (2005) para simulações em engenharia. A idéia é incorporar características do terreno à formulação descrita em (Muller et al., 2003), reproduzida no Capítulo 3, para produzir animações de fluidos sobre terrenos em tempo real. A seguir descrevemos como esses dois modelos baseados em SPH foram combinados. Na Seção 4.1, é definido o domínio de simulação com base no modelo de águas rasas. Na Seção 4.2, descrevemos como os dois modelos foram combinados e na Seção 4.3 são descritas as funções de suavização utilizadas na simulação. 4.1 Domínio do problema Na hipótese de águas rasas apresentada em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) o domínio do problema é constituído pela superfície de um terreno e pelo fluido sobre essa superfície. A solução é baseada em uma projeção 2D deste domínio. A superfície do terreno é representada por uma função do tipo H(x, y) que fornece a altura da superfície em cada ponto. O fluido é discretizado através de um sistema de partículas e projetado sobre um plano. Cada partícula no plano projetado representa uma coluna de fluido com altura h t e massa constante m sobre a superfície do terreno. Essas partículas se movem de acordo com a topografia do terreno, sempre na direção tangente à superfície (Fig. (4.1)). por A componente z da posição da base de cada coluna de água (Fig.4.1) é dada z = H(x, y). (4-1) Derivando no tempo, a componente vertical da velocidade pode ser calculada da seguinte maneira: v z = H v, (4-2)

24 Capítulo 4. Abordagem proposta 24 Figura 4.1: Domínio de simulação de águas rasas. onde H é o gradiente do terreno na posição ocupada pela coluna e v = (v x, v y ) é o vetor velocidade contendo as componentes x e y da velocidade da coluna. Sendo assim, as incógnitas do problema são as coordenadas x e y das partículas a cada instante de tempo e a altura da coluna de água h t. As alturas das colunas de água relacionam-se com a massa específica projetada do fluido ρ, que é a quantidade de massa por unidade de área. Dado que o fluido em movimento será assumido incompressível, essa relação é definida pela equação ρ = h t ρ w, (4-3) onde ρ w é a massa específica por unidade de volume do fluido. 4.2 Combinação dos modelos Nesta seção descrevemos como os modelos foram combinados considerando as particularidades no cálculo da massa específica e das forças que influenciam o movimento do fluido Avaliação da massa específica Conforme dito anteriormente, o fluido acompanha a superfície do terreno e sua massa específica projetada 2D se expande ou contrai de acordo com a altura da coluna segundo a equação (4-3). Para manter a precisão da solução, em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) foi utilizado raio de interpolação (h) variável. Isto leva à necessidade de utilização de um método iterativo para resolver uma não linearidade que surge da solução com h variável, o que aumenta o custo da simulação. A utilização de um h variável também aumenta a complexidade na determinação de quais partículas estão dentro do raio de interpolação. Como no nosso caso estamos interessados em animação e podemos abrir mão de precisão, desde que isso não comprometa o realismo visual, utilizaremos, na abordagem

25 Capítulo 4. Abordagem proposta 25 proposta, a avaliação da massa específica com h fixo, conforme na equação 3-6 apresentada por (Muller et al., 2003) Equações governantes A partir do domínio descrito na Seção 4.1, são derivadas as equações governantes no modelo para simulação de águas rasas proposto em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005). Com tais equações, obtém-se uma expressão para aceleração de uma partícula de fluido que considera as propriedades do terreno. Tal expressão é dada por: a i = g + v i k i v i t i H i 1 + H Hi t i (4-4) i H i onde t i = T i /m i (Força interna sobre massa), k i é a curvatura do terreno na posição da partícula i e H i o gradiente. Para definição do modelo proposto nesta dissertação, anulamos o termo t i, correspondente à força interna na Equação (4-4), obtendo-se a seguinte expressão: F ext = g + v i k i v i 1 + H i H Hi (4-5) i Isso é feito porque nesta dissertação as forças internas serão calculadas segundo (Muller et al., 2003). A Equação (4-5) é utilizada para substituir a força externa no modelo de Muller et al. que considera apenas a gravidade. Assim, temos uma expressão para aceleração que combina força externa decorrente da gravidade e propriedades do terreno, com forças internas de um modelo de simulação simplificado e menos custoso, que apresenta bons resultados para animação. Essa expressão é dada a seguir: ( ) d v ρ = p dt + ρf ext + µ 2 v, (4-6) onde p é a pressão e µ a viscosidade do fluido. Procedemos a discretização seguindo o esquema da Seção 3.3. No entanto, no modelo de águas rasas a pressão é dada pela pressão hidrostática considerando a altura da coluna de água que cada partícula representa sobre o terreno. Deste modo, substituímos a Equação (3-11) para o cálculo da pressão, pela expressão a seguir: p = 1 2 gρ wh 2 t (4-7) onde g é a aceleração da gravidade, ρ w a massa específica por unidade de volume e h t a altura da coluna de água.

26 Capítulo 4. Abordagem proposta Funções de suavização As funções de suavização estão diretamente ligadas à performance e estabilidade do método SPH e devem satisfazer certas propriedades para serem aplicadas em problemas hidrodinâmicos (Liu; Liu, 2003). 1. Uma das propriedades das funções de suavização é que elas devem ser normalizadas dentro do domínio de suporte; ou seja: W ( x x, h)d x = 1, (4-8) A integral deve ser unitária dentro do domínio de suporte para garantir que a interpolação seja correta. Como a simulação ocorre em uma projeção 2D do domínio, as funções de suavização utilizadas precisam ser normalizadas neste espaço. Neste trabalho, obtivemos versões 2D (Equações (4-11), (4-12) e (4-13)) das funções de suavização propostas por Muller et al. (2003). 2. As funções de suavização devem possuir um domínio de suporte compacto; ou seja: W ( x x ) = 0, para x x > κh, (4-9) onde κ é uma constante e h o raio de interpolação. Estes fatores definem o domínio de suporte da função de suavização. 3. O valor da função de suavização W ( x x ) deve ser maior ou igual a 0 para qualquer ponto x dentro do domínio de suporte de x. 4. O valor da função de suavização W ( x x ) deve decrescer com o aumento da distância entre x e x. 5. A função de suavização deve satisfazer a condição de uma função do tipo delta de Dirac a medida que o raio de interpolação h se aproximar de 0, ou seja: lim W ( x h 0 x, h) = δ( x x ) (4-10) 6. A função de suavização deve ser uma função par (condição de simetria). Partículas à mesma distância do ponto x devem contribuir da mesma forma independente da posição. 7. A função de suavização deve ser suficientemente suave. Para garantir uma boa aproximação a função de suavização e suas derivadas devem ser contínuas.

27 Capítulo 4. Abordagem proposta 27 As Equações (4-11), (4-12) e (4-13) representam as funções de suavização 2D para massa específica, força de pressão e força de viscosidade respectivamente. W cor (r, h) = 4 (h 2 r 2 ) 3, 0 r h, (4-11) πh 8 0, cc. W press (r, h) = 10 πh 5 (h r) 3, 0 r h, 0, cc. W visc (r, h) = 5 r3 + r2 + h 1, 0 r h, 2h 3 h 2 2r 3πh 2 0, cc. (4-12) (4-13) 4.4 Implementação Na implementação do SPH (Muller et al., 2003; Silva Neto et al., 2005), é necessária uma identificação das partículas dentro de uma vizinhança definida pelo suporte h da função de suavização. Uma abordagem muito comum para tratar este problema é a subdivisão do espaço em um grid regular cujo tamanho das células é definido por h. Cada célula possui uma lista com as partículas localizadas naquela região do espaço. Dessa forma, dada uma partícula i, a busca pelas partículas na vizinhança definida por h é feita apenas na célula onde a partícula i se encontra e em suas células vizinhas. Essa estratégia, reduz o custo computacional de O(n 2 ), para O(nm), onde n é o número total de partículas e m é o número médio de partículas nas células vizinhas. Outra vantagem na utilização dessa estrutura é que ela pode ser empregada na redução do número de verificações de colisão de uma partícula com a geometria que delimita as fronteiras do fluido e com outros objetos na cena. Isto é feito através da identificação das células que são cortadas por algum tipo de fronteira. Em posse das vizinhas da partícula i, calcula-se sua massa específica ρ, altura da coluna de água h t e pressão p através das equações (3-6), (4-3) e (4-7). Em seguida, calcula-se as forças decorrentes da pressão e viscosidade, conforme as equações (3-10) e (3-13). Essas forças constituem as forças internas utilizadas na nossa abordagem. Em seguida, é feita a integração no tempo. Cada partícula manterá informações sobre seu estado atual (instante t) e seu próximo estado (instante t + δt) até que todas as partículas do domínio tenham sido integradas no tempo. Após terminada esta etapa, inicia-se uma nova iteração sobre o sistema

28 Capítulo 4. Abordagem proposta 28 de partículas. Nessa iteração, o estado da partícula, calculado na iteração anterior é avaliado. Com base nesse estado, as partículas são reorganizadas pelas células da subdivisão em função de suas posições. Se a nova célula onde a partícula deve ser inserida for uma célula de fronteira, um módulo de detecção e tratamento de colisão é executado. O esquema na Figura 4.2, a seguir, exemplifica o algoritmo. Figura 4.2: Visão geral do processo Visualização Uma estratégia simples foi adotada para visualização neste trabalho. Uma malha virtual fixa é estabelecida no domínio do problema. À medida que as partículas de fluido evoluem sobre o terreno, calculamos a altura que os vértices da malha devem assumir para representar a superfície do fluido. Com SPH, valores definidos apenas nas posições das partículas podem ser avaliados em qualquer posição do espaço via interpolação. Sendo assim, para estabelecer a altura dos vértices da malha, procedemos aplicando SPH na posição de cada vértice. Uma busca por partículas vizinhas ao vértice é efetuada e a Equação (3-6) (Seção 3.2) é aplicada para calcular a massa específica naquele ponto. Com a relação entre massa específica e altura da coluna de fluido, estabelecida pela Equação 4-3 (Seção 4.1), obtém-se a altura do fluido na posição do vértice.

29 5 Resultados e discussão O resultado da abordagem proposta é um sistema de partículas que se move no plano de projeção sob a influência de forças decorrentes da gravidade, topologia do terreno, pressão e viscosidade. Os resultados são visualizados sobre a superfície do terreno com a altura da coluna d água variando em função da massa específica (ρ) no plano de projeção. Foram realizados alguns experimentos para avaliação do comportamento do fluido sob influência do terreno. As figuras (5.7), (5.8) e (5.9) ilustram alguns desses experimentos. Para validação do modelo, foram reproduzidos dois experimentos de (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005)(Seções5.1 e 5.2). Os resultados são discutidos a seguir. 5.1 Rompimento de barragem em canal retangular Neste experimento, confinamos o fluido em um canal retangular. A geometria inicial do fluido é 2m 1m 0.5m. A profundidade do canal é constante e não há atrito. Foram utilizadas 3K partículas nesta simulação. Figura 5.1: Dimensões do problema (Visão Superior). No instante t = 0.0s, a barragem é removida e o fluido evolui. O gráfico na Figura (5.2) exibe a variação da altura do fluido na posição x = 2. De acordo com a solução analítica, a profundidade da água deve permanecer constante e igual a 4/9 da altura h t inicial, até o momento em que a onda que atravessa o fluido no sentido contrário ao fluxo atinge a fronteira no ponto x=0. Os resultados obtidos em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) são mais próximos da solução analítica, como pode ser observado na Figura (5.3). Essa diferença pode ser atribuída à utilização de raio de interpolação fixo. Considerando que a análise foi

30 Capítulo 5. Resultados e discussão 30 Figura 5.2: Variação da altura h t em x = 2m para o caso de rompimento de barragem. Dimensões do fluido: m, Raio do Kernel: 0.1 feita em uma região de fronteira e sobre um atributo dependente da massa específica, esse resultado pode ser considerado satisfatório. A diferença ao longo do tempo no intervalo analisado, foi de 4% em média. É válido lembrar que em (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) o foco são as aplicações de engenharia, portanto a precisão é um fator determinante. Já o nosso método é uma adaptação com propósitos de animação em jogos. As Figuras (5.4) e (5.5) ilustram os resultados obtidos com a abordagem proposta aqui. Figura 5.3: Comparação entre o resultado de (Rodriguez-Paz; Bonet, 2005) e a solução analítica para altura do fluido em x = 2m. (Figura extraída de (Rodriguez- Paz; Bonet, 2005))

31 Capítulo 5. Resultados e discussão 31 Figura 5.4: Quebra de barragem vertical. Dimensões do fluido: 2 x 1 x 0.5 m. A coloração varia de acordo com a altura do fluido durante sua evolução. 5.2 Barragem cilíndrica Neste exemplo, avaliamos visualmente o experimento de quebra de barragem cilíndrica. Uma coluna cilíndrica de água, com 5 metros de diâmetro e 0.5 metro de altura, é disposta sobre um terreno plano. Casos como este, onde as fronteiras do fluido se expandem por grandes dimensões, são de difícil simulação com raio de interpolação fixo. Isto porque as partículas, principalmente na região de fronteira, passam a ter menor quantidade de vizinhas provocando problemas de precisão na interpolação via SPH. Apesar deste inconveniente, o resultado visual com a estratégia proposta foi satisfatório. A fronteira do fluido evolui mantendo sua forma circular inicial conforme mostra a Figura (5.6). 5.3 Influência do terreno Para avaliação da influência do terreno no movimento do fluido, simulamos sua evolução sobre superfícies com gradiente e curvatura controladas. O resultado foi coerente nas situações testadas. As Figuras (5.7), (5.8) e (5.9) ilustram alguns resultados.

32 Capítulo 5. Resultados e discussão 32 Figura 5.5: Quebra de barragem vertical. 3 instantes de uma simulação com 1500 partículas a 15Fps. Figura 5.6: Vista superior de um rompimento de barragem cilíndrica com 600 partículas Superfície ondulada Neste experimento, utilizamos uma superfície ondulada para simular o escoamento do fluido. Dispomos uma lâmina d água de dimensões 3.5 x 3.5 x 0.1m sobre um dos vales da superfície ondulada. Foram utilizadas 2000 partículas nesta simulação. As partículas se mantém confinadas e ocupam todo o vale conforme ilustra a Figura (5.7) Superfície plana Neste caso, dispomos uma lâmina d água de dimensões 2 x 2 x 0.1 sobre uma superfície plana. O fluido se espalha e seu volume ocupa toda a superfície. Confinado pelos limites da superfície, o fluido varia a altura que oscila formando um efeito visual interessante (Figura (5.8)). Foram utilizadas 1000 partículas para esta simulação e alcançou-se uma taxa de 30 Fps.

33 Capítulo 5. Resultados e discussão 33 Figura 5.7: Fluido confinado em uma calha (2000 partículas - 13Fps). A cor das partículas de fluido varia em função da altura da coluna de água. Na Figura 5.9, é ilustrado o resultado do algoritmo de visualização descrito na Seção A simulação foi efetuada com 2000 partículas. Uma malha virtual fixa é disposta por todo o domínio de simulação. A altura dos vértices dessa malha é obtida via SPH para representação da superfície do fluido à medida que as partículas evoluem.

34 Capítulo 5. Resultados e discussão 34 Figura 5.8: Avaliação do comportamento do fluido em terreno plano. (1000 partículas - 30Fps) Figura 5.9: Visualização da superfície do fluido. Simulação com 2K partículas.