Animação de Fluidos via SPH

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1 LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA INSTITUTO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Animação de Fluidos via SPH Algemiro Augusto da Silva Neto Petrópolis-RJ 2005

2 ALGEMIRO AUGUSTO DA SILVA NETO ORIENTADOR: GILSON ANTÔNIO GIRALDI Animação de Fluidos via SPH Monografia apresentada ao curso de Graduação em Tecnologia da Informação e da Comunicação do Instituto Superior de Tecnologia em Ciência da Computação, como pré-requisito para a obtenção do título de Graduado em Tecnologia da Informação e da Comunicação sob a orientação dos professores Gilson A. Giraldi e Paulo Sérgio Rodrigues. Petrópolis-RJ 2005

3 INSTITUTO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO FOLHA DE APROVAÇÃO Animação de Fluidos via SPH ALGEMIRO AUGUSTO DA SILVA NETO Monografia apresentada à comissão examinadora constituída pelos Senhores: Prof. Dr. GILSON ANTÔNIO GIRALDI - Orientador Laboratório Nacional de Computação Científica - LNCC Prof. Dr. FABIANO SALDANHA GOMES DE OLIVEIRA - Diretor Instituto Superior de Tecnologia em Ciência da Computação - ISTCC-P Prof. LUIZ FERNANDO RIBEIRO DE ALMEIDA - Coordenador de Curso Instituto Superior de Tecnologia em Ciência da Computação - ISTCC-P Petrópolis, 14 de fevereiro de 2005.

4 Resumo Este trabalho apresenta a implementação de um método em Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) para a animação de fluidos. Este método é baseado na técnica Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH). O comportamento do fluido é modelado por um sistema de equações diferenciais parciais sujeito a certas condições iniciais e de contorno. O SPH é aplicado na discretização dessas equações para simulação computacional do movimento do fluido. O resultado é uma representação através de um sistema de partículas que se movem sob a influência de forças, como gravidade e pressão. Aliada a técnicas eficientes de visualização de fluidos, este tipo de animação pode atingir um grau elevado de realismo, uma vez que baseiase em princípios físicos para representar o movimento dos fluidos. Resultados preliminares obtidos neste trabalho indicam que esta técnica é promissora.

5 Abstract This work presents an implementation of a Computational Fluid Dynamics (CFD) method for fluid animation. This method is based on the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) technic. The fluid behavior is modelate as a partial differential equation system under some initial conditions and constrains. The SPH is applied over the discretization of these equations for computational simulating of fluid movement. The result is a representation throughout a particles system which move under the influence of forces, such as gravity and pressure. Besides efficient techniques for fluid visualization, this methodology for animation may achieve a high degree of realism, since it is based on physical principles for flow representation. Preliminary results, obtained in this work, show that this is a promising technique.

6 Sumário 1 Introdução Trabalhos Relacionados Conceitos Básicos Introdução à Dinâmica dos fluidos Dinâmica dos Fluidos Computacional Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Técnicas para Visualização de Fluidos Metodologia SPH na animação de fluidos Simulação Implementação Modelagem Sistema de Partículas Atributos da Partícula Subdivisão espacial Visualização e Resultados Conclusão Referências Bibliográficas

7 1 Introdução Aplicações que envolvem Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) têm sido utilizadas crescentemente em diversas áreas. Na indústria cinematográfica, por exemplo, a modelagem de fluidos é foco de pesquisa com o intuito de aumentar o realismo das animações. A Animação de Fluidos pode ser definida como a geração de uma seqüência de imagens digitais contendo fluidos em movimento. Nesse contexto, há um interesse tanto em reproduzir com fidelidade cenas de fenômenos presentes no mundo real quanto em produzir efeitos satisfatórios na realização de cenas que são fruto da imaginação dos cineastas. Como exemplo de cenas reais, podemos citar: inundações em ambientes abertos ou fechados (Figura 1), enxurradas, avalanches, explosões em áreas urbanas e não urbanas (Figura 3), incêndios e uma infinidade de outras. Dentre as cenas que são fruto da imaginação humana, a divisão instantânea de mares e rios (Figura 2), fluidos que assumem formas humanas ou de outros seres animados são bons exemplos. Figura 1: Dois instantes de uma simulação de inundação realística em um ambiente fechado.

8 8 Figura 2: Dois instantes da cena (imaginária) onde o mar se divide no filme O Príncipe do Egito. Figura 3: Simulação de explosão utilizando um modelo em Dinâmica dos Fluidos Computacional. Yngve et al. [31] A animação de fluidos possui natureza multidisciplinar, e seu desenvolvimento depende da interação entre profissionais das áreas de computação e engenharia. Para atingir o grau de realismo necessário, é preciso que as equações de fluidos sejam convenientemente tratadas e que as técnicas de visualização de dados utilizadas sejam adequadas às aplicações. Essas técnicas são oriundas da computação gráfica e as equações de fluidos são derivadas de conceitos da mecânica clássica. Sem dúvida, a geração de efeitos visuais para a indústria de entretenimento representa um grande motivador de pesquisas na área de animação de fluidos. Entretanto, ela não é a única consumidora das técnicas desenvolvidas. No meio científico e tecnológico, por exemplo, há uma crescente demanda por novas técnicas de animação, simulação e visualização de fluidos, com o intuito de aplicá-las ao estudo de diversos fenômenos. Como exemplo, podemos citar, o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas a fortes correntes de ar ou ao movi-

9 9 mento das marés, o estudo de fenômenos atmosféricos como os tornados, a hidrodinâmica das embarcações, o comportamento de superfícies expostas a grandes variações de temperatura, o escoamento das águas em determinados terrenos, bem como, a predição da trajetória de lavas após uma erupção vulcânica e de neve após uma avalanche, além da análise do comportamento do fluxo sangüíneo no interior das artérias do corpo humano [17]. Para estudar os fenômenos em Dinâmica de Fluidos, os pesquisadores utilizam princípios físicos juntamente com recursos de análise numérica. O comportamento do fluido pode ser modelado por um sistema de equações diferenciais parciais sujeito a certas condições iniciais e de contorno. Dificilmente este sistema apresenta solução analítica, o que os obriga a lançarem mão dos recursos da análise numérica para discretizar o problema e obter uma solução com um nível de aproximação aceitável. Nesse contexto, sistemas distribuídos têm sido explorados para melhorar o desempenho das aplicações [17], [5]. Tal busca por poder computacional pode ser atribuída ao fato de que, atualmente, uma simulação numérica em Dinâmica de Fluidos Computacional pode empregar malhas 3D com um nível de refinamento da ordem de pontos para cada instante de tempo simulado e o volume de dados gerado é, em geral, da ordem de dezenas de GigaBytes. Esse trabalho apresenta a implementação de uma metodologia para animação de fluidos baseada em uma técnica denominada Smoothed Particles Hydrodynamics (SPH). O método SPH é baseado em partículas e vem sendo aplicado com sucesso em problemas de engenharia, tais como simulação de fluidos compressíveis para o estudo de explosões e descrição da dinâmica de materiais. Na seção seguinte, apresentamos os principais trabalhos relacionados com animação de fluidos. Na Seção 3, apresentamos os conceitos básicos relacionados à DFC necessários ao entendimento do trabalho. A Seção 4 apresenta a metodologia e implementação realizada, e a Seção 5 apresenta alguns resultados preliminares. Finalmente, na Seção 6 apresentamos as conclusões e as perspectivas futuras.

10 2 Trabalhos Relacionados A Dinâmica dos Fluidos Computacional (DFC) possui uma longa história. Em 1822, Claude Navier, e em 1845, George Stokes formularam a famosa equação de Navier-Stokes que descreve a conservação do momento. Além desta equação, duas equações adicionais, uma delas descrevendo a conservação de massa e a outra descrevendo a conservação de energia são necessárias para simular fluidos (ver Sessão 3.1). Uma vez que essas equações são conhecidas e existe tecnologia de hardware para resolvê-las numericamente, uma grande quantidade de métodos tem sido proposta na literatura de DFC para simular o comportamento de fluidos computacionalmente. Há quase duas décadas, técnicas de simulação de fluido com propósitos especiais vêm sendo desenvolvidas no campo da computação gráfica. Em 1983, T. Reeves [21] introduziu sistemas de partículas como uma técnica para modelar uma classe de objetos fuzzy. Desde então, tanto a abordagem Lagrangeana, não dependente de malhas, quanto a abordagem Euleriana, baseada em malhas, têm sido usadas para simular fluidos em computação gráfica (Seção 3.2). Desbrun e Cani [3] e Tonnesen [28] usam partículas para animar objetos deformáveis. Partículas também têm sido usadas para animar superfícies [10] e para animar fluxos de lava [26]. Nos últimos anos, a abordagem Euleriana tem sido mais popular para a simulação de fluidos em geral [25], água [6], [4], [27], objetos deformáveis [18] e efeitos de derretimento [1]. Existem poucas técnicas disponíveis para uso em sistemas interativos. O método apresentado por Stam

11 11 [25], baseado em malha, foi certamente um passo importante rumo a simulação de fluidos em tempo real. Técnicas de animação interativas também estão disponíveis para o caso especial das ondas do oceano, em [9]. Ondas de água têm sido modeladas usando-se uma grande variedade de abordagens, incluindo modelos estocásticos [20], [13] e modelos cinemáticos [14], [29]. Sistemas de partículas foram adicionados aos modelos cinemáticos para modelar espuma e sprays para obtenção de efeito de ondas quebrando [19]. Também foram usados sistemas de partículas para modelar rastros de navio [8], e cascatas d água [24].

12 3 Conceitos Básicos Neste Capítulo, serão apresentados os conceitos básicos necessários à compreensão geral do trabalho. 3.1 Introdução à Dinâmica dos fluidos Considerando-se os três estados da matéria, sólido, líquido e gasoso, entende-se por fluido, a matéria em dois desses estados: líquido e gasoso. Em um nível microscópico, as moléculas de uma substância estão constantemente em vibração. Esta vibração descreve a energia interna da matéria, e conseqüentemente determina seu estado. Em um sólido, a energia é pequena o bastante (vibração molecular pequena) de maneira que as moléculas mantêm suas posições relativas umas às outras, mantendo assim, um arranjo regular ou estrutura que dá ao sólido sua rigidez. Em um líquido, há energia suficiente para que as moléculas se movam, porém, não o bastante para separá-las completamente. Desta forma, o líquido restringe-se a um volume finito. Em um estado gasoso, as vibrações são fortes o bastante para que as moléculas sejam separadas completamente e possam mover-se livremente. Utiliza-se o termo fluidos compressíveis com referência aos gases e o termo fluidos incompressíveis com referência aos líquidos. Pode-se dizer que: Dinâmica dos fluidos é o estudo do movimento do fluido em reação a forças como gravidade e tensões internas [22].

13 13 A Pressão média p sobre uma área do fluido é definida como a força F normal que atua sobre a superfície do fluido dividida pela área A da superfície sobre a qual a força age, dada por: p = F A (3.1) A densidade média ρ de um volume de fluido é definida como a massa contida em um volume V dividida por esse volume. ρ = m V (3.2) É natural formular as leis de conservação sob a hipótese de que o fluido é um meio continuum (Hipótese da Continuidade) [30]. Propriedades físicas do fluido, tais como densidade e velocidade, podem então ser descritas como campos escalares e campos vetoriais em R 3, ambos dependentes do tempo. Por exemplo ρ(t,x) e u(t,x). A Dinâmica dos fluidos é governada pelas leis de conservação da física clássica, chamadas conservação de massa, conservação de energia e conservação do momento. Equações diferenciais parciais são derivadas destas leis e, simplificadas sob circunstâncias apropriadas. A conservação de massa é assegurada pela Equação de Continuidade dada por: onde v é a velocidade do fluido. ρ t + (ρ v) = 0 (3.3) A equação de conservação para energia possui a seguinte forma diferencial: t (ρe) + (ρ ve) = (κ T ) + ( σ v) + ρ f e v + q H (3.4) onde E é a energia total por unidade de massa, κ é o coeficiente de condutividade térmica, T é a temperatura absoluta e ( σ v), f e e q H são fontes de variação da energia interna devido às tensões internas, forças de volume e fontes de calor, respectivamente. movimento: A Equação de Navier-Stokes é a equação de conservação do momento, ou equação de

14 14 ( ) v ρ + v v = t p + ρg + µ 2 v (3.5) onde g é um campo de força externo e µ a viscosidade do fluido. 3.2 Dinâmica dos Fluidos Computacional Os modelos matemáticos obtidos por meio das equações de conservação descritas acima dificilmente possuem solução analítica. Dessa forma, os modelos precisam ser discretizados para realização de simulações numéricas. O resultado desta discretização é a substituição do meio continuum inicial do modelo por um conjunto discreto e finito de pontos no espaço e no tempo, nos quais as derivadas que aparecem nas equações serão aproximadas. Duas abordagens podem ser adotadas para formular as versões discretas das equações do modelo: A Euleriana e a Lagrangeana. A abordagem Euleriana pode ser exemplificada pelos métodos tradicionais de Elementos Finitos e Diferenças Finitas, onde o conjunto de pontos é conectado seguindo uma topologia conveniente, dando origem a uma malha que pode ser de dois tipos: 1. Malha Estruturada: Cada ponto interno possui a mesma quantidade de pontos vizinhos. 2. Malha Não-Estruturada: Cada ponto interno possui quantidade variável de pontos vizinhos. Figura 3: Malha Estruturada. A abordagem Lagrangeana é independente de malhas. Neste caso, no lugar das malhas, são utilizadas partículas para formulação das versões discretas dos modelos. O método adotado

15 15 Figura 4: Malha Não-Estruturada. neste trabalho para animação de fluidos é baseado na abordagem Lagrangeana. A seção seguinte apresenta uma descrição deste método e a seção 4.1 mostra como ele foi aplicado em simulação de fluidos. 3.3 Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Este método foi desenvolvido por Lucy [12] e por Gingold e Monaghan [7] para a simulação de problemas astrofísicos. Ao contrário das abordagens baseadas em malha, a abordagem baseada em partículas torna as equações de conservação de massa e termos de convecção dispensáveis, o que reduz a complexidade da simulação. Outro aspecto interessante desta abordagem é que as partículas podem ser diretamente usadas para renderizar a superfície do fluido. Os fundamentos do método SPH estão na teoria de interpolação. Com o SPH, valores de campos que são definidos apenas em posições discretas das partículas, podem ser avaliados em qualquer posição no espaço. Para este propósito, o SPH distribui as grandezas em uma vizinhança local a cada partícula através do uso de uma função W, chamada de núcleo de suavização (Smoothing Kernel). De acordo com o método SPH, uma grandeza escalar A é interpolada na posição r por uma soma ponderada das contribuições de todas as partículas: A j A S (r) = m j W(r r j,h) (3.6) j ρ j onde j itera sobre todas as partículas, m j é a massa da partícula j, r j é a posição, ρ j a densidade e A j o valor da grandeza na posição r j.

16 16 A função W(r,h) é o núcleo de suavização e deve ser normalizada da seguinte forma: W(r)dr = 1 (3.7) onde a constante h é usada para definir o suporte do núcleo de suavização. A massa e a densidade da partícula aparecem na Equação (3.6), uma vez que cada partícula i representa um determinado volume V i = m i /ρ i. Enquanto a massa m i é constante para toda a simulação e, nesse caso específico, a mesma para todas as partículas, a densidade ρ i varia e deve ser calculada a cada instante de tempo. Substituindo diretamente na Equação 3.6 a grandeza escalar A pela densidade, temos a densidade na posição r como: ρ j ρ S (r) = m j W(r r j,h) = j ρ j m j W(r r j,h) (3.8) j Em muitas equações de fluidos, derivadas de grandezas aparecem e precisam ser calculadas. Com o método SPH, tais derivadas possuem influência somente sobre o núcleo de suavização. O gradiente de A é simplesmente: Enquanto o Laplaciano de A é resolvido para: A j A S (r) = m j W(r r j,h) (3.9) j ρ j 2 A j A S (r) = m j 2 W(r r j,h) (3.10) j ρ j É importante perceber que o método SPH apresenta alguns problemas. Quando é utilizado nas equações de fluidos, por exemplo, não é garantido que estas equações satisfaçam certos princípios físicos como a simetria de forças e a conservação do momento. Na Seção 4.1 é apresentado o modelo proposto por Müller et al.[15] para animação de fluidos via SPH e a solução adotada para esses problemas.

17 Técnicas para Visualização de Fluidos Os dados gerados via métodos numéricos precisam ser avaliados de alguma forma. Um recurso de particular importância na análise desses dados são as Técnicas de Visualização. Técnicas de Visualização de campos escalares (rendering de volume, isosuperfícies, splatting, etc.), campos vetoriais (linhas de corrente, superfícies de corrente, traçado de partículas, texturas, etc.) e campos tensoriais vêm sendo aplicadas para auxiliar a análise dos campos gerados nas simulações numéricas. O desenvolvimento das técnicas de visualização científica em DFC, aliado aos próprios métodos de modelagem e simulação de fluidos, propiciou as pesquisas em animação computacional de fluidos. Animação computacional é uma sub-área da computação gráfica com intensas pesquisas pelas suas aplicações na indústria de entretenimento, interação homemcomputador e educação. No caso específico deste trabalho, o interesse na aplicação das técnicas de visualização é a animação computacional de fluidos. Por animação de fluidos entendemos a geração de uma seqüência de imagens digitais contendo fluidos em movimento. Este movimento deve ser convincente, ou seja, o fluido deve escoar com o grau de realismo necessário para o contexto do filme que está sendo gerado. Entretanto, técnicas como o Traçado de Partículas e a utilização de setas para visualização dos campos vetoriais serão abordadas nesta sessão, uma vez que são bastante populares em DFC Setas e Traçado de Partículas Estas técnicas são convenientes para visualização de campos vetoriais que não possuem complexidade elevada. A utilização de símbolos (setas) é uma técnica muito comum e tem a vantagem de compactar em um único símbolo a direção, o sentido e a magnitude do campo em um ponto. No entanto, sua grande limitação está na representação de campos vetoriais 3D devido a inevitável sobreposição de setas em regiões de maior complexidade do campo e à ambiguidade das noções de direção e magnitude do campo decorrentes da projeção plana utilizada para o display na tela do computador. Um exemplo da utilização de setas é observado na Figura (5).

18 18 Figura 5: Visualização em 3D do campo vetorial no interior de uma artéria, utilizando setas. A técnica do Traçado de partículas está baseada na liberação de partículas de prova no interior do fluido as quais ficarão sujeitas à dinâmica do mesmo. Ao acompanharmos o movimento destas partículas, podemos obter uma boa noção do comportamento do campo. A Figura (6), mostra quatro instantes da visualização do comportamento do fluxo sangüíneo no interior de uma artéria, por meio desta técnica Isosuperfícies No caso específico da mecânica de fluídos, tem-se basicamente dois campos escalares: o campo de pressão e a densidade volumétrica de massa ρ. Podemos juntar a estes os campos definidos pelo módulo da vorticidade e da velocidade. Os métodos mais comumente utilizados para a visualização destes campos são baseados em isosuperfícies e rendering (direto) de volume.

19 19 Figura 6: Visualização por meio de Traçado de partículas, do comportamento do fluxo sangüíneo no interior de uma artéria. No caso das técnicas usando isosuperfícies a idéia é gerar uma aproximação poligonal da superfície (isosuperfície) definida por uma equação do tipo: F(x 1,x 2,x 3 ) = λ (3.11) onde F é o campo escalar F : R, com R 3 e λ é uma constante. Nas aplicações de nosso interesse, os campos escalares estão discretizados e portanto, a solução de 3.11 será obtida via uma busca dos pontos da malha que aproximem suficientemente a superfície procurada. As soluções encontradas na literatura para este problema estão vinculadas ao tipo de malha utilizado na discretização. Para malhas regulares de hexaedros, um algoritmo comumente usado na geração de isosuperfícies é o algoritmo dos cubos marchantes [11]. Vejamos uma descrição deste algoritmo.

20 20 Inicialmente, consideremos um cubo da malha e façamos uma enumeração binária dos seus vértices, da seguinte forma: é dado o valor 1 para os vértices, cujos valores do campo forem maiores ou iguais ao valor λ da isosuperfície procurada e 0 para os demais. Assim, as arestas dos hexaedros que tiverem um vértice com valor 1 e outro com valor 0 são aquelas cortadas pela superfície procurada. Uma vez que um cubo tem 8 vértices, temos um total de 2 8 = 256 configurações possíveis. Diremos que duas configurações são equivalentes quando uma for idêntica à outra a menos de rotações simples. Se considerarmos apenas as classes de equivalência correspondentes, obteremos um total de 22 configurações básicas, como mostra a figura a seguir. Figura 7: Configurações básicas para a interseção entre um cubo e uma superfície. Cada uma destas configurações, será representada por um índice de 8 bits construído através dos estados dos vértices correspondentes. Cada um destes índices será um ponteiro em uma tabela que fornece todas as arestas cortadas pela superfície para cada configuração básica.

21 21 Tal procedimento pressupõe uma enumeração dos vértices e das arestas do cubo, tal como a apresentada na figura seguir: Figura 8: Enumeração das arestas e lados do cubo juntamente com o indice da configuração correspondente. Para os casos 0, 1 e 2 da Figura 7, por exemplo, as linhas da tabela têm a seguinte forma: Procedendo analogamente, podemos montar a tabela para os 22 casos básicos da Figura 7. Esta Indice Arestas Cortadas Nenhuma aresta e cortada e1, e4, e e2, e4, e9, e10 Tabela 1: Índice da configuração básica e arestas para os casos 0, 1 e 2 da Figura 7 tabela será fundamental para o cálculo dos polígonos que concatenados definirão a superfície.

22 22 Tomemos um cubo qualquer da malha. Uma vez analisados os valores de campo em seus vértices, teremos uma das 256 possíveis configurações para o mesmo e poderemos identificar a configuração básica correspondente. Feito isso, teremos o índice correspondente na Tabela 1 e conseqüentemente as arestas cortadas. Basta então tomar os valores de campo nos vértices destas arestas para, via interpolação, estimar os pontos de interseção sobre as mesmas. Estes pontos definirão um polígono que aproximará a superfície no interior do cubo. Uma vez executado este procedimento para todos os cubos da malha, teremos uma aproximação poligonal da superfície em questão. Para a visualização da superfície poligonal, será necessário calcular o vetor normal nos polígonos que a definem. Se quisermos uma suavização da mesma, precisaremos estimar o vetor normal nos vértices, o que pode ser feito por diferenças finitas. Outra possibilidade é ajustar uma superfície paramétrica (splines, por exemplo) aos vértices da superfície poligonal, o que pode trazer problemas de performance para grandes massas de dados. O método de geração de isosuperfícies apresentado acima deixa aparente uma limitação desta técnica para visualização em grandes massas de dados: o número de polígonos formando a superfície pode se tornar muito alto trazendo problemas de performance para a etapa de rendering. Quando isto acontece, podemos lançar mão de técnicas para simplificação de superfícies poligonais [2] o que por sua vez implica em problemas referentes à preservação da topologia das isosuperfícies e possível perda de detalhes importantes. Por outro lado, técnicas baseadas em isosuperfícies têm a vantagem de serem robustas e apresentam boa performance para massas de dados de pequeno e médio porte. A Figura 11- (c), no Capítulo 6, apresenta alguns resultados obtidos por meio desta técnica.

23 4 Metodologia 4.1 SPH na animação de fluidos Esta sessão apresenta o modelo baseado em SPH proposto por Müller et al.[15], adotado neste trabalho para a animação de fluidos. Seguindo a metodologia apresentada na Seção 3.6, serão calculadas as forças de pressão e viscosidade. Para permitir interatividade em tempo-real serão utilizados núcleos de suavização específicos que procuram manter o realismo necessário sem comprometer o custo computacional. Na formulação Euleriana, fluidos isotérmicos são descritos por uma velocidade v, uma densidade ρ e uma pressão p. A evolução dessas grandezas através do tempo é dada por duas equações. Pela Equação de Continuidade (3.3), que garante a conservação de massa, e pela Equação de Navier-Stokes (3.5) que garante a conservação do momento. O uso de partículas no lugar de uma malha simplifica a resolução destas equações. Como o número de partículas é constante e cada partícula possui massa constante, a equação de continuidade pode ser completamente omitida. Além disso, a expressão v t + v v pode ser substituída pela derivada material d v dt, uma vez que as partículas se movem simulando o fluido e não temos uma malha para estimar as derivadas parciais.

24 24 Existem três campos de força no lado direito da Equação (3.5): aquelas que modelam a pressão ( p), as forças externas (ρg) e a viscosidade (µ 2 v). A soma dessas forças determina a alteração do momento ρ D v Dt das partículas. Como aceleração da partícula i, temos: a i = d v i dt = f i ρ i (4.1) onde v i é a velocidade da partícula i e f i e ρ i são o campo de força da densidade e a densidade, respectivamente. A seguir, serão abordadas as forças de pressão e viscosidade, modeladas através da metodologia apresentada na Seção 3.6, além das forças externas e de superfície Força de pressão A aplicação da regra descrita na Equação (3.6) sobre o termo da pressão ( p) leva a f press i = p j p(r i ) = m j W(ri r j,h) (4.2) j ρ j Infelizmente, esta força não é simétrica, como pode ser visto quando apenas duas partículas interagem. Uma vez que o gradiente do kernel tem valor zero no centro, a partícula i usa apenas a pressão da partícula j para computar sua força de pressão e vice-versa. Geralmente, como a pressão é diferente em duas partículas de posições diferentes, as forças de pressão não serão simétricas. Diferentes modos de simetrização da Equação (4.2) têm sido propostos na literatura. Neste trabalho, será adotada a solução proposta por Müller et al. [15]. f press i p i + p j = m j W(ri r j,h) (4.3) j 2ρ j Esta forma é simétrica, já que usa uma média aritmética das pressões das partículas que estão interagindo. Uma vez que as partículas apenas carregam três grandezas: massa, posição e velocidade; a pressão nas posições das partículas deve ser avaliada primeiro. Isto é feito em duas etapas. A Equação (3.8) calcula a densidade da partícula na posição r. Então, a pressão pode ser calculada por uma equação de estado do tipo gás ideal, dada por:

25 25 p = k(ρ ρ 0 ) (4.4) onde k é uma constante que depende da temperatura e ρ 0 a densidade inicial Força de viscosidade A aplicação da regra descrita na Equação (3.6), sobre o termo de viscosidade (µ 2 v) produz novamente forças assimétricas: f visc i = µ 2 v(r) = µ j m j v j ρ j 2 W(r i r j,h) (4.5) uma vez que o campo de velocidade varia de partícula para partícula. Como a força de viscosidade depende apenas das diferenças de velocidade e não da velocidade absoluta, existe uma maneira natural de simetrizar as forças de viscosidade usando as diferenças de velocidade. f visc i = µ j m j v j v i ρ i 2 W(r i r j,h) (4.6) Forças Externas As forças externas tais como a gravidade e as forças de colisão são diretamente aplicadas às partículas sem o uso de SPH. Por exemplo, quando uma partícula colide com a parede de um objeto sólido, a componente da velocidade, normal à superfície rígida, é refletida para o interior do fluido Forças de Superfície As forças de superfície não estão presentes na Equação (3.5), entretanto, foram modeladas em [15] explicitamente baseadas nas idéias de Morris [16]. As moléculas de um fluido estão sujeitas às forças atrativas de suas moléculas vizinhas. Dentro do fluido, essas forças intermoleculares são iguais em todas as direções e, portanto, balanceadas. Ao contrário, as forças que atuam sobre as moléculas da superfície livre não são balanceadas. As forças de tensão de superfície atuam na direção normal à superfície do fluido. A superfície do fluido pode ser obtida

26 26 usando-se uma quantidade adicional que assume valor unitário nas posições das partículas e zero em qualquer outra parte. Este campo é denominado campo de cor na literatura e sua versão suavizada é dada pela expressão: 1 c S (r) = m j W(r r j,h) (4.7) j ρ j A normal e curvaturas da superfície livre podem ser obtidas por: n = c S,κ = 2 c S n (4.8) Finalmente, as forças na superfície livre são modeladas por: t sup = σκ n n (4.9) onde σ é um parâmetro que controla a influência desta força. O objetivo final é reproduzir o efeito de minimização da curvatura, observado para este tipo de força. De fato, se considerarmos uma superfície inicial S, que se movimenta de acordo com uma equação do tipo: S t = σκ n n (4.10) observamos, exatamente, uma evolução que suaviza pontos onde a curvatura é mais elevada [23] Núcleos de suavização A estabilidade, precisão e velocidade do método SPH são influenciadas pela escolha dos núcleos de suavização. Em Müller et al. [15], foram propostos os seguintes núcleos de suavização: W cor (r,h) = πh 9 (h 2 r 2 ) 3, 0 r h, 0, cc. (4.11)

27 27 W press (r,h) = 15 πh 6 W visc (r,h) = 15 2πh 3 (h r) 3, 0 r h, 0, cc. r3 + r2 + h 2h 3 h 2 2r 1, 0 r h, 0, cc. (4.12) (4.13) A última expressão, 4.13, foi escolhida por possuir Laplaciano positivo em todo domínio. Esse Laplaciano é dado pela seguinte expressão: 45 (h r), 0 r h πh W visc (r,h) = 6 0, cc. (4.14) 4.2 Simulação As equações de Navier-Stokes dadas pela Expressão (3.5) são discretizadas, substituindose cada termo do segundo membro pela sua versão obtida via núcleo de suavização; ou seja, pelas Expressões (4.3) - (4.6), com a densidade ρ dada pela equação (3.8), e usando-se no primeiro membro a derivada material d v dt. Desta forma, obtém-se o seguinte esquema numérico: d v i dt = Q t i (4.15) onde Q t i = ( ) p j m t j +pt i j 2ρ W(r t t j i r t j,h) + ρt j g v j + j m t t j v i j ρ t 2 W 2 (ri t rt j,h) j ρ t j (4.16) e, seguindo as equações (3.8)-(4.4): ρ t j = m k W(r t j rk t ) (4.17) k

28 28 p t j = k(ρ t j ρ 0 j) (4.18) Uma vez resolvida a Equação (4.15), o campo de acelerações ( d v i dt ) obtido é finalmente utilizado para atualizar a velocidade e posição das partículas, de acordo com o seguinte esquema: v i t+ t = v i t + δt 2 Qt i (4.19) r t+ t i = r t i + δt v i t+ t (4.20) Este esquema, denominado Leap-Frog, é um método iterativo de segunda ordem. Em [15], usou-se um intervalo de tempo constante de δt = 10 2 segundos.

29 5 Implementação Este capítulo apresenta a implementação do método SPH descrita neste trabalho para a simulação de fluidos. A modelagem do sistema é apresentada na seção 5.1 através de um diagrama de classes. Com base nesse diagrama as seções seguintes descrevem os principais tópicos do sistema proposto. Entre eles, as propriedades das partículas (Seção 5.3), a subdivisão espacial (Seção 5.4), a atualização das forças (Seção 5.4.2) e o tratamento de colisões (condições de contorno) (Seção 5.4.1). 5.1 Modelagem O Diagrama de classes da Figura 9 representa, de forma estruturada, a implementação da metodologia proposta neste trabalho. Nesta seção descrevemos brevemente, a funcionalidade das principais classes presentes nesta modelagem. A Classe Solver é responsável pela solução das equações do modelo (Seção 4.1) e por determinar a posição das partículas no instante t + δt, através do esquema Leap-Frog, descrito na Seção 4.2. A Classe ParticleSystem representa o fluido por meio de um Sistema de partículas. A Classe Particle define as partículas do sistema. As Seções 5.2 e 5.3 descrevem mais detalhes a respeito das duas últimas classes.

30 30 A Classe Boundary modela as fronteiras do fluido por meio de uma malha poligonal composta pelas Classes Vertice e Face. Os vértices compõem as faces e são uma especialização da classe auxiliar 3DCoordinate. A Classe mathvector também é uma especialização da Classe 3DCoordinate e é utilizada na definição de grandezas vetoriais, bem como, algumas operações entre tais grandezas que são necessárias à aplicação. A Classe SpatialSubdivision modela uma subdivisão espacial do domínio. A Seção 5.4 exemplifica essa estrutura. Figura 9: Diagrama de classes do Projeto 5.2 Sistema de Partículas O fluido é modelado como sendo um conjunto organizado de partículas. As partículas representam elementos de pequeno volume do fluido, que interagem de acordo com as leis da

31 31 Dinâmica dos Fluidos. A viscosidade do fluido, bem como a força externa que atua sobre o mesmo, são atributos do sistema de partículas. 5.3 Atributos da Partícula Os atributos das partículas são os seguintes: 1. massa 2. cor 3. estado Seu estado é composto por: 1. posição 2. normal 3. pressão 4. velocidade 5. densidade 6. condição Massa, cor, pressão e densidade são valores em R. Posição, normal e velocidade são grandezas vetoriais. A condição da partícula está relacionada com a posição que ela pode assumir no domínio, e é dividida em: 1. Partícula de fronteira 2. Partícula de superfície 3. Partícula interna 4. Posição indefinida Os atributos cor, normal e condição são utilizados na etapa de visualização do fluido. Os demais são necessários à simulação.

32 Subdivisão espacial Com base no fato de que os núcleos de suavização possuem suporte limitado, dado por h, usamos uma subdivisão espacial, com células (cubos) de lado h, onde o conjunto de partículas é distribuído. Figura 10: Subdivisão espacial regular forma: A célula em que cada partícula será inserida é dada por um índice n, obtido da seguinte n = r x h + (e x r y h ) + (e x e y ) r z h (5.1) onde ex e ey são as dimensões do volume em x e y, e rx, ry, rz representam as coordenadas das partículas em x,y e z, e h o suporte dos núcleos de suavização. Dessa forma, dada uma partícula i, as partículas candidatas a participarem com a mesma durante o cálculo das quantidades em questão, estarão na mesma célula da partícula i, ou nas células vizinhas a esta célula. Inicialmente, optamos por uma subdivisão espacial regular. Essa estrutura permite a redução do custo computacional de O(n 2 ) para O(nm) onde n é o total de partículas e m o número médio de partículas na vizinhança h. Outra vantagem da utilização dessa estrutura é a redução do número de verificações de colisão de uma partícula com a fronteira da geometria,

33 33 através da identificação das células que são cortadas por esta fronteira. Uma vez identificadas tais células, as verificações de colisão são efetuadas apenas para as partículas presentes nas mesmas. Uma subdivisão espacial adaptativa está presente na modelagem como pode ser observado na Figura 9 e será empregada futuramente para diminuir ainda mais o número de verificações de colisão Condições de contorno Inicialmente, utilizamos um cubo para delimitar as fronteiras do fluido. Entretanto, o algoritmo utilizado é genérico o bastante para que outras geometrias possam ser modeladas. Essas condições de contorno são implementadas seguindo uma metodologia simples, inspirada na interpretação do fluido como um sistema de partículas. Ou seja, quando uma partícula colide com a parede de um objeto sólido, a componente da velocidade, normal à superfície rígida, é refletida para o interior do fluido. O primeiro passo para este propósito é verificar a posição da partícula com relação à geometria definida. Essa verificação foi implementada de modo que possa ser utilizada em qualquer poliedro convexo. Se a partícula avaliada for externa à geometria, inicia-se a etapa de reflexão Dinâmica Nesta seção, esquematizamos o cálculo das forças via equações da Seção 4.1, bem como a atualização da densidade e pressão das partículas, dadas respectivamente pelas equações 4.17 e 4.18, e, por último, a atualização da velocidade e posição das partículas dadas respectivamente pelas Equações (4.19) e (4.20).

34 34 Algorithm 1 : Calculo das forças de Pressão, Externa e de Viscosidade CalculaForças() nump = Total de partículas for i = 1 to nump do CalculaGradienteWpress(particula i); Calcula Força de Pressão; Calcula Força Externa; CalculaLaplacianoWvisc(particula i); Calcula Força de Viscosidade; Algorithm 2 : Atualização da Densidade e Pressão das partículas Atualiza Densidade e Pressão(); nump = Total de partículas for i = 1 to nump do CalculaDensidade(partícula i) CalculaPressão(partícula i) Algorithm 3 : Atualização da Velocidade e Posição das partículas Atualiza Velocidade e Posição(); nump = Total de partículas for i = 1 to nump do Atualiza velocidade(partícula i); Atualiza posição(partícula i); Algorithm 4 : Condições de Contorno Condições de Contorno(); numpf = Partículas de fronteira for i = 1 to numpf do VerificaColisão(partícula i); EfetuaReflexão(partícula i);

35 6 Visualização e Resultados Em [15] são utilizadas técnicas baseadas em superfícies e técnicas baseadas em nuvens de pontos para efetuar a visualização. Em ambos os casos, a idéia é fazer uso do campo de cor, dado pela Expressão (4.7), e de seu gradiente, para identificar partículas da superfície livre do fluido e encontrar sua normal. Primeiramente, uma partícula será considerada na superfície se: n > l, (6.1) onde l é o limiar a ser escolhido previamente. Assim, a normal a uma partícula de superfície na posição r i é dada por: n(r i ), (6.2) Desta forma, obtem-se um conjunto de pontos, com suas normais, entretanto, sem informações de conectividade. Estes são os elementos necessários para efetuar o rendering via point splatting. Contudo, devemos ficar atentos com relação à quantidade de pontos de superfície. Usualmente, as técnicas de splatting são aplicadas para nuvens de pontos obtidas via scanners, com tipicamente a pontos. Em Müller et al., usa-se apenas algumas centenas de partículas para evitar um custo computacional que impossibilite a interatividade em

36 36 tempo-real. Considerando-se ainda que a quantidade de pontos de superfícies é apenas uma fração deste montante, fica a dúvida com relaçào à qualidade visual da cena. Figura 11: Resultados da utilização de splatting (b) e marching cubes (c) em Muller et al. [15]. Na Figura 11, temos um exemplo da utilização de splatting nesta aplicação. A água no copo foi amostrada com 2200 partículas. A Figura 11-(a) mostra as partículas individualmente. A Figura 11-(b) mostra um resultado obtido pela utilização de splatting para a renderização da superfície livre da água. A Figura 11-(c) exibe um resultado mais realista, obtido com o algoritmo Marching-Cubes, descrito na Seção Neste caso, a superfície alvo seria uma isosuperfície do campo de cor suavizado, dado pela Expressão (4.7). Escolheu-se uma malha regular, fixa, e usou-se Marching-Cubes para obter uma representação poligonal da superfície em questão. A implementação usada em [15] inicia a busca pelas células que contém partículas de superfície, varrendo recursivamente as células próximas a estas. Usa-se uma tabela hash para evitar que uma mesma célula seja visitada mais de uma vez. Contudo, o custo computacional torna-se mais elevado. Nestes exemplos, usou-se um Pentium IV com 1.8 GHz e placa gráfica Gforce 4. Para o splatting, conseguiu-se uma taxa de 20 frames por segundo, enquanto que, com Marching-Cubes, a taxa diminuiu para 5 frames por segundo. A Figura 12 mostra um outro exemplo, onde o usuário interage com o fluido, via mouse, gerando um campo externo que faz a água se mover. Neste caso, a superfície livre foi renderizada via splatting. Usou-se 1300 partículas, conseguindo-se uma taxa de 25 frames por segundo com a arquitetura descrita acima.

37 Figura 12: Aplicação onde o usuário interage com o fluido via mouse 37

38 7 Conclusão Neste Trabalho, foi apresentada uma metodologia para animação de fluidos baseada em um modelo físico. A implementação do método foi concluída, entretanto a etapa de visualização está sendo desenvolvida. Ainda com relação à visualização, optamos, inicialmente, por utilizar o algoritmo descrito na Seção Essa escolha foi feita com base nos resultados encontrados na literatura, principalmente naqueles obtidos por Müller et al. [15] mostrados na Seção 6. Esse trabalho faz parte de um sistema mais amplo que encontra-se em fase de desenvolvimento no LNCC. O sistema em questão dará suporte à simulações de fluidos por meio de diversas metodologias além da apresentada aqui. Além disso, a visualização dos resultados poderá ser feita através de diferentes técnicas. Essas características do sistema o tornam flexível e passível de ser empregado para o desenvolvimento de aplicações de visualização de fluidos com propósitos específicos. Os resultados obtidos em [15], apresentados na Seção 6, mostram que o modelo físico baseado em SPH representou de forma satisfatória o movimento dos fluidos. Para implementação deste modelo, construímos o diagrama apresentado na Figura 9. Como pode ser observado neste diagrama, a implementação apresenta uma boa modularização do código, o que facilita alterações no mesmo. Tal caracterísca se faz bastante conveniente, uma vez que, concluída a etapa de visualização, alterações no modelo podem ser sugeridas para otimizar a simulação.

39 39 Após conclusão da etapa de visualização, resultados mais substanciais poderão ser apresentados. Até aqui, obtivemos boas perspectivas futuras a respeito deste trabalho. Dentre as quais, podemos citar: A exploração de técnicas de visualização com o intuito de aplicá-las a sistemas que exijam interatividade em tempo real, aumentando o realismo visual da cena sem comprometer o realismo físico da simulação. A exploração de técnicas de processamento paralelo em ambientes distribuídos (i.e., grade computacional), uma vez que, acredita-se que a adoção dessas técnicas possa trazer ganhos substanciais no tempo de execução dos algoritmos de simulação numérica bem como no tempo de execução dos algoritmos de visualização. A exploração de novas metodologias para simulação do comportamento de fluidos, com o intuito de aumentar a gama de aplicações do sistema de Animação Computacional de Fluidos em desenvolvimento no LNCC.

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