O escoamento em meios porosos
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- Pedro Henrique Alvarenga Figueiroa
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1 1/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de O escoamento em meios porosos João Felipe Mitre 1 1 Universidade Federal Fluminense 2016
2 2/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Plano da apresentação 1 O Meio Poroso 2 A modelagem do meio poroso 3 Equações Constitutivas 4 Referências
3 3/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de O meio poroso
4 3/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de O meio poroso O que é um meio poroso? Constituído por partículas compactadas.
5 3/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de O meio poroso O que é um meio poroso? Constituído por partículas compactadas. Fonte: Soulaine (2015)
6 4/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Plano da apresentação 1 O Meio Poroso 2 A modelagem do meio poroso 3 Equações Constitutivas 4 Referências
7 5/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem
8 5/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem Modelagem de Stokes Utilizamos as equações de conservação de quantidade de movimento, massa e energia para modelar o escoamento no espaçamento formado por entre os grãos. Grande esforço computacional.
9 5/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem Modelagem de Stokes Utilizamos as equações de conservação de quantidade de movimento, massa e energia para modelar o escoamento no espaçamento formado por entre os grãos. Grande esforço computacional. Exemplo: Simulação de Borcado et al. (2015). Escoamento em um cubo com 2 mm grãos. 40 milhões de elementos.
10 6/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem
11 6/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem Modelagem de Darcy Tratamos o meio com uma meio contínuo e modelamos o efeito do escoamento entre as partículas. Conhecimento gerado com experimento de Darcy (1856)
12 6/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Linhas de modelagem Modelagem de Darcy Tratamos o meio com uma meio contínuo e modelamos o efeito do escoamento entre as partículas. Conhecimento gerado com experimento de Darcy (1856) Conclusão do experimento de Darcy q = KA h 1 h 2 L Posteriormente concluímos que: u = k [ p + γ z] µ Onde k é a permeabilidade absoluta
13 7/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Questões da modelagem de Darcy
14 7/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Questões da modelagem de Darcy Fluxo Darcyano Segue a lei da Darcy o escoamento que possui fluxo Darcyano. Equivalente ao laminar em meios porosos.
15 7/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Questões da modelagem de Darcy Fluxo Darcyano Segue a lei da Darcy o escoamento que possui fluxo Darcyano. Equivalente ao laminar em meios porosos. A permeabilidade do fluido Permeabilidade absoluta, k. Função do meio. Permeabilidade efetiva, k i. Existe pelo menos mais um fluido. Permeabilidade relativa, k r = k i /k.
16 7/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Questões da modelagem de Darcy Fluxo Darcyano Segue a lei da Darcy o escoamento que possui fluxo Darcyano. Equivalente ao laminar em meios porosos. A permeabilidade do fluido Permeabilidade absoluta, k. Função do meio. Permeabilidade efetiva, k i. Existe pelo menos mais um fluido. Permeabilidade relativa, k r = k i /k. Condições do experimento Estado estacionário e darcyano com um único fluido newtoniano Sem reação química
17 8/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equação de Darcy-Forchheimer
18 8/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equação de Darcy-Forchheimer Equação de Darcy p = µ k u
19 8/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equação de Darcy-Forchheimer Equação de Darcy p = µ k u Equação de Darcy-Forchheimer ( µ ) p = k + βρ u u Permite modelar fluxos não darcyanos. Base para abordagem mais amplas.
20 9/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem da Equação da Conservação Quantidade de Movimento O gradiente da pressão é incrementado na nova formulação. Generalizando ainda mais a formulação de Darcy-Forchheimer. ρu t S = + (ρuu) = p + (τ ) + S + f v (µd + f 12 ) ρ u u
21 9/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem da Equação da Conservação Quantidade de Movimento O gradiente da pressão é incrementado na nova formulação. Generalizando ainda mais a formulação de Darcy-Forchheimer. ρu t S = + (ρuu) = p + (τ ) + S + f v (µd + f 12 ) ρ u u Se modelo de Darcy: d = 1/k e f = 0
22 9/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem da Equação da Conservação Quantidade de Movimento O gradiente da pressão é incrementado na nova formulação. Generalizando ainda mais a formulação de Darcy-Forchheimer. ρu t S = + (ρuu) = p + (τ ) + S + f v (µd + f 12 ) ρ u u Se modelo de Darcy: d = 1/k e f = 0 Se modelo de Darcy-Forchheimer: d = 1/k e f = 2β
23 9/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem da Equação da Conservação Quantidade de Movimento O gradiente da pressão é incrementado na nova formulação. Generalizando ainda mais a formulação de Darcy-Forchheimer. ρu t S = + (ρuu) = p + (τ ) + S + f v (µd + f 12 ) ρ u u Se modelo de Darcy: d = 1/k e f = 0 Se modelo de Darcy-Forchheimer: d = 1/k e f = 2β Se modelo de Ergun: 150 (1 φ)2 d = d 2 pφ 3 e 1,75 (1 φ) f = d p φ 3
24 10/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem
25 10/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem com velocidade explícita Note que no meio poroso a velocidade é explícita pela lei de Darcy. u = p k µ
26 10/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem com velocidade explícita Note que no meio poroso a velocidade é explícita pela lei de Darcy. u = p k µ Apenas me basta resolver a equação da pressão
27 10/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Modelagem com velocidade explícita Note que no meio poroso a velocidade é explícita pela lei de Darcy. u = p k µ Apenas me basta resolver a equação da pressão Na equação de Darcy-Forchheimer, o termo é não linear. A solução é uma metodologia numérica.
28 11/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem
29 11/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico
30 11/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico Com base na equação da continuidade obtém-se a equação da difusividade hidráulica
31 11/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico Com base na equação da continuidade obtém-se a equação da difusividade hidráulica Preliminarmente: ( ) ρk µ p = φρ t
32 12/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem
33 12/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico
34 12/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico Algum trabalho de particularização pode ser feito.
35 12/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento monofásico Algum trabalho de particularização pode ser feito. Para líquidos:: 2 (p) = 1 η p t η = k/(φµc t ) e C t = C o S o + C w S w + C f
36 13/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem
37 13/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Restrições do modelo: não há reação química e não há interação do fluido com a rocha escoamento darcyano e isotérmico efeitos gravitacionais desprezíveis, escoamento horizontal a compressibilidade do fluido é pequena e a viscosidade é constante o meio poroso é homogêneo, isotrópico e de permeabilidade constante pequenos gradientes de pressão fluxo monofásico (mesmo que exista outras fases).
38 14/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Modelagem Escoamento multifásico Com base na equação da continuidade obtém-se: ( kk ) ra(s b ) ( p a ρ a g) + µ ( a kk ) rb(s b ) ( p a ρ b g p c (S b )) = q a + q b µ b φ S i t + (u i) = q i u i = k i µ i ( p i ρ i g) Si = 1 p c (S b ) = p a p b
39 15/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Plano da apresentação 1 O Meio Poroso 2 A modelagem do meio poroso 3 Equações Constitutivas 4 Referências
40 16/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Termos que requerem modelagem adicional Modelagem da permeabilidade relativa Modelagem da pressão capilar Modelagem da vazão do poço
41 17/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Seja definido a Saturação Efetiva: S i S i,irr S i,eff = 1 S a,irr S b,irr
42 17/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Seja definido a Saturação Efetiva: S i S i,irr S i,eff = 1 S a,irr S b,irr Modelagem da permeabilidade relativa 1. Brooks e Corey: k ri = k ri,max Si,eff m ( ( ) m ) 2 2. Van Genuchten: k ri = k ri,max S 1/2 i,eff 1 1 S 1/m i,eff 3. Existem mais 100 correlações na literatura.
43 18/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Seja definido a Saturação para avaliação da pressão capilar: S b,pc = S b S pc,irr S pc,max S pc,irr
44 18/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Seja definido a Saturação para avaliação da pressão capilar: S b,pc = S b S pc,irr S pc,max S pc,irr Modelagem da pressão capilar 1. Brooks e Corey: p c (S b,pc ) = p c,0 S α b,p c ( ) 1 m 2. Van Genuchten: p c (S b,pc ) = p c,0 S 1/m b,p c 1 3. Modelo linear: p c (S b,pc ) = p c,0 + (1 S b,pc ) (p c,max p c,0 ) 4. Outras tantas correlações na literatura.
45 18/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Seja definido a Saturação para avaliação da pressão capilar: S b,pc = S b S pc,irr S pc,max S pc,irr Modelagem da pressão capilar 1. Brooks e Corey: p c (S b,pc ) = p c,0 S α b,p c ( ) 1 m 2. Van Genuchten: p c (S b,pc ) = p c,0 S 1/m b,p c 1 3. Modelo linear: p c (S b,pc ) = p c,0 + (1 S b,pc ) (p c,max p c,0 ) 4. Outras tantas correlações na literatura. Note que: p c (S b ) = dp c S b = dp c ds b S b ds b ds b ds b,pc
46 19/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Mobilidade, λ i λ i = kk ri µ i
47 19/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Equações Constitutivas Mobilidade, λ i λ i = kk ri µ i Modelagem da vazão do poço Hipótese de que injeta-se uma fase pura e retira-se duas fases, relativamente a sua mobilidade. q i = Q inj λ i j λ Q prod j
48 20/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Plano da apresentação 1 O Meio Poroso 2 A modelagem do meio poroso 3 Equações Constitutivas 4 Referências
49 21/21 - Universidade Federal Fluminense. Junho de Referências Manual do OpenFOAM - Henri Darcy. Fontaines publiques de la ville de Dijon. Librairie des Corps Impériaux des Ponts et Chaussées et des Mines, 1856 Bocado et al. (2015). Pore-scale simulation of particle transport and deposition in 3D porous media. Slides. HPC FOAM Workshop. Soulaine, C. (2015) On the Origin of the Darcy s Law. Rosa et al. (2001) Engenharia de Reservatórios, Interciência, Rio de Janeiro.
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