6º CONGRESSO BRASILEIRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO EM PETRÓLEO E GÁS

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1 6º CONGRESSO BRASILEIRO DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO EM PETRÓLEO E GÁS TÍTULO DO TRABALHO: Análise dos Efeitos dos Modelos de Forchheimer Quadrático e Cúbico no Comportamento da Pressão de Poços de Petróleo AUTORES: Chafic C. C. da Cruz, Grazione de Souza Boy, Adolfo P. Pires INSTITUIÇÃO: Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro Este Trabalho foi preparado para apresentação no 6 Congresso Brasileiro de Pesquisa e Desenvolvimento em Petróleo e Gás- 6 PDPETRO, realizado pela a Associação Brasileira de P&D em Petróleo e Gás-ABPG, no período de 09 a 13 de outubro de 2011, em Florianópolis-SC. Esse Trabalho foi selecionado pelo Comitê Científico do evento para apresentação, seguindo as informações contidas no documento submetido pelo(s) autor(es). O conteúdo do Trabalho, como apresentado, não foi revisado pela ABPG. Os organizadores não irão traduzir ou corrigir os textos recebidos. O material conforme, apresentado, não necessariamente reflete as opiniões da Associação Brasileira de P&D em Petróleo e Gás. O(s) autor(es) tem conhecimento e aprovação de que este Trabalho seja publicado nos Anais do 6 PDPETRO.

2 Análise dos Efeitos dos Modelos de Forchheimer Quadrático e Cúbico no Comportamento da Pressão de Poços de Petróleo Abstract High velocity flow through porous media causes a higher pressure drop than predicted by the Darcy equation. In this case, besides viscous forces, there is also another component due to inertial and/or turbulent effects. This behavior usually occurs in gas flow in naturally fractured reservoirs (NFRs). In these cases, Forchheimer s equation, which includes inertial and turbulent effects through non-linear terms added to Darcy s law, may be used. In this context, the objective of this work is to analyze, using a numerical simulator, the pressure drop in gas wells in naturally fractured porous media, using Forchheimer s equation in both quadratic and cubic formulations. Introdução O gás natural tem aumentado sua participação no mercado de energia, especialmente por se tratar de uma fonte menos poluente que o petróleo. Nesse cenário, a indústria de petróleo e gás tem investido em tecnologias melhores e mais eficientes a fim de produzir maior quantidade de gás com menor custo. Os reservatórios naturalmente fraturados, portadores de boa parte das reservas de gás natural, são constituídos por dois meios com propriedades distintas. O primeiro é a matriz, a qual apresenta baixa condutividade e alta estocagem. A porosidade da matriz é denominada primária. O segundo meio, com alta condutividade e baixa estocagem, é denominado fratura, e surge devido a tensões e/ou dissoluções por percolação de líquidos na rocha ao longo do tempo. Efeitos não-darcy são significativos quando há alta velocidade de escoamento. Neste caso, o fluxo deixa de ser laminar e passa a ser turbulento. Surge, então, a necessidade de uma modelagem adequada desse comportamento. Este trabalho tem por objetivo estudar o escoamento de gases reais em meios porosos naturalmente fraturados, com incorporação de efeitos não-darcy através da utilização da equação de Forchheimer. A importância prática deste problema está na determinação do perfil de queda de pressão no poço, o que auxilia na escolha de estratégias de explotação dos hidrocarbonetos. Metodologia Na engenharia química e de petróleo, a equação de Forchheimer é a base para as investigações de fluxo não-darcy. Este modelo adiciona termos que levam em consideração a queda extra de pressão devido a efeitos inerciais e/ou turbulentos no caso de fluxo com grande velocidade. A formulação mais comum da equação de Forchheimer é dada pela seguinte expressão: Neste artigo também será adotada a formulação cúbica:

3 O primeiro coeficiente de fluxo não-darcy β tem dimensão do inverso de comprimento. Dentre as diversas relações existentes na literatura, a de JONES (1987) foi escolhida para este trabalho: A dimensão do segundo coeficiente γ é o inverso de viscosidade, sendo utilizada a relação de BUELL (1985): É possível escrever as equações de Forchheimer na forma da lei de Darcy modificada: onde o desvio em relação à lei de Darcy é expresso por: para a forma quadrática e: para a formulação cúbica da equação de Forchheimer. A dedução da equação da difusividade hidráulica faz uso de três equações principais: balanço de massa, equação de estado para gases reais e a de Forchheimer. Foi considerado fluxo linear e horizontal sem efeitos gravitacionais. Além disso, são utilizadas as seguintes hipóteses: espessura da formação constante; rocha com compressibilidade pequena e constante; reservatório homogêneo e isotrópico; ausência de reações químicas e estocagem; fluxo monofásico isotérmico; fluido newtoniano. Com essas hipóteses, a equação do balanço de massa é dada por: A equação de Forchheimer:

4 e a expressão para a massa específica, obtida através da equação de estado dos gases reais: também são utilizadas para modelar o problema. Substituindo a equação de Forchheimer e a expressão de massa específica na equação do balanço de massa, tem-se como resultado a equação da difusividade hidráulica: Para a discretização da equação da difusividade hidráulica, é necessário adicionar um termo que considera a retirada de massa do reservatório na equação do balanço de massa devido à produção de gás (sumidouro): onde q m e V b representam a vazão mássica (kg/s) e o volume do bloco. Multiplicando a nova equação pelo volume do bloco temos: De maneira análoga, substituindo a equação de Forchheimer e a expressão para massa específica, obtemos a nova forma para a equação de difusividade hidráulica: Como a compressibilidade do gás é muito maior do que a da formação, podemos aproximar a seguinte parcela da equação por e Além disso, o fator-volume-formação do gás é dado por: onde os subscritos sc e reserv referem-se às condições padrão e de reservatório, respectivamente. Após simples manipulações algébricas, obtemos a seguinte expressão:

5 Substituindo a expressão acima na nova forma da equação de difusividade hidráulica, temos: onde q sc representa a vazão em condições padrão (m 3 sc/s). Para a discretização da equação foi utilizada a aproximação adiantada para as derivadas no espaço: onde i-1, i e i+1 representa o centro de blocos, i-1/2 e i+1/2 as fronteiras entre dois blocos adjacentes e n+1 o próximo passo de tempo. Para a derivada no tempo temos: onde i representa o centro do bloco, n+1 o próximo passo de tempo e n o passo de tempo atual. Substituindo as aproximações para as derivadas no tempo e no espaço na equação da difusividade hidráulica, obtemos a equação discretizada no seguinte formato: onde l se refere ao fluido. Os parâmetros da equação acima são atualizados em todos os blocos a cada passo de tempo. Foram adotadas as correlações de DRANCHUK e ABOU-KASSEM (1975) e a de LEE et al. (1966) para cálculo do fator de desvio do gás real e da viscosidade, respectivamente. Um simulador unidimensional em coordenadas cartesianas foi construído para a avaliação dos efeitos das duas formas da equação de Forchheimer em experimentos numéricos de produção do reservatório. Esse simulador foi baseado no Método das Diferenças Finitas aliado a uma formulação implícita. Resultados e Discussão Com o objetivo de comparar o comportamento da pressão num poço de petróleo com o tempo utilizando os modelos de Forchheimer, foram adotados os parâmetros de reservatório e de gás da Tabela 1.

6 Pressão Inicial Largura Espessura Massa Molecular Temperatura 4000 psi 1312 ft 164 ft 20 g/mol ºR Tabela 1: Parâmetros de reservatório e de gás O seguinte par de parâmetros foi escolhido como base: permeabilidade de 100 md e porosidade de A Tabela 2 apresenta o comportamento da relação entre o valor da pressão no poço em referência à lei de Darcy para as equações de Forchheimer quadrática e cúbica com a variação da vazão. 3.5 MMft 3 sc/dia 10.6 MMft 3 sc/dia 24.7 MMft 3 sc/dia Darcy Forchheimer Quadrática Forchheimer Cúbica Tabela 2: Comparação do desempenho entre as duas formulações de Forchheimer em estudo A partir dos resultados do simulador desenvolvido, foram plotados gráficos para a pressão no poço versus tempo para o caso de manutenção de pressão no limite externo (Figura 1) e para um reservatório sem fluxo no limite externo (Figura 2) considerando a vazão de 24.7MMft 3 /dia em um ano de produção. Pode-se observar que as curvas para Darcy e para a formulação quadrática da equação de Forchheimer são praticamente idênticas. A relação entre os dois modelos é Já no caso da formulação cúbica ocorreu maior variação no valor da pressão no poço se comparado à formulação quadrática. Nesse caso, a relação entre os modelos atingiu Figura 1: Comportamento da pressão no poço para o regime permanente

7 Figura 2: Comportamento da pressão no poço para o regime pseudopermanente Conclusões Sob certas condições de produção, a modelagem via Darcy e via Forchheimer leva a resultados díspares, tornando assim os efeitos não-darcy significativos no escoamento de gás. Dessa forma, a modelagem desses efeitos se torna uma importante ferramenta no estudo do fluxo de gases em meios porosos a fim de descrever corretamente o gradiente de pressão no poço. O aumento da vazão leva a uma velocidade de fluxo maior no poço e, para alguns conjuntos de dados, a resposta para a formulação cúbica começa a divergir da quadrática. Assim, a formulação cúbica para a equação de Forchheimer cresce em importância quando consideramos casos com efeitos inerciais e turbulentos severos. Portanto, a formulação de Forchheimer deve ser verificada para os casos em que altas velocidades de fluxo se fazem presentes, como por exemplo fluxo de gás em reservatórios fraturados. Agradecimentos Ao Senhor por ter cuidado e me sustentado até aqui. Aos meus pais, Ricardo e Jacqueline, por terem me incentivado a buscar e realizar meus sonhos. Aos meus irmãos, Ricardo Felipe e Nina Amélia, por me darem toda a atenção em situações de alegria e em dificuldades. Aos meus amigos que fizeram de cada momento, um momento especial nessa faculdade e prestaram apoio e incentivo em todos os passos do desenvolvimento desse projeto. Ao meu orientador e professor Adolfo, pela paciência e dedicação para me passar os conhecimentos necessários e as instruções, sem os quais não seria possível a realização desse trabalho. Ao amigo Grazione pelas inúmeras contribuições e ensinamentos passados.

8 Referências Bibliográficas [1] R. S. BUELL, J. W. CRAFTON, The Application of the Cubic and Quadratic Forchheimer Equations in the Design of High-Rate, Gravel-Packed Gas Well Completions, paper SPE presented at the 1985 Annual Technical Conference and Exhibition, Las Vegas, September [2] P. M. DRANCHUK, J. H. ABOU-KASSEM, Calculation of Z-factors for natural gases using equations of state, Journal of Canadian Petroleum Technology, v. 14, n. 3, p , March [3] T. ERTEKIN, J. H. ABOU-KASSEM, G. R. KING, Basic Applied Reservoir Simulation, 1st. ed. Richardson, USA: Society of Petroleum Engineers, [4] S. C. JONES, Using the inertial coefficient, to characterize heterogeneity in reservoir rock, In: 62nd Annual Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers. Dallas, USA: [s.n.], [5] A. L. LEE, M. H. GONZALEZ, B. E. EAKIN, The viscosity of natural gases, Journal of Petroleum Technology, v. 18, n. 8, p , August [6] D. LI, R. K. SVEC, T. W. ENGLER, R. B. GRIGG, Modeling and simulation of the water non-darcy flow experiments, em SPE Western Regional Meeting. Bakersfield, USA: [s.n.], [7] J. E. WARREN, P. J. ROOT, Unsteady state behavior of naturally fractured reservoirs, em SPE Journal, 3(3) pp , [8] A. L. J. ZACCHI, Simulação Numérica de Reservatórios Naturalmente Fraturados Incluindo Efeitos Não-Darcy, Dissertação de Mestrado, UENF, 2010.