Aula 00 Curso: Estatística para ICMS-RR Professor: Fábio Amorim

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1 Aula 00 Curso: Estatística para ICMS-RR Professor: Fábio Amorim Prof. Fábio Amorim 1 de 64

2 Olá pessoal! Curso: Estatística p/ ICMS-RR Sejam bem-vindos ao Exponencial Concursos! Oferecemos a vocês o curso de Estatística, direcionado para o concurso público de Fiscal de Tributos Estaduais de Roraima. Este curso abordará todo o conteúdo exigido pelo edital do último concurso, realizado em 2006, incluindo teoria e questões comentadas. O próximo concurso já possui previsão orçamentária na LOA do corrente exercício e a remuneração atual do cargo é de, aproximadamente, R$ ,00. O objetivo deste curso é proporcionar um curso bastante objetivo e didático, trazendo o conhecimento necessário para que vocês tenham condições de gabaritar todas as questões serão cobradas nesse concurso sobre estatística. DETALHES DO CURSO O curso foi elaborado em uma linguagem clara, de modo que todos os alunos possam compreendê-lo, inclusive aqueles que possuem menos afinidade com a disciplina de estatística, ou nunca tenham estudado. A banca examinadora do concurso vindouro ainda não foi definida. Sendo assim, neste curso, a teoria está acompanhada de diversas questões comentadas, de concursos anteriores das principais bancas da área fiscal (FCC, FGV e ESAF). Ao todo, são mais de 320 questões comentadas. Além disso, ao final de cada aula, iremos trazer um resumo dos assuntos tratados para auxiliá-los nos estudos. Por fim, o Exponencial Concursos oferece um fórum que estará disponível durante todo o curso, até o dia da prova. Com essa ferramenta, é possível vocês interagirem comigo, para tirar as dúvidas que porventura apareçam. Dividiremos o presente curso em sete aulas, cujos assuntos são: Prof. Fábio Amorim 2 de 64

3 Aula Aula 0 Aula 1 Aula 2 Aula 3 Aula 4 Aula 5 Aula 6 Assunto Análise Combinatória Introdução às probabilidades Probabilidade Estatística Descritiva Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade Amostragem Testes de hipóteses Correlação e Regressão Confira o cronograma com as datas de liberação das aulas no site do Exponencial. Agora que já apresentamos o curso, peço licença para me apresentar! APRESENTAÇÃO Meu nome é Fábio Amorim, sou formado em Engenharia Civil pelo Instituto Militar de Engenharia (2003), pós-graduado em Docência do Ensino Superior pela Universidade Castelo Branco (2007) e em Direito Administrativo pela Universidade Estácio de Sá (2014). Durante a minha trajetória profissional, depois de formado, trabalhei por cinco anos no Exército Brasileiro, na minha área de formação. Já em 2009, tomei posse no cargo de Especialista em Regulação de Serviços de Transportes Terrestres, na Agência Nacional de Transportes Terrestres - ANTT. Exerci minhas funções até o final de 2009, quando tomei posse no cargo de Auditor Federal de Controle Externo, no Tribunal de Contas da União - TCU, onde estou até hoje. Em termos de concursos públicos, obtive aprovação nos seguintes: ANTT (2008) Especialista em Regulação; MPOG (2008) Analista de Infraestrutura; TCU (2009) Auditor Federal de Controle Externo. Para quem se interessar um pouco mais sobre essa trajetória, meu depoimento está disponível no site do Exponencial Concursos. ( Prof. Fábio Amorim 3 de 64

4 Feitas as devidas apresentações, vale destacar que, ao longo deste curso transmitirei a vocês diversas dicas de estudo para ajudá-los a conseguir a tão sonhada aprovação. Nesta aula, vamos trazer um Raio-X completo das provas de Estatística aplicadas nos concursos das Secretarias Estaduais de Fazenda, destacando, assim, aqueles assuntos que são mais importantes para a prova! Histórico e análise das provas Estatística O gráfico a seguir mostra a porcentagem de questões por assunto, em concursos anteriores para a área Fiscal, aplicados pela FCC. Por esse gráfico vocês podem visualizar os assuntos mais importantes da nossa disciplina. Distribuição dos assuntos em concursos anteriores 8% 8% 25% estatística descritiva variáveis aleatórias teste de hipóteses 17% amostragem 17% 25% análise de regressão probabilidade Agora, vamos a nossa Aula 0, para que vocês possam conhecer a metodologia que iremos aplicar neste curso. O tema é Análise Combinatória, que serve como introdução ao estudo das probabilidades, que veremos na aula 1. Boa sorte a todos e vamos lá! Prof. Fábio Amorim 4 de 64

5 Aula 00 Técnicas de Contagem e Análise Combinatória Assunto Página 1- Introdução Princípio Fundamental da Contagem Permutações Arranjo Combinação Questões comentadas Resumo da aula Lista de exercícios Gabarito Introdução A Análise Combinatória é um ramo da Matemática que tem como objetivo estabelecer métodos que permitam contar o número de elementos que fazem parte de um conjunto. Esses métodos são as chamadas técnicas de contagem. Para que a contagem seja viável, é necessário que o conjunto possua: Número limitado de elementos; Característica específica. Vejam alguns exemplos de aplicação: De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Quantos números telefônicos com oito dígitos podem ser formados, utilizando-se os números de 0 a 9? Um homem possui 4 ternos, 8 gravatas, 10 camisas e 4 pares de sapatos. De quantas formas ele poderá se vestir? Uma corrida de carros possui 20 pilotos. Quantos resultados diferentes pode ter essa corrida para o 1º, 2º e 3º lugares? Quando o número de elementos desse conjunto é pequeno, intuitivamente, ou a partir de contas simples, nós conseguimos facilmente Prof. Fábio Amorim 5 de 64

6 obter a resposta. Entretanto, essa tarefa se torna mais difícil se tivermos um conjunto mais populoso de elementos. A partir dessa dificuldade é que surgiram, na matemática, as técnicas de contagem. Nesta aula, iremos aprender as seguintes técnicas: Princípio Fundamental da Contagem Diagrama de Árvore Permutação Permutação com repetição de elementos Permutação Circular Arranjo Combinação 2- Princípio Fundamental da Contagem Esse princípio, também chamado de princípio multiplicativo, é uma técnica de contagem que serve como base de toda a análise combinatória. Por isso, precisamos compreendê-lo bem. Suponhamos que existam: - N resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T1 e, - M resultados possíveis ao se realizar uma tarefa T2. Então, - o número de resultados possíveis ao se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2 é obtido pela multiplicação N M. Vamos aos exemplos: Um dado comum é lançado duas vezes em sequência. O conjunto dos resultados possíveis desses lançamentos é formado por quantos elementos? Resolução: Ao lançarmos o dado na primeira vez (tarefa T1), quantos N resultados são possíveis? Logicamente, 6 resultados. Ao lançarmos o dado pela segunda vez (tarefa T2), o número M de resultados possíveis também será 6, correto? Assim, segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis ao fazermos os dois lançamentos em sequência será obtido pela multiplicação N M, ou seja, 6 6 = 36. Prof. Fábio Amorim 6 de 64

7 Portanto, o número de resultados possíveis será 36. São eles: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) e (6,6). Tarefa T1 'N' resultados possíveis Executando T1 e depois T2 Tarefa T2 'M' resultados possíveis 'N x M' resultados possíveis Um restaurante possui em seu cardápio 4 tipos de pratos principais e 3 tipos de sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja almoçar nesse restaurante e, para isso, pedirá um prato principal e uma sobremesa. De quantas maneiras diferentes esse pedido poderá ser feito? Resolução: O pedido será composto por um prato principal (tarefa T1) e uma sobremesa (tarefa T2). O número de resultados possíveis N do prato principal é 4. E o número de resultados possíveis M para a sobremesa é 3. Segundo o princípio fundamental da contagem, o pedido poderá ser feito de N M maneiras diferentes, ou seja, 4 3 = 12 maneiras. Uma das formas de visualizarmos isso é por meio do chamado diagrama sequencial ou diagrama de árvore: Prof. Fábio Amorim 7 de 64

8 Sobremesa 1 Prato Principal 1 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 Prato Principal 2 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 12 possibilidades Prato Principal 3 Sobremesa 2 Sobremesa 3 Sobremesa 1 Prato Principal 4 Sobremesa 2 Sobremesa 3 *Diagrama de Árvore Fácil, não é pessoal? Agora, se o número de tarefas for superior a 2? Se uma tarefa T1 pode ter N1 resultados diferentes, uma tarefa T2 pode ter N2 resultados diferentes, e assim sucessivamente, então: - Ao se realizar em sequência as tarefas T1, T2,..., até Tk, o número de resultados possíveis será N1 x N2 x... x Nk. aula. Para esclarecer esse conceito, vamos retomar o exemplo do início da De quantas maneiras podem ser confeccionadas as placas de identificação dos veículos, que contém três letras e quatro números? Prof. Fábio Amorim 8 de 64

9 Resolução: Curso: Estatística p/ ICMS-RR Vamos convencionar que: Escolher a primeira letra é a tarefa T1, Escolher a segunda letra é a T2, Escolher a terceira letra é a T3, Escolher o primeiro dígito é a T4, Escolher o segundo dígito é a T5, Escolher o terceiro dígito é a T6, Escolher o quarto dígito é a T7. O número de letras possíveis de serem colocadas na tarefa T1 é igual a 26 (chamamos de N1). O mesmo número se aplica a N2 e a N3, correto? No caso de N4, temos dez possibilidades (0, 1, 2,..., 9), o mesmo número se aplica a N5, N6, e N7. Dessa forma temos: Tarefa (T1) (T2) (T3) (T4) (T5) (T6) (T7) Letra letra letra número número número número Número de resultados possíveis (N1) 26 (N2) 26 (N3) 26 (N4) 10 (N5) 10 (N6) 10 (N7) 10 Segundo o princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis é: Dessa forma, podemos confeccionar as placas de veículos de maneiras diferentes! Pessoal, como dissemos inicialmente, o princípio fundamental da contagem é uma técnica de contagem que serve como base para as demais técnicas. A partir de agora, vamos explorar outras três técnicas derivadas desta: a permutação, o arranjo e a combinação. Prof. Fábio Amorim 9 de 64

10 3 - Permutação Suponhamos que um determinado conjunto possua n elementos. A permutação permite contar o número de maneiras diferentes que esses elementos podem estar ordenados dentro desse conjunto. Vamos trazer um exemplo para esclarecer melhor. João, Pedro e Marcos são três amigos que resolvem andar de kart. De quantas maneiras diferentes o resultado dessa corrida pode acontecer? Resolução: Neste caso, temos um conjunto composto por três elementos (João, Pedro, Marcos), ou seja,. Podemos resolver esse problema utilizando o diagrama de árvore. Nesse caso, temos: Assim, de acordo com o diagrama de árvore, temos 6 resultados possíveis. Podemos, também, resolver esse problema a partir do princípio fundamental da contagem, vamos ver como? 1º Lugar 2º Lugar 3º Lugar Prof. Fábio Amorim 10 de 64

11 Inicialmente, precisamos pensar quantos corredores podem ocupar a posição de 1º lugar. Pelo nosso exemplo, se temos três corredores, João, Pedro e Marcos, então, qualquer um dos três pode ocupar essa posição. Assim, temos três possibilidades. Considerando que um dos corredores ocupou o 1º lugar, quantos corredores podem ocupar o 2º lugar? Já que restaram dois corredores, o número de possibilidades é igual a dois. Dado que um corredor ocupou o 1º lugar, outro ocupou o 2º lugar, quantos corredores podem ocupar o 3º lugar? Já que restou apenas um corredor, temos apenas uma possibilidade de que isso ocorra. Sendo assim, o número de resultados possíveis para essa corrida é obtido, de acordo com o princípio fundamental da contagem, pela multiplicação das possibilidades: 1º Lugar 2º lugar 3º lugar 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades Outra forma de resolvermos esse problema é por meio da técnica de contagem chamada de permutação, que representa o número de maneiras diferentes de ordenar um conjunto. Para calcularmos o número de permutações no nosso problema, utilizamos a seguinte fórmula: Permutação de 3 elementos: (Fatorial do número 3). Portanto, o número de permutações possíveis em um conjunto de 3 elementos é representado pelo fatorial do número 3, o que resulta um total de 6 permutações. Agora, se nosso conjunto for formado por um número maior de elementos? Nesse caso, resolver o problema pelo princípio fundamental da contagem ou por meio do diagrama de árvore torna-se bastante trabalhoso. Nesses casos, podemos obter o resultado facilmente aplicando a fórmula da permutação. Prof. Fábio Amorim 11 de 64

12 Dado um conjunto com n elementos, o número de permutações possíveis nesse conjunto é representado pela expressão: Onde é o fatorial do número n, representado pela expressão: Vamos acompanhar mais alguns exemplos para fixar bem o conteúdo? De quantas formas 6 pessoas podem ser ordenadas em fila indiana? Resolução: Neste caso, temos um conjunto com 6 elementos e desejamos saber de quantas formas esses 6 elementos podem ficar ordenados. Como o número de elementos coincide com o número de posições, temos uma permutação. Assim, precisamos calcular quantas permutações podem ser feitas com 6 elementos. Aplicando a fórmula, temos:. Agora, suponha que dentre essas 6 pessoas do exemplo anterior, tenhamos três homens e três mulheres. Considerando que a primeira posição seja ocupada por uma mulher, de quantas formas essas 6 pessoas podem se ordenar em fila indiana? Resolução: Neste problema, temos uma condicionante: que a primeira posição da fila indiana seja ocupada por uma mulher. Sendo assim, para ocuparmos esse lugar, temos três possibilidades, concordam? Para as cinco demais posições, temos que permutar as cinco pessoas restantes. Prof. Fábio Amorim 12 de 64

13 Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por pela multiplicação: 3.1 Permutações com elementos repetidos Pessoal, agora vamos estudar um tipo específico de permutação, onde existem elementos repetidos no conjunto que queremos permutar. Suponhamos um conjunto com os seguintes elementos {1, 2, 3, 3, 4, 5}. Se quisermos calcular o número de permutações que são possíveis, teremos um problema, já que o número 3 repete-se duas vezes nesse conjunto. Para esses problemas com repetição de elementos, o número de permutações deve ser calculado pela expressão: Onde: - n é o número total de elementos, - a representa o número de repetições que possui um determinado elemento, e - b representa o número de repetições de outro elemento, e, assim, sucessivamente. Para praticar, vamos resolver o problema inicialmente proposto. Dado o conjunto {1, 2, 3, 3, 4, 5}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente? Resolução: O número de elementos do conjunto é 6. Então. Existe apenas um elemento repetido, o elemento 3, o qual se repete duas vezes, então. Aplicando-se a fórmula da permutação com repetição: Agora, o mesmo problema, com um conjunto maior: Dado o conjunto {X, P, P, R, R, R, W, W, W, G}, de quantas formas podemos ordená-los de maneira diferente? Prof. Fábio Amorim 13 de 64

14 Resolução: Curso: Estatística p/ ICMS-RR Neste problema, o número de elementos do conjunto é igual a 10. Então,. Existem três elementos que se repetem: as letras P, R e W. Assim, o número de repetições (a, b, c) de cada um desses elementos é representado por: Conhecidos os valores de n, e do número de repetições, podemos aplicar a fórmula: Portanto, podemos ordenar esse conjunto de maneiras diferentes. 3.2 Permutação Circular Outro tipo específico de permutação é a chamada permutação circular. O objetivo dessa técnica de contagem é calcular o número de maneiras diferentes de dispor n elementos de um conjunto de forma circular, sem que haja repetição entre as posições. a: A fórmula para calcular a permutação circular de n elementos é igual Quatro amigos João, Pedro, Marcos e Carlos irão sentar em quatro cadeiras em uma mesa circular. De quantas maneiras esses amigos podem se sentar, de modo que não haja repetição entre as posições? Prof. Fábio Amorim 14 de 64

15 Resolução: Curso: Estatística p/ ICMS-RR Aplicando diretamente a fórmula da permutação circular, o número de maneiras diferentes de os amigos sentarem nas cadeiras é igual a: Esse tipo de permutação considera que as possibilidades abaixo são equivalentes: João Carlos Carlos Pedro = Marcos João Marcos Pedro Ou seja, com a permutação circular, considera-se que a posição relativa entre os amigos é a mesma, e, portanto, não é contabilizada mais de uma vez. 4 - Arranjo O Arranjo é outra técnica de contagem, por meio da qual conseguimos contar o número de maneiras diferentes de selecionar elementos, em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com elementos. Neste caso dele). ( representa todo o conjunto e uma parte Vamos trazer uma situação prática para poder esclarecer essa definição. Suponhamos que os moradores de um condomínio devam eleger um síndico e um subsíndico. Há 6 candidatos para esses cargos. Quantos são os resultados possíveis dessa eleição? Resolução: Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. Prof. Fábio Amorim 15 de 64

16 Síndico (T1) Subsíndico (T2) Se há 6 candidatos, estes seis podem ser eleitos para o cargo de síndico, correto? Então, para a nossa tarefa T1, temos 6 possibilidades. Considerando que um dos candidatos ocupará o cargo de síndico, quantos candidatos podem ocupar o cargo de subsíndico? Já que restaram cinco candidatos, o número possibilidades é igual a 5 (tarefa T2). Desse modo, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das duas tarefas: Síndico Subsíndico 6 x 5 = 30 possibilidades Podemos resolver esse problema também pela técnica de contagem chamada arranjo. Por essa técnica, ao selecionarmos r elementos em uma determinada ordem, pertencentes a um conjunto com n elementos, o número de possibilidades, ou, arranjos possíveis, é dado pela fórmula: r a r. Em que a expressão significa: arranjo de n elementos, tomados Aplicando essa fórmula para o nosso problema, temos: Pessoal, é importante destacar que, para utilizar a fórmula do arranjo, é necessário que a ordem dos elementos faça diferença para a contagem. Em outras palavras, a situação em que o candidato A seja eleito síndico, e o candidato B, subsíndico, é diferente da situação em que o candidato B seja eleito síndico, e o candidato A, o subsíndico. Assim, a ordem dos elementos altera o resultado! Prof. Fábio Amorim 16 de 64

17 5 - Combinação A combinação é outra técnica de contagem, por meio da qual é possível contar o número de maneiras diferentes de selecionar elementos, pertencentes a um conjunto com elementos (. Percebam que esta definição é semelhante a do Arranjo, no entanto, a diferença é que, para a combinação, não importa a ordem de retirada dos elementos, haja vista que não interfere na contagem. Vamos a um exemplo para ajudar no entendimento: Deseja-se formar uma comissão com três pessoas e dispõe-se de cinco funcionários. Quantas comissões podem ser formadas? R. Pretende-se formar uma comissão, escolhendo três pessoas ( ) dentro de um conjunto de cinco pessoas ( ). Para essa situação, a ordem de escolha não interfere na contagem que se pretende fazer. Interessa, apenas, quais funcionários serão escolhidos para a comissão, e não a ordem de escolha. Para essas situações, a técnica da combinação é a ideal. A combinação de r elementos a partir de um conjunto com n elementos é dado pela expressão: Em que a expressão tomados r a r. significa: combinação de n elementos, Aplicando a fórmula, encontramos a resposta para o problema proposto: Desse modo, podem ser formadas 10 comissões diferentes. Supondo-se um conjunto com os cinco funcionários {A, B, C, D, E}, as combinações possíveis são: {A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}, {A, C, D}, {A, C, E}, {A, D, E}, {B, C, D}, {B, C, E}, {B, D, E}, {C, D, E}. Prof. Fábio Amorim 17 de 64

18 6- Questões Comentadas Curso: Estatística p/ ICMS-RR 1. (FCC-SEPLAG-2012) Um condomínio de 25 casas terá seu sistema de comunicação por interfone substituído. A empresa contratada informa que usa como identificação de cada residência um código de três dígitos formado pelos algarismos 1, 2 e 3 (distintos ou não). Alguns moradores desconfiaram e alegaram que a quantia de códigos não era suficiente para identificar todas as casas. O representante da empresa apresentou cálculos que comprovavam que o total de possibilidades era suficiente para identificar R. (A) 25 casas. (B) 27 casas. (C) 30 casas. (D) 32 casas. Considerando que o código terá três dígitos, e que cada dígito pode ser formado pelos números 1, 2 e 3 (distintos ou não), podemos calcular o número total de dígitos pelo princípio fundamental da contagem. Para o primeiro dígito, podemos ter três possibilidades (1, 2 e 3), o mesmo se aplicando aos 2º e 3º dígitos, o número total deve ser calculado pela multiplicação dessas possibilidades. 1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 3 x 3 x 3 = 27 casas Resposta, letra B. 2. (FCC-SEPLAG-2012) Dona Quitéria oferece chá da tarde em sua lanchonete. Ela serve: cinco variedades de chás; três sabores de pãezinhos; quatro qualidades de geleias; Os clientes podem optar por um tipo de chá, um sabor de pão e uma geleia. Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento de Dona Quitéria. O número de vezes que Mariana pode tomar lanche sem repetir sua opção é R. (A) 60. (B) 50. (C) 45. (D) 40. Esse problema pode ser resolvido rapidamente aplicando-se o princípio fundamental da contagem. Se Mariana toma lanche todos os dias no estabelecimento e se ela pode pedir um tipo de chá, um sabor de pão e uma Prof. Fábio Amorim 18 de 64

19 geleia, o número de possibilidades pode ser obtido pela multiplicação das possibilidades de cada item, assim: Chá Pão Geleia 5 x 3 x 4 = 60 possibilidades Resposta, letra A. 3. (FCC-SABESP-2012) Uma escola de Ensino Médio possui quatro turmas de 1ª série. As aulas de História dessas turmas serão distribuídas entre três professores, de modo que um deles assuma duas turmas e os outros dois assumam uma turma cada um. O número de maneiras diferentes de distribuir essas aulas, respeitando tais condições, é igual a R. (A) 18. (B) 24. (C) 36. (D) 48. (E) 72. Vamos chamar os professores de A, B e C. Um deles irá assumir duas turmas e, os outros dois, apenas uma turma. Nessas condições, vamos supor que o professor A assuma essas duas turmas, desse modo, teríamos o conjunto {A, A, B, C}, onde a 1ª posição se refere à 1ª turma, a 2ª posição à 2ª turma, e, assim, sucessivamente. A partir desse conjunto, calculamos o número de maneiras diferentes que esses professores podem se ordenar no conjunto, ou seja, se distribuir entre as turmas. Sendo assim, precisamos calcular o número de permutações, com repetição do professor A: Desse modo, se o professor A for contemplado com duas turmas, o número de maneiras diferentes de distribuir essas salas é igual a 12. O mesmo número se aplica caso um dos professores B e C sejam contemplados com duas turmas. Portanto, o número total de possibilidades é igual a. Resposta, letra C. Prof. Fábio Amorim 19 de 64

20 4. (FCC-SEE/SP-2011) Leonardo e mais três amigos decidem ir ao cinema. Resolvem sentar-se numa fila que tem seis lugares seguidos disponíveis. De quantas maneiras diferentes podem ocupar os lugares disponíveis? R. (A) 24. (B) 120. (C) 180. (D) 360. (E) 720. Pessoal, temos um conjunto com seis lugares distintos e, destes lugares, quatro serão ocupados pelos amigos. Assim, supondo que o conjunto seja representado pelas cadeiras {1, 2, 3, 4, 5, 6}, devem ser escolhidas quatro delas. Supondo que sejam escolhidas as cadeiras 1, 2, 3 e 4, percebam que a ordem de escolha irá interferir no número de resultados possíveis, já que a configuração: Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 Leonardo Amigo A Amigo B Amigo C É diferente, por exemplo, da configuração: Cadeira 1 Cadeira 2 Cadeira 3 Cadeira 4 Amigo A Leonardo Amigo B Amigo C Portanto, podemos aplicar a técnica de contagem de Arranjo, onde o conjunto com 6 cadeiras n=6 será arranjado em 4 posições r=4, por meio da seguinte expressão: Resposta, letra D. 5. (FCC-PM/BA-2010) Certo dia, um automóvel passou em alta velocidade por uma avenida, excedendo o limite ali permitido. Um policial de plantão no local tentou anotar o número da placa do carro do infrator, mas não conseguiu fazê-lo por completo: memorizou apenas o prefixo (CSA) e, da parte numérica, lembrava somente que o algarismo da esquerda era ímpar e o da direita era par. Com base nessas informações, o total de possibilidades para o número da placa de tal automóvel é R. (A) (B) (C) (D) 250. (E) 100. Podemos resolver esse problema pelo princípio fundamental da contagem. A nossa tarefa T1 consiste em preencher o primeiro dígito dos Prof. Fábio Amorim 20 de 64

21 numerais com um número ímpar. Neste caso, temos 5 possibilidades (1, 3, 5, 7, 9). O segundo dígito (T2) não há restrições, portanto, 10 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). O mesmo se aplica ao terceiro dígito (T3). Para o quarto dígito (T4), temos que preencher com um número par, sendo assim, temos 5 possibilidades (0, 2, 4, 6, 8). Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades pode ser obtido a partir da multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Deste modo: 1º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 4º Dígito 5 x 10 x 10 x 5 = 2500 possibilidades Resposta, letra A. 6. (FCC-BACEN-2006) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre e A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a R. (A) 936. (B) 896. (C) 784. (D) 768. (E) 728. Se a diferença positiva entre o primeiro e o último algarismo é igual a 3, nos interessam as seguintes situações: (3,_,_,0), (4,_,_,1), (5,_,_,2), (6,_,_,3), (7,_,_,4), (8,_,_,5), (9,_,_,6), (1,_,_,4), (2,_,_,5), (3,_,_,6), (4,_,_,7), (5,_,_,8), (6,_,_,9), ou seja, são 13 possibilidades. Repare que (0, _,_,3) não é uma possibilidade, pois a senha deve estar no intervalo de 1000 a Como o dígito não pode se repetir, e considerando que o primeiro e o último dígito já estão preenchidos de acordo com as possibilidades elencadas, para o segundo algarismo temos 8 possibilidades. Consequentemente, para o terceiro algarismo, restam 7 possibilidades. Sendo assim, aplicando-se o princípio fundamental da contagem: 1º Dígito e 4º Dígito 2º Dígito 3º Dígito 13 x 8 x 7 = 728 possibilidades Resposta, letra E. Prof. Fábio Amorim 21 de 64

22 7. (FCC-SEED/SE-2003) Uma prova consta de 6 questões de Matemática e 7 de Física. Cada aluno deve escolher 4 questões de Matemática e 2 de Física para responder. Quantas opções diferentes de escolha tem cada aluno? R. (A) 21. (B) 45. (C) 250. (D) 315. (E) Cada aluno deve escolher 4 questões de matemática em um conjunto com 6 questões. Nesse caso, não importa a ordem de escolha, sendo assim, podemos aplicar a técnica da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de matemática. Cada aluno deve escolher 2 questões de Física em um conjunto de 7 questões. Aplicamos, também, a fórmula da combinação para calcular o número de maneiras diferentes de se escolher as questões da prova de física. Aplicando-se o princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é obtido pela multiplicação das possibilidades de cada tarefa. Matemática Física 15 x 21 = 315 possibilidades Resposta, letra D. 8. (ESAF RFB Auditor Fiscal 2012) Na prateleira de uma estante, encontram-se 3 obras de 2 volumes e 2 obras de 2 volumes, dispondo-se, portanto, de um total de 10 volumes. Assim, o número de diferentes maneiras que os volumes podem ser organizados na prateleira, de modo que os volumes de uma mesma obra nunca fiquem separados, é igual a. (A) (B) (C) (D) Prof. Fábio Amorim 22 de 64

23 (E) Curso: Estatística p/ ICMS-RR R. Vamos denominar as obras de (A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2, E1, E2). Uma das organizações que atendem o enunciado é: A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 Assim, os volumes de todas as obras estão dispostos lado a lado. 1ª Etapa: Para calcularmos o número de maneiras diferentes de dispormos os livros, inicialmente devemos pensar nos volumes como uma peça só. Nesse caso, as obras ficariam assim dispostas: A B C D E Partindo-se desse princípio, precisamos calcular o número de maneiras diferentes de ordenar as obras A, B, C, D e E na prateleira. Para calcularmos esse número, devemos utilizar a permutação, com a seguinte fórmula: Portanto, existem 120 possibilidades de ordenar as obras, sem considerarmos seus volumes. 2ª Etapa Essa ainda não é a resposta do nosso problema, porque os volumes de cada obra podem variar de lugar entre si, de modo a atender, também, as condições do enunciado. Ou seja, a disposição a seguir: A1 A2 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 É diferente de: Prof. Fábio Amorim 23 de 64

24 A2 A1 B1 B2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 Precisamos contabilizar essas situações! Observem que essa troca pode ocorrer não só com A, mas também com as demais obras (B, C, D, E), de forma independente uma das outras. Para cada troca em cada uma dessas obras, o número de organizações possíveis é igual à 2: Permutação de 2 elementos:. Como as trocas são independentes, devemos aplicar o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), para calcularmos o número total de trocas possíveis para os volumes que compõem as obras: Permutação dos Volumes A1 e A2 Permutação dos Volumes B1 e B2 Permutação dos Volumes C1 e C2 Permutação dos Volumes D1 e D2 Permutação dos Volumes E1 e E2 Total 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 3ª Etapa Por fim, basta contabilizarmos todas essas hipóteses, utilizando o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), haja vista que todas são situações independentes: 1ª Etapa 2ª Etapa 120 x 32 = 3840 possibilidades Resposta, letra B. Prof. Fábio Amorim 24 de 64

25 9. (ESAF RFB Auditor Fiscal 2009) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: (A) 16. (B) 28. (C) 15. (D) 24. (E) 32. R. Para visualizarmos o que diz o enunciado, os pontos são os seguintes, supondo que os pontos A, B, C e D são os pontos colineares: E A B C D G F Para obtermos uma reta, precisamos de dois pontos: AB, EG, FC, e assim sucessivamente. Assim, para obtermos o número total de retas, precisamos calcular o número de maneiras diferentes de selecionarmos 2 pontos entre um conjunto de 7 existentes. Como a reta formada pelos pontos AB é a mesma reta formada pelos pontos BA, a ordem de escolha dos pontos não interfere na contagem. Portanto, a técnica de contagem adequada para esta situação é a combinação, de 7 elementos, tomados 2 a 2: Porém, nem todas as combinações servem para o nosso problema. Percebam que a reta formada pelos pontos AB é a mesma reta formada pelos pontos CD (lembrando que, por definição, toda reta é infinita). Desse modo, o número de retas formadas pela combinação dos 4 elementos (A, B, C, D) tomados dois a dois deve contar apenas como uma reta. Prof. Fábio Amorim 25 de 64

26 Portanto, as seis possibilidades de combinação de A, B, C, D tomados dois a dois devem ser contadas como uma possibilidade. Com essas considerações, o número total de retas que podem ser formadas, pelas condições do problema é: Eis as 16 retas: E A B C D G F Resposta, letra A. 10. (ESAF RFB Auditor Fiscal 2009) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? (A) 72 (B) 36 (C) 216 (D) 720 (E) 360 R. Na mesa circular, podemos dispor as seis cadeiras da seguinte forma: Prof. Fábio Amorim 26 de 64

27 Para visualizarmos como esses três homens (H1, H2 e H3) e essas três mulheres (M1, M2 e M3) podem estar dispostos alternadamente, vamos escolher a primeira mulher para ocupar uma das cadeiras: M1 Na segunda cadeira, temos que colocar um homem qualquer (H1, H2 ou H3). Assim, temos três possibilidades. M1 3 possibilidades Prof. Fábio Amorim 27 de 64

28 Para a terceira cadeira, temos que colocar outra mulher (M2 ou M3). Para essa cadeira, temos duas possibilidades. Para a quarta cadeira, temos que colocar outro homem (H2 ou H3). Também, duas possibilidades. Para a cadeira seguinte, temos que colocar outra mulher (M3), ou seja, uma possibilidade. Para a última cadeira, temos que colocar o homem restante (H3), uma possibilidade. O número de maneiras diferentes pode ser calculado a partir do princípio multiplicativo. Para escolher a cadeira para M1, como a mesa é circular, devemos considerar que não há qualquer referência. Desse modo, independente de onde M1 estiver sentada, o número de maneiras diferentes de dispor as seis pessoas sempre será 12. Questão sem resposta Gabarito: Anulada. 11. (ESAF DNIT Analista Administrativo 2012) Os pintores Antônio e Batista farão uma exposição de seus quadros. Antônio vai expor 3 quadros distintos e Batista 2 quadros distintos. Os quadros serão expostos em uma mesma parede e em linha reta, sendo que os quadros de um mesmo pintor devem ficar juntos. Então, o número de possibilidades distintas de montar essa exposição é igual a: (A) 5. (B) 12. (C) 24. (D) 6. (E) 15. R. Vamos denominar os quadros de (A1, A2, A3, B1, B2), onde os A são os quadros pintados por Antônio e B os pintados por Batista. Uma das organizações que atendem o enunciado é: A1 A2 A3 B1 B2 Prof. Fábio Amorim 28 de 64

29 Assim, os quadros de Antônio e Batista estão dispostos lado a lado. 1ª Etapa: Para calcularmos o número de maneiras diferentes de dispormos os quadros, inicialmente devemos pensar nos quadros como uma peça só. Nesse caso, os quadros ficariam assim dispostos: A B As condições do enunciado ficariam atendidas também para: B A Dessa forma, essas são as duas únicas possibilidades de ordenar as obras de Antônio e Batista: 2ª Etapa Essa ainda não é a resposta do nosso problema, porque os quadros de cada artista podem variar de lugar entre si, de modo a atender, também, as condições do enunciado. Ou seja, a disposição a seguir: A1 A2 A3 B1 B2 É diferente de: A2 A3 A1 B1 B2 Prof. Fábio Amorim 29 de 64

30 Precisamos contabilizar essas situações! Curso: Estatística p/ ICMS-RR Observem que essa troca pode ocorrer não só com Antônio (A), mas também com Batista (B). Para Antônio, o número de trocas possíveis é igual à permutação de três elementos: Para Batista, o número de trocas possíveis é igual à permutação de dois elementos: Como as trocas são independentes, devemos aplicar o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), para calcularmos o número total de trocas possíveis para os quadros dos artistas: Permutação dos Quadros de Antônio A1,A2,A3 Permutação dos Quadros de Batista B1,B2 Total 6 x 2 = 12 3ª Etapa Por fim, basta contabilizarmos todas essas hipóteses, utilizando o princípio fundamental da contagem (multiplicativo), haja vista que todas são situações independentes: 1ª Etapa 2ª Etapa 2 x 12 = 24 possibilidades Resposta, letra C. 12. (ESAF Ministério do Turismo - Analista Técnico Administrativo 2014) Com as letras M, N, O, P, Q, S, T e X, formam-se códigos de quatro Prof. Fábio Amorim 30 de 64

31 letras, sendo que repetições das letras não são permitidas. O número de códigos possíveis é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) R. Precisamos calcular o número de maneiras distintas de escolher 4 letras entre 8 existentes para formar uma senha. Vimos na aula que uma parte fundamental da compreensão do problema é definir se a ordem de escolha dos elementos interfere na contagem (arranjo) ou não (combinação). Nesta situação apresentada pelo problema, o objetivo é selecionar 4 letras que irão compor uma senha. Supondo que sejam escolhidas as letras MNOP, percebam que a escolha dessas letras nessa sequência implica uma senha diferente do que escolhermos essas mesmas letras em uma ordem diferente, por exemplo, OPNM. Nesse sentido, a ordem de escolha interfere na contagem. Por isso, devemos utilizar a técnica do Arranjo, de n elementos, tomados r a r. Como devemos escolher 4 letras entre 8 existentes: n=8 e r=4. Resposta, letra A. 13. (ESAF - Ministério da Fazenda - Assistente Técnico Administrativo 2012) O número de centenas ímpares e maiores do que trezentos, com algarismos distintos, formadas pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6, é igual a (A) 15. (B) 9. (C) 18. (D) 6. Prof. Fábio Amorim 31 de 64

32 (E) 12. Curso: Estatística p/ ICMS-RR R. Precisamos ficar atentos às restrições do enunciado: - os números devem estar na classe das centenas; - os números devem ser ímpares; - os números devem ser maiores do que 300; - os números devem ter algarismos distintos; - os números devem ser formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4 e 6. De acordo com essas restrições, cada algarismo deve ter a seguinte característica: 1º algarismo: pode ser 3, 4 ou 6; 3º algarismo: pode ser 1 ou 3 (ímpares), desde que diferente do 1º algarismo; 2º algarismo: pode ser 1, 2, 3, 4 ou 6, desde que diferente do 1º e 3º algarismos. Assim, podemos efetuar essa contagem pelo diagrama de árvore, dispondo, na sequência, o 1º, 3º e 2º algarismos: 1º Algarismo 3º Algarismo 2º Algarismo possibilidades Prof. Fábio Amorim 32 de 64

33 Resposta, letra A. Curso: Estatística p/ ICMS-RR 14. (ESAF - Ministério da Fazenda - Assistente Técnico Administrativo 2012) Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala 1 será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a (A) 720. (B) 480. (C) 610. (D) 360. (E) 540. R. Dentre os aprovados, tem-se 4 homens e 2 mulheres. Na primeira sala deve estar um homem, portanto, para essa sala, temos apenas 4 possibilidades de alocação. Para as demais salas, não temos restrições. Assim, para elas, devemos calcular o número de maneiras diferentes de ordenar os 5 aprovados restantes. Para isso, utilizamos a permutação (técnica de contagem que permite calcular o número de maneiras diferentes de ordenarmos os elementos de um conjunto). Para ordenar os 5 outros aprovados no concurso, a permutação de 5 elementos é igual a: Portanto, para a escolha da Sala 1 temos 4 possibilidades e, para a escolha dos demais, 120 possibilidades distintas. Sala 1 Sala 2 Sala 3 Sala 4 Sala 5 Sala 6 4 possibilidades 5! possibilidades Prof. Fábio Amorim 33 de 64

34 Para encontrar a resposta do problema, devemos avaliar o número de possibilidades de selecionar o aprovado da Sala 1, seguido dos aprovados nas demais salas. Conforme vimos nesta aula, para calcular o número de possibilidade de uma tarefa, seguida de outra, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo. Assim, pelo princípio fundamental da contagem, o número total de possibilidades é dado por pela multiplicação: Resposta, letra B. 15. (ESAF - Ministério da Fazenda - Assistente Técnico Administrativo 2012) Uma reunião no Ministério da Fazenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos? (A) 96 (B) 360 (C) 120 (D) 48 (E) 24 R. Uma condição essencial dada pelo enunciado é que a Presidenta e o Vice- Presidente estejam lado a lado. Sendo assim, um método prático para resolver esse tipo de problema, é supor que as cadeiras ocupadas por essas duas pessoas sejam uma só, da seguinte forma: P P+VP VP M M M M M M M M Prof. Fábio Amorim 34 de 64

35 Partindo dessa premissa, podemos calcular o número de maneiras distintas a partir da fórmula da permutação circular, de 5 pessoas, em vez de 6: Utilizando a fórmula da permutação circular: Além disso, devemos considerar que a Presidenta pode estar à direita ou à esquerda da Vice-Presidente. Ou seja, são duas situações que devem ser levadas em conta. Desse modo, temos duas tarefas neste problema: a primeira é colocar o Vice-Presidente à esquerda ou à direita da Presidenta. Para isso temos 2 possibilidades. A segunda tarefa é distribuir todos os 5 membros da mesa de forma distinta. Para isso temos 24 possibilidades. Para calcular o número de maneiras diferentes de realizar uma tarefa seguida da outra, utilizamos o princípio fundamental da contagem: Resposta, letra D. 16. (ESAF CGU - Técnico - Área Finanças e Controle 2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? (A) 3003 (B) 2980 (C) 2800 (D) 3006 (E) 3005 R. Aplicação prática e direta de técnica de contagem! Ana precisa escolher 10 questões entre 15 existentes. Percebam que neste caso não importa a ordem de escolha das questões, pois não implica possibilidades distintas de contagem. Prof. Fábio Amorim 35 de 64

36 Desse modo, a técnica de contagem adequada para o problema é a combinação (contar o número de maneiras diferentes de selecionar elementos, independentemente da ordem, pertencentes a um conjunto com elementos). Neste problema, n=15 e r=10. Portanto, Ana terá 3003 possibilidades diferentes de selecionar 10 questões na prova, dentre as 15 existentes. Resposta, letra A. 17. (ESAF CGU - Técnico - Área Finanças e Controle 2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: (A) 56 (B) 5760 (C) 6720 (D) 3600 (E) 4320 R. Ágata necessita escolher 5 cores diferentes entre as 8 existentes. A partir dessas oito cores, o número de maneiras diferentes de pintar essa parede poderá ser obtido pela técnica de contagem adequada para a situação. Percebam que a contagem relativa à escolha de r elementos a partir de n existentes é feita ou pelo arranjo ou pela combinação desses elementos. A diferença, como vimos na aula, está na interferência, ou não, da ordem de escolha dos elementos do conjunto. Se interferir, a técnica adequada é o arranjo, se não, a combinação. Prof. Fábio Amorim 36 de 64

37 Neste problema, a ordem de escolha interfere na contagem. Por exemplo, escolher as cores (Amarelo, Cinza, Azul, Verde, Rosa) é diferente de escolher as mesmas cores em outra ordem. [Supondo a ordem de escolha de cima para baixo]. Nesse sentido, como a ordem de escolha das cores interfere na contagem, devemos utilizar o arranjo como técnica de contagem para resolver o problema, onde n=8 e r=5: Resposta, letra C. 18. (ESAF STN - Analista de Finanças e Controle 2008) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: (A) (B) (C) (D) 7488 (E) 2120 R. Inicialmente, vamos avaliar as restrições para cada caixa: Terceira Caixa: deverá ser a de número 20 Para essa caixa, só existe uma possibilidade. Prof. Fábio Amorim 37 de 64

38 Primeira Caixa, Segunda e Quarta Caixas: quaisquer números, com exceção do 20. Como a terceira caixa existe apenas uma possibilidade, para resolvermos o problema basta calcularmos o número de possibilidades de escolher os pares de sapatos para as três caixas restantes. Assim, precisamos escolher três caixas numeradas, sendo que no total restaram 89 pares de sapatos (um par está reservado para a terceira caixa). Nesta situação, a ordem de escolha interfere na contagem. Basta imaginarmos uma sequência qualquer, por exemplo (caixa 1, caixa 2, caixa 3, caixa 4)=(15, 30, 20, 76), e avaliarmos se outra sequência, com os mesmos pares de sapatos, são diferentes para efeitos de contagem. Desse modo, como a ordem de escolha interfere na contagem, devemos utilizar a técnica do arranjo, onde n=89 e r=3. Resposta, letra A. 19. (ESAF SUSEP - Agente Executivo 2006) Indique quantos são os subconjuntos do conjunto {1,2,3,4}. (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 R. Dizemos que um conjunto B é subconjunto de A quando todos os elementos de B pertencem a A. No caso do conjunto A={1,2,3,4}, os subconjuntos são todos aqueles conjuntos em que seus elementos pertencem a A. Os subconjuntos de A, nesse caso, podem possuir 4 elementos, 3 elementos, 2 elementos, 1 elemento ou nenhum elemento. O subconjunto com quatro Prof. Fábio Amorim 38 de 64

39 elementos é o próprio conjunto A. O subconjunto com nenhum elemento é o conjunto vazio. Assim, vamos contabilizar as possibilidades: 3 elementos: Para calcularmos o número de subconjuntos de três elementos, devemos calcular o número de maneiras diferentes de selecionarmos três elementos entre os quatro existentes. Como a ordem de escolha não interfere na contagem, utilizamos a técnica da combinação: 2 elementos: 1 elemento: Nenhum elemento: 4 elementos: Assim, o número de subconjuntos de {1,2,3,4} é: Professor, se o conjunto fosse {1,2,3,4,5,6,7,8,9}? Nessa situação, calcular cada uma das combinações iria levar um tempo considerável. Por isso, vamos lembrar da seguinte propriedade ensinada no 2º grau: Para qualquer n>0: Prof. Fábio Amorim 39 de 64

40 Ou seja, caso n=9: Para resolver nosso problema, como n=4, basta calcularmos. Resposta, letra D. 20. (ESAF ANEEL - Analista Administrativo 2006) Um grupo de amigos formado por três meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentarse juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: (A) 1920 (B) 1152 (C) 960 (D) 540 (E) 860 R. As condições de contorno do problema são: 1 - Grupo de 3 meninos e 6 meninas; 2 - Ana e Beatriz devem se sentar juntas; 3 - Caio e Beto devem se sentar juntos; 4 - Todas as meninas devem se sentar juntas; 5 - Todos os meninos devem se sentar juntos. Condições 4 e 5: Para atender as condições 4 e 5, os meninos e meninas podem se distribuir de duas formas diferentes: meninos à esquerda e meninas à direita, ou vice- Prof. Fábio Amorim 40 de 64

41 versa. Portanto, para atender apenas as condições 4 e 5, temos 2 possibilidades. Condição 3: Para atender a condição 3, podemos imaginar que as poltronas de Caio e Beto são grudadas, de modo que, em vez de 3 lugares, existem apenas 2: Caio e Menino Beto 3 Nesse sentido, temos que calcular o número de maneiras diferentes de ordenar essas 2 poltronas. Obviamente, são duas possibilidades, pela permutação: Para cada uma dessas possibilidades, Caio pode estar à direita ou à esquerda de Beto, portanto, existem 4 possibilidades no total: N = 2 x 2 = 4. (Caio, Beto, Menino 3); (Beto, Caio, Menino 3); (Menino 3, Caio, Beto); (Menino 3, Beto, Caio) Condição 2: Para atender a condição 2, podemos imaginar que as poltronas de Ana e Beatriz são grudadas, de modo que, em vez de 6 lugares, existem apenas 5: Ana e Menina Menina Menina Menina Beatriz Nesse sentido, temos que calcular o número de maneiras diferentes de ordenar essas cinco poltronas. Para isso, utilizamos a técnica de contagem da permutação: Para cada uma dessas possibilidades, Ana pode estar à direita ou à esquerda de Beatriz, portanto, existem 240 possibilidades no total: N = 2 x 120 = 240. Todas as condições são independentes entre si, por isso, podemos considerar o princípio fundamental da contagem para o cálculo final: Prof. Fábio Amorim 41 de 64

42 Condição 4 e 5 Condição 3 Condição 2 2 x 4 x 240 = 1920 possibilidades Resposta, letra A. 21. (ESAF MPOG - Especialista em Políticas Públicas 2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de 150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a: (A) 10 (B) 14 (C) 20 (D) 25 (E) 45 R. Para calcular o número de moças, partiremos da seguinte expressão: Nº de Cumprimentos de rapazes: Para obter o número de cumprimentos entre os rapazes, precisamos escolher o número de maneiras diferentes de escolher 2 rapazes entre os 15 existentes. A ordem de escolha desses dois rapazes não interfere na contagem, pois será contabilizado apenas um cumprimento para cada 2 escolhidos. Por isso, utilizamos a técnica da combinação: Assim, utilizando a primeira expressão: Prof. Fábio Amorim 42 de 64

43 Nº de moças: Para obter o número de moças, precisamos calcular o número de elementos que, tomados dois a dois, resultam em 45 cumprimentos: Resposta, letra A. 22. (ESAF - SEFAZ/MG - Auditor Fiscal da Receita Estadual 2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: (A) 420 (B) 480 (C) 360 (D) 240 (E) 60 R. As condições de contorno do problema são: 1 A última de cada fila deverá ser Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise; 2 A primeira de cada fila não poderá ser Denise; Sendo assim, convencionando as modelos como A, B, C, D, E, F e G, onde A=Ana, B=Beatriz, C=Carla e D=Denise, vamos analisar o problema da seguinte forma. Prof. Fábio Amorim 43 de 64