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1 Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações Combinações > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/19

2 Permutações Utilizamos P(n, r) para denotar o número de sequências de r objetos distintos que podem ser formadas a partir de um conjunto de n objetos distintos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 1/19

3 Permutações Exemplo Sejam n = 4 objetos {o 1, o 2, o 3, o 4 } e r = 2. Quantas são as sequências possíveis de 2 objetos distintos? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/19

4 Permutações Em geral, aplicando o princípio multiplicativo, obtemos que P(n, r) = n (n 1)... (n r + 1) = n! (n r)! A idéia é que temos n possibilidades para o primeiro elemento da seqüência, n 1 para o segundo, e assim sucessivamente, até n r para o r-ésimo elemento. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 3/19

5 Permutações Exemplo Quantas palavras de 3 letras podem ser formadas com as letras da palavra compilar, se não for permitido repetir letras? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/19

6 Permutações Exercício De quantas maneiras podem ser escolhidos o presidente e o vice-presidente de uma empresa, a partir de um grupo de 20 funcionários? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/19

7 Permutações Exercício Uma biblioteca possui 4 livros sobre (S)ociologia, 7 livros sobre (P)rogramação e 3 sobre (E)xoterismo. De quantas maneiras podemos dispor estes livros em uma prateleira de modo que livros do mesmo assunto fiquem juntos? Devemos levar em conta a ordem dos assuntos na prateleira e as ordem dos livros de um mesmo assunto. Observe que existem 3! possibilidades de dispor os assuntos: SPE,SEP,PSE,PES,ESP,EPS. Para cada uma destas possibilidades, podemos permutar os livros do mesmo assunto de 7!4!3! formas. Logo, o total de possibilidades é 3!7!4!3!. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/19

8 Permutações Exercício Quantas são as permutações da palavra BULGARO que não possuem duas vogais em posições consecutivas? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/19

9 Permutações Exercício Quantas são as permutações da palavra BULGARO que não possuem duas vogais em posições consecutivas? Fixemos primeiramente uma ordem entre as consoantes. Por exemplo, BLGR. Observe que existem 5 posições para colocar a vogal U : antes de B, entre B e L, entre L e G, etc. Após, restam 4 possibilidades para a vogal A, já que vogais não podem ficar juntas. Finalmente, sobram 3 possibilidades para a vogal O. Portanto, temos possibilidades de dispor as vogais dado que a ordem das consoantes foi fixada. Como existem 4! possibilidades de fixar a ordem entre as consoantes, temos que o total de possibilidades é !. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/19

10 Gerando Permutações Nesta seção consideramos o problema de listar todas as n! permutações de um conjunto de n elementos. Utilizamos uma abordagem indutiva. Obter o conjunto de permutações de um conjunto com 1 elemento é trivial. Vamos assumir, como hipótese de indução, que sabemos gerar todas as permutações de um conjunto de k elementos para k 1. Como isto ajuda a gerar todas as permutações de um conjunto de k + 1 elementos, ou seja, dar o passo? Note que para gerar todas as permutações de um conjunto L de k + 1 elementos, podemos fixar algum elemento s para ser o primeiro da permutação e depois concatenar s com cada uma das permutações do conjunto L {s} (que sabemos gerar por hipótese). Esta rotina deve ser repetida para cada uma das escolhas possíveis de s. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/19

11 Gerando Permutações PROCEDIMENTO PERM(L) Se a lista L é vazia imprima a permutação P Senão Para j = 1 até L s elemento de L que ainda não foi escolhido no loop (*) Insira s na posição n + 1 L de P. PERM( L s) Fim Para Fim Se MAIN Leia L P vetor global com L posições. PERM(L) Figure : Algoritmo de Geração de Permutações > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 10/19

12 Combinações De quantas maneiras podemos selecionar um subconjunto de r objetos de um conjunto de n objetos? Utilizamos ( n r) para denotar tal quantidade. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 11/19

13 Combinações Exemplo Seja o conjunto {o 1, o 2, o 3, o 4 } de n = 4 objetos e r = 2. Então os subconjuntos possíveis são: {o 1, o 2 }, {o 1, o 3 }, {o 1, o 4 }, {o 2, o 3 }, {o 2, o 4 }, {o 3, o 4 }. Portanto, ( 4 2) = 6. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 12/19

14 Combinações Podemos calcular ( n r) utilizando a seguinte idéia: a cada subconjunto de r objetos associamos r! sequências, cada uma delas contendo os r objetos do subconjunto em alguma ordem. Considerando o exemplo anterior temos subconjunto sequencias {o 1, o 2 } o 1 o 2, o 2 o 1 {o 1, o 3 } o 1 o 3, o 3 o 1 {o 1, o 4 } o 1 o 4, o 4 o 1 {o 2, o 3 } o 2 o 3, o 3 o 2 {o 2, o 4 } o 2 o 4, o 4 o 2 {o 1, o 4 } o 1 o 4, o 4 o 1 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 13/19

15 Combinações Como cada um dos ( n r) subconjuntos esta associado a r! sequências distintas e o total de sequências de r objetos distintos é P(n, r), segue que ( ) n r! = P(n, r) r ( ) n P(n, r) = = r r! n! (n r)!r! > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 14/19

16 Combinações Exemplo (Jogo da Sena) De quantas maneiras podemos escolher seis números de um total de 60 números? Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo da Sena jogando um único cartão com seis números? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 15/19

17 Combinações Exemplo (Jogo da Sena) De quantas maneiras podemos escolher seis números de um total de 60 números? Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo da Sena jogando um único cartão com seis números? O total de possibilidades é ( ) ( Portanto a probabilidade é de 1/ 60 ) 6 > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 16/19

18 Combinações Exemplo (Jogo da Sena) Qual a probabilidade de ganharmos na Sena jogando um cartão com 8 números? > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 17/19

19 Combinações Exemplo (Jogo da Sena) Qual a probabilidade de ganharmos na Sena jogando um cartão com 8 números? Jogando um cartão com 8 números cobrimos ( 8 6) subconjuntos de 6 números. Portanto, a probabilidade de ganhar é ( ) ( 8 6 / 60 ) 6. Observe que de fato o preço de um cartão com 8 números é ( 8 6) = 28 vezes maior que o de um cartão simples. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 18/19

20 Combinações Exercício Mostre que para todo natural r menor ou igual a n, ( ) ( ) n n = r n r > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 19/19