2 Erro comum da indução. 3 Corretude de Algoritmos. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 0/17

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1 Conteúdo 1 Indução Forte X Indução Fraca 2 Erro comum da indução 3 Corretude de Algoritmos > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 0/17

2 Indução Forte X Indução Fraca Indução Fraca Uma propriedade P qualquer é válida para n n 0, n, n 0 Z, se for possível provar que: 1 P(n 0 ) é válida 2 k Z,k n 0, P(k) P(k + 1) Indução Forte Uma propriedade P qualquer é válida para n n 0, n, n 0 Z, se for possível provar que: 1 P(n 0 ) é válida 2 k Z, [P(r) válida para todo r {n 0, n 0 +1,..., k}] P(k +1) > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 1/17

3 Indução Forte Exemplos Exemplo Prove que para todo n 2, n é um número primo ou um produto de números primos. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 2/17

4 Indução Forte Exemplos Prova. Base. A base é verdadeira já que 2 é primo. Passo Indutivo. Desejamos provar que se todos os números do conjunto {2,..., k} são primos ou produtos de primos, então k + 1 é primo ou produto de primos, para k 2. Consideramos dois casos: 1 k + 1 é primo. Neste caso k + 1 tem a propriedade desejada 2 k + 1 não é primo. Se por hipótese k + 1 não é primo, ele deve deverá ser composto, daí k + 1 = ab, onde 1 < a k e 1 < b k. Pela hipótese de indução a e b são primos ou produto de primos. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 3/17

5 Indução Forte Exemplos Exemplo Definimos a sequência de Fibonacci da seguinte forma: F (1) = F (2) = 1 e F (n) = F (n 1) + F (n 2), n 3. Mostre que F (n + 4) = 3F (n + 2) F (n), n 1 > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 4/17

6 Indução Forte Exemplos Exemplo Prove que qualquer valor postal maior ou igual a 8 unidades, pode ser obtido utilizando apenas selos com valor 3 e 5. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 5/17

7 Indução Forte Exemplos Exemplo Uma árvore binária enraizada é (i) um conjunto vazio ou (ii) um nó denominado raíz com uma subárvore a esquerda e outra a direita Uma folha é um nó com 0 filhos enquanto que um nó interno é um nó com pelo menos um filho. Uma árvore é dita estritamente binária se todo nó possui 0 ou 2 filhos. Prove por indução no número de nós internos que para toda árvore estritamente binária T, a relação l(t ) i(t ) = 1 é válida, onde l(t ) e i(t ) são, respectivamente, o número de folhas e o número de nós internos de T. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 6/17

8 Indução Forte Exemplos Exemplo Mostre que a seguinte relação folhas(t ) 2 altura(t ) vale para toda árvore estritamente binária T. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 7/17

9 Conteúdo 1 Indução Forte X Indução Fraca 2 Erro comum da indução 3 Corretude de Algoritmos > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 7/17

10 Erro comum da indução Conjectura Todo inteiro n 2 é par. Prova Errada. Por indução em n. O caso base é trivial: 2 é par. Como hipótese de indução, suponha que n = k 2 seja par, ou seja, que k 2 = 2c para algum inteiro c. Considere o caso n = k. Reescrevendo n como n = (k 2) + 2, pode-se aplicar a hipótese de indução: n = 2c + 2 = 2(c + 1). Como (c + 1) é um número inteiro, essa relação mostra que n = k é múltiplo de 2 e, portanto, par, o que completa a prova. Onde está o furo? > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 8/17

11 Conteúdo 1 Indução Forte X Indução Fraca 2 Erro comum da indução 3 Corretude de Algoritmos > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 8/17

12 Corretude de Algoritmos Exemplo (Calculando o fatorial) Consider o código abaixo. Fatorial input: n (inteiro positivo) Função Fat(n) Se n 1 Return n Senão Return n Fat(n 1) Fim Função. Mostre que a saída de Fat(n) é n!, para todo n 1. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 9/17

13 Corretude de Algoritmos Prova: Caso Base. Para n = 1, Fat(1) = 1 = 1!. Hipotese Inductiva. P(k) : Fat(k) devolve k! Passo Indutivo. Pelo código temos que Fat(k + 1) devolve (k + 1) Fat(k). Entretanto, por hipótese de indução Fat(k) = k!. Segue que Fat(k + 1) devolve (k + 1) (k)! = (k + 1)! > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 10/17

14 Corretude de Algoritmos Exemplo (Quicksort) Quicksort(A,p,r) input: subvetor de A que começa na posição p e termina na posição r output: subvetor de A ordenado Se p < r então q Partition(A,p,r) Quicksort(A,p,q-1) Quicksort(A,q+1,r) Fim Se Partition(A,p,r) é uma rotina de pivoteamento que funciona da seguinte maneira: seja X = A[p] e seja j o número de elementos menores que x no subvetor A[p, r]. Partition coloca o elemento x na posição q = p + j, os elementos de A[p, r] menores que x nas posições A[p],..., A[q 1] e os maiores a x nas posições A[q + 1],..., A[r]. Assumindo que a rotina Partition funciona da maneira especificada, mostre que Quicksort(A,1,n) ordena o vetor A[1, n]. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 11/17

15 Corretude de Algoritmos Solução. Base: Se o vetor tem tamanho 1 ou é vazio, ou seja, p r, o Quicksort não faz nada já que todo vetor de tamanho 1 é ordenado. Hipótese Indutiva (Forte). Assuma que P(r) é verdadeira para todo r {1,..., k}: P(r): Quicksort funciona corretamente para um vetor de tamanho r. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 12/17

16 Corretude de Algoritmos Prova do Passo Indutivo Assuma que r p + 1 = k + 1. Primeiramente, Partition coloca o elemento x = A[p] na posição correta. Após, ele chama Quicksort(A,p,q-1) e Quicksort(A,q+1,r) para ordenar os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r]. O funcionamento de Partition garante que A[p, q 1] contém os elementos de A[p, r] menores que x enquanto A[q + 1, r] contem os maiores ou iguais a x. Como os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r] tem menos do que k + 1 elementos, a hipótese garante que o Quicksort ordena eles corretamente. Portanto, ao término da chamada Quicksort(A,p,r), x é colocado na posição correta em A[p, r] e os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r] estão ordenados. Logo, podemos concluir que A[p, r] esta ordenado. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 13/17

17 Corretude de Algoritmos Exemplo (Conversor Decimal-Binário) input: n (inteiro positivo) output: b (array de bits com a representação binária de n, começando com o byte menos significativo) Função Converte(n) t n k 0 zere todos os bits de b Enquanto t > 0 faça k k + 1 b[k] t mod 2 t t div 2 Fim Enquanto; Fim Função. Mostre que o algoritmo retorna a representação binária de um número natural n. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 14/17

18 Corretude de Algoritmos Como exemplo, considere a execução do algoritmo quando n = 57 : t b k Início Loop Loop Loop Loop Loop Loop Table : Execução do Algoritmo para n=57. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 15/17

19 Corretude de Algoritmos Para provar que o algoritmo funciona, considere a seguinte proposição: Proposição Sejam m k o inteiro representado pelo vetor binário b t k o valor de t ao final do k-ésimo loop Então, n = t k.2 k + m k, k Questão 1. Mostre que essa proposição implica na corretude do algoritmo Questão 2. Prove essa proposição. > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 16/17

20 Corretude de Algoritmos Base. k = 0, t = n m = 0 Hipótese Indutiva. P(k) : A proposição vale ao término do laço k. Prova do Passo Indutivo Caso 1) t k é par No final do loop k + 1, temos t k+1 = t k 2 m k+1 = m k. Logo, e t k+1.2 k+1 + m k+1 = t k.2 k + m }{{ k = n } hip indutiva Caso 2) t k é ímpar O valor de t k+1 é t k 1 2 e m k+1 = m k + 2 k, já que um bit 1 é acrescido na posição k + 1 de b. t k+1.2 k+1 + m k+1 = t k 1.2 k+1 + m k + 2 k = t k.2 k + m k = n 2 }{{} hip indutiva > Indução Forte X Indução Fraca Erro comum da indução Corretude de Algoritmos 17/17