Métodos de contagem. Francimário Alves de Lima. Universidade Federal do Rio Grande do Norte. 6 de agosto de 2014

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Nelson Vilanova Cordeiro
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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte 6 de agosto de 2014

2 Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercícios

3 Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercícios

4 Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral?

5 Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral? De quantas maneiras é possível um sistema ser funcional?

6 Introdução Um sistema de comunicação formado por n antesnas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequências. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal e será chamado de funcional desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Qual é o espaço amostral? De quantas maneiras é possível um sistema ser funcional? Há uma forma mais fácil?

7 O princípio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possíveis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possíveis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possíveis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possíveis?

8 O princípio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possíveis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possíveis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possíveis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possíveis? Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possíveis se os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números?

9 O princípio básico da contagem Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um de m resultados possíveis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n resultados possíveis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem conjuntamente mn diferentes resultados possíveis. Ex. 1: Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas diferentes são possíveis? Ex. 2: Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possíveis se os três primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números? Ou seja, este será o nosso espaço amostral!

10 Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercícios

11 Permutação Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possíveis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba). Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princípio básico. Para o caso de n objetos essa quantidade é n!. Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possíveis em um time de beisebol formado por 9 jogadores?

12 Permutação Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b, e c são possíveis? Res.: 3! que são (abc, acb, bca, cab e cba). Cada combinação é conhecida como uma permutação. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princípio básico. Para o caso de n objetos essa quantidade é n!. Ex. 3: Quantas diferentes ordens de rebatedores são possíveis em um time de beisebol formado por 9 jogadores? Ex. 4: Quantos diferentes arrajos de letras pode ser formados a partir das letras PEPPER?

13 Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercícios

14 Ideia Estamos frequentemente interessados em determinar o número de grupos diferentes de r objetos que podem ser formados a partir de um total de n objetos. Por exemplo, quantos diferentes grupos de 3podem ser selecionados dos 5 itens A, B, C, D e E? Res.: 5x4x3 3x2x1 = 10 Em geral, tem-se que o número de grupos diferentes de r itens que poder ser formados a partir de um conjunto de n intes é ( ) n(n 1)...(n r + 1) n! n = r! (n r)!r! = r Em que, r é o número de itens que será escolhidos dentre os n.

15 Combinação Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são possíveis?

16 Combinação Ex. 5: Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês diferentes são possíveis? Ex. 6: Considere um conjunto de n antenas das quais m apresentam defeito e n m funcionam, e suponha que n]ao seja possível distinguir as antenas defeituosas daquelas que funcionam. Quantos alinhamentos podem ser feitos sem que duas antenas com defeito sejam colocadas lado a lado?

17 Sumário 1 Introdução 2 Permutação 3 Combinações 4 Exercícios

18 Exercícios 1 O grêmio de uma faculdade é formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2 formados. Um subcomitê de 4 pessoas, formado por uma pessoa de cada ana, deve ser escolhido. Quantos subcomitês diferentes são possíveis? 2 Quanas funções difinidas em n pontos são possíveis se cada valor da função for igual a 0 ou 1? 3 No exemplo 2, quantas placas de automóvel seriam possíveis se a repetição entre letras ou números fosse proibida?

19 Exercícios 4 Uma turma de teoria da probabilidade é formada por 6 homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com o seu desempenho. Suponha que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota. (a) Quantas diferentes classificações são possíveis? (b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificações são possíveis? 5 A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes. quatro são de matemática, três são de química, dois são de história e um é um livro de ĺınguas. A Sra. Jones deseja arranjá-los de forma que todos os ivros que tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possíveis?

20 Exercícios 6 Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais quatros são russos, três são dos EUA, dois são da Grã-Bretanha e um é do Brasil. Se o resultado do torneio listar apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de colocação, quantos resutados serão possíveis? 7 Quantos diferemtes sinais, cada um deles formado por nove bandeiras alinhadas, podem ser feitos a partir de un conjunto de quatro bandeiras brancas, três bandeiras vermelhas e duas bandeiras azuis se todas as bandeiras de mesma cor forem idênticas?

21 Exercícios 8 De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por duas mulheres e três homesn podem ser formados? E se dois dos homens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos? 9 Quantos subconjuntos existem em um conjunto de n elementos? ROSS, Sheldon. Probabilidade: Um curso moderno com aplicações. 8. ed. Tradutor: Alberto De Conti. Porto Alegre: Bookman, Pg 15 até 25.

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Análise Combinatória. Capítulo 1.1 INTRODUÇÃO Capítulo Análise Combinatória 1 1.1 INTRODUÇÃO 1.2 O PRINCÍPIO BÁSICO DA CONTAGEM 1.3 PERMUTAÇÕES 1.4 COMBINAÇÕES 1.5 COEFICIENTES MULTINOMIAIS 1.6 O NÚMERO DE SOLUÇÕES INTEIRAS DE EQUAÇÕES 1.1 INTRODUÇÃO