Princípio da Multiplicação. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/18

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1 Conteúdo 1 Corretude de Algoritmos 2 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Princípio da Multiplicação > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/18

2 Corretude de Algoritmos Exemplo (Calculando o fatorial) Consider o código abaixo. Fatorial input: n (inteiro positivo) Função Fat(n) Se n 1 Return n Senão Return n Fat(n 1) Fim Função. Mostre que a saída de Fat(n) é n!, para todo n 1. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 1/18

3 Corretude de Algoritmos Prova: Caso Base. Para n = 1, Fat(1) = 1 = 1!. Hipotese Inductiva. P(k) : Fat(k) devolve k! Passo Indutivo. Pelo código temos que Fat(k + 1) devolve (k + 1) Fat(k). Entretanto, por hipótese de indução Fat(k) = k!. Segue que Fat(k + 1) devolve (k + 1) (k)! = (k + 1)! > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 2/18

4 Corretude de Algoritmos Exemplo (Quicksort) Quicksort(A,p,r) input: subvetor de A que começa na posição p e termina na posição r output: subvetor de A ordenado Se p < r então q Partition(A,p,r) Quicksort(A,p,q-1) Quicksort(A,q+1,r) Fim Se Partition(A,p,r) é uma rotina de pivoteamento que funciona da seguinte maneira: seja X = A[p] e seja j o número de elementos menores que x no subvetor A[p, r]. Partition coloca o elemento x na posição q = p + j, os elementos de A[p, r] menores que x nas posições A[p],..., A[q 1] e os maiores a x nas posições A[q + 1],..., A[r]. Assumindo que a rotina Partition funciona da maneira especificada, mostre que Quicksort(A,1,n) ordena o vetor A[1, n]. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 3/18

5 Corretude de Algoritmos Solução. Base: Se o vetor tem tamanho 1 ou é vazio, ou seja, p r, o Quicksort não faz nada já que todo vetor de tamanho 1 é ordenado. Hipótese Indutiva (Forte). Assuma que P(r) é verdadeira para todo r {1,..., k}: P(r): Quicksort funciona corretamente para um vetor de tamanho r. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 4/18

6 Corretude de Algoritmos Prova do Passo Indutivo Assuma que r p + 1 = k + 1. Primeiramente, Partition coloca o elemento x = A[p] na posição correta. Após, ele chama Quicksort(A,p,q-1) e Quicksort(A,q+1,r) para ordenar os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r]. O funcionamento de Partition garante que A[p, q 1] contém os elementos de A[p, r] menores que x enquanto A[q + 1, r] contem os maiores ou iguais a x. Como os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r] tem menos do que k + 1 elementos, a hipótese garante que o Quicksort ordena eles corretamente. Portanto, ao término da chamada Quicksort(A,p,r), x é colocado na posição correta em A[p, r] e os subvetores A[p, q 1] e A[q + 1, r] estão ordenados. Logo, podemos concluir que A[p, r] esta ordenado. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 5/18

7 Corretude de Algoritmos Exemplo (Conversor Decimal-Binário) input: n (inteiro positivo) output: b (array de bits com a representação binária de n, começando com o byte menos significativo) Função Converte(n) t n k 0 zere todos os bits de b Enquanto t > 0 faça k k + 1 b[k] t mod 2 t t div 2 Fim Enquanto; Fim Função. Mostre que o algoritmo retorna a representação binária de um número natural n. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 6/18

8 Corretude de Algoritmos Como exemplo, considere a execução do algoritmo quando n = 57 : t b k Início Loop Loop Loop Loop Loop Loop Table : Execução do Algoritmo para n=57. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 7/18

9 Corretude de Algoritmos Para provar que o algoritmo funciona, considere a seguinte proposição: Proposição Sejam m k o inteiro representado pelo vetor binário b t k o valor de t ao final do k-ésimo loop Então, n = t k.2 k + m k, k Questão 1. Mostre que essa proposição implica na corretude do algoritmo Questão 2. Prove essa proposição. > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 8/18

10 Corretude de Algoritmos Base. k = 0, t = n m = 0 Hipótese Indutiva. P(k) : A proposição vale ao término do laço k. Prova do Passo Indutivo Caso 1) t k é par No final do loop k + 1, temos t k+1 = t k 2 m k+1 = m k. Logo, e t k+1.2 k+1 + m k+1 = t k.2 k + m }{{ k = n } hip indutiva Caso 2) t k é ímpar O valor de t k+1 é t k 1 2 e m k+1 = m k + 2 k, já que um bit 1 é acrescido na posição k + 1 de b. t k+1.2 k+1 + m k+1 = t k 1.2 k+1 + m k + 2 k = t k.2 k + m k = n 2 }{{} hip indutiva > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/18

11 Conteúdo 1 Corretude de Algoritmos 2 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Princípio da Multiplicação > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 9/18

12 Objetivos Contar/listar o número de elementos de conjuntos finitos Aplicações Determinar o número de operações realizadas por um algoritmo para determinar sua eficiência Ferramenta utilizada para resolver problemas estatísticos Desenvolver o raciocínio dos alunos de ED > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 10/18

13 Objetivos Por que estudar problemas do tipo: 1 De quantas maneiras é possível dispor os alunos de uma turma em fila, sem que alunos com nomes consecutivos na ordem alfabética fiquem juntos? 2 Quantas permutações distintas tem a palavra MISSISSIPI? Duas justificativas: 1 Estes problemas são fáceis de formular; 2 As técnicas envolvidas na solução destes problemas podem ser aplicadas na resolução de problemas práticos > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 11/18

14 Objetivos Em algumas situações estamos interessados em calcular o número de elementos de um conjunto, enquanto que em outras desejamos listar todos os elementos de um conjunto. Exemplo Seja S o conjunto de todos os números de três algarismos que satisfazem as seguintes propriedades (i) todo algarismo pertence ao conjunto {2, 3, 6} (ii) nenhum algarismo pode repetir no mesmo número P1) Quantos elementos possui S? P2) Quem são os elementos de S? > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 12/18

15 Objetivos Exemplo Considere um caminhão que necessita entregar mercadorias em 12 localidades {L 1,..., L 12 } ao longo de um dia. Sabe-se que o consumo médio para ir da localidade L i para localidade L j é c ij, e que o caminhão deve partir de sua garagem e retornar para mesma. Considere que L 0 identifica a garagem. P1) Quantos trajetos distintos o caminhão pode percorrer? P2) Qual o trajeto que minimiza o consumo do caminhão? > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 13/18

16 Princípio da Multiplicação Uma das técnicas mais elementares de contagem é conhecida como princípio da multiplicação. Sejam os eventos E 1, E 2,..., E k. Se o evento E i, i = 1,..., k, pode ocorrer de n i formas diferentes e a forma com que o evento E i ocorre não influencia no número de formas que o evento E j pode ocorrer, i j, então a sequência de eventos E 1 E 2 E 3... E k pode ocorrer de n 1 n 2 n 3... n k formas diferentes. Exemplo Em uma placa de carro, as três primeiras posições são letras e as quatro restantes são dígitos. Quantas placas distintas são possíveis? > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 14/18

17 Princípio da Multiplicação O evento E i, i = 1, 2, 3, consiste em atribuir uma letra a i-ésima posição, enquanto que os eventos E 4, E 5, E 6, E 7 consistem em atribuir dígitos as posições 4, 5, 6 e 7 respectivamente. Logo temos, E i = 26, para i = 1, 2, 3 e E i = 10, para i = 4,..., 7. Segue do princípio da multiplicação que o número de placas é > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 15/18

18 Princípio da Multiplicação Exemplo Quantas placas são possíveis de modo que nenhuma letra e nenhum dígito apareçam repetidos? > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 16/18

19 Princípio da Multiplicação Exemplo Seja S o conjunto dos números de telefone com as seguintes propriedades: (i) o número é formado de 8 dígitos (ii) o primeiro dígito pertence a {2,3,5,7} (iii) deve haver pelo menos um número repetido dentre os quatro últimos dígitos. Quantos elementos possui S? > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 17/18

20 Princípio da Multiplicação Exemplo Considere o trecho de código abaixo Para i=1,...l Para j=1,...m Para k=1,...n PRINT( OI ) Determine em função de m, n e l o número de vezes que o trecho de código imprime OI > Corretude de Algoritmos Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 18/18