Tópicos em Algoritmos. André Guedes

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1 Tópicos em Algoritmos André Guedes 31 de agosto de 2017

2 Sumário 1 Aulas 1 2 Introdução 2 3 Problemas Computacionais e Algoritmos Definições Correção e eficiência Classes de problemas Classes de algoritmos Espaço de Busca e Enumeração 7 5 Backtracking 8 6 Algoritmos gulosos 9 7 Programação dinâmica Problemas Links Branch-and-bound 11 9 Processamento de textos Trabalhos 13 A Problemas 14 A.1 Introdução i

3 A.2 Espaço de Busca e Enumeração A.3 Backtracking A.4 Algoritmos Gulosos A.5 Programação Dinâmica A.5.1 Outros problemas ii

4 Capítulo 1 Aulas 1. 03/08/ introdução (problemas, algoritmos etc) e subsequência máxima (e variações) 1

5 Capítulo 2 Introdução Objetivo: Tratar de assuntos referentes a algoritmos avançados com análises, implementações e testes para que os alunos tenham mais prática no desenvolviento e análise de algoritmos. Avaliação: Trabalhos práticos de análise e implementação. Serão 5 ou 6 trabalhos. Programa: Problemas Computacionais e Algoritmos Definições, Complexidade Computacional Classes de Problemas, Classes de Algoritmos; Correção e Eficiência, Espaço de Busca e Enumeração Técnicas de Algoritmos Backtracking; Algoritmos gulosos; Programação dinâmica; Branch-and-bound; 2

6 Metodologia: Dividir e Conquistar; Exemplos de problemas e soluções. Aulas teóricas sobre algoritmos e análise. Leitura de trechos de livros e artigos. Trabalhos práticos. Ver problemas 1, 2 e 3. 3

7 Capítulo 3 Problemas Computacionais e Algoritmos 3.1 Definições Um problema computacional é um problema que pode ser formulado como uma relação entre um conjunto de entradas e um conjunto de saídas. Nesta relação cada entrada (instância) do problema tem um conjunto de possíveis saídas (respostas) associadas. Por exemplo, o problema de encontrar o mínimo elemento de um vetor. Para cada vetor dado como entrada, as saídas válidas são os elementos que são mínimos. Um problema computacional, portanto, é um problema estabelecido por uma descrição de suas possíveis entradas e suas respectivas saídas. Cada possível entrada de um problema computacional é chamada de uma instância do problema. Uma saída correspondente a uma instância do problema é chamada de resposta daquela instância. Para ajudar, considere a seguinte definição. Definição 1. Dados a, b Z, o intervalo inteiro de a a b é o conjunto [a..b] dos inteiros entre a e b, isto é, Exemplo 1. [a..b] = {z Z a z b}. Mínimo de Vetor (minv) Instância: (v, a, b), onde v é um vetor indexado por [a..b], com a b. um índice m [a..b] tal que v[m] v[i] para todo i [a..b]. 4

8 Se v é dado por i v[i] , então (v, 1, 7) é uma instância do problema Mínimo de Vetor. 3 e 7 são respostas para a instância (v, 1, 7) do problema Mínimo de Vetor. (v, 4, 6) é uma instância do problema Mínimo de Vetor e 6 é uma resposta para a instância (v, 4, 6) do problema Mínimo de Vetor. Uma solução de um problema computacional é um algoritmo que recebe uma instância em devolve uma resposta válida. Cada problema computacional pode ter diversas soluções. Os problemas computacionais modelam problemas reais e as implementações dos algoritmos, que são soluções destes problemas, são as aplicações computacionais dos problemas reais. Portanto, estudar os problemas computacionais e suas soluções é uma atividade importante para quem quer ajudar a resolver problemas reais com o auxílio de computadores. 3.2 Correção e eficiência Para que uma aplicação computacional tenha sucesso é preciso que o algoritmo que ela implementa seja de fato uma solução do problema em questão e que seja eficiente. Além disso é esperado que o algoritmo esteja corretamente implementado. Esta última questão não é assunto para este texto e está mais relacionada com outras áreas da computação. Entretanto não pode ser ignorada. As duas primeiras questões, que chamaremos simplesmente de corretude e eficiência, são parte do nosso estudo de problemas computacionais e algoritmos. 3.3 Classes de problemas Existem diversos tipos de problemas computacionais e eles são classificados por diversos critérios. Os critérios que nos interessam por ora são: tipo (e tamanho) do conjunto de soluções (contra-domínio da relação binária); 5

9 3.4 Classes de algoritmos 6

10 Capítulo 4 Espaço de Busca e Enumeração Ver problemas 4 e 5. intervalos próprios - pdf bipartite permutation graphs - pub/ isaac.pdf permutações - s_algorithm AlgorithmsForGeneratingPermutationsAndCombinations-Notes.pdf - permutations 7

11 Capítulo 5 Backtracking 8

12 Capítulo 6 Algoritmos gulosos escrever as descrições dos problemas. mochila (caso particular), moedas (caso particular), intervalos sem intersecção, ainda moedas (porque e quando funciona), bin packing, Código de Huffmann. 9

13 Capítulo 7 Programação dinâmica escrever as descrições dos problemas. (*) There is an ordering on the subproblems, and a relation that shows how to solve a subproblem given the answers to smaller subproblems, that is, subproblems that appear earlier in the ordering. ([p. 171] Dasgupta, Papadimitriou, and Vazirani Algorithms (1 ed.). McGraw-Hill, Inc., New York, NY, USA.) 7.1 Problemas Multiplicação de matrizes. Moedas com quaisquer valores. Distância de edição. Mochila - O(nW ) 7.2 Links 1. dynamic-programming-from-novice-to-advanced/ 2. Ver problemas 24 e 25 10

14 Capítulo 8 Branch-and-bound 11

15 Capítulo 9 Processamento de textos 12

16 Capítulo 10 Trabalhos 1. Submatriz máxima de zeros (Problema 3). 2. Backtracking: Set Cover (Problema 14). 3. Revisão bibliográfica: dar um problema e os alunos buscam soluções (de um determinado tipo) na rede. Problema ainda não definido. 4. Enumeração: permutações bipartidas conexas, subconjuntos de tamanho k de um conjunto X e arranjos de tamanho k de um conjunto X. 5. Apresentações sobre dois problemas: Sequenciamento de texto e Ordenação de conjuntos consecutivos (Problemas 31 e 30). 13

17 Apêndice A Problemas Aqui segue uma lista com alguns problemas computacionais para serem trabalhados pelos alunos da disciplina de Tópicos em Algoritmos (CI811) do Programa de Pós-Graduação em Informática da UFPR. Esta lista ainda não está completa e pode ser alterada. Alguns problemas são simples e tem o objetivo de apresentar diferentes técnicas, outros são mais difíceis. (...) A.1 Introdução 1. [default,pr:subseqmax0]subsequência Máxima de 0 s Dada uma sequência de n 0 s e 1 s, S n = (d 1, d 2,..., d n ), queremos encontrar uma subsequência (consecutiva) máxima composta somente de 0 s, ou seja, encontrar m e k tais que d i = 0, para m i m+k 1 e k seja máximo. Subsequência Máxima de 0 s (subseqmax) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ). m e k tais que d i = 0, para m i m + k 1 e k seja máximo. Um problema mais simples é o problema de, dados uma sequência e 14

18 um k, encontrar uma subsequência com exatos k 0 s consecutivos. Subsequência de tamanho k de 0 s (subseqk) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ) e inteiro k. m tal que d i = 0, para m i m + k 1 ou não, caso não exista tal m. Seja M : N N, representando o tamanho da maior subsequência de 0 s começando em d i, definida por: M(i) = { 0, se i [1..n] ou d i 0, M(i + 1) + 1, se i [1..n] e d i = 0. E seja R : N N, representando o tamanho da maior subsequência de 0 s da sequência que começa em d i, definida por: R(i) = { 0, se i [1..n], max{m(i), R(i + 1)}, se i [1..n]. 2. [default,pr:subsqmaxcrescente]subsequência Máxima Crescente Dada uma sequência de n números inteiros, S n = (d 1, d 2,..., d n ), queremos encontrar uma subsequência (consecutiva) máxima crescente, ou seja, encontrar m e k tais que d i < d i+1, para m i m + k 2 e k seja máximo. Subsequência Máxima Crescente (subseqmaxcresc) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ). m e k tais que d i < d i+1, para m i m + k 2 e k seja máximo. 3. [default,pr:submatmax0]submatriz Máxima de 0 s Dada uma matriz n m de 0 s e 1 s, A = a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m a n,1 a n,2 a n,m 15

19 queremos encontrar uma submatriz (consecutiva) máxima composta somente de 0 s, ou seja, encontrar p, q, r e s tais que a i,j = 0, para p i p + r 1, q j q + s 1 e r s seja máximo. Submatriz Máxima de 0 s (submatmax) Instância: Matriz n m de 0 s e 1 s, [a i,j ]. p, q, r e s tais que a i,j = 0, para p i p + r 1, q j q + s 1 e k l seja máximo. 16

20 A.2 Espaço de Busca e Enumeração 4. [default,pr:passeiocavalo]passeio do cavalo Dado um tabuleiro n n, será possível que um cavalo de xadrez (usando seus movimentos válidos) poderia sair da casa na linha 1, coluna 1 passar por todas as outras casas, sem repetir nenhuma e voltar ao início? Passeio do cavalo de xadrez (cavalo) Instância: Um inteiro n. Se é possível um passeio do cavalo, usando apenas seus movimentos de xadrez, em um tabuleiro n n, que passe por todas as casas sem repetir e volte para a primeira. 5. [default,pr:mochila]problema da Mochila Problema da Mochila (knapsack) Instância: Um número natural n, um número real D e duas funções, w : {1, 2,..., n} R e v : {1, 2,..., n} R. Um conjunto X {1, 2,..., n} tal que i X w(i) D e i X v(i) seja máximo. 6. [default,pr:enum-subconj]enumeração de subconjuntos Dado um conjunto X, como enumerar todos os seus subconjuntos? opção 1: Cada nó representa um subconjunto de X. Comece com o conjunto vazio ( ) como nó raiz. Gere cada filho de um nó incluindo um único elemento. Se os elementos são ordenados e só são incluídos elementos que estão a direita do último incluído, então não acontecem repetições e temos uma árvore. Cada nível tem conjuntos de um tamanho. opção 2: Cada nó representa um conjunto de subconjuntos de X. 17

21 Cada nó i tem dois conjuntos P i e Q i, ambos subconjuntos de X. Os subconjuntos de X representados pelo no i são dados pelo conjunto abaixo {R = S Q i S P i }. Cada nó tem no máximo dois filhos (e i e d i ). Um elemento de P i é escolhido como pivô, x i. Os filhos são gerados como se segue: P ei = P di = P i {x i }, Q ei = Q i, Q di = Q i {x i }. 7. [default,pr:enum-perm]enumeração de permutações Enumere todas as permutações de (1, 2, 3,..., n). 8. [default,pr:enum-interv]enumeração de intervalos próprios Enumere todas as permutações de (( () )) - n abre parênteses e n fecha parênteses - de tal forma que em qualquer prefixo tenha um número de abre parênteses maior ou igual que o número de fecha parênteses. 9. [default,pr:enum-perm-bip-conexo]enumeração de permutações bipartidas conexas Uma permutação π de um conjunto X é uma sequência (π(1),..., π( X )). Dizemos que uma permutação π de {1,..., n} é conexa se a sequência (π(1), π(2),..., π(n)) não pode ser descrita como uma concatenação de uma permutação de {1,..., k} com uma permutação de {(k+1),..., n}, para algun 1 k < n. A permutação (3, 2, 4, 1, 6, 5) é desconexa, pois é uma concatenação de (3, 2, 4, 1) e (6, 5) que são, respectivamente, permutações de {1, 2, 3, 4} e {5, 6} (portanto k = 4). Já a permutação (3, 1, 5, 2, 6, 4) é conexa. Perceba que nenhum prefixo de tamanho k < 6 contém todos os números de 1 a k. 18

22 Dizemos que uma permutação π de {1,..., n} é bipartida se existe uma bipartição (X, Y ) de {1,..., n} de forma que os elementos de cada parte (X e Y ) aparecem na ordem natural, ou seja, se (i, j X ou i, j Y ) e i < j então π 1 (i) < π 1 (j). A permutação (2, 4, 1, 3, 5, 6) é bipartida, pois X = {1, 3, 6} e Y = {2, 4, 5} formam uma bipartição de {1,..., 6} como descrito acima. Enumere todas as permutações de (1, 2, 3,..., n) que são bipartidas conexas. 10. [default,pr:enum-subconj-tam-k]enumeração de subconjuntos de tamanho fixo Dado um conjunto X e um inteiro k, enumere todos os subconjuntos de X de tamanho k. Ou seja, ( ) X = {S X S = k}. k 11. [default,pr:arranjos-x-k]enumeração de arranjos Dado um conjunto X e um inteiro k, um arranjo de tamanho k de X é uma sequência de tamanho k com elementos de X sem repetição. Dado um conjunto X e um inteiro k, enumere todos os arranjos de tamanho k de X. 19

23 A.3 Backtracking 12. Clique; 13. Coloração; 14. [default,pr:setcover]cobertura por conjuntos Cobertura por conjuntos (setcover) Instância: Um conjunto de n subconjuntos do conjunto U = {1, 2,..., m}, A 1, A 2,..., A n. Um conjunto X {1, 2,..., n} tal que i X A(i) = U e X seja mínimo. 20

24 A.4 Algoritmos Gulosos 15. mochila (caso particular); 16. moedas (caso particular) - ainda moedas: porque e quando funciona; 17. intervalos sem intersecção; 18. bin packing; 19. Código de Huffmann; 21

25 A.5 Programação Dinâmica 20. Multiplicação de matrizes; 21. Moedas com quaisquer valores; 22. Distância de edição; 23. Mochila - O(nW ); 24. [default,pr:linearpartition]linear Partition Problem (Skiena - pp ) Integer Partition without Rearrangement (partition) Instância: An arrangement S of nonnegative numbers {s 1,..., s n } and an integer k. Partition S into k or fewer ranges, to minimize the maximum sum over all the ranges, without reordering any of the numbers. 25. [default,pr:somadiscreta]melhor sequência de decisões d 1, d 2,..., d n são decisões, ou seja, d i {p 1, p 2,..., p k }, para todo i {1, 2,..., n}. O objetivo final é M. Queremos que n i=1 d i seja o mais próximo de M possível, ou seja, que M n i=1 d i seja mínimo. A.5.1 Outros problemas 26. Rolos de papel (bin packing unidiensional); 22

26 27. 8 Rainhas (e variações); 28. [default,pr:emparelhamento-minmax]emparelhamento de mínimo maior peso Emparelhamento de mínimo maior peso (emp-minmax) Instância: Dois conjuntos A e B, um conjunto de pares com um elemento de cada conjunto, R, e uma função w : R N. Subconjunto M R tal que max{w(e) e M} seja mínimo. 29. [default,pr:casamento-estavel]casamento Estável Casamento Estável (casamento) Instância: Dois conjuntos, A e B, tal que A = B = n, para cada elemento a A, uma função p a : {1,..., n} B e, para cada elemento b B, uma função p b : {1,..., n} A. Conjunto M A B tal que não [default,pr:conjuntos-consecutivos]ordenação de conjuntos consecutivos Dados n subconjuntos de um conjunto U, N 1, N 2,..., N n, encontre uma ordem (u 1, u 2,..., u m ) para os elementos de U de forma que, para 1 i n, os elementos de N i sejam consecutivos, caso seja possível. 31. [default,pr:sequenciamento]sequenciamento de texto Seja T uma sequência de dígitos decimais desconhecida. E sejam n subsequências de T, P 1, P 2,..., P n. Assumindo que as subsequências cobrem toda a sequência T e que existem intersecções entre subsequências consecutivas, reconstrua T, caso seja possível. Exemplo: P 1 =

27 P 2 = P 3 = Como P 1 4 P 3 (o final de P 1 e o início de P 3 coincidem em 4 dígitos), P 2 5 P 1 e P 3 1 P 1, temos T = pela concatenação P 2 P 1 P 3, já que a relação P 3 1 P 1 é fraca e pode ser descartada. 32. [default,pr:reducaotransitiva]redução Transitiva Redução transitiva (redtran) Instância: Uma ordem parcial (X, ). Uma relação binária (X, ) tal que o seu fecho transitivo seja igual a (X, ) e não exista outra relação binária menor com a mesma propriedade. 33. [default,pr:poset-to-sets]modelo de conjuntos para ordem parcial Modelo de conjuntos (modelconj) Instância: Uma ordem parcial (X, ). Um conjunto C de conjuntos tal que a ordem parcial (C, ) (ordem de inclusão de subconjuntos) seja isomorfa a ordem (X, ). 24