CI811 Tópicos em Algoritmos

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1 CI811 Tópicos em Algoritmos Problemas 15 de junho de 2016 Aqui segue uma lista com alguns problemas computacionais para serem trabalhados pelos alunos da disciplina de Tópicos em Algoritmos (CI811) do Programa de Pós-Graduação em Informática da UFPR. Esta lista ainda não está completa e pode ser alterada. Alguns problemas são simples e tem o objetivo de apresentar diferentes técnicas, outros são mais difíceis. (...) 1 Introdução 1. [default,pr:subseqmax0]subsequência Máxima de 0 s Dada uma sequência de n 0 s e 1 s, S n = (d 1, d 2,..., d n ), queremos encontrar uma subsequência (consecutiva) máxima composta somente de 0 s, ou seja, encontrar m e k tais que d i = 0, para m i m+k 1 e k seja máximo. Subsequência Máxima de 0 s (subseqmax) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ). m e k tais que d i = 0, para m i m + k 1 e k seja máximo. Um problema mais simples é o problema de, dados uma sequência e um k, encontrar uma subsequência com exatos k 0 s consecutivos. Subsequência de tamanho k de 0 s (subseqk) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ) e inteiro k. m tal que d i = 0, para m i m + k 1 ou não, caso não exista tal m. 1

2 Seja M : N N, representando o tamanho da maior subsequência de 0 s começando em d i, definida por: M(i) = { 0, se i [1..n] ou d i 0, M(i + 1) + 1, se i [1..n] e d i = 0. E seja R : N N, representando o tamanho da maior subsequência de 0 s da sequência que começa em d i, definida por: R(i) = { 0, se i [1..n], max{m(i), R(i + 1)}, se i [1..n]. 2. [default,pr:subsqmaxcrescente]subsequência Máxima Crescente Dada uma sequência de n números inteiros, S n = (d 1, d 2,..., d n ), queremos encontrar uma subsequência (consecutiva) máxima crescente, ou seja, encontrar m e k tais que d i < d i+1, para m i m + k 2 e k seja máximo. Subsequência Máxima Crescente (subseqmaxcresc) Instância: Sequência de 0 s e 1 s de tamanho n, S n = (d 1, d 2,..., d n ). m e k tais que d i < d i+1, para m i m + k 2 e k seja máximo. 3. [default,pr:submatmax0]submatriz Máxima de 0 s Dada uma matriz n m de 0 s e 1 s, A = a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m a n,1 a n,2 a n,m queremos encontrar uma submatriz (consecutiva) máxima composta somente de 0 s, ou seja, encontrar p, q, r e s tais que a i,j = 0, para 2

3 p i p + r 1, q j q + s 1 e r s seja máximo. Submatriz Máxima de 0 s (submatmax) Instância: Matriz n m de 0 s e 1 s, [a i,j ]. p, q, r e s tais que a i,j = 0, para p i p + r 1, q j q + s 1 e k l seja máximo. 3

4 2 Espaço de Busca e Enumeração 4. [default,pr:passeiocavalo]passeio do cavalo Dado um tabuleiro n n, será possível que um cavalo de xadrez (usando seus movimentos válidos) poderia sair da casa na linha 1, coluna 1 passar por todas as outras casas, sem repetir nenhuma e voltar ao início? Passeio do cavalo de xadrez (cavalo) Instância: Um inteiro n. Se é possível um passeio do cavalo, usando apenas seus movimentos de xadrez, em um tabuleiro n n, que passe por todas as casas sem repetir e volte para a primeira. 5. [default,pr:mochila]problema da Mochila Problema da Mochila (knapsack) Instância: Um número natural n, um número real D e duas funções, w : {1, 2,..., n} R e v : {1, 2,..., n} R. Um conjunto X {1, 2,..., n} tal que i X w(i) D e i X v(i) seja máximo. 6. [default,pr:enum-subconj]enumeração de subconjuntos Dado um conjunto X, como enumerar todos os seus subconjuntos? opção 1: Cada nó representa um subconjunto de X. Comece com o conjunto vazio ( ) como nó raiz. Gere cada filho de um nó incluindo um único elemento. Se os elementos são ordenados e só são incluídos elementos que estão a direita do último incluído, então não acontecem repetições e temos uma árvore. Cada nível tem conjuntos de um tamanho. opção 2: Cada nó representa um conjunto de subconjuntos de X. 4

5 Cada nó i tem dois conjuntos P i e Q i, ambos subconjuntos de X. Os subconjuntos de X representados pelo no i são dados pelo conjunto abaixo {R = S Q i S P i }. Cada nó tem no máximo dois filhos (e i e d i ). Um elemento de P i é escolhido como pivô, x i. Os filhos são gerados como se segue: P ei = P di = P i {x i }, Q ei = Q i, Q di = Q i {x i }. 7. [default,pr:enum-perm]enumeração de permutações Enumere todas as permutações de (1, 2, 3,..., n). 8. [default,pr:enum-interv]enumeração de intervalos próprios Enumere todas as permutações de (( () )) - n abre parênteses e n fecha parênteses - de tal forma que em qualquer prefixo tenha um número de abre parênteses maior ou igual que o número de fecha parênteses. 9. [default,pr:enum-perm-bip-conexo]enumeração de permutações bipartidas conexas Uma permutação π de um conjunto X é uma sequência (π(1),..., π( X )). Dizemos que uma permutação π de {1,..., n} é conexa se a sequência (π(1), π(2),..., π(n)) não pode ser descrita como uma concatenação de uma permutação de {1,..., k} com uma permutação de {(k+1),..., n}, para algun 1 k < n. A permutação (3, 2, 4, 1, 6, 5) é desconexa, pois é uma concatenação de (3, 2, 4, 1) e (6, 5) que são, respectivamente, permutações de {1, 2, 3, 4} e {5, 6} (portanto k = 4). Já a permutação (3, 1, 5, 2, 6, 4) é conexa. Perceba que nenhum prefixo de tamanho k < 6 contém todos os números de 1 a k. 5

6 Dizemos que uma permutação π de {1,..., n} é bipartida se existe uma bipartição (X, Y ) de {1,..., n} de forma que os elementos de cada parte (X e Y ) aparecem na ordem natural, ou seja, se (i, j X ou i, j Y ) e i < j então π 1 (i) < π 1 (j). A permutação (2, 4, 1, 3, 5, 6) é bipartida, pois X = {1, 3, 6} e Y = {2, 4, 5} formam uma bipartição de {1,..., 6} como descrito acima. Enumere todas as permutações de (1, 2, 3,..., n) que são bipartidas conexas. 10. [default,pr:enum-subconj-tam-k]enumeração de subconjuntos de tamanho fixo Dado um conjunto X e um inteiro k, enumere todos os subconjuntos de X de tamanho k. Ou seja, ( ) X = {S X S = k}. k 11. [default,pr:arranjos-x-k]enumeração de arranjos Dado um conjunto X e um inteiro k, um arranjo de tamanho k de X é uma sequência de tamanho k com elementos de X sem repetição. Dado um conjunto X e um inteiro k, enumere todos os arranjos de tamanho k de X. 6

7 3 Backtracking 12. Clique; 13. Coloração; 14. [default,pr:setcover]cobertura por conjuntos Cobertura por conjuntos (setcover) Instância: Um conjunto de n subconjuntos do conjunto U = {1, 2,..., m}, A 1, A 2,..., A n. Um conjunto X {1, 2,..., n} tal que i X A(i) = U e X seja mínimo. 7

8 4 Algoritmos Gulosos 15. mochila (caso particular); 16. moedas (caso particular) - ainda moedas: porque e quando funciona; 17. intervalos sem intersecção; 18. bin packing; 19. Código de Huffmann; 8

9 5 Programação Dinâmica 20. Multiplicação de matrizes; 21. Moedas com quaisquer valores; 22. Distância de edição; 23. Mochila - O(nW ); 24. [default,pr:linearpartition]linear Partition Problem (Skiena - pp ) Integer Partition without Rearrangement (partition) Instância: An arrangement S of nonnegative numbers {s 1,..., s n } and an integer k. Partition S into k or fewer ranges, to minimize the maximum sum over all the ranges, without reordering any of the numbers. 25. [default,pr:somadiscreta]melhor sequência de decisões d 1, d 2,..., d n são decisões, ou seja, d i {p 1, p 2,..., p k }, para todo i {1, 2,..., n}. O objetivo final é M. Queremos que n i=1 d i seja o mais próximo de M possível, ou seja, que M n i=1 d i seja mínimo. 5.1 Outros problemas 26. Rolos de papel (bin packing unidiensional); 9

10 27. 8 Rainhas (e variações); 28. [default,pr:emparelhamento-minmax]emparelhamento de mínimo maior peso Emparelhamento de mínimo maior peso (emp-minmax) Instância: Dois conjuntos A e B, um conjunto de pares com um elemento de cada conjunto, R, e uma função w : R N. Subconjunto M R tal que max{w(e) e M} seja mínimo. 29. [default,pr:casamento-estavel]casamento Estável Casamento Estável (casamento) Instância: Dois conjuntos, A e B, tal que A = B = n, para cada elemento a A, uma função p a : {1,..., n} B e, para cada elemento b B, uma função p b : {1,..., n} A. Conjunto M A B tal que não [default,pr:conjuntos-consecutivos]ordenação de conjuntos consecutivos Dados n subconjuntos de um conjunto U, N 1, N 2,..., N n, encontre uma ordem (u 1, u 2,..., u m ) para os elementos de U de forma que, para 1 i n, os elementos de N i sejam consecutivos, caso seja possível. 31. [default,pr:sequenciamento]sequenciamento de texto Seja T uma sequência de dígitos decimais desconhecida. E sejam n subsequências de T, P 1, P 2,..., P n. Assumindo que as subsequências cobrem toda a sequência T e que existem intersecções entre subsequências consecutivas, reconstrua T, caso seja possível. Exemplo: P 1 =

11 P 2 = P 3 = Como P 1 4 P 3 (o final de P 1 e o início de P 3 coincidem em 4 dígitos), P 2 5 P 1 e P 3 1 P 1, temos T = pela concatenação P 2 P 1 P 3, já que a relação P 3 1 P 1 é fraca e pode ser descartada. 32. [default,pr:reducaotransitiva]redução Transitiva Redução transitiva (redtran) Instância: Uma ordem parcial (X, ). Uma relação binária (X, ) tal que o seu fecho transitivo seja igual a (X, ) e não exista outra relação binária menor com a mesma propriedade. 33. [default,pr:poset-to-sets]modelo de conjuntos para ordem parcial Modelo de conjuntos (modelconj) Instância: Uma ordem parcial (X, ). Um conjunto C de conjuntos tal que a ordem parcial (C, ) (ordem de inclusão de subconjuntos) seja isomorfa a ordem (X, ). 11