Matemática E Extensivo v. 3

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1 Matemática xtensivo v. xercícios 0) Octógno tem 0 e decágono tem. Número de vértices de um octógono: 8 vértices. D = nn ( ) D = 88 ( ) 8. 0 = = = 0 Número de vértices de um decágono: 0 vértices. D = nn ( ) 0( 0 ) D = = = = 0) a) 8 b) c) d) e) a) Dois pontos definem uma única reta. C 8! 8! 8. 7.! = = = = ( 8 )!!!! C 8 = = 8 retas. b) No vetor o sentido importa, então: 8! 8! 8 = = = 8. 7 = vetores. ( 8 )!! c) Três pontos definem um triângulo: C 8! 8! ! 8 = = = = 8. 7 = triângulos. ( 8 )!!!!!! d) Como o ponto D é, então temos de combinar vértices dentre 7 pontos. 7! 7! 7..! C 7 = = = = 7. = =. ( 7 )!!!!!! e) m vetores o sentido importa e que dois pontos definem um vetor. Com o ponto B, então sobram sete, portanto o total de vetores é. 0) 0 Para o º buraco podemos alojar C = 0 modos. Colocando turistas na ª barraca, restam modos para colocar na ª barraca, ou seja, modo para ª barraca. Pelo PFC, temos: 0. = 0 modos. 0) C 0) B Note que qualquer triângulo que formamos terá base em s e um ponto em r, ou então terá a sua base em r e um ponto em s. Número de bases em r: C =. Como cada uma das bases podem ser ligadas a pontos sobre s, então temos. = triângulos com bases sobre r. Número de bases em s: C =. Como cada uma das bases podem ser ligadas a pontos sobre r, então temos. = 8 triângulos com bases sobre s. Portanto, o total de triângulos é dado por: + 8 = 0 triângulos. O número total de triângulos é dado pela diferença da combinação de 9 pontos tomados a (vértice) pela combinação entre os pontos colineares. Número total de combinações: C 9 = 8. Vamos calcular o total de combinações dos pontos colineares: Pontos : C = Pontos 7 : C = Pontos 7 8 9: C = Pontos 9: C = Pontos 8: C = 0) O total de pontos é: = 8 combinações. Portanto, o número de lotes distintos que são possíveis demarcar é dado por: 8 8 = 7 lotes. O número total de triângulos cujo os vértices estão sobre esses pontos são dados por: Número de combinação de pontos colineares tomados a. Número total de combinação: C = 0. Combinação dos pontos colineares: C = 0. Portanto, o número de triângulos com vértices nos pontos é: 0 0 = 0. r s Matemática

2 07) 0 Note que qualquer quadrilátero terá uma das suas bases sobre a reta r e outra sobre s. Número de base sobre a reta s: C 8 = 8. Número de base sobre a reta r: C =. Pelo PFC, temos: 8. = 0 quadriláteros. 08) Números de alunos mulheres:. 0,8 = 7. Números de alunos homens: 7 = 8. O total de modos que podemos escolher mulheres em 7 é: C 7 = modos. O total de modos que podemos escolher homens entre 8 é: C 8 = 8 modos. Pelo PFC, temos:. 8 = 8 0 modos de escolher homens e mulheres. 09) O complementar de uma "comissão de pessoas contendo, no m, um diretor" é "comissão de pessoas contendo nenhum diretor", isto é, comissão formada com apenas gerentes. O valor é obtido C =. lém disso, o total de comissões contendo gerentes e diretores é dado por C 8 =. Portanto, o total de comissões é =. 0) Como dois pontos definem um único segmento de retas, devemos escolher dentre 8 pontos (vértice). C 8 = 8. 7 = 8. ) 78 Total de retas formadas por garotas: C. = = 0. Do valor total de retas devemos retirar as retas congruentes, isto é, retas definidas entre as garotas - ROBIC, então C 8 = 8. 7 = 8. Por fim, devemos somar uma reta, pois retiramos a reta que passa por ROBIC. Portanto, = 78 retas. ) C Queremos no máximo sais minerais de forma análoga a obter no mínimo vitamina. O complementar é obter nutrientes com nenhuma vitamina. Total sem restrições: C 7 = 7.. = 7. =. Total de combinação com somente sais minerais C =. Portanto, o total de com com t nutrientes contendo no máximo sais minerais é: = composições. ) D O complementar "de comissões de profissionais que contenha no mínimo com capacitação referida". sse total é obtido por C 9 = = 8. lém disso o total de comissões sem restrições é dado por C.. 0 = = 0. Portanto, o total de profissões que contenha no mínimo com capacidade referida é dado por: 0 8 =. ) D Vencedor: C = 00. scolhidos os jogadores para compor a a equipe, sobram 0 jogadores para compor os demais times. Vitória: C 0 =. scolhidos os jogadores, restam para compor o time Confiança. Confiança: C =. Pelo P.F.C., temos: 00.. = 7 7. ) Primeira duplo: C =. =. Formada a primeira dupla, restam jogadores para formar a segunda dupla. Segunda dupla: C =. Portanto, o número total de grupos com duas duplas sem considerar a delas é dado por: C. C. = = =. ) 80 Formação da ª equipe C 9 = 8. Formada a ª equipe, sobram pessoas para compor as demais equipes. Formação da ª equipe C = 0. Formada a ª equipe sobram pessoas para compor a terceira equipe. Matemática

3 Formação da ª equipe C =. Como as equipes podem permutar entre si, devemos dividir o resultado total por. ssim, pelo PFC, temos: = = 80 equipes.! 7) 0 8) B De cada vértice da base superior partem 8 diagonais, mas dessas diagonais não podem ser contadas: ) O vértice imediatamente abaixo está ligado por uma aresta, logo esta diagonal não conta. ) Os dois vértices consecutivos (um à esquerda e outro à direita) estão em faces contíguas, logo as diagonais serão das faces e não do prisma. ssim, restam diagonais para cada vértice superior. Como são 8 vértices, temos:. 8 = 0 diagonais. Barra de metal de comprimento m está fixa na ª. Qualquer das barras de comprimentos, 7, 8, 9 devem ficar na ª, pois as barras devem estar em ordem crescente. p Barra fixa. ª ª ª fixa Para ª temos somente uma possibilidade (), e também uma possibilidade para a ª (). Logo, temos possibilidade de dispor as barras para a barra fixa na ª. Com as barras e fixas não existem possibilidade de dispô-las as barras. Logo, o total de é: =. Pelo PFC:. =. 9) 0 0) P =! = 0. P =! =. ) Verdadeiro ª ª ª ª ª B p p p p L,,, fixa, 7, 8, 9 restam: R,, S, I Nosso problema se resume em: Ordenar os algarismos,,, em ordem crescente em posições. ª ª ª Vamos analisar fixando os números: Barra fixa. ª ª ª fixa Se a barra estiver na ª, temos ( e ). Se a barra estiver na ª, temos possibilidade (). Se a barra estiver na ª, não teremos nenhuma possibilidade. ) 8 Pelo PFC:... = anagramas. Como e devem estar juntas, então podemos considerá-las como um único bloco. ssim, tivemos algarismos para permutar. Daí vem: P =! = Porém, os números podem se agrupar de P = modos. Portanto, o total de permutações, tal que e estejam juntas, é dado por: P. P =. = 8 permutações. ) a) sequências. b) 8 sequências. a) Como e B devem ficar juntas nesta ordem, devemos permutar as etapas restantes, isto é:! =. b) Como e B devem ficar juntas, elas funcionam como uma única letra, que deve ser permutada com as outras. Note que ainda podemos ter as ordens B e B. ssim,.! = 8 sequências. Matemática

4 ) Vogais:, O, I. Consoantes: X, P, L, D, R. Como, O, I devem ficar juntas, elas funcionam como se fosse uma letra. ntão o número de permutações é dado por: P =! = 70. Note que as vogais podem permutar entre si, veja alguns exemplos: OI, DI, IO... Logo temos P = maneiras de permutar as vogais. Portanto, o número de permutações com as vogais juntas é: P. P = 70. = 0. ) 70 ) B 7) D Sejam, B, C, D,, F e G, em que, B e C são de ficção científica. º dia - B º dia - C º dia - º - dia º - dia º - dia 7º - dia Como, B e C devemos considerar como um único "bloco", temos filmes para permutar. Dai vem: P =! = 0. Porém,, B e C podem permutar entre si. P =! =. Portanto, pelo PFC temos: P. P = 0. = 70. ª alternativa: primeira tarefa será levar seu neto à escola e não terá ordem em trazê-lo de volta..! =. ª alternativa: Levar o neto será a segunda tarefa, mas pegá-lo não pode ser a primeira.! = 8. ª alternativa: Desta vez levar o neto será a terceira tarefa e a pagá-lo será a penúltima ou última tarefa:.! =. ª alternativa: quarta tarefa será levar o neto à escola, então será a última:. =. Portanto, o total de de o aposentado fazer a tarefa é: = 0. I. Correta. vogais consoantes Colocado a ª vogal restam letras sem restrições. p p p p p PFC, temos:... = 8. II. Correta. i L Como i e L devem permanecer juntas, podemos considerá-las como um "bloco", isto é, única letra. Daí, temos letras para permutá-las P =! =. III. Incorreta. Vamos começar pelas casas mais problemáticas. p ª consoantes (F, L, Z) 8) 78 9) D p ª vogais (, i,) Colocadas as consoantes na ª e a vogal na ª restam letras para permuta-las, logo:.!. =.. = Podemos permutar as disciplinas de matemática, português e física. P =! =. Porém, podemos permutar os livros entre si (mesma disciplina): Matemática: P :! =. Física: P =! =. Português: P =! =. Portanto, pelo PFC, temos:... = 78. Devemos permutar vagões. ª vagão p que não pode o vagão do restaurante 0) 7 ª vagão p inclui o vagão de restaurante ª vagão p ª vagão p ª vagão Pelo PFC, temos:..... = 00 modos. Começar com consoante. p consoante (B, N, T) p vogal (O,, ) p consoante p vogal p consoante Pelo PFC:..... = modos. Portanto, o total de anagramas é: + = 7. p ª vagão p p vogal Matemática

5 ) 80 Podemos considerar cada casal como "bloco" e permutá-las entre si. p p p p p PFC:.... = 0 No entanto, podemos permutar cada um dos casais, isto é, P. P. P. P. P =.... =.. Portanto, o número total de modos para dispor os casais é: 0. = 80. ) 0 Consideramos os livros grandes, livros pequenos e o exemplar de Descobrindo o Pantanal como blocos que podemos permutar. Com o livro de Descobrindo o Pantanal (ª ou última coluna), podemos permutar os livros grandes e pequenos de dois modos. lém disso, os livros grandes e pequenos podem permutar entre si. Livro pequenos: P =! = 0. Livro grandes: P =! =. Por fim, o Descobrindo o Pantanal pode permutar de dois modos (extremos). Portanto, pelo PFC, temos:. P. P. =. 0.. = 0. ) a)! versões diferentes da prova. b) s questões serão assim dispostas: PPPPPPP MGMGGGM PPPPPPP MGGMGGM PPPPPPP MGGGMGM PPPPPPP GMGMGGM PPPPPPP GGMGMGM PPPPPPP GMGGMGM 7!.!.!. =..0 ) ) 7 P P P P =! = P =! = P = No exato momento contamos os números até a = 0. Os demais números em ordem crescente são: º 7 º 7 º 7 º 7 º 7 º 7 ) 7º Vamos analisar a contagem separadamente fixando os algarismos em ordem crescente. P P =! = Note que qualquer número começado com o algarismo é menor que 78. P =! = P Temos modos de dispor o casal em um banco e também podemos permutá-los entre si, então existem. = modos. Como temos bancos, logo. = modos para dispor o casal. Colocado o casal, restam dois bancos para dispor a família, como podemos permutá-los entre si, temos! modos. Logo, o total de maneiras em dispor é.! =. = modos. Por fim, restam lugares para colocar pessoas que são dispostas de! = modos. Portanto, pelo PFC, temos:.. = modos. Note ainda que qualquer número começado com o algarismo é menor que 78. P =! = Qualquer número começado com o algarismo é menor que P =! = P Matemática

6 inda com raciocínio análogo aos anteriores, fixando os algarismos 7 e nesta ordem será menor que 78. No exato momento temos o número da = 7. s posições seguintes são: 7º 78 7º 78 Portanto, a que se encontra o número 78 é 7º. 7) 80 Vogal fixa. ª ª ª ª ª ª 7ª Podemos dispor a letra em posições. Iniciamos a contagem fixando a letra na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª ª ª ª ª ª ª 7ª possibilidade O total de anagramas com fixa na º é =. Note que a letra não pode ocupar a 7ª, pois, caso contrário, as vogais não estavam em ordem alfabética. Vogal fixa na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª Vogal fixa na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª possibilidade Total de com fixa na ª é = 0. Matemática

7 Vogal fixa na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª possibilidade Total de com fixa na ª é + + =. Vogal fixa na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª possibilidade Total de anagramas é + =. Vogal fixa na ª. ª ª ª ª ª ª 7ª possibilidade Portanto, o total de anagramas com as vogais em ordem alfabética é =. Como as consoantes podem permutar entre si, temos P =! = anagramas. Pelo PFC, o total de anagramas da palavra CDRNO com as vogais em ordem alfabética é: P. =. = 80 anagramas. 8) Colocamos as letras, I, U, como mostrado a seguir (! = modos) I U gora vamos decidir quantas letras devemos colocar em cada espaço x, x, x, x e x (x i = número de letras que colocamos no i ésimo) inteiros não negativos tais que: x + x + x + x + x = Com x, x e x Sejam y = x + ; y = x + e y = x +. Daí vem: x + y + y + y + x = Resolvendo acima, temos: 7.. CR = C7 = = scolhido o número de letras que irão em cada espaço temos que colocar as letras V, S, T, B, L, R, o que pode ser feito de: P =! = 70 maneiras Portanto, o número de anagramas da palavra VSTI- BULR que não possuem vogais juntas é:!. CR. P =.. 70 = Matemática 7

8 9) 0,! 70 P = = = 0 anagramas.!.!. 0) 0,, 7! 00 P 7 = = = 0 números.!.!.!.. Note que existem letras repetidas. São elas: repete vezes R repete vezes Logo, o total de anagramas iniciado por uma vogal é: 0 0 0!.! =. = = 0 anagramas. ) 00 ) 0 Q U,!...!.. P = = = =. = 0!.!!.!. mensagens diferentes. ),!..!. 0 P = = = = = modos.!.!!. ) 08, 0! ! P 0 = = = = =!.!!.!... 0 maneiras. Portanto, além daquelas maneiras, temos: 0 = 08 maneiras. ) 0 Como as letras devem permanecer juntas, devemos considerar como um único "bloco", isto é, uma única letra. Daí vem: Temos letras para permutar entre si. P =! = 0 anagramas ) 0 p (,, O) Colocado a vogal na primeira casa, restam letras para permutar entre si. P =! = 70 Pelo PFC, temos:. P =. 70 = 0 7) Como as letras Q e U devem permanecer juntas, devemos considerar com um único "bloco", isto é, uma única letra. P Logo, temos letras para permutar. P = 70 Note que as letras Q e U podem permutar: P =! = modos Portanto, o total de anagramas é dado por: como a letra repete vezes, então devemos dividir por! P. P. 70 = =! 0 = 0 anagramas Segue, o total de anagramas sem restrições é: 7! 00 P 7 = = = 80! Portanto, total de anagramas sem as letras Q e U juntas é: 80 0 = 00 anagramas. Observe que a única consoante para dispor na primeira é a letra G. Colocado a consoante na primeira, restam letras para permutá-las com a letra se repetindo vezes. Portanto, o número de anagramas que iniciam com cosoantes é: P =! =! 8 Matemática

9 8) a) 8 No trajeto de para B devemos andar ruas para direita e ruas para cima. Portanto,, 9! ! P 9 = = = = = 8 modos.!.!!.! b) 0 No trajeto de para C devemos andar quarteirões para esquerda e para cima. Portanto,,! 0 0 P = = = = 0.!.!. No trajeto de C para B devemos andar quarteirões para esquerda e um quarteirão para cima. Portanto,!.! P = = =.!! Pelo PFC, temos:, P. P = 0. = 0 trajetos de para B passando por C. c) Trajetos de para B menos os trajetos de para B passando em C.,, P P. P = 8 0 = trajetos de para B sem 9 passar por C. 9) V V F I. Verdadeira. Podemos mover casas para esquerda e para baixo. Portanto,, 8! P 8 = = = = 70 maneiras.!.!. 7 II. Verdadeira. m algum momento faremos o movimento no sentido diagonal, restando casas para a esquerda e para baixo., 7! P 7 = = = = 0 maneiras!.!. III. Falso. m algum momento faremos os movimentos no sentido diagonal, restam movimentos para esquerda e movimentos para baixo.,, 7! 00 P 7 = = = 0!.!.!.. 0) Verdadeiro. Combinação completa (com repetição). p p CRn = Cn+ p x + y + z = n = p = 8! 8! CR = C+ = C8 = = = ( 8 )!.!!.! = 8. 7.! 8. 7 = = 8!.! ) 0 Portanto, alternativa correta. Queremos os valores de x, y e z tal que: x, y e z que satisfaz x + y + z = Sejam a, b e c, tal que x = a + ; y = b + e z = c + Daí vem: a + b + c = Resolvendo acima, temos: CR = C =.. 0! = =0 ) 8 ) Combinação completa com n = e p =. CR 9! 9! = C9 = = ( 9 )!!!.! = ! = = = 8!.! Durante a partida foram marcados 8 gols, pelo time e pelo time B. Para caracterizar uma maneira de evolução do placar, basta escolher, entre os 8 gols, quais os serão do time (os gols do time B serão os restantes). O número de subconjuntos de elementos de um conjunto de 8 elementos. 8! 8! ! C 8 = = = ( 8 )!!!.!.! Matemática 9

10 ) 70 Colocamos a letra I ( modo) I I I I gora decidimos quantas letras devemos colocar em cada espaço x, x, x, x e x (x i = número de letras que colocamos no i ésimo espaço) inteiros não negativos tais que, x + x + x + x + x = 7 com x, x, x Sejam y, y e y, tal que: x = y + x = y + x = y + Daí vem, x + y + y + y + x = Resolvendo acima, temos: CR = 8 CR =! =! ( )!!!! =70 scolhido o número de letras que irão em cada espaço, temos que colocar as letras M, S, S, S, S, P, P nessas casas, o que pode ser feito de:, 7! P 7 = = 0 maneiras!.! Portanto, o número de anagramas nos quais não há letras I consecutivas é:. CR = P, = = 70 ) 0 7 Resolvendo, temos:. CR = C = = 0 scolhido o número de letras que irão em cada espaço, temos de colocar as letras,, I, o que pode ser feito de: P =! = maneiras! Portanto, o número de anagramas da palavra NRGI que não apresentam consoantes juntas é:. CR. P =. 0. = 0 ) 0 (PC) = ( )! =! = 0 rodas de ciranda. 7) 0 rrata: 0 J M João e Maria devem permanecer sempre juntos, então podemos considerá-los como um único "bloco". (PC) 7 = (7 )! =! = 70 Note que João e Maria podem permutar de! modos. Portanto, 70. = 0 modos de sentar na mesa. Colocamos as letras N, R e G com o mostrado abaixo (! maneiras) N R G 8) 0 p gora decidimos quantas letras devemos colocar em cada espaço x, x, x e x (x i = número de letras que colocamos no i ésimo espaço) inteiros não negativos, tais que: x + x + x + x = com x e x Sejam y = x + e y = x + Daí vem: x = y + y + x = terminados por ou Colocando o último algarismo, não existem restrições para os demais. p p p p Pelo PFC, temos:... = 0 números pares. 0 Matemática

11 9) S = {8} ( n + )! = ( n + )! ( n+ ).( n+ )! = ( n + )! n + = n = n = 8 0) a) 7. C 7 = = 7. = modos Sem perda de generalidade, suponha que presenteamos Marco com o livro L e nanias com o livro L. Note que é diferente presenteá-los com os livros L e L, respectivamente. Portanto, o total de modos de presenteá-los são:. C 7 =. = modos. b) 7. C 7 = = 7. = modos c) 00 7p p p p p p p PFC: P 7 = = 00 d) 70 L L L Como os livros L, L e L devem permanecer juntos, podemos considerar com um único "bloco", isto é, temos livros para permutar. P =! = 0 Note que L, L e L podem permutar entre si de:! = maneiras. Portanto, o total de maneiras para dispor os livros na estante é:. 0 = 70. e) 70 (PC) 7 = (7 )! =! = 70 ) 78 Como as nacionalidades devem permanecer sempre juntas, então permutamos as nacionalidades: P =! = Porém as pessoas de mesma nacionalidade podem permutar entre si, logo: Brasileiro: P =! = Franceses: P =! = Italianos: P =! = Pelo PFC, temos: P. P. P. P =... = 78 ) 0 Modos de escolher homens entre 7: 7.. C 7 = = 7. = Modos de escolher mulheres entre :. C = =. = 0 Pelo PFC, teremos: C 7. C =. 0 = 0. ) 80 ) 8 P 8 =!! = = 80 Número de carpas no tanque: 0% de 0,. = carpas. Logo, existem 9 peixes de espécies diferentes. O número de maneiras que podemos escolher as carpas C = = = O número de maneiras que podemos escolher os demais peixes: Como já escolhemos peixes, restam escolher entre 9 peixes. 9! 9! ! C 9 = = = = ( 9 )!!!.!!.! Portanto, pelo PFC, temos: C. C =. 8 = = 8 Matemática

12 ) O número de maneiras que podemos escolher homens entre 0 é: C 0 scolhidos os homens, faltam mulheres entre 0 para compor o júri. ssim, o número de maneiras é: C 0 Fixando-se o dígito, temos 9 (0 a 9, exceto para ª e ª engrenagens. Pelo PFC, temos: 9. 9 = 8 ) Pelo PFC, temos: C 0. C 0. p p p p! = 8) B Note que podemos fixar o dígito na ª e ª engrenagens. Portanto, o total de senhas é:. 8 = senhas. p p p p! = C = =! 0 = Com o algarismo. No segundo algarismo podemos colocar e. p P. P =. = Fixando os algarismos e 8, restam apenas os algarismos e para dispor na terceira. Fixando os algarismos, 8 e 9, resta apenas o algarismo para dispor na quarta. 8 9 Portanto, o total de números menores que 8 9 é =. 7) p Suponha que o dígito aparece na ª engrenagem. p 9) D Logo, > > O conjunto {99, 99,..., 008} possui elementos. Conjunto com elementos. C!... 0 = = = = 00 ( )!!! Conjuntos com elementos C!! = = = 00 ( )!!! 9! Resolvendo as combinações abaixo, temos: C!! = = = 00 ( )!! 8!! 7 C =! 7! 7! = 8 C 9 C = 00 = 00 0 C = 00 C C C = = 9 = C = Somando C + C + C + C + C + C + C + C + C + + C + C = 9 Matemática

13 70) 7) B Número de permutações sem restrições: (PC) n = (n )! (PC) n = ( )! =! = 0 Números de permutações de modo que duas delas estão em posições opostas. Como duas pessoas estão fixas, restam pessoas para permutá-las. P =! = 7) C 7) D Portanto, o total de de colocar seis pessoas de modo que duas delas não possam ficar em posições opostas é: (PC) P = 0 = 9 Primeira escolha: peça da loja L. Podemos escolher qualquer peça de qualquer loja que o valor não excederá o custo máximo de R$ 90,00. Logo, o número de maneiras de fazer a compra é. =. Se escolhermos a peça da loja L. o escolhermos a peça B da loja L, não podemos escolher a peça C da loja L, pois excederá o valor máximo. ntão o número de maneiras de fazer a escolha é de maneiras. Mas se escolhermos a peça B da loja L, temos de efetuar a compra. Primeira peça: peça da loja L. o escolhermos a peça B da loja L, temos duas de escolha, pois não podemos comprar na loja L (excede o valor máximo). Já se a compra da peça B for na loja L, temos maneiras para efetuar a compra. Logo, o total de maneiras de fazer a compra das peças de tal forma que o custo não exceda R$ 90,00 é de: = Sem perda de generalidade, suponha que dois times sul-americanos estão no grupo. Temos C maneiras de escolher os times sul- -americanos. Restam duas vagas no grupo a serem ocupadas por times uropeus. ssa escolha pode ser feita de C = 0 maneiras. Como temos dois grupos ( e B), então o número de maneiras que podemos dividir 8 times é dado por:. C. C =.. 0 = 0 Se pintarmos o quadrado, não podemos pintar os demais com a mesma cor, pois,, e são quadrados que possuem lados comuns, e o quadrado é oposto ao. Sem perda de generalidade, se pintarmos com uma segunda cor o quadrado só podemos pintar com essa mesma cor o quadrado. Porque pintado o quadrado não podemos pintar o (oposto ao ) e nem o quadrado (oposto ao ). Restam os quadrados, e para serem pintados, como não há restrições para eles podemos pintar da mesma cor. Portanto, foram necessárias cores diferentes. 7) Fazer um sorteio de números entre 0 disponíveis significa fazer uma combinação de 0, a. stamos considerando um conjunto de 0 elementos e tirando subconjuntos de elementos. m um conjunto, não há a noção de ordens dos elementos, assim como neste sorteio não é importante, o que pode ser representado das seguintes maneiras: C 0. gora, para calcular a probabilidade de premiação de cada um dos jogadores, precisamos saber quantas combinações de números cada um dos jogadores tem. Como a quantidade de cartela que cada um deles comprou já é dada, a informação de preço de cada uma delas é irrelevante, já que R$ já foram gastos na compra das cartelas. Sendo assim, a probabilidade de premiação do rthur é dada por: quantidade de combinações de números P(rthur) = quantidade total de combinaçõespossíveis 0 C, 0. 0 P ( ) = = = C C C 0, 0, 0, Probabilidade de premiação do Bruno é dada por: C, C,.. PB ( ) = = 7 = 87 9 = C C C C 0, 0, 0, 0, Matemática

14 de Caio é dada por: C, C,.. PC ( ) = = 8 0 = 0 = C C C C 0, 0, 0 0, 0, de Douglas é dada por: C9,... 7 PD ( ) = = = C C C 0, 0, 0,, finalmente, a probabilidade de premiação do duardo é dada por: C0, P ( ) = = = C C C 0, 0, 0, Portanto, os apostadores que apresentam maior probabilidade de vencer são duardo e Caio. 77) 78) D Candidato x. O candidato x teve % dos votos, ou seja, mais da metade da população vota no candidato x. Isso equivale a 0% dos votos de estados mais % do sexto estado. Portanto, os votos recebidos por ele foram dados pelo menos de estados diferentes. Devemos permutar pessoas, de modo que duas pessoas não sentem juntas. º caso: ocupa a primeira. ntão as demais pessoas ocupam a ª e a ª. 7) º caso: usando apenas uma cor. Basta escolher a cor que será utilizada: º caso: usando apenas cores. scolha das cores: C, =. Sejam e B as cores escolhidas, podemos ter: BB, B, BBB,. m todos os casos existe apenas uma maneira de formar o tetraedro, logo temos. = 8. º caso: usando cores. scolha das cores: C, =. scolha das cores que irá repetir:. xiste apenas uma maneira de formar o tetraedro. Logo,.. =.! º caso: =.. Total: = Pelo P. F. C., temos:.. = maneiras. º caso: ocupa a ª. ntão as demais pessoas ocupam a ª e a ª. 7) Com os dados fornecidos, poucas conclusões (seguramente verdadeiras) podem ser obtidas. C : média de jogos no campeonato é de jogos por dia. C : O maior valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia é. Haveria, por exemplo, jogos no dia inicial e jogo no dia final da competição ( dias depois). O valor possível para uma quantidade de jogos em um mesmo dia em particular é, portanto, 0 (zero). C : O menor valor possível para uma mesma quantidade de jogos em um mesmo dia em geral é com jogos em cada um dos dias da competição. Logo, em ao menos um dos dias teremos ao menos jogos. Pelo P. F. C., temos:.. = maneiras. Portanto, o total de maneiras de sentarem pessoas em fileiras, de modo que entre duas pessoas sempre tenha exatamente uma cadeira vazia, é: + = maneiras. Matemática

15 79) O resultado pedido é igual ao número de soluções inteiras e positivas da equação x y + z = 7, em que x, y e z representam o número de bolas em cada caixa. Como x, y e z, façamos x = a +, y = b + e z = c +. Desse modo, a + b + c =. O número de soluções dessa equação é dado por:!!..!. ( CR) = C = = = = ( )!!!!!! ( CR) = C =. = 80) B Sejam x, y, z, k e w números de cotas que cada investidor comprou. ntão: x + y + z + k + w = 9 Sabemos que os investidores fizeram compra, logo: x ; y ; z ; k e w. Daí, sejam: x = a + ; y = b + ; z = c + ; k = d + e w = e +. Desse modo, a + b + c + d = Resolvendo: CR = 8 C =! =....!!.! =...!.! = 70 Matemática