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1 Ministério da Faenda ESAF A proposição p (p q) é logicamente equivalente à proposição: a) p q b) ~p c) p d) ~q e) p q Inicialmente, construiremos a tabela-verdade da proposição p (p q) e, a seguir confrontaremos com as tabelas-verdade das proposições de cada alternativa: p q p ( p q ) V V V V V V V V F V F V F F F V F F F V V F F F F F V F º º º º º Podemos observar pela solução obtida anteriormente (VFFF), que essa se assemelha à solução de uma conjunção: Portanto, gabarito letra e. p q p Q V V V V V V F V F F F V F F V F F F F F º º º

2 0. Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. Ora, hoje é domingo. Logo, a) Marta não é estudante e Murilo trabalha. b) Marta não é estudante e Murilo não trabalha. c) Marta é estudante ou Murilo trabalha. d) Marta é estudante e Pedro é professor. e) Murilo trabalha e Pedro é professor. Seja o seguinte argumento formado pelas premissas P, P, P e P. P : Se Marta é estudante, então Pedro não é professor. P : Se Pedro não é professor, então Murilo trabalha. P : Se Murilo trabalha, então hoje não é domingo. P : Hoje é domingo Para que esse argumento seja válido, devemos considerar que todas essas premissas sejam verdadeiras. P : M artaé estudante Pedro não é professor (V) P : Pedro não é professor M urilo trabalha (V) P : M urilo trabalha hoje não é domingo (V) P :Hoje é domingo (V) Utiliaremos o método das atribuições de valores para determinarmos os valores lógicos das proposições simples que compõe as condicionais apresentadas nas premissas P, P e P. Sabendo-se que a premissa P, formada pela proposição simples Hoje é domingo é verdadeira (º passo), então a ª parte da condicional apresentada na premissa P será falsa (º passo). P : M artaé estudante Pedro não é professor P : Pedro não é professor M urilo trabalha P : M urilo trabalha hoje não é domingo P :Hoje é domingo V ( o passo) F ( o passo) Sendo falsa a ª parte da condicional da premissa P, então sua ª parte também deverá ser falsa (º passo) e, tal resultado confirmará também como falsa, a ª parte da condicional da premissa P (º passo).

3 P : M artaé estudante Pedro não é professor P : Pedro não é professor M urilo trabalha F ( o passo) P : Hoje é domingo V ( o passo) F ( o passo) P : M urilo trabalha hoje não é domingo F ( o passo) De maneira análoga, confirmaremos como falsa a ª parte da condicional da premissa P (5º passo) o que tornará, também falsa, a ª parte da condicional da premissa P (6º passo). Como já é sabido, sempre que confirmamos como falsa a ª parte de uma condicional, devemos confirmar também como falsa, sua ª parte (7º passo). Assim, teremos: P : M artaé estudante Pedro não é professor F (7 o passo) F (6 o passo) P : Pedro não é professor M urilo trabalha F (5 o passo) F ( o passo) P : M urilo trabalha hoje não é domingo F ( o passo) F ( o passo) P : Hoje é domingo V ( o passo) Logo, têm-se que: Marta não é estudante ; Pedro é professor ; Murilo não trabalha e Hoje é domingo. Portanto, gabarito letra b.

4 0. Em uma cidade as seguintes premissas são verdadeiras: Nenhum professor é rico. Alguns políticos são ricos. Então, pode-se afirmar que: a) Nenhum professor é político. b) Alguns professores são políticos. c) Alguns políticos são professores. d) Alguns políticos não são professores. e) Nenhum político é professor. Representaremos, inicialmente, por meio de diagramas lógicos, as proposições categóricas epressas no argumento do teto do enunciado: Nenhum professor é rico Alguns políticos são ricos Faendo a união dos diagramas anteriores, podemos obter as seguintes relações: Deste diagrama final, podemos obter as seguintes conclusões: (I) nenhum professor é rico, mas pode ocorrer que alguns professores sejam políticos ou não. (II) alguns políticos são ricos e, consequentemente, não poderão ser professores.

5 Logo, gabarito letra d. 0. Dadas as matries A e B, calcule o determinante do produto A.B. a) 8 b) c) 9 d) 5 e) 6 Ao multiplicarmos uma matri quadrada A de ordem por outra matri quadrada B, também de ordem, o resultado obtido será uma terceira matri quadrada C, de mesma ordem: c c C A.B c c matric matri A matri B onde, c, c, c e c, são os elementos da matri C formados pela multiplicação entre as linhas da matri A pelas colunas da matri B. c : resultado obtido pela multiplicação entre a ª linha da matri A pela ª coluna da matri B. c : resultado obtido pela multiplicação entre a ª linha da matri A pela ª coluna da matri B. c : resultado obtido pela multiplicação entre a ª linha da matri A pela ª coluna da matri B. c : resultado obtido pela multiplicação entre a ª linha da matri A pela ª coluna da matri B. c c c c C 5 O determinante é o valor numérico de uma matri de ordem quadrada. No caso de uma matri de ordem, tem-se que o determinante é calculado pela diferença entre os produtos dos elementos que se encontram, respectivamente, nas diagonais principais e secundárias : 7 7 C 5 7 det(c) 7 57 det(c) 9 85 det(c) 6 5

6 6 Logo, gabarito letra e. 05. Dado o sistema de equações lineares O valor de + + é igual a a) 8. b) 6. c). d). e). Tentaremos, aqui, uma solução trivial, ou seja, somando-se todos os termos que estão localiados à esquerda de cada igualdade e, simetricamente, os termos que se encontram à direta dessas mesmas igualdades: 6) ( Logo, gabarito letra c. 06. Sorteando-se um número de uma lista de a, qual a probabilidade de o número ser divisível por ou por 8?

7 a) % b) % c) % d) 5% e) % A probabilidade de sair um número divisível por (ou múltiplo de ) é a probabilidade de ocorrer o evento A {; 6; 9; ; 5; 8; ; ; 7; 0; ; 6; 9; ; 5; 8; 5; 5; 57; 60; 6; 66; 69; 7; 75; 78; 8; 8; 87; 90; 9; 96; 99}. Como: A) = múltiplos de entre e e S) = números naturais, então, A) tem-se: P ( A) P( A) S) A probabilidade de sair um múltiplo de 8 é a probabilidade de ocorrer o evento B {8; 6; ; ; 0; 8; 56; 6; 7; 80; 88; 96}. Como: B) = múltiplos de 8 entre e e S) = números naturais, então, B) tem-se: P ( B) P( A) S) Sendo A {; 6; 9; ; 5; 8; ; ; 7; 0; ; 6; 9; ; 5; 8; 5; 5; 57; 60; 6; 66; 69; 7; 75; 78; 8; 8; 87; 90; 9; 96; 99}, e B {8; 6; ; ; 0; 8; 56; 6; 7; 80; 88; 96}, então A B será dado por: ( A B) {, 8, 7, 96} Portanto, a probabilidade de P( A B) será de: A B) P ( A B) P( A B) S) Onde A B) representa os múltiplos simultâneos de e 8, compreendidos entre e. Então, P ( A B) P( A) P( B) P( A B) ou % Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de ou 8 será de ou % Logo, gabarito letra a. 07. Uma caia contém bolas brancas e pretas. Duas bolas serão retiradas dessa caia, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? 7

8 a) 55% b) 50% c) 0% d) 5% e) 5% Espaço amostral (S): bolas brancas e bolas pretas. Número de elementos do espaço amostral: S) = 5 bolas. Nesse caso, ou as duas bolas serão brancas, ou pretas. Probabilidade de ambas serem brancas (sem reposição): 6 P( B e B) P( B e B) Probabilidade de ambas serem pretas (sem reposição): P( P e P) P( B e B) Portanto, a probabilidade de serem da mesma cor será dada por: P( B e B) ou P( P e P) P( B e B) ou P( P e P) ou 0, ou 0% Logo, gabarito letra c. 08. O número de centenas ímpares e maiores do que treentos, com algarismos distintos, formadas pelos algarismos,,, e 6, é igual a 8

9 a) 5. b) 9. c) 8. d) 6. e). Centenas iniciando-se pelo algarismo e terminando, necessariamente, com o algarismo. ; ou 6 Centenas iniciando-se pelo algarismo e terminando, necessariamente, com o algarismos. ; ; ou 6 Centenas iniciando-se pelo algarismo e terminando, necessariamente, com o algarismos. ; ; ou 6 Centenas iniciando-se pelo algarismo 6 e terminando, necessariamente, com o algarismos. 6 ; ; ou Centenas iniciando-se pelo algarismo 6 e terminando, necessariamente, com o algarismos. 6 ; ; ou Num total de = 5 possibilidades. Logo, gabarito letra a. 09. Dos aprovados em um concurso público, os seis primeiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas numeradas de a 9

10 6, sendo um em cada sala e obedecendo a determinação de que na sala será alocado um homem. Então, o número de possibilidades distintas de alocação desses seis aprovados é igual a a) 70. b) 80. c) 60. d) 60. e) 50. Na a sala teremos possibilidades de escolhas, ou seja, apenas os homens. Na a sala teremos 5 possibilidades de escolhas, ou seja, homens e mulheres, já que dos homens estará presente na ª sala. Na a sala teremos possibilidades de escolhas, já que das 6 pessoas já estão alocadas nas duas primeiras salas. E, assim, sucessivamente, teremos para as demais salas, as seguintes possibilidades. Na a sala teremos possibilidades. Na a sala teremos possibilidades. 5 sala possibilidadaes sala 5 possibilidadaes sala 5 possibilidadaes sala possibilidadaes sala 5 possibilidadaes 80 Logo, gabarito letra b. 0. Uma reunião no Ministério da Faenda será composta por seis pessoas, a Presidenta, o Vice-Presidente e quatro Ministros. De quantas formas distintas essas seis pessoas podem se 0

11 sentar em torno de uma mesa redonda, de modo que a Presidenta e o Vice-Presidente fiquem juntos? a) 96 b) 60 c) 0 d) 8 e) Consideraremos, inicialmente, a Presidenta e o Vice-Presidente como sendo única pessoa. Assim, não havendo mais restrições, a quantidade de formas distintas que essas 5 pessoas poderão sentar-se em torno de uma mesa redonda será dada pela permutação circular: (PC) 5 = (5 )! (PC) 5 =! (PC) 5 = (PC) 5 = formas distintas. Mesmo estando juntos, a Presidenta e o Vice-Presidente, os mesmos poderão permutar entre si de lugares, logo, devemos multiplicar o resultado anterior por!. Total de formas distintas =! = = 8. Logo, gabarito letra d.

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