Mat 9 Números Reais. . π Cláudia Maria Diegues Araújo 1/23

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Ana Júlia de Miranda Amorim
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1 , φ π Cláudia Maria Diegues Araújo 1/23

2 Números Os números surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas. Cláudia Maria Diegues Araújo 2/23

3 Números Os números surgiram da necessidade que as pessoas tinham de contar objectos e coisas. Nos primeiros tempos da humanidade, usavam-se para contar, dedos, pedras, nós feitos numa corda... Cláudia Maria Diegues Araújo 2/23

4 Alguns sistemas de numeração... Cláudia Maria Diegues Araújo 3/23

5 Antigo Egipto Os símbolos usados pelos egípcios para representar quantidades eram: Por exemplo, o número 5304 é representado por Cláudia Maria Diegues Araújo 4/23

6 Os Babilónios Os símbolos usados pelos babilónios para representar quantidades eram: Cláudia Maria Diegues Araújo 5/23

7 Os Maias Os símbolos usados pelos maias para representar quantidades eram: Cláudia Maria Diegues Araújo 6/23

8 Os Romanos Os símbolos usados pelos romanos para representar quantidades eram: I V X L C D M Por exemplo, o número 3576 é representado por MMMDLXXVI Cláudia Maria Diegues Araújo 7/23

9 Os Hindus Os símbolos usados pelos hindus para representar quantidades eram: ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ Cláudia Maria Diegues Araújo 8/23

10 Se quiseres saber mais: upf.tche.br/ pasqualotti/hiperdoc/natural.htm matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm Cláudia Maria Diegues Araújo 9/23

11 Os conjuntos que já conheces... Cláudia Maria Diegues Araújo 10/23

12 Números Naturais N = {1, 2, 3, 4,...} Exemplo: 5 N -3 / N 0 / N Cláudia Maria Diegues Araújo 11/23

13 Números Naturais N = {1, 2, 3, 4,...} Exemplo: 5 N -3 / N 0 / N Números Inteiros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Exemplo: 5 Z -3 Z 0 Z 1 3 / Z 4 2 Z Cláudia Maria Diegues Araújo 11/23

14 Subconjuntos de Z Z = {..., 3, 2, 1} Inteiros negativos Z + = {1, 2, 3,...} Inteiros positivos Z + 0 = {0, 1, 2, 3,...} = N 0 Inteiros não negativos Z 0 = {..., 3, 2, 1, 0} Inteiros não positivos Cláudia Maria Diegues Araújo 12/23

15 Números Racionais Q = Z {números fraccionários} Nota: Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito como a razão de dois números inteiros a com b 0. b Cláudia Maria Diegues Araújo 13/23

16 Números Racionais Q = Z {números fraccionários} Nota: Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito como a razão de dois números inteiros a com b 0. b Exemplo: 0, 5 é um número fraccionário, pois pode ser escrito sob a forma de uma fracção, 1 2. Cláudia Maria Diegues Araújo 13/23

17 Números Racionais Q = Z {números fraccionários} Nota: Um número fraccionário é um número não inteiro que pode ser escrito como a razão de dois números inteiros a com b 0. b Exemplo: 0, 5 é um número fraccionário, pois pode ser escrito sob a forma de uma fracção, , (6) também pode ser escrito sob a forma de uma fracção, 2 3, então 0, (6) é um número fraccionário. Cláudia Maria Diegues Araújo 13/23

18 A qualquer número racional corresponde uma dízima. 1 2 = 0, = 1, = 2, 52 5 = 5, = 0, = 0, = 0, Cláudia Maria Diegues Araújo 14/23

19 A qualquer número racional corresponde uma dízima. 1 2 = 0, = 1, = 2, 52 5 = 5, = 0, = 0, = 0, No primeiro caso obtivemos dízimas finitas, no segundo caso obtivemos dízimas infinitas periódicas. Cláudia Maria Diegues Araújo 14/23

20 Às dízimas infinitas periódicas está sempre associado um período, que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. Cláudia Maria Diegues Araújo 15/23

21 Às dízimas infinitas periódicas está sempre associado um período, que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, = 0, (12) é uma dízima infinita periódica de período 12 Cláudia Maria Diegues Araújo 15/23

22 Às dízimas infinitas periódicas está sempre associado um período, que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, = 0, (12) é uma dízima infinita periódica de período 12 0, = 0, 35(6) é uma dízima infinita periódica de período 6 Cláudia Maria Diegues Araújo 15/23

23 Às dízimas infinitas periódicas está sempre associado um período, que é o algarismo ou conjunto de algarismos que se repete a partir de uma certa ordem. 0, = 0, (12) é uma dízima infinita periódica de período 12 0, = 0, 35(6) é uma dízima infinita periódica de período 6 A qualquer número racional corresponde uma dízima finita ou dízima infinita periódica. Cláudia Maria Diegues Araújo 15/23

24 Mat 9 Outros números π φ Cláudia Maria Diegues Araújo 16/23

25 Números irracionais Por volta do ano 600 a.c., Pitágoras e os seus discípulos, estudavam as propriedades dos números inteiros, através de construções geométricas. Cláudia Maria Diegues Araújo 17/23

26 Números irracionais Por volta do ano 600 a.c., Pitágoras e os seus discípulos, estudavam as propriedades dos números inteiros, através de construções geométricas. Até essa data, os pitagóricos acreditavam que tudo no universo estava relacionado com os números inteiros, ou então, razões de números inteiros (que conhecemos hoje, como o conjunto dos números racionais). Cláudia Maria Diegues Araújo 17/23

27 A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado Cláudia Maria Diegues Araújo 18/23

28 A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado A esta nova classe de números, chamamos números irracionais. Cláudia Maria Diegues Araújo 18/23

29 A sua crença foi abalada, quando descobriram que havia segmentos de recta cuja medida não podia ser expressa por um número racional. Por exemplo a diagonal de um quadrado de lado A esta nova classe de números, chamamos números irracionais. Um número irracional não pode ser expresso, como uma razão de números inteiros, ou seja, não pode ser escrito na forma a b. Cláudia Maria Diegues Araújo 18/23

30 Um número irracional é todo o número que não pode exprimir-se por uma dízima finita, ou infinita periódica. São exemplos de números irracionais: 2; π; 5; φ = Cláudia Maria Diegues Araújo 19/23

31 Qualquer número irracional pode ser representado por uma dízima infinita não periódica. Exemplos: 2 = 1, ; π = 3, ; φ = 1, Cláudia Maria Diegues Araújo 20/23

32 Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de números: Cláudia Maria Diegues Araújo 21/23

33 Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de números: o conjunto dos números reais. Cláudia Maria Diegues Araújo 21/23

34 Ao reunir os novos números (irracionais) com o conjunto Q (racionais), criou-se um novo conjunto de números: o conjunto dos números reais. R = Q {números irracionais} Cláudia Maria Diegues Araújo 21/23

35 N Z Q R Assim, N Z Q R Cláudia Maria Diegues Araújo 22/23

36 Racionais Irracionais dízimas finitas dízimas infinitas periódicas dízimas infinitas não periódicas Cláudia Maria Diegues Araújo 23/23

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