Lucas Lima Reis de Pinho

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1 VALIDAÇÃO DE EQUIVALENTES DE REDE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Lucas Lima Reis de Pinho Projeto de Graduação apresentado ao curso de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Eletricista. Orientador: João Pedro Lopes Salvador Rio de Janeiro Agosto de 2015

2 VALIDAÇÃO DE EQUIVALENTES DE REDE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Lucas Lima Reis de Pinho PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA. Examinado por: Prof. João Pedro Lopes Salvador, M. Sc. Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, D. Sc. Profª. Karen Caino de Oliveira Salim, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL AGOSTO DE 2015

3 Pinho, Lucas Lima Reis de Validação de Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, X,52p.: il.; 29,7cm. Orientador: João Pedro Lopes Salvador Projeto de Graduação UFRJ/Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Elétrica, Referências Bibliográficas: p Transitórios Eletromagnéticos. 2. Equivalentes de Rede 3. Transformada Wavelet I.Salvador, João Pedro Lopes. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Elétrica. III. Título iii

4 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Eletricista. Validação de Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência Lucas Lima Reis de Pinho Agosto/2015 Orientador: João Pedro Lopes Salvador Curso: Engenharia Elétrica As contingências às quais a rede de transmissão de energia elétrica está submetida geram a necessidade da análise dos transitórios eletromagnéticos resultantes destas possíveis mudanças de topologia da rede. Os estudos destes fenômenos podem ser otimizados quando se utilizam Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência (FDNE). Tais equivalentes ensejam a substituição de porções grandes da rede elétrica por circuitos de menor complexidade que mimetizam o comportamento da rede original em um determinado espectro de frequências, incorrendo em menores custos computacionais e possibilitando a análise focada em partes específicas da rede elétrica. O objetivo deste trabalho é obter um FDNE para parte de uma rede que se assemelha a uma porção do Sistema Interligado Nacional (SIN) através da aproximação racional da resposta em frequência através do algoritmo do Ajuste Vetorial. Posteriormente, o comportamento do circuito equivalente sintetizado a partir do ajuste realizado é validado ao comparar as respostas obtidas pela rede original e o FDNE em simulação no domínio do tempo no software ATP Draw. Na etapa de validação, é utilizado como ferramental auxiliar a Transformada Wavelet na decomposição dos sinais obtidos em diferentes resoluções, visando uma análise mais minuciosa. Palavras-chave: Análise de Transitórios Eletromagnéticos, Equivalente de Rede no Domínio da Frequência, Ajuste Vetorial, Transformada Wavelet. iv

5 Dedico este trabalho aos meus familiares, professores e amigos. v

6 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente aos meus pais José Francisco e Maria da Aparecida, que apesar da distância, me deram o apoio necessário para que eu pudesse seguir em frente e concluir esse curso de graduação. Agradeço ao meu orientador João Pedro Lopes Salvador pelos conselhos e orientações que tornaram esse trabalho possível. Agradeço ainda aos meus amigos e colegas de faculdade, pelo apoio e ajuda, durante toda essa jornada da graduação. vi

7 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas 1 Introdução Motivação Objetivos Estrutura do Documento Revisão Teórica Transformada de Fourier Transformada Wavelet Análise em Multirresolução Transformada Wavelet Estacionária Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência Síntese Matricial Ajuste Vetorial Imposição de Passividade Resultados no Domínio da Frequência Descrição da Rede Elétrica em Estudo Resultados das Simulações no EMTP/ATP Draw Resultados do Ajuste Vetorial Resultados Obtidos no Domínio do Tempo Resultados da Simulação Temporal Aplicação da Transformada Wavelet aos Resultados Conclusão Trabalhos Futuros Referências Bibliográficas vii

8 Lista de Figuras Figura Decomposição de uma aproximação A(j+1),, evidenciando a redução da frequência de amostragem Figura Decomposição da aproximação A(j+1), utilizando TWE Figura Decomposição utilizando TWE Figura Medição dos elementos da j-ésima coluna de Y Figura Terminais para obtenção da matriz de admitâncias [6x6] Figura Diagrama unifilar da rede. Fora de escala Figura Rede elétrica no ATP Draw Figura Parâmetros dos condutores (500 kv) Figura Parâmetros dos condutores (230 kv) Figura Disposição dos condutores nas torres de transmissão Figura Configuração do modelo de linha com transposição Figura Configurações do frequency scan Figura Elementos próprios Figura Elementos mútuos Figura Elementos da matriz de admitâncias 6x Figura Ajuste vetorial com 300 polos Figura Ajuste Vetorial da matriz de admitâncias 6x Figura Síntese do FDNE no formato de circuito RLC no ATP Draw Figura Resposta ao degrau no domínio do tempo Figura Resposta à corrente senoidal no domínio do tempo Figura Energização do banco de capacitores utilizando FDNE Figura Comparação de correntes medidas nos terminais da Barra # Figura Comparação das correntes medidas nos terminais da Barra # Figura Correntes nas fases da Barra # Figura Correntes nas fases da Barra # Figura Resultado para Desequilíbrio Angular Brando Figura Resultado para Desequilíbrio Angular Severo viii

9 Figura Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Brando Figura Resultado para Desequilíbrio entre Amplitudes Severo Figura Análise aproximada da corrente em regime permanente da Barra # Figura Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fase A Figura Transformada Wavelet aplicada à resposta ao degrau: Fases B e C Figura Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada: Fase A. 45 Figura Transformada Wavelet aplicada à resposta à corrente alternada: Fases B e C Figura Histograma para a resposta ao degrau: Fase A Figura Histograma para a resposta ao degrau: Fase B Figura Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase A Figura Histograma para a resposta à corrente alternada: Fase B ix

10 Lista de Tabelas Tabela Disposição da subestações abaixadoras em relação as barras Tabela Comparação entre os valores RMS dos erros e das admitâncias Tabela 3.3 Resultados para Violação de Passividade Tabela 3.4 Resultados para Violação de Passividade do ajuste de matriz 6x Tabela Análise da discrepância na resposta contínua Tabela Análise da discrepância na resposta alternada Tabela Análise da discrepância nos terminais da Barra# Tabela Análise da discrepância nos terminais da Barra# Tabela 4.5 Esquema utilizado no teste dos desequilíbrios x

11 1 Introdução 1.1 Motivação Em regime permanente, o Sistema Interligado Nacional (SIN) opera com a frequência elétrica de 60 Hz e é dotado de vários mecanismos de controle regulatórios para que seja mantido o sincronismo dos geradores. Porém, esta condição de equilíbrio está sujeita a algumas externalidades como surtos atmosféricos, curto-circuitos e manobras responsáveis pela mudança da topologia, que causam variações bruscas nos perfis de tensão e corrente em um curto intervalo de tempo antes que seja novamente instaurado um ponto de equilíbrio [1]. A análise desses transitórios eletromagnéticos é essencial para a otimização da operação do sistema elétrico, principalmente na formação do arcabouço necessário para o planejamento da proteção e coordenação de isolamentos dos equipamentos. A análise de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência exige elevado custo computacional, já que requer um modelo detalhado equivalente a uma grande área da rede elétrica. Além disso, fenômenos desta natureza são responsáveis pelo surgimento de componentes de corrente e tensão de frequência discrepante em relação à frequência de operação em regime permanente, suscitando a necessidade da utilização de métodos que incluam a dependência da frequência inerente a alguns componentes da rede elétrica. Logo, a obtenção de um equivalente de rede no domínio da frequência (FDNE, Frequency Dependent Network Equivalent, em inglês) permite a simulação desdes transitórios eletromagnéticos a partir de uma simplificação da rede original ao longo de uma faixa de variação da frequência, com a vantagem de incorrer em menores esforços computacionais e possibilitar estudos focados somente na área elétrica de interesse. Como os componentes de simulação de transitório eletromagnéticos no Eletromagnetic Transient Program (EMTP) são modelados no domínio do tempo, o conceito do FDNE baseia-se na modelagem de tais componentes no domínio da frequência, e a partir deste modelo, sintetizar um equivalente que possa ser inserido de volta no domínio do tempo. 1

12 Um equivalente no domínio da frequência pode ser obtido através do ajuste, i.e, aproximação, da resposta em frequência de um componente isolado ou parte da rede. Neste trabalho, o método utilizado para alcançar tal objetivo é do Ajuste Vetorial (Vector Fitting, em inglês) que ajusta a resposta em frequência por uma função de transferência dada por uma soma de frações parciais. 1.2 Objetivos Este trabalho tem como objetivo a síntese de um FDNE para uma rede elétrica 500kV/230kV baseada na área Norte-Nordeste do Sistema Interligado Nacional (SIN) através do Ajuste Vetorial e analisar o sucesso do equivalente de rede no domínio sintetizado através de comparações das respostas no domínio do tempo do FDNE e da rede original, no ambiente do EMTP/ATP Draw (interface gráfica do Alternative Transient Program). De posse dos resultados obtidos das simulações temporais, a Transformada Wavelet (TW), é utilizada como ferramental adicional de processamento de sinais para análise dos resultados no domínio do tempo. Através da técnica de multirresolução, objetiva-se uma comparação das respostas obtidas em diferentes níveis de resolução e detalhes, no intuito de avaliar algum possível comportamento anômalo do FDNE em relação ao comportamento da rede completa suficiente para invalidar sua utilização como um equivalente de rede. 1.3 Estrutura do Documento No primeiro capítulo desde documento, expõe-se a descrição do problema na análise de transitórios eletromagnéticos utilizando largas parcelas da rede elétrica e o objetivo deste trabalho em sintetizar um equivalente de rede no domínio da frequência e validar o ajuste realizado através de ferramenta de processamento de sinal e comparação de respostas no domínio do tempo. 2

13 O Capítulo 2 é essencialmente, de caráter expositivo em relação à aspectos teóricos e procedimentos realizados ao longo do trabalho, sendo este referente à Transformada Wavelet, à metodologia aplicada para síntese dos equivalentes de rede no domínio da frequência e o procedimento algébrico do Ajuste Vetorial. Já o Capítulo 3 inicia a etapa de exposição dos aspectos práticos realizados. Primeiramente, mostra uma breve descrição da rede elétrica em estudo, com especificação de alguns elementos utilizados. Posteriormente, exibe os resultados associados às simulações no domínio da frequência, juntamente com o ajuste vetorial realizado no Matlab a partir do algoritmo do Vector Fitting. Estes resultados são utilizados para a síntese do FDNE elaborado no ambiente do EMTP/ATP Draw e utilizados nas simulações no domínio do tempo, expostas no Capítulo 4 em processo comparativo com o comportamento da rede original. Ainda no Capítulo 4, são mostrados os resultados associados à análise obtida a partir da Transformada Wavelet. O Capítulo 5 destaca as principais conclusões parciais do trabalho realizado. 3

14 2 Revisão Teórica Uma transformada é uma operação que permite representar um sinal em outro domínio. Em sua forma integral de um sinal contínuo, constitui no produto interno entre o sinal e uma função núcleo, que estabelece o mapeamento do domínio do tempo para o domínio da transformada [2]. As transformadas são ferramentas matemáticas amplamente utilizadas em técnicas de processamento de sinais, onde uma das mais conhecidas seja a Transformada de Fourier (TF), que será apresentada na seção para um melhor entendimento do contexto em que se fez necessário o surgimento da Transformada Wavelet (TW) explicitada na seção Transformada de Fourier A transformada de Fourier possibilita a transformação de um sinal periódico do domínio do tempo para o domínio da frequência, ao descrevê-lo como um somatório de senos e cossenos. A função responsável pela transformação é dada por (2.1.1) para casos contínuos e (2.1.2) para dados discretizados [3]. Em (2.2.1), observa-se que o produto interno entre o sinal contínuo f(t) e a função núcleo. (2.1.1) (2.1.2) onde é a frequência angular, T é o intervalo de tempo total medido, corresponde aos intervalos de tempo discretos e é o valor do sinal discreto no instante k. O número total de amostras é igual a N= e para n=1,2,3,...,n-1. 4

15 Analisando a equação (2.1.1) para uma função contínua é possível observar que a TF é baseada na integração de toda a função para o cálculo de cada frequência. Isso não caracteriza problemas em sinais estacionários, em que não há variação durante o tempo. Para análise de tais sinais com oscilações no domínio do tempo, surge uma derivação da TF denominada Windowed Fourier Transform (WFT) [4] ou Transformada de Fourier em Janelas, utilizando tradução livre. Esta técnica foi proposta por Denis Garbor em 1946 [5] e consiste em adaptar a transformada de Fourier para uma pequena porção do sinal em torno de um instante de tempo t. A WFT se baseia em uma função j(t) que, de maneira abstrata, realiza o papel de uma janela em que se obtém a TF da parte do sinal enquadrado e que pode ser transladado e modulado a partir de operadores matemáticos, como exposto em (2.1.3) para um caso contínuo. (2.1.3) onde b é o parâmetro de translação e modula o tamanho da janela. A limitação de tal transformada provém do fato de que uma vez definido o tamanho da janela, esta será constante ao longo de todas as frequências. Alguns sinais podem apresentar algumas singularidades que necessitam um enfoque mais flexível, exigindo uma ampliação da escala obtida através da variação do tamanho da janela de forma que seja possível detectar o conteúdo local da frequência [6] Transformada Wavelet A Transformada Wavelet (TW) é uma técnica com dimensões de janelas variáveis. As funções wavelet, diferentemente da transformada de Fourier, permitem a representação de um sinal a partir do suporte local ao invés do suporte global, pois são funções de duração limitada, em que seu domínio é igual a zero ao longo de um extensão finita determinada por seus parâmetros e igual a zero em todo o resto. Na utilização das wavelets, a decomposição do sinal não é mais feita em termos de senos e 5

16 cossenos como na WTF, mas em termos de funções localizadas no tempo e sem escala fixa, fornecendo não só a identificação da frequência como também a sua localização no tempo (domínio híbrido tempo-frequência) [7]. A TW é utilizada em detrimento à Transformada de Fourier Janelada neste trabalho devido o fato da última apresentar tratamento inconsistente para cada nível de frequência: nas frequências baixas existem tão poucas oscilações dentro da janela que a localização da frequência é perdida, enquanto o efeito contrário é observado em altas frequências, onde o elevado número de oscilações culmina na perda da localização do tempo [7]. As funções wavelets são, por definição, quadráticas integráveis, centradas em t=0, oscilatórias e representadas por (2.1.4). (2.1.4) Além disso, tais funções devem atender as características: Área total sob a curva da função é zero; (2.1.5) A energia da função é finita (2.1.6) Para um melhor entendimento da técnica utilizada, é importante ressaltar que a Transformada Wavelet representa o sinal ambos no domínio do tempo e da frequência. Analisando a equação (2.1.4), pode-se observar que a função wavelet terá sua translação ao longo do plano tempo-frequência coordenada pelo parâmetro b, enquanto o parâmetro a determina a magnitude de sua compressão ou dilatação. Considerando que a área da janela é constante, valores muito baixos de a significa uma compressão elevada e uma diminuição do suporte temporal, permitindo a análise de uma porção do sinal em um curto espaço de tempo e possibilitando captura de detalhes contidos em 6

17 altas frequências. Analogamente, valores elevados do parâmetro a são utilizados para análises em escala global. A partir de (2.1.4), também é possível constatar que a translação e dilatação de fornece a geração de uma nova família de funções com as mesmas características elementares, sendo a chamada wavelet mãe. Existem vários tipos destas funções primordiais, sendo os mais comuns Daubechies, Haar, Coiflet e Symmlet [8]. Existem métodos que propõem critérios para melhor seleção da wavelet mãe de acordo com o sinal a ser processado. Alguns destes métodos são Correlation Based Waved Selection (CWBS), Energy Based Wavelet Selection (EWBS), Restrição a Wavelets Biortogonais de Fase Linear e Método Baseado na Máxima Seletividade de Filtros, que foram explicitados conjuntamente em [2]. Este trabalho conteve-se ao método heurístico, através de tentativas e erros utilizando as wavelet mãe supracitadas e disponíveis na ferramenta wavemenu do Matlab. Nos testes realizados, a wavelet mãe que apresentou os melhores resultados foi a Daubechies. Finalmente, a transformada Wavelet de um sinal contínuo f(t) será dada por (2.1.7). (2.1.7) onde representa o complexo conjugado de. No tocante à Transformada Wavelet Discreta (TWD), sua principal aplicação reside na decomposição de sinais, sendo importante destacar a análise em multirresolução desenvolvida em [8] Análise em Multirresolução A teoria da Análise em Multirresolução se baseia na capacidade da TW de decompor um sinal de entrada em diferentes níveis de resolução com diferentes escalas. O processo se equivale a filtrar recursivamente um sinal com filtros passa-baixa e passa- 7

18 alta, onde o primeiro irá gerar detalhes (indicados por D ) e o último, aproximações (indicadas por A ) [8]. Desta maneira, é possível obter decomposições mais simples em relação ao sinal original, mas que mantenha algumas características específicas. Considerando G(s) e H(s) como filtros discretos passa-baixa e passa-alta, respectivamente, o sinal de detalhe pode ser obtido a partir da convolução da aproximação com o filtro G(s) e retendo a outra amostra da saída [8], de forma que a cada ciclo de decomposição a frequência de amostragem é reduzida pela metade. O mesmo ocorre para obtenção das aproximações, como pode ser representado pela ilustração da Figura 2.1. Tal problema relacionado à quantidade de dados obtidos após a decomposição pode ser mitigado com a utilização de Transformadas Wavelet Estacionárias (TWE), que serão abordadas na seção Figura 2.1: Decomposição de uma aproximação A(j+1),, evidenciando a redução da frequência de amostragem. Baseada em figura presente em [9]. Outro ponto importante a ser observado é que durante a TW ocorre conservação de energia, permitindo que o sinal seja reconstruído a partir do somatório da aproximação e dos níveis de detalhamento, que serão de número igual ao nível de aproximação utilizado. Como exemplo, consideremos um sinal discreto f( ) representado através de uma TW com nível de aproximação igual a 5. Ele poderá ser reconstruído, de forma que (2.1.8) se confirme. (2.1.8) 8

19 2.1.4 Transformada Wavelet Estacionária Na seção anterior, foi mostrado que uma característica inerente ao processo de análise em multirresolução utilizando TWD é a redução da quantidade de dados presentes no sinal original. Isto pode ser uma interferência no resultado em casos que primam pela manutenção das características dos sinais originais em suas representações menos complexas. Desta forma, a Transformada Wavelet Estacionária (TWE) se torna uma opção mais adequada nestas circunstâncias. A Transformada Wavelet Estacionária (TWE) é uma alternativa para o fato de a TWD não ser invariante no tempo e fornecer uma representação do sinal original com a metade do número de amostras. Ao se utilizar a TWE, não há divisão do sinal a cada ciclo de decomposição, tornando a extração de características do sinal mais confiável [9] Logo, o diagrama de blocos da decomposição de através de TWE explicitado na Figura 2.2 não irá apresentar o bloco referente ao descarte de uma das amostras da saída. Na Figura 2.3, evidencia-se o fato de a TWE poder ser obtida a partir da TWD por meio de um upsampling (aumento de amostras) do resultado da convolução do sinal, mantendo o número de amostras igual em cada etapa do processo. Figura 2.2: Decomposição da aproximação A(j+1), utilizando TWE. 9

20 Figura 2.3: Decomposição utilizando TWE. Baseada em figura presente em [9]. O processo de upsampling é uma modificação dos filtros utilizados na TWD interpolando zeros a cada duas amostras da transformada não-estacionária [10]. 2.2 Equivalentes de Rede no Domínio da Frequência Para contornar as dificuldades apresentadas no Capítulo 1 para análise de fenômenos eletromagnéticos transitórios, utilizamos o Frequency-Dependent Network Equivalent (FDNE) ou Equivalente de Rede no Domínio da Frequência (tradução livre), que constitui em uma representação de elementos da rede elétrica em funções analíticas da frequência. Neste trabalho, foi realizada a substituição de um modelo de componentes de rede da área de interesse de estudo por um equivalente de rede que represente de maneira satisfatória o comportamento de tal porção da rede, considerando as variações de frequência. Tais modelos podem ser inseridos em programas de transitório eletromagnético (EMTP,Eletromagnetic Transient Program, em inglês) através de circuitos equivalentes com parâmetros concentrados [11] ou convolução recursiva [12]. Existem diversas formas para obtenção do FDNE, sendo estas baseadas em técnicas computacionais para estimação de parâmetros de modelos através do ajuste da resposta em frequência do sistema elétrico original. Neste trabalho, o método utilizado se baseia na aproximação da matriz de admitância Y por uma função racional no domínio da frequência através do algoritmo conhecido Vector Fitting (Ajuste Vetorial, 10

21 tradução livre), que será explicado posteriormente. Neste procedimento, os componentes no domínio do tempo serão representados como uma função de transferência no formato de soma de frações parciais, i.e, uma soma de exponenciais com decaimento dado pelos polos do ajuste e escalados pelos resíduos calculados [13] Síntese Matricial Como mencionado anteriormente, para obtenção do equivalente de rede no domínio da frequência, é necessário o ajuste da resposta em frequência da admitância terminal de uma rede trifásica. Os dados necessários são obtidos através da simulação no ATP Draw e a metodologia aplicada será brevemente explicada a seguir, tanto para o caso de somente um terminal, quando para o caso multiporta. O procedimento utilizado neste trabalho é similar ao utilizado por Gustavsen em [14] para a modelagem de transformadores no domínio da frequência. A obtenção da matriz de admitância baseia-se na relação entre a tensão aplicada e a corrente medida saindo da fonte. Visando simplificar os cálculos, todas as fontes utilizadas neste procedimento são de amplitude igual a 1,0 V e fase 0º. Para o caso de somente um terminal trifásico, a Figura 2.4 representa uma das etapas do processo. Aplica-se a tensão alternada com amplitude em um dos terminais da rede trifásica, de modo que se obtenha o equivalente de Thévenin. A simulação é realizada para uma larga faixa de frequência (frequency scan). A medição da corrente nas outras fases terminais permite a obtenção da matriz de admitância terminal Y, de forma que seus elementos são dados por (2.2.1) [14]: (2.2.1) 11

22 Figura 2.4: Medição dos elementos da j-ésima coluna de Y. Considerando uma rede trifásica e a tensão aplicada seja de amplitude igual a 1,0V e sem defasagem, os elementos da matriz de admitância de Thévenin serão dados pela própria corrente medida em cada uma das 3 fases, possibilitando a montagem da matriz cheia (2.2.2). (2.2.2) Como foi realizado o frequency scan da rede trifásica, teríamos uma matriz de admitância para cada valor de frequência simulada. A aproximação da resposta obtida pela simulação por uma função racional permite a representação de todas estas matrizes através da matriz Y(s) no domínio da frequência, onde todos os elementos são funções de s. (2.2.3) Em casos em que mais de uma barra do sistema seja de interesse, aplica-se a mesma metodologia para obtenção de uma matriz que represente a resposta em frequência. Para sistemas trifásicos com n barras de interesse, a resposta será dada na forma de uma matriz equivalente de ordem [3n x 3n]. Retendo-se ao escopo deste trabalho, a formação de uma equivalência de uma porção da rede localizada entre dois terminais trifásicos requer a montagem de uma matriz de admitâncias de ordem [6x6], seguindo o modelo de (2.2.4). 12

23 (2.2.4) De maneira análoga ao procedimento utilizado no caso de um único terminal, os elementos da matriz de admitâncias (2.2.4) seguem o modelo que representa a corrente medida no terminal i com a aplicação de uma fonte de tensão alternada de amplitude unitária no terminal j, estão todos os outros aterrados. Os índices em letra maiúscula se referem ao terminal trifásico ABC, enquanto os de letra minúscula se referem ao terminal abc, representados na Figura 2.5. As submatrizes [3x3] do canto superior esquerdo e do canto inferior esquerdo se referem ao terminal trifásico ABC e suas mútuas e a terminal abc e suas mútuas, respectivamente. As duas demais submatrizes descrevem a relação entre os dois terminais. Figura 2.5: Terminais para obtenção da matriz de admitâncias [6x6]. 13

24 Ajuste Vetorial Este método tem como finalidade ajustar as respostas obtidas no domínio da frequência para funções racionais aproximadas, permitindo a inclusão da frequência na análise dos transitórios eletromagnéticos. Consiste numa ferramenta para o ajuste de equivalentes de rede no domínio da frequência. Considerando uma função genérica dependente da frequência: (2.2.5) A multiplicação de ambos os lados da equação (2.2.5) pelo denominador do lado direito permite que a equação seja enquadrada na forma linear, mas incorre em que todas as colunas de A estejam multiplicadas por s, elevando a complexidade. Isto limita a metodologia para aproximações de ordens muito baixas, principalmente se o ajuste for realizado em uma ampla faixa de frequência [15]. Diante de tal dificuldade, o método em questão consiste na aproximação por frações parciais mostrada na equação (2.2.6) através de dois estágios lineares, ambos com polos conhecidos. Os resíduos e os polos podem ser números reais ou complexos conjugados, enquanto os termos direto d e proporcional e são números reais. A possibilidade de obter pares conjugados complexos para os polos obtidos através do método garante a representação dos picos de ressonância necessários para a aproximação dos equivalentes de rede no domínio da frequência e em outras aplicações, como modelos de transformadores [14],[15]. (2.2.6) Apresentada por Gustavsen e Semlyen em [15], esta metodologia consiste em substituir um conjunto de polos iniciais por um conjunto de polos obtidos através de 14

25 múltiplas iterações, procedimento o qual será brevemente exposto a seguir. O código computacional para todo o pacote Vector Fitting é de domínio público, sendo disponibilizado em [16]. Estágio #1: Identificação dos Polos Especifica-se um conjunto de polos iniciais para (2.2.6) e multiplica-se f(s) por uma função desconhecida. Ao realizar a aproximação racional para, temse o problema explicitado em (2.2.7): (2.2.7) É importante notar que em (2.2.7), a aproximação racional para tem os mesmos polos que a aproximação de mas não há ambiguidade de soluções devido o fato de ter valor unitário para frequências muito altas. Multiplicando a segunda linha de (2.2.7) por f(s) fornece a seguinte relação: (2.2.8) ou (2.2.9) A equação (2.2.8) é linear em suas incógnitas, e, d e. Descrevendo (2.2.8) para vários valores diferentes de frequência, obtemos o problema linear na forma (2.2.10) para cada ponto de frequência, sendo cada linha sendo dada por: 15

26 (2.2.11) (2.2.12) Devido o número de equações ser maior que o número de incógnitas, o problema deve ser resolvido pelo método dos mínimos quadrados. No caso de polos complexos, uma modificação é introduzida para garantir que os resíduos se apresentem na forma de pares conjugados. Assume-se que as frações parciais i e i+1 constituem um par complexo, i.e., (2.2.13) Os elementos correspondentes são modificados da seguinte forma: (2.2.14) No processo de ajuste, só são utilizadas as frequências positivas. De maneira que se preserve as propriedades dos conjugados, formula-se (2.2.10) separando as partes real e imaginária de cada elemento, de modo a utilizar quantidades reais: (2.2.15) Reescrevendo (2.2.9) na forma de produtórios de polos e zeros: (2.2.16) e, portanto: (2.2.17) 16

27 Analisando (2.2.17), podemos observar que o conjunto de polos iniciais são cancelados no processo e os polos de f(s) são iguais aos zeros de. Portanto, calcular os zeros de significa calcular um bom conjunto de polos que ajusta f(s). A maneira encontrada para determinação destes zeros é definir como uma função de transferência qualquer em que são zeros e são polos: (2.2.18) A determinação de parte da consideração de que os zeros de são iguais aos polos de equações de estado de (2.2.20).. Para realizar a inversão, deve-se partir para a realização em no domínio do tempo, dada pelas equações (2.2.19) e (2.2.19) (2.2.20) onde A é uma matriz diagonal, c é um vetor linha, d é a unidade e b é um vetor coluna com todos os elementos unitários. Da equação (2.2.20) vem: (2.2.21) aplicando (2.2.21) em (2.2.19) e considerando d=1 para expressão:, obtemos a seguintes (2.2.22) Da equação (2.2.22), observa-se que a matriz de estados para é dada por. Como os polos de são determinados pelos autovalores de, logo os zeros de que serão os polos que ajustarão f(s) podem ser calculados por: 17

28 (2.2.23) onde A é uma matriz diagonal que possui o conjunto de polos iniciais e b é um vetor coluna onde todos os elementos são iguais a 1 e c é o vetor linha que possui os resíduos de. No caso de pares de conjugados complexos, as submatrizes de (2.2.23) são modificadas via transformação de similaridade como: (2.2.24) Estágio #2: Identificação dos Resíduos Para identificação dos resíduos, utiliza-se os zeros calculados em (2.2.23) ou (2.2.24) como um novo conjunto de polos iniciais. Calcula-se então os resíduos de forma mais precisa. Este processo novamente resultará em um problema linear da forma onde o vetor solução x contém as incógnitas. A vantagem do método Vector Fitting de tratar o ajuste de curvas amostradas como um problema de dois estágios lineares, com escolha automatizada dos polos iniciais de ajuste Imposição de Passividade Em programas do tipo EMTP, é possível sintetizar um equivalente RLCG a partir da matriz ajustada de Y, ensejando simulações no domínio do tempo. A técnica abordada ao longo desta seção força a passividade da matriz, certificando que o comportamento físico do modelo criado absorva potência ativa para quaisquer módulo de tensão aplicadas, em qualquer nível de frequência [17]. Seja um componente definido por sua matriz ajustada Y: (2.2.25) 18

29 com tensão, corrente e admitância. A potência ativa é dada por: (2.2.26) onde representa a matriz de tensão conjugada e transposta. Logo, o critério para passividade é que G = Re{Y} seja positiva definida [17], i.e, tenha todos seus autovalores positivos. A imposição de passividade é baseada em um processo de linearização [17], onde se assume que a aproximação de Y(s) foi realizada com elevada precisão, ensejando que a transformação de um autovalor negativo de G(s) em positivo seja realizada através de uma pequena perturbação da matriz dos resíduos calculados no ajuste. 19

30 3 Resultados no Domínio da Frequência Neste capítulo são expostos os resultados da simulação no software EMTP/ATP Draw para obtenção de uma resposta em frequência de um caso que se assemelha à porções da rede elétrica do Sistema Interligado Nacional (SIN). Previamente, é feita um breve descrição do exemplo em questão e explicação da metodologia utilizada, assim como os parâmetros de simulação utilizados. 3.1 Descrição da Rede Elétrica em Estudo A rede elétrica utilizada para a obtenção de um equivalente na forma de uma função racional da frequência é representada no diagrama unifilar da Figura 3.1 e no caso montado no ATP Draw mostrado na Figura

31 Figura 3.1: Diagrama unifilar da rede. Fora de escala. 21

32 Figura 3.2: Rede elétrica no ATP Draw. 22

33 A porção da rede elétrica na Figura 3.2 é uma representação típica das Áreas 500/230 kv do Sistema Interligado Nacional (SIN). Neste caso, tem-se 3 barras de 500 kv (#1, 2 e 3), 9 barras de 230 kv (#4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 19) e 7 barras de 69 kv (#12, 13, 14, 15,16, 17 e 18). Os geradores estão conectados à Barra #1 (500 kv) e #19 (230 kv), enquanto as cargas se distribuem pelas barras de 230 kv e 69 kv. A Tabela 3.1 exibe a localização relativa das subestações abaixadoras em relação aos pares de barras da rede elétrica. Tabela Disposição da subestações abaixadoras em relação as barras. Subestação Abaixadora 500kV/230kV 230kV/69kV Par de Barras (#1,#10) (#1,#19) (#2,#8) (#3,#4) (#5,#13) (#6,#14) (#7,#15) (#8,#12) (#9,#16) (#10,#17) (#11,#18) Embora existam diversos modelos de linhas de transmissão com parâmetros variantes na frequência, neste trabalho escolheu-se a utilização do modelo proposto por J. Marti em [18]. Este modelo consiste em um modelo preciso para inclusão da dependência com a frequência dos parâmetros de linhas de transmissão nas simulações de transitórios eletromagnéticos, no domínio do tempo. O modelo no EMTP utiliza um processo de ajuste racional baseado somente em polos reais e as impedâncias características em cada terminal da linha são substituídas por equivalentes de rede adequados que apresentam praticamente o mesmo espectro de frequência de As linhas de transmissão dos ramos de 500 kv são compostas por 4 condutores por fase, 23

34 enquanto o circuito de 230 kv apresenta 2 condutores por fase. Para ambas as tensões, os circuitos apresentam dois cabos pára-raios. A Figura 3.3 é referente às configurações no ATP Draw das linhas de transmissão de 500 kv, apresentando os parâmetros Raio Interno (Rin), Raio Externo (Rout), Resistência DC por quilômetro de extensão (Resis), além da disposição geométrica dos condutores (Horiz, Vtower, Vmid). Na primeira coluna de dados, os números diferenciam as 3 fases entre si, enquanto o algarismo 0 é referente ao cabo pára-raios. Analogamente, a Figura 3.4 explicita os mesmos parâmetros para os circuitos de 230 kv. Figura 3.3: Parâmetros dos condutores (500 kv). Figura 3.4: Parâmetros dos condutores (230 kv). A Figura 3.5 mostra a disposição dos condutores nas torres de transmissão de acordo com cada nível de tensão, a partir das configurações expostas nas Figuras 3.3 e 3.4 e com auxílio da ferramenta Matlab. 24

35 Figura 3.5: Disposição dos condutores nas torres de transmissão. Por se tratar de um circuito trifásico de corrente alternada, ocorre o acoplamento de impedâncias de cada fase devido à interação entre os campos eletromagnéticos induzidos devido a passagem de corrente em cada uma das fases, criando impedâncias mútuas entre os condutores, além da impedância própria de cada fase resultante de características intrínsecas dos cabos. Tais impedâncias mútuas variam de acordo com a diferença entre as distâncias entre os condutores, evidenciando discrepância no acoplamento eletromagnético fases que não são equidistantes. De modo a reduzir o efeito deste fenômeno, o modelo utiliza as linhas idealmente transpostas, de forma que os condutores ocupam todas as posições possíveis em trechos iguais, como pode ser visto na Figura 3.6. Figura 3.6: Configuração do modelo de linha com transposição. As respostas em frequência da rede elétrica foram obtidas da simulação do circuito da Figura 3.2 no programa EMTP/ATP Draw, sendo simulados 200 pontos por década na faixa entre 1 Hz e 100 khz [13]. A análise do comportamento da rede elétrica em um espectro de frequências é realizada utilizando a ferramenta frequency scan do EMTP/ATP Draw, como pode ser visto na Figura

36 Figura 3.7: Configurações do frequency scan. 3.2 Resultados das Simulações no EMTP/ATP Draw Seguindo a metodologia apresentada no Capítulo 2, foram obtidas as respostas em frequência das admitâncias equivalentes referentes à Barras #4. Tais resultados são alocados em matrizes tridimensionais de dimensões [3 x 3 x k], onde k é o número de pontos de frequência simulados. Desta forma, valores da matriz de admitâncias próprias e mútuas são dados para cada valor de frequência da faixa utilizada na simulação no EMTP/ATP Draw. A congruência nos condutores utilizados em cada fase e na forma com que estão dispostos nos circuitos quádruplos garante a equivalência entre os três valores de admitância própria (, ) para cada ponto de frequência. Já a transposição das linhas, que confere a equidistância entre cada fase, assegura valores idênticos para as admitâncias mútuas (,. As Figuras 3.8 e 3.9 apresentam as curvas que compõem a diagonal principal e os demais elementos, respectivamente, para a matriz de admitâncias equivalente referente à Barra #4. 26

37 Figura 3.8: Elementos próprios. Figura 3.9: Elementos mútuos. Nos gráficos dos resultados obtidos é possível observar a equivalência impedâncias próprias e mútuas, garantida pelas condições mencionadas previamente nesta seção. Ainda é possível constatar o comportamento decrescente do módulo das admitâncias com o aumento da frequência, como era de se esperar em redes de caráter predominantemente indutivo, como são as linhas de transmissão. A partir de aproximadamente 200 Hz, começam a surgir picos de ressonância, observáveis através das oscilações bruscas presentes na representação gráfica das admitâncias. Analogamente, o caso utilizando dois terminais para obtenção do equivalente forneceu a resposta em frequência alocada em uma matriz de dimensões [6 x 6 x k], que pode ser dividida em 4 submatrizes [3 x 3] onde os elementos foram previamente explicados na Seção

38 Os resultados obtidos estão expostos na Figura 3.10 e se referem à resposta em frequência das admitâncias equivalentes referentes às Barras #1 e #4, de forma que os índices em fonte maiúscula (A,B,C) fazem alusão às fases da Barra #1, enquanto a utilização da letra minúscula (a,b,c) remetem aos terminais da Barra #4. As linhas contínuas do gráfico da Figura 3.10 nas cores azul e preta representam as admitâncias próprias referentes às Barras #1 ( ) e #4 ( ), respectivamente. A curva cheia na cor magenta é representativa dos termos da diagonal principal das submatrizes de interação entre os dois terminais trifásicos, ou seja, das submatrizes do canto inferior esquerdo e canto superior direito da matriz em (2.2.4). Da mesma forma, as linhas tracejadas são representativas dos termos fora da diagonal principal das submatrizes, que são simétricas uma por uma devido as disposição geométrica das fases e da transposição ideal das linhas, como já fora explicado para o caso de um único terminal trifásico. As linhas nas cores ciano e verde representam as admitâncias mútuas somente entre os terminais da Barra #1 e #4, respectivamente. Já a linha tracejada magenta informa o comportamento das admitâncias mútuas resultantes da interação entre as fases (A,B,C) e (a,b,c). Figura 3.10: Elementos da matriz de admitâncias 6x6. 28

39 3.3 Resultados do Ajuste Vetorial As respostas em frequência da rede elétrica são utilizadas no algoritmo de Ajuste Vetorial no software Matlab, de acordo com a metodologia apresentada no Capítulo 2. O procedimento adotado para a escolha do número de polos do ajuste foi empírico, tendo como ponto de partida a tentativa de 120 polos utilizada para redes complexas em [15]. Foi utilizado o algoritmo disponibilizado em [16]. Em ordens mais baixas, o aumento do número de polos utilizado para a aproximação da resposta em frequência geralmente resulta em curvas mais bem ajustadas, com menor desvio quadrático médio em relação à curva original. Em contrapartida, é desejável que a ordem do ajuste seja a menor possível, desde que satisfaça certo grau de exigência da aproximação, pois uma ordem muito elevada representa maiores riscos de obtenção de polos muito próximos, que poderiam acarretar problemas de convergência quando inseridos na simulação no domínio do tempo e maiores custos computacionais. Estes possíveis problemas são decorrentes de um possível crescimento do valor dos resíduos em relação ao valor dos polos nestas circunstâncias [12]. Ponderando tais condições, o número de polos igual a 300 forneceu resultados bastante satisfatórios para o caso de um único terminal trifásico que estão expostos na Figura

40 Figura 3.11: Ajuste vetorial com 300 polos. O ajuste vetorial fornece um erro quadrático médio (root mean-square ou RMS) igual à 6,018 S, que é comparado com os valores RMS das admitâncias próprias e mútua na Tabela 3.2. Tabela Comparação entre os valores RMS dos erros e das admitâncias. Valor RMS (S) Porcentagem do Erro RMS (%) Admitância Própria 2,739 0,022 Admitância Mútua 2,388 0,025 Em relação à imposição de passividade, foram necessárias 5 iterações para eliminação das violações encontradas nos valores das condutâncias. O número de violações encontradas para cada iteração, assim como a máxima violação encontrada e a frequência equivalente estão expostas na Tabela

41 Tabela Resultados para as Violações de Passividade. Iteração Nº de violações Violação Máxima (S) Frequência Violação Máxima (Hz) 1 6-0, , , , , , , , , , O ajuste da matriz de admitâncias para o caso multi-terminal incorreu no gráfico da Figura 3.12, utilizando a mesma ordem de aproximação de 300 polos. Figura 3.12: Ajuste Vetorial da matriz de admitâncias 6x6. Em relação à imposição de passividade, foram necessárias 10 iterações para eliminação das violações encontradas nos valores das condutâncias. O número de violações encontradas para cada iteração, assim como a máxima violação encontrada e a frequência equivalente estão expostas na Tabela

42 Tabela Resultados para as Violações de Passividade para o ajuste da matriz 6x6. Iteração Nº de violações Violação Máxima (S) Frequência Violação Máxima (Hz) , , , , ,5685e , ,3566e-05 2, ,3269e , ,7923e , ,2053e , ,6375e , , ,

43 4 Resultados Obtidos no Domínio do Tempo Neste capítulo são apresentados os resultados da comparação da resposta ao degrau de corrente de 1 A e à uma corrente senoidal de amplitude 1 A no domínio do tempo do equivalente dos 3 terminais referentes à Barra #4 com a resposta da rede completa, com intuito de validar o FDNE sintetizado no EMTP/ATP Draw. Para o caso do equivalente com os dois terminais referentes às Barras #1 e #4, foram realizadas simulações no domínio do tempo da energização de um banco de capacitores conectados à Barra #4, sendo o terminal trifásico da Barra #1 alimentado por uma fonte trifásica de tensão alternada igual a 500 kv (rms, tensão de linha). Posteriormente, foram cotejados os resultados obtidos entre a rede original e o FDNE multi-terminal para o caso de desequilíbrios contingenciais inerentes à operação da rede elétrica, de modo a analisar o comportamento do equivalente obtido mediante condições anômalas do sistema elétrico. Inicialmente, foram aplicadas flutuações de 0,1pu nas amplitudes das tensões de fases e 0,5º de defasagem angular em relação aos valores originais de referência das fases A e B do terminal trifásico da Barra #1. Em seguida, as simulações foram realizadas para assimetrias mais severas, com variação de 0,15pu e 5º. Na seção 4.2, estão expostos os resultados da aplicação da Transformada Wavelet à ambas as respostas, tanto do comportamento da rede e de seu equivalente no domínio do tempo. 4.1 Resultados da Simulação Temporal Como mencionado na Seção 2.2.3, é possível sintetizar um circuito RLCG no software EMTP do equivalente de rede obtido a partir da aproximação da resposta em 33

44 frequência da rede original por uma função racional. É importante ressaltar a importância da imposição de passividade neste processo, que mitiga a probabilidade de ocorrência de erros de convergência na simulação no domínio do tempo do FDNE. A síntese do equivalente de rede no ambiente do EMTP é obtida através do Matriz Fitting Toolbox, disponível em [16], que contém uma função específica para gerar um arquivo TXT dos parâmetros do ajuste da matriz em termos de resistência ( ), indutância (H) e capacitância (F). Este arquivo é importado para o software EMTP/ATP Draw na criação de um modelo específico do usuário, referente ao FDNE. Os terminais do equivalente podem ser acessados, conforme mostrado na Figura 4.1. Figura 4.1: Síntese do FDNE no formato de circuito RLC no ATP Draw. Na Figura 4.1, estão apresentados os resultados da medição de corrente nos terminais das fases a, b e c da Barra #4, respectivamente, da simulação da aplicação do degrau de corrente na terminal da fase a desta mesma barra. No gráfico, estão sobrepostos os valores obtidos tanto para a rede original ( quanto para a simulação realizada utilizando o FDNE (. Analogamente, na Figura 4.2 estão expostos os resultados para a resposta da simulação com corrente alternada. Nas Tabela 4.1 e 4.2, seguem as comparações entre o valor RMS da discrepância entre ambas as respostas e o valor RMS da resposta da rede original. O fato de o erro representar apenas 0,85% e 1,35% das respostas da rede original, sempre em termos quadráticos médios, para os sinais dos terminais de fase B e C, que apresentaram mesma resposta, além de não haver discrepância no sinal obtido para fase A, indicam uma boa aproximação do equivalente. 34

45 Figura 4.2: Resposta ao degrau no domínio do tempo. Tabela Análise da discrepância na resposta contínua. Fase Valor Corrente RMS [A] Erro RMS [A] Porcentagem do Erro (%) A 1,0000 0,0000 0,0000 B 0,8059 0,0069 0,8561 C 0,8059 0,0069 0,8561 Figura 4.3: Resposta à corrente senoidal no domínio do tempo. 35

46 Tabela Análise da discrepância na resposta alternada. Fase Valor Corrente RMS [A] Erro RMS [A] Porcentagem do Erro (%) A 0,7017 0,0000 0,0000 B 0,5177 0,0070 1,3521 C 0,5177 0,0070 1,3521 É importante ressaltar que não houve instabilidade na simulação do FDNE, evidenciando o sucesso da imposição de passividade. No equivalente com dois terminais proveniente do ajuste da matriz de dimensão [6 x 6 x k] resultante do frequency scan, a montagem do circuito com FDNE para a simulação da energização do banco de capacitores no EMTP/ATP Draw pode ser vista na Figura 4.4. O disjuntor localizado a montante do banco de capacitores fecha seus contatos nos instantes de tempo iguais à 0,1s para a fase a, 0,11s para a fase b e 0,12s para o terminal da fase c. Figura 4.4: Energização do banco de capacitores utilizando FDNE. 36

47 Para comparação dos resultados obtidos, as correntes medidas para as simulações da rede original e do FDNE são expostas nas Figuras 4.5 e 4.6, referentes aos sinais medidos nos terminais da Barra #1 e #4, respectivamente. Figura 4.5: Comparação de correntes medidas nos terminais da Barra #1. Figura 4.6: Comparação das correntes medidas nos terminais da Barra #4. 37

48 Nas Tabela 4.3 e 4.4, seguem as comparações entre o valor RMS da discrepância entre ambas as respostas e o valor RMS da resposta da rede original para as fases dos terminais trifásicos das Barras #1 e #4, respectivamente. Observa-se que o erro entre a resposta da rede original em relação ao FDNE é ligeiramente menor na comparação entre as correntes do terminal da Barra #4, em termos percentuais. Tabela Análise da discrepância nos terminais da Barra #1. Fase Valor Corrente RMS [A] Erro RMS [A] Porcentagem do Erro (%) A 1023,2 77,1962 7,5445 B 1016,9 72,7326 7,1523 C 1018,3 78,9071 7,7489 Tabela Análise da discrepância nos terminais da Barra #4. Fase Valor Corrente RMS [A] Erro RMS [A] Porcentagem do Erro (%) a 1352,0 66,3128 4,9047 b 1292,2 57,4931 4,4444 c 1275,9 69,0202 5,4095 A proporção das diferenças entre os valores RMS das correntes em relação ao valor RMS das correntes provenientes da simulação da rede original preconizam um bom comportamento do equivalente de rede mediante os transitórios eletromagnéticos inerentes à manobras como a energização do banco de capacitores em que surgem componentes de corrente e tensão em elevadas frequências. A congruência entre os resultados obtidos é reforçada através da observação do comportamento da corrente em cada fase isoladamente, exposta juntamente com cada desvio associado, nas Figuras 4.7 e

49 Figura 4.7: Correntes nas fases da Barra #1. Figura 4.8: Correntes nas fases da Barra #4. 39

50 Ainda nesta seção, foram realizados os testes do comportamento do FDNE mediante desequilíbrios angulares e de amplitude entre as fases, como supracitado no texto na introdução do Capítulo 4. Neste trabalho, os menores desvios em relação aos valores de referência são tratados como Desequilíbrio Brando, enquanto às variações de maior valor absoluto são classificadas como Desequilíbrio Severo. As tensões aplicadas à rede elétrica original e ao FDNE em cada caso são expostas na Tabela 4.5. Tabela Esquema utilizado no teste dos desequilíbrios. Desequilíbrio Angular Desequilíbrio entre Amplitudes Brando Severo Brando Severo Fase Amplitude Ângulo [p.u] (º) A 1,0 0 B 1,0-120,5 C 1,0 120,5 A 1,0 0 B 1,0-125 C 1,0 125 A 1,1 0 B 0,9-120 C 1,0 120 A 1,15 0 B 0, C 1,0 120 Os resultados obtidos para os testes realizados estão expostos nas Figuras 4.9, 4.10, 4.11 e Assim como para os gráficos do caso do FDNE com somente um terminal trifásico, as curvas referenciadas por um asterisco (*) representam a resposta da simulação utilizando o equivalente de rede no domínio da frequência. 40

51 Figura 4.9: Resultado para Desequilíbrio Angular Brando. Figura 4.10: Resultado para Desequilíbrio Angular Severo. 41