CAPACITÂNCIA TEORIA. A Equipe SEI, pensando em você, preparou este artigo contendo uma breve teoria com exemplos para auxiliá-lo nos estudos.

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1 ITÂNI TOI quipe SI, pensando em você, preparou este artigo contendo uma breve teoria com exemplos para auxiliá-lo nos estudos. 1. apacitância de um condutor isolado O aluno, para continuar lendo esse artigo, deverá saber que o potencial elétrico de um condutor esférico de raio isolado e carregado com carga, adotando-se o referencial de potenciais no infinito, é o mesmo em todos os pontos e vale: onde: 1 = 4πε Isolando a carga na eq. (i), vem: V =, (i) = V (ii) { cons tan te Observe que a carga é diretamente proporcional ao potencial elétrico da esfera condutora. odemos generalizar essa propriedade para qualquer condutor isolado e dizer que todo condutor isolado possui uma capacidade de acumular cargas. odemos escrever então: = V (iii) onde é uma constante positiva denominada capacitância do capacitor. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de capacitância é o farad, cujo símbolo é F. omo: 1coulomb = 1 farad 1 F 1 / V V = 1volt = (iv) omo veremos mais adiante na maioria das vezes as capacitâncias assumem valores muito menores do que 1 F. or isso utiliza-se com freqüência os seguintes submúltiplos do farad: 1 microfarad = 1 mf = 1-6 F 1 nanofarad = 1 nf = 1-9 F 1 picofarad = 1 pf = 1-1 F 1.1 xemplo 1. (SI) Um condutor isolado tem potencial V 1 = 3 V quando eletrizado com carga 1 = µ. Se aumentarmos o potencial desse condutor para V = 45 V, qual será a carga desse condutor? Solução V 45 = = = = µ V V V = 3µ

2 . apacitância de um condutor esférico onsidere um condutor esférico de raio isolado e carregado com carga. etomando a eq. (ii), temos: = V omo = V, a capacitância do condutor esférico é dada por: = (iv) Se utilizarmos o fato de que 1 =, a eq. (iv) se torna: 4 πε.1 xemplo = 4πε (v) ssa expressão é conveniente para mostrarmos um modo de escrevermos a unidade da permissividade elétrica: [ ] [ ].[ ] [ ] =ε ε = unidade ε = F / m. (U S) Se a Terra for considerada um condutor esférico de raio = 64 km e situada no vácuo, sua capacitância será aproximadamente: () 5 µf () 4 µf () 7 µf (D) 6 µf () µf Solução [ ] [ ] 6 6,4.1 = = 7 µ F Observe que mesmo um condutor esférico de mesmas dimensões que nosso planeta possui capacitância muito menor do que 1 F. 3. nergia elétrica rmazenada onsidere um condutor isolado inicialmente neutro. Imagine que queiramos carregá-lo positivamente. ara isso, devemos retirar elétrons desse condutor. onforme formos retirando os elétrons, esse processo fica cada vez mais difícil devido às forças elétricas de atração da carga positiva que o condutor já possui e o novo elétron a ser retirado. recisamos então realizar um trabalho para vencer essas forças elétricas, que ficará armazenado sob a forma de energia potencial elétrica. onsidere que o condutor possua capacitância e será carregado com carga. omo =.V, temos que V =, portanto V =. Desta maneira, o gráfico de V em função de

3 energia potencial elétrica adquirida pelo condutor é numericamente igual à área entre o gráfico e o eixo horizontal. Desta maneira: omo e V possuem sempre o mesmo sinal, a eq. (vi) se torna:.v = (vi) V = (vii) Utilizando =.V e V =, a eq. (vii) pode se tornar: V = (viii) = (ix) 3.1 xemplo 3. (IT) Um capacitor de capacitância igual a,5.1-6 F é carregado até um potencial de 1,.1 5 V, sendo então descarregado até,4.1 5 V num intervalo de tempo de,1 s, enquanto transfere energia para um equipamento de raios X. carga total,, e a energia,, fornecidas ao tubo de raios X, são mais bem representadas respectivamente por () =,5 e = 1.5 J () =,5 e = 1.5 J () =,5 e = 1.5 J (D) =,15 e = 1.5 J () =,15 e = 1.5 J Solução - Opção Letra álculo da carga inicial 1 do capacitor: =.V =, =, álculo da carga final do capacitor: =.V =,5.1.,4.1 =,1 6 5 álculo da energia potencial elétrica inicial 1 do capacitor: 5.V 1 1, = = = 15 J 1 1

4 álculo da energia potencial elétrica final do capacitor: 5.V, 1., 4.1 = = = J 1 álculo da carga fornecida ao tubo de raio X: = =,5,1 =,15 forn 1 forn álculo da energia elétrica fornecida ao tubo de raio X: = = 15 = 15 J forn 1 forn 4. ondutores em equilíbrio eletrostático onsidere três condutores isolados, e de capacitâncias respectivamente iguais a, e, carregados com cargas iniciais respectivamente iguais, e e com potenciais iniciais respectivamente iguais a V, V e V., V, V, V Se esses condutores forem interligados por um fio de capacitância desprezível haverá uma redistribuição de cargas entre os condutores até que o potencial dos três sejam iguais. uando isso ocorre dizemos que os condutores atingiram o equilíbrio eletrostático. ' ', V ', V ', V onsideremos que após atingirem o equilíbrio eletrostático os condutores possuem mesmo potencial V e cargas iguais as indicadas na figura acima. elo rincípio da onservação das argas létricas, temos: (x) ' + ' + ' = + + Usando a definição de capacitância, podemos escrever: ' ' ' = V (xi) = V (xii) = V (xiii)

5 Substituindo as eq. (xi), (xii) e (xiii) na eq. (x), vem: V+ V+ V= V = + + (xiv) Usando novamente a definição de capacitância, podemos escrever: = V (xv) = V (xvi) = V (xvii) Substituindo as eq. (xv), (xvi) e (xvii) na eq. (xiv), vem: V + V+ V V = + + (xviii) om o valor de V determinado podemos calcular as novas cargas através das seguintes equações: ' ' ' = V (xix) = V (xx) = V (xxi) 4.1 xemplo 4. (IT) Uma esfera metálica isolada, de 1, cm de raio, é carregada no vácuo até atingir o potencial U = 9,V. m seguida, ela é posta em contato com outra esfera metálica isolada, de raio = 5,cm. pós atingido o equilíbrio, qual das 1 alternativas abaixo melhor descreve a situação física? É dado que = 9,. 1 9 Nm /. 4πε () esfera maior terá uma carga de, () esfera maior terá um potencial de 4,5 V. () esfera menor terá uma carga de, (D) esfera menor terá um potencial de 4,5 V. () carga total é igualmente dividida entre as esferas. Solução Opção Letra Vamos considerar que a esfera menor encontra-se inicialmente neutra. capacitância de um condutor esférico é dada por =, logo: = e = onde é a esfera maior e a menor. Substituindo as expressões acima na eq. (xviii), vem: V V = +

6 V = V = 9 V = 6 V álculo da carga da esfera (utilizando a eq. (xix)): ' = V = V =.6 ',66.1 9