Nome: Instruções: Oabandonodasalaemcasodedesistênciasópoderáefectuar-sedecorridaumahoraapartirdoiníciodaprova.

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1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA o TESTE 007/008 RESOLUÇÃO Curso: EECn Turma: 4-6() 07//007 Nome: N o Instruções: Otestequevairealizartemaduraçãode05minutoseéconstituído por 7 problemas. Os 4 primeiros problemas são de escolha múltipla; cada resposta certa vale valores, cada resposta em branco vale 0 e cada resposta errada vale 0, 6 valores. Os3últimosproblemasnãosãodeescolhamúltipla. Nestapartedeve justificar as suas respostas e apresentar todos os cálculos que efectuar. Notequeoseutestesóseráconsideradoválidoseobtiverpelomenos3 valores nos três últimos problemas. Oabandonodasalaemcasodedesistênciasópoderáefectuar-sedecorridaumahoraapartirdoiníciodaprova. Não poderão utilizar-se máquinas de calcular ou quaisquer tabelas. Nãoseaceitamexamesouquestõesescritasalápis. Para os 4 primeiros problemas, marque com uma cruz as suas escolhas na tabela seguinte (se quiser alterar a resposta, risque por inteiro o quadrado correspondente à resposta que não éválidaemarqueumanovacruznarespostaqueconsideraseracorrecta): A) B) C) D) X X 3 X 4 X Os quadros abaixo destinam-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Escolha Múltipla Número de respostas certas Número de respostas erradas Nota da Escolha Múltipla Problema5( val.) Problema6( val.) Problema7( val.) TOTAL

2 [ [ 5 4 [,0. Considere as seguintes matrizes de elementos reais: A =, B = e 3 3 C= 3 3 Qualéamatrizqueseobtémefectuandoasoperações(A B)C T? [ 6 3 [ [ 6 8 A). B) C). D) [,0. Considere a matriz D= α 0 α α 0 onde α é um parâmetro real. Considere as seguintes afirmações I. Seα=0,característicadeDé. II. AslinhasdamatrizDsãolinearmenteindependentesparaα. III. Para qualquer valor de α, nenhuma linha é combinação linear dos restantes. IV. AslinhasdamatrizDsãolinearmenteindependentesparaα=0. A lista completa de afirmações correctas é:, A)I. B)II. C)I,IIIeIV. D)II,IIIeIV. [,0 3. Qual dos seguintes conjuntos é um subespaço vectorial? A) S ={(x,y) R :y= x}. B) S ={(x,y,z) R 3 :z=x+y+}. {[ } a b C) S 3 = M c d (R):d=a b c=0. D) S 4 ={a+bx P (R):b=a+3}. [,0 4. EmR 3,considereoseguinteconjunto: Qual das afirmações é VERDADEIRA? A) S gerar 3. B) S ={(x,y,z) R 3 :z=4y 7x}. S={(0,,4),(3, 5,),(,,)}. C) OterceirovectordeS écombinaçãolineardosrestantes. D) Nenhuma das anteriores afirmações é verdadeira.

3 Nesta parte justifique todos os cálculos que tiver de efectuar. 5. Considere o seguinte sistema de equações lineares: ax+y az=0 z ay 4x=4 a x+y z=, a R. [,0 (a) Discuta o sistema em função do parâmetro a. RESOLUÇÃO: A matriz ampliada do sistema é [A B= a a 0 4 a 4 a Esta matriz dá origem à seguinte matriz em escada: [ A B = 0 a 0 a 4a Assim,sea,c(A)=c(A B)=3=n. o incógnitas,ouseja,osistemaépossível edeterminado;sea=,c(a)=<3=c(a B),logoosistemaéimpossível. [,5 (b) Resolva o sistema para a =, indicando o conjunto solução. RESOLUÇÃO:Usandooscálculosefectuadosnaalínea(a)vem,paraa=, [ A B = Daqui obtém-se a matriz reduzida peloquex = , éaúnicasoluçãodosistema. Oconjuntosoluçãoéentãoo conjunto singular formado por esta matriz. (c) SejaAamatrizdoscoeficientesdosistemaparaa=0. [,5 i. Determine A. A=

4 Aplicando o método de eliminação de Gauss a [A I 3, obtém-se [I 3 A, concluindo-se então que A = [,0 ii. Resolva a equação matricial AX = RESOLUÇÃO: AX = 0 X= 0 X=A ConsidereoseguintesubconjuntodeM (R): {[ } a b H= :d=0 c=b+a. c d X= [,0 (a) Mostreque H éumsubespaçovectorialde M (R). RESOLUÇÃO: Verificação das 3 condições da definição de subespaço vectorial: [ a ) H.Logo,H. [ [ a b x y a )SejamA=,B= H.Ora c d z w peloquea+b H sse A+B= [ a+x b+y c+z d+w, d+w=0 c+z=b+y+(a+x). Mas esta conjunção resulta imediatamente das seguintes, e d=0 c=b+a w=0 z=y+x, asquaissãoverdadeiraspoisa,b H.Porconseguinte,ficaverificadoqueA+B H. 4 3

5 [ a b 3 a )SejamA= c d sse Heλ R.Tem-seλA= λd=0 λc=λb+(λa). [ λa λb λc λd,peloqueλa H Mas esta conjunção resulta imeditamente da multiplicação por λ de ambos os membros das igualdades da conjunção d=0 c=b+a. DadoqueA H,estaúltimaconjunçãoéverdadeira,peloqueλA H,comose queria demonstrar. [ x [,5 (b) Sendo B = e C= x,determine xdemodoque BC H. 0 0 BC = [ x 0 x 0 = [ x x+ 0 H 0=0 =(x+)+(x ) =3x x= Sejam A e B matrizes invertíveis e permutáveis. [,0 (a) Mostreque A e B sãopermutáveis. A B =(BA) =(AB) =B A, aplicando a propriedade da inversa do produto e a definição de matrizes permutáveis. [,5 (b) Mostreque,se Ae B sãoanti-simétricas,a B ésimétrica. ( A B ) T = ( B A ) T ( ) = A T( ) B T = ( A T) ( ) B T =( A) ( B) = [( B)( A) =(BA) = A B, aplicando a alínea(a), as propriedades da inversa do produto e da transposta do produto e as definições de matrizes simétricas e anti-simétricas. 5