PILARES DE CONCRETO ARMADO

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenaria Civil Disciplina: ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARADO Pro. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.eb.unesp.br/pbastos) ALUNOS COLABORADORES: Antonio Carlos de Souza Jr. Caio Gorla Nogueira João Paulo Pila D Aloia Rodrigo Fernando artins Bauru/SP Juno/005

2 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 Estruturas de Concreto II, do curso de Engenaria Civil da Faculdade de Engenaria, da Universidade Estadual Paulista UNESP, Campus de Bauru/SP. O teto apresenta parte das prescrições contidas na nova NBR 6118/003 ( Projeto de estruturas de concreto Procedimento versão corrigida) para o dimensionamento de pilares de concreto armado. O dimensionamento dos pilares é eito com base nos métodos do pilar padrão com curvatura e rigidez aproimadas. Outros métodos mais eatos e aqueles simpliicados constantes da norma não são apresentados. Ainda, são estudados os pilares de seção retangular e de nós ios (contraventados), com índice de esbeltez até 90. A apresentação do dimensionamento dos pilares é eita em unção da classiicação usual dos pilares, ou seja, pilares intermediários, de etremidade e de canto. Vários eemplos numéricos estão apresentados para cada um deles. Os itens e 3, Requisitos de Qualidade das Estruturas e Cobrimento da Armadura não são especíicos dos pilares, porém, oram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contém alterações em relação à versão anterior da norma. No item 4 - Conceitos Iniciais - são apresentadas algumas inormações básicas iniciais e os conceitos relativos ao camado Pilar Padrão, cujo modelo é utilizado pela NBR 6118/03 para a determinação aproimada dos momentos letores de segunda ordem. Por último são apresentados eemplos numéricos de dimensionamento de pilares de um ediício baio e com planta de ôrma simples. A apostila é uma versão inicial do estudo dos pilares de concreto armado, que não esgota todas as inormações. Por isso, o aprendizado deve ser complementado com o estudo dos tetos sugeridos nas Reerências Bibliográicas, entre outras publicações. Em versões posteriores serão acrescentadas novas inormações, com aplicação do estudo dos pilares nos ediícios, considerando o sistema de contraventamento e a ação do vento. Quaisquer críticas e sugestões serão muito bem-vindas, pois assim a apostila poderá ser melorada. O autor agradece aos alunos que colaboraram no estudo dos pilares de acordo com a nova norma e ao técnico Éderson dos Santos artins, pela conecção de vários desenos.

3 SUÁRIO Pág. 1. INTRODUÇÃO REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS COBRIENTO DA ARADURA CONCEITOS INICIAIS Solicitações Normais Flambagem Não-Linearidade Física e Geométrica Equação da Curvatura de Peças Fletidas Compressão Aial Pilar Padrão CLASSIFICAÇÃO E DEFINIÇÕES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFÍCIOS Contraventamento das Estruturas Estruturas de Nós Fios e óveis Elementos Isolados ÍNDICE DE ESBELTEZ EXCENTRICIDADES Ecentricidade de 1 a Ordem Ecentricidade Acidental Ecentricidade de a Ordem Ecentricidade Devida à Fluência DETERINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE a ORDE étodo do Pilar-Padrão com Curvatura Aproimada étodo do Pilar-Padrão com Rigidez κ Aproimada SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO Pilar Intermediário Pilar de Etremidade Pilar de Canto DETERINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O ÁXIO OENTO FLETOR SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO Pilar Intermediário Pilar de Etremidade Pilar de Canto CÁLCULO DA ARADURA CO AUXÍLIO DE ÁBACOS Fleão Composta Normal Fleão Composta Oblíqua CÁLCULO DOS PILARES INTEREDIÁRIOS Roteiro de Cálculo... 9

4 13. Eemplos Numéricos Eemplo Numérico Eemplo Numérico CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREIDADE Roteiro de Cálculo Eemplos Numéricos Eemplo Numérico Eemplo Numérico Eemplo Numérico Eemplo Numérico CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO Roteiro de Cálculo Eemplos Numéricos Eemplo Numérico Eemplo Numérico Eemplo Numérico DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS Relação Entre a Dimensão ínima e o Coeiciente de Segurança Armadura Longitudinal Diâmetro ínimo Distribuição Transversal Armadura ínima e áima Detalamento da Armadura Proteção Contra Flambagem Armadura Transversal ESTIATIVA DA CARGA VERTICAL POR ÁREA DE INFLUÊNCIA PRÉ-DIENSIONAENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL EXEPLOS DE DIENSIONAENTO DE PILARES DE EDIFÍCIOS Pilar Intermediário P Pilar de Etremidade P Pilar de Etremidade P Pilar de Etremidade P Pilar de Canto P REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 9

5 1 PILARES DE CONCRETO ARADO 1. INTRODUÇÃO Pilares são elementos lineares de eio reto, usualmente dispostos na vertical, em que as orças normais de compressão são preponderantes (NBR 6118/03, item ). Pilares-parede são elementos de superície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais superícies associadas. Para que se tena um pilar-parede, em alguma dessas superícies a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural (item ). O dimensionamento dos pilares é eito em unção dos esorços eternos solicitantes de cálculo, que compreendem os esorços normais ( ), os momentos letores ( d e d ) e os esorços cortantes (V d e V d ) no caso de ação orizontal. A nova NBR 6118/03 ez modiicações em algumas das metodologias de cálculo das estruturas de concreto armado, como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e veriicação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da durabilidade das peças de concreto. Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu várias modiicações, como nos valores das ecentricidades acidental e de a ordem, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos letores de a ordem e, principalmente, com a consideração de um momento letor mínimo, que pode substituir o momento letor devido à ecentricidade acidental. No item ( Processos aproimados para o dimensionamento à leão composta ) a NBR 6118/03 apresenta métodos simpliicados de pilares retangulares ou circulares sob leão composta normal e oblíqua. Esses processos simpliicados não serão apresentados porque os processos mais eatos indicados pela norma são simples de serem aplicados. Os próimos dois itens não são especíicos dos pilares, porém, oram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto (especialmente o cobrimento) e contém alterações em relação à versão anterior da norma.. REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS A NBR 6118/03 (item 5.1) propõe requisitos gerais de qualidade das estruturas de concreto e a avaliação de conormidade do projeto. De um modo geral, as estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade, durante sua construção e ao longo de toda sua vida útil. Os requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto são: a) capacidade resistente - consiste basicamente na segurança à ruína da estrutura; b) desempeno em serviço - consiste na capacidade da estrutura manter-se em condições plenas de utilização, não devendo apresentar danos decorrentes de issuração, deormações, vibrações ecessivas, etc., que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual oram projetadas; c) durabilidade - consiste na capacidade da estrutura resistir às inluências ambientais previstas durante o período correspondente à sua vida útil. Por vida útil de projeto,

6 entende-se o período de tempo durante o qual se mantém as características deinidas para as estruturas de concreto. Quanto ao projeto, a qualidade da solução estrutural adotada deve considerar as condições arquitetônicas, uncionais, construtivas, estruturais e a conormidade com os outros projetos, como o elétrico, o idráulico e o de ar condicionado. Um dos atores importantes que inluem na durabilidade das estruturas de concreto armado é a qualidade do concreto utilizado, bem como a espessura do cobrimento da armadura. 3. COBRIENTO DA ARADURA Deine-se como cobrimento de armadura (item 7.4 da NBR 6118/03) a espessura da camada de concreto responsável pela proteção da armadura ao longo da estrutura. Essa camada inicia-se a partir da ace eterna das barras da armadura transversal (estribos) ou da armadura mais eterna e se estende até a ace eterna da estrutura em contato com o meio ambiente. Para garantir o cobrimento mínimo (c mín ) o projeto e a eecução devem considerar o cobrimento nominal (c nom ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de eecução ( c). c nom c + c (Eq. 1) mín Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando ouver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a eecução das estruturas de concreto. Em geral, o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser: c c nom nom φ φ barra eie φ n φ n (Eq. ) A dimensão máima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 0 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja: d ma 1, c nom (Eq. 3) Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes deinir a classe de agressividade ambiental a qual a estrutura está inserida. Segundo a NBR 6118/03 (item 6.4.), Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classiicada de acordo com o apresentado na Tabela 6.1 e pode ser avaliada, simpliicadamente, segundo as condições de eposição da estrutura ou de suas partes. A Tabela 6.1 está apresentada na Tabela 1. A Tabela (Tabela 7. na NBR 6118/03) mostra os valores para o cobrimento nominal de lajes, vigas e pilares, para a tolerância de eecução ( c) de 10 mm, em unção da classe de agressividade ambiental, conorme mostrada na Tabela 1.

7 3 Classe de agressividade ambiental I Tabela 1 - Classes de agressividade ambiental. Classiicação geral do Agressividade tipo de ambiente para Risco de deterioração eeito de projeto da estrutura Rural Fraca Insigniicante Submersa II oderada Urbana 1) ) Pequeno III arina 1) Forte 1) ) Grande Industrial 1) 3) IV Industrial uito orte Elevado Respingos de maré Notas: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, baneiros, cozinas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura); ) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de clima seco, com umidade relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas de cuva em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde cove raramente; 3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de ertilizantes, indústrias químicas. Tabela - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c 10 mm. Classe de agressividade ambiental Tipo de estrutura Componente I II III IV ) ou Elemento Cobrimento nominal (mm) Concreto Armado Laje 1) Viga/Pilar Notas: 1) Para a ace superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos inais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempeno, pisos cerâmicos, pisos asálticos e outros tantos, as eigências desta tabela podem ser substituídas por , respeitado um cobrimento nominal 15 mm; ) Nas aces ineriores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de eluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm. 4. CONCEITOS INICIAIS 4.1 SOLICITAÇÕES NORAIS Os pilares sob esorços normais podem também estar submetidos a esorços de leão. Dessa orma, os pilares poderão estar sob os seguintes casos de solicitação: a) Compressão Simples A compressão simples também é camada compressão centrada ou compressão uniorme. A aplicação da orça normal de cálculo é no centro geométrico (C.G.) da peça, cujas tensões na seção transversal são uniormes (Figura 1).

8 4 N d N d CG Figura 1- Compressão simples ou uniorme. b) Fleão Composta Na leão composta ocorre a atuação conjunta de orça normal e momento letor sobre a peça. Há dois casos: - Fleão Composta Normal (ou Reta): eiste a orça normal e um momento letor numa direção (Figura a); - Fleão Composta Oblíqua: eiste a orça normal e dois momentos letores em duas direções (Figura b). N d e N d e 1 e 1 e1 a) normal b) oblíqua. Figura Tipos de leão composta. 4. FLABAGE Flambagem pode ser deinida como o deslocamento lateral na direção de maior esbeltez, com orça menor do que a de ruptura do material ou a instabilidade de peças esbeltas comprimidas. A ruína por eeito de lambagem é repentina e violenta, mesmo que não ocorram acréscimos bruscos nas ações aplicadas. Uma barra comprimida eita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente superiores à carga crítica (N crít ), o que signiica que a lambagem não corresponde a um estado limite último. No entanto, para uma barra comprimida de concreto armado, a lambagem caracteriza um estado limite último.

9 5 4.3 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA E GEOÉTRICA No dimensionamento de alguns elementos estruturais, especialmente os pilares, é importante considerar duas linearidades que ocorrem, sendo elas: a) não-linearidade ísica Quando o material não obedece à lei de Hooke, como materiais com diagramas σ ε mostrados nas Figura 3b e 3c. As Figura 3a e 3d mostram materiais onde á linearidade ísica. b) não-linearidade geométrica Ocorre quando as deormações provocam esorços adicionais que precisam ser considerados no cálculo, gerando os camados esorços de segunda ordem, como indicado na Figura 4. σ σ DESCARGA σ Eε (HOOKE) ε CARGA RUPTURA ε σ a) elástico linear (CONCRETO) σ b) elástico não-linear CARGA DESCARGA RUPTURA ε ε c) elastoplástico d) elastoplástico ideal Figura 3 - Diagramas σ ε de alguns materiais. O concreto simples apresenta comportamento elastoplástico em ensaios de compressão simples, com um treco inicial linear até aproimadamente 0,30 c. F a F l l l l e a) posição inicial b) posição inal Figura 4 Não-linearidade geométrica originando esorços de segunda ordem. r

10 6 4.4 EQUAÇÃO DA CURVATURA DE PEÇAS FLETIDAS A determinação dos eeitos locais de a ordem em barras comprimidas pode ser eita por métodos aproimados, entre eles o do pilar padrão com curvatura aproimada, como preconizado na NBR 6118/03. Com o intuito de subsidiar a apresentação do pilar padrão, que se ará adiante, apresenta-se a equação da curvatura de elementos letidos, item já estudado em Resistência dos ateriais. Considerando a lei de Hooke (σ E. ε), a equação da curvatura de peças letidas, como aquela mostrada na Figura 5, tem a seguinte dedução: d ε d d d σ E (Eq. 4) Aplicando σ na Eq. 4 ica: I d d E I d d E I O comprimento d pode ser escrito: d d d r dφ d φ d (Eq. 5) r E I Rearranjando os termos da Eq. 5 cega-se a equação da curvatura: dφ d 1 r E I (Eq. 6) dø v ε r > 0 ε 1 d d + d Figura 5 - Curvatura de uma peça letida.

11 7 Do cálculo dierencial tem-se a epressão eata da curvatura (lina elástica): d 1 d (Eq. 7) 3/ r d 1 + d d Para pequenos deslocamentos (pequena inclinação) tem-se d << 1, o que leva a: 1 d r d (Eq. 8) Juntando as Eq. 6 e 8 encontra-se a equação aproimada para a curvatura: 1 d (Eq. 9) r d E I A relação eistente entre a curvatura e as deormações nos materiais (concreto e aço) da peça, considerando-se a lei de Navier (ε. 1/r), como mostrado na Figura 6 é: 1 ε1 + ε (Eq. 10) r ε ε c 1/r d ε s ε 1 Figura 6 - Relação entre as deormações nos materiais e a curvatura. Para o concreto armado a Eq. 10 torna-se: 1 εs + εc (Eq. 11) r d com: ε s deormação na armadura tracionada; ε c deormação no concreto comprimido; d altura útil da peça.

12 8 4.5 COPRESSÃO AXIAL Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 4. Como deinido na Eq. 8, a equação simpliicada da curvatura é: 1 d r d d O momento letor eterno solicitante é et F.. Considerando a Eq. 9 ( ), d E I com material elástico linear, e azendo o equilíbrio entre o momento letor eterno e o momento letor interno ( et int ) tem-se: com k F/EI. d F d k + k 0 d E I d A solução geral para a equação dierencial tem a orma: C 1 sen k + C cos k (Eq. 1) As condições de contorno para deinição das constantes C 1 e C são: a) para 0 0 C C. 1 0 C 0 A Eq. 1 simpliica-se para: C 1 sen k (Eq. 13 ) d b) para l 0 d d k C1 cos k d l l k C cos k l 0 1 (Eq. 14) Para barra letida a constante C 1 na Eq. 14 deve ser dierente de zero, o que leva a: cos k l 0 k l π/ k π/l A Eq. 13 toma a orma: π C sen (Eq. 15) l 1 Para l o deslocamento é igual ao valor a (ver Figura 4). Portanto, aplicando a Eq. 15: π C1 sen a, donde resulta que C 1 a. Sendo l l e (l e comprimento de lambagem) e com a determinação da constante C 1, deine-se a equação simpliicada para a curvatura da barra comprimida: π a sen (Eq. 16) l e

13 9 4.6 PILAR PADRÃO O pilar padrão é uma simpliicação do camado étodo Geral. Consiste numa barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura conecida (Figura 7). O pilar padrão é aplicável a barras de seção transversal constante e armadura constante em todo o comprimento da barra. A veriicação da segurança é eita arbitrando-se deormações ε c e ε s tais que não ocorra o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico ecessivo na seção mais solicitada da peça (FUSCO, 1981). e 1 e l Figura 7 Pilar padrão. Como simpliicação a lina elástica é tomada pela unção senoidal deinida na Eq. 16, onde a é tomado igual a e (deormação de a ordem), conorme mostrado na Figura 7: e sen π l e A primeira e a segunda derivada da equação ornecem: d e d π l e π cos l e d π d l e e sen π l e π l e 1 d Considerando a Eq. 8 ( ) da segunda derivada surge o valor para em unção da r d curvatura 1/r: d π 1 d l r e e l π 1 r

14 10 Tomando como o máimo deslocamento e tem-se: e l π e 1 r Portanto, com π 10, o deslocamento no topo da barra é: e e l 10 1 r base (Eq. 17) O deslocamento máimo e é camado ecentricidade de a ordem e será considerado no dimensionamento dos pilares, como se verá adiante. Tomando a Eq. 11 e aço CA-50 pode-se determinar o valor da curvatura 1/r na base do pilar padrão: d 1 εs + εc E r d s + 0,0035 0, ,0035 d d 0,00557 d como: A NBR 6118/03 (item ) toma um valor convencional para a curvatura na base 1 r 0,005 0,005 (Eq. 18) ( ν + 0,5) com ν (ni) sendo um valor adimensional relativo à orça normal ( ): N d ν (Eq. 19) Ac cd onde: A c área da seção transversal; cd resistência de cálculo do concreto à compressão ( ck /γ c ). Daí o máimo momento letor de segunda ordem é: d N d. e N d l e 10 1 r base N d l e 0, ( ν + 0,5) (Eq. 0) 5. CLASSIFICAÇÃO E DEFINIÇÕES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFÍCIOS 5.1 CONTRAVENTAENTO DAS ESTRUTURAS Os ediícios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessária estabilidade às ações verticais e orizontais, ou seja, devem apresentar a camada estabilidade global. Os pilares são os elementos destinados à estabilidade vertical, porém, é necessário projetar outros elementos mais rígidos que, além de também transmitirem as ações verticais, deverão garantir a estabilidade orizontal do ediício à ação do vento e de sismos, onde eistirem. Ao mesmo tempo, são esses elementos mais rígidos que garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos.

15 11 Com essas premissas classiicam-se os elementos verticais dos ediícios em elementos de contraventamento e elementos (pilares) contraventados. Deine-se o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionarão a estabilidade orizontal do ediício e a indeslocabilidade ou quaseindeslocabilidade dos pilares contraventados, que são aqueles que não azem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118/03 (item ) diz que, por conveniência de análise, é possível identiicar, dentro da estrutura, subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações orizontais, resistem à maior parte dos esorços decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são camadas subestruturas de contraventamento. Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões (pilares-parede ou simplesmente paredes estruturais), por treliças ou pórticos de grande rigidez, núcleos de rigidez, etc., como mostrados na Figura 8. As lajes dos diversos pavimentos do ediício também podem participar da estabilidade orizontal, ao atuarem como elementos de rigidez ininita no seu próprio plano (o que se cama diaragma rígido), azendo a ligação entre elementos de contraventamento ormados por pórticos, por eemplo. Segundo SÜSSEKIND (1984, p. 175), Toda estrutura, independentemente do número de andares e das dimensões em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente dimensionado. Pilares ou Elementos de Contraventamentos Pilares Contraventados Figura 8 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). 5. ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E ÓVEIS No item a NBR6118 deine o que são estruturas de nós ios e de nós móveis. a) Estruturas de nós ios São aquelas em que os deslocamentos orizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os eeitos globais de a ordem são desprezíveis, isto é, se apresentam ineriores a 10 % dos respectivos esorços de 1 a ordem (Figura 9 e 10). Nessas estruturas basta considerar os eeitos locais e localizados de a ordem.

16 1 b) Estruturas de nós móveis São aquelas em que os deslocamentos orizontais não são pequenos e, em decorrência, os eeitos globais de a ordem são importantes (superiores a 10 % dos respectivos esorços de 1 a ordem), Figura 9 e 10. Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esorços de a ordem globais como os locais e localizados. Pilares Contraventados Fleível Elementos de Contraventamento Rígido Figura 9 - Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). As subestruturas de contraventamento podem ser de nós ios ou de nós móveis, de acordo com as deinições acima. Para veriicar se a estrutura está sujeita ou não a esorços globais de a ordem, ou seja, se a estrutura pode ser considerada como de nós ios, lança-se mão do cálculo do parâmetro de instabilidade α (NBR 6118/03, item 15.5.) ou do coeiciente γ z (item ). Esses coeicientes serão estudados em proundidade na disciplina Estruturas de Concreto IV. (a) Estrutura deslocável (b) Estrutura indeslocável Figura 10 Estruturas de nós ios e móveis (FUSCO, 1981).

17 13 Para mais inormações sobre a estabilidade global dos ediícios devem ser consultados FUSCO (000) e SÜSSEKIND (1984). 5.3 ELEENTOS ISOLADOS A NBR 6118/03 (item ) classiica os elementos isolados como aqueles que: a) são elementos estruturais isostáticos; b) são elementos contraventados; c) são elementos que azem parte das estruturas de contraventamento de nós ios; d) são elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esorços nas etremidades, obtidos numa análise de 1 a ordem, sejam acrescentados os determinados por análise global de a ordem. Nesta apostila estudam-se os camados elementos contraventados. 6. ÍNDICE DE ESBELTEZ O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de lambagem e o raio de giração, nas direções a serem consideradas: l e λ i (Eq. 1) com o raio de giração sendo: i I A 3,46 l Para seção retangular o índice de esbeltez é: λ e (Eq. ) onde: l e comprimento de lambagem; i raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não se considerando a presença de armadura); I momento de inércia; A área da seção; dimensão do pilar na direção considerada. O comprimento de lambagem de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo do pilar, conorme os esquemas mostrados na Figura 11. F F F F F A. Simples B B A. Simples B E. óvel B E. Elástico B Livre L l L e l 0,7 L e l 0,5 L e 0,5 L < l < L e e A Engaste l L A A A A A. Simples Engaste Engaste E. Elástico Figura 11 Comprimento de lambagem.

18 14 Nas situações reais dos pilares contraventados nos ediícios geralmente os pilares não se encontram isolados como mostradas na Figura 11. A situação real de um pilar contraventado de ediício está mostrada na Figura 1. n TETO n TETO l n TETO (l ) l e n n TETO l 1 TETO l l e 1 TETO l 1 l 3 l e1 1 FUNDAÇÃO FUNDAÇÃO Figura 1 - Situação real e simpliicada para determinação do comprimento de lambagem de pilares contraventados de ediícios (SÜSSEKIND, 1984). Nas estruturas de nós indeslocáveis a NBR 6118/003 permite a realização do cálculo de cada elemento comprimido isoladamente, ou seja, como barra vinculada nas etremidades aos demais elementos que ali concorrem. Assim, o comprimento equivalente de lambagem (l e ) do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as etremidades, deve ser o menor entre os seguintes valores: l o + l e (Eq. 3) l com: l o distância entre as aces internas dos elementos estruturais, supostos orizontais, que vinculam o pilar (Figura 13); altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; l distância entre os eios dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. + Figura 13 - Valores de l e l 0.

19 15 Para casos de determinação do comprimento de lambagem mais compleos recomenda-se a leitura de SÜSSEKIND (1984, v.). Em unção do índice de esbeltez os pilares podem ser classiicados como: a) Pilar curto se λ 35; b) Pilar médio se 35 λ 90; c) Pilar medianamente esbelto se 90 λ 140; d) Pilar esbelto se 140 λ 00. (Eq. 4) Os pilares curtos e médios são a maioria dos pilares das construções. Os pilares esbeltos são menos reqüentes. 7. EXCENTRICIDADES Neste item são mostradas as ecentricidades que podem ocorrer no dimensionamento dos pilares, sendo elas: ecentricidade de 1 a ordem, ecentricidade acidental, ecentricidade de a ordem e ecentricidade devida à luência. 7.1 EXCENTRICIDADE DE 1 a ORDE A ecentricidade de 1 a ordem é devida à eistência de momentos letores eternos solicitantes que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto teórico de aplicação da orça normal estar localizado ora do centro de gravidade da seção transversal. Considerando a orça normal de cálculo e o momento letor de cálculo d (independente de ), a Figura 14 mostra os casos possíveis de ecentricidade de 1 a ordem. Nd d d a a suposta centrada suposta aplicada à distância a do C.G. suposta centrada suposta aplicada à distância a do C.G. e 0 1 e 1 a e 1 d Nd e a + 1 d Nd Figura 14 Casos possíveis de ecentricidade de 1 a ordem. 7. EXCENTRICIDADE ACIDENTAL No caso da veriicação de um lance de pilar, dever ser considerado o eeito do desaprumo ou da alta de retilinidade do eio do pilar (item da NBR 6118/03). Admite-se que, nos casos usuais, a consideração apenas da alta de retilinidade ao longo do lance do pilar seja suiciente. A impereição geométrica pode ser avaliada pelo ângulo:

20 16 1 θ 1 (Eq. 5) 100 H com: H altura do lance, em metro, conorme mostrado na Figura 15; 1/ 400 para estruturas de nós ios θ1 mín 1/300 para estruturas de nós móveis e impereições locais θ 1/00 1má Pilar de contraventamento Pilar contraventado Elemento de travamento θ l e a e a θ l H l θ l H l/ θ l a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar (tracionado ou comprimido) no pilar Figura 15 - Impereições geométricas locais. A ecentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo θ 1 : H ea θ (Eq. 6) EXCENTRICIDADE DE a ORDE Sob a ação das cargas verticais e orizontais, os nós da estrutura deslocam-se orizontalmente. Os esorços de a ordem decorrentes desses deslocamentos são camados eeitos globais de a ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eios não se mantêm retilíneos, surgindo aí eeitos locais de a ordem que, em princípio, aetam principalmente os esorços solicitantes ao longo delas (NBR 6118, item ). A análise global de a ordem ornece apenas os esorços nas etremidades das barras, devendo ser realizada uma análise dos eeitos locais de a ordem ao longo dos eios das barras comprimidas. Os elementos isolados, para ins de veriicação local, devem ser ormados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento l e, porém aplicando-se às suas etremidades os esorços obtidos através da análise global de a ordem (item ). Os eeitos locais de a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez or menor que o valor limite λ 1 (item 15.8.), calculado pela epressão: e ,5 λ 1 (Eq. 7) α b

21 17 com 35 λ 1 90, onde: e 1 ecentricidade de 1 a ordem (não inclui a ecentricidade acidental e a ); e 1 / ecentricidade relativa de 1 a ordem; A NBR 6118/03 não deine em que posição ao longo do comprimento do pilar deve-se considerar a ecentricidade e 1 para aplicação no cálculo de λ 1, o que pode levar a pequenas dierenças caso se considere a ecentricidade nas etremidades do pilar ou na posição onde ocorre a máima ecentricidade de a ordem. Deve-se ter pilar de seção e armadura constantes ao longo do eio longitudinal. O valor de α b deve ser obtido conorme estabelecido a seguir: i) para pilares biapoiados sem cargas transversais B α b 0,6 + 0,4 (Eq. 8) A onde: 1,0 α b 0,4 A e B são os momentos de 1 a ordem nos etremos do pilar. Deve ser adotado para A o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para B o sinal positivo, se tracionar a mesma ace que A, e negativo em caso contrário. ii) para pilares biapoiados com cargas transversais signiicativas ao longo da altura α b 1 iii) para pilares em balanço C α b 0,8 + 0, 0,85 (Eq. 9) A onde: A momento de 1 a ordem no engaste; C momento de 1 a ordem no meio do pilar em balanço. iv) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo α b 1 O ator α b consta do ACI 318 (1995) com a notação C m (item ). Porém, ao contrário da NBR 6118/003, que também considera a ecentricidade relativa e 1 /, tanto o ACI como o Eurocode (199) e o C-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em unção da razão entre os momentos letores ou entre as ecentricidades nas etremidades do pilar. 7.4 EXCENTRICIDADE DEVIDA À FLUÊNCIA A consideração da luência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez λ > 90 e pode ser eetuada de maneira aproimada, considerando a ecentricidade adicional e cc dada a seguir (item ): ϕ NSg Sg N e NSg ecc + e,718 1 a (Eq. 30) NSg

22 18 N e 10 E I c (Eq. 31) l ci e onde: e a ecentricidade devida a inpereições locais; sg e N Sg esorços solicitantes devidos à combinação quase permanente; ϕ coeiciente de luência; E ci módulo de elasticidade tangente; I c momento de inércia; l e comprimento de lambagem. 8. DETERINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE a ORDE De acordo com a NBR 6118/03 o cálculo dos eeitos locais de a ordem pode ser eito pelo método geral ou por métodos aproimados. O método geral é obrigatório para λ > 140 (item ). A norma apresenta quatro dierentes métodos aproimados, sendo eles: método do pilarpadrão com curvatura aproimada (item ), método do pilar-padrão com rigidez κ aproimada (item ), método do pilar-padrão acoplado a diagramas, N, 1/r (item ) e método do pilar-padrão para pilares de seção retangular submetidos à leão composta oblíqua (item ). Serão agora apresentados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproimada e com rigidez aproimada, que são simples de serem aplicados no dimensionamento dos pilares. Os dois métodos baseiam-se no pilar-padrão, conorme demonstrado no item ÉTODO DO PILAR-PADRÃO CO CURVATURA APROXIADA Neste método a não-linearidade geométrica é considerada de orma aproimada, supondose que a deormação da barra seja senoidal. A equação senoidal para a lina elástica oi deinida na Eq. 16, que deine os valores para a deormação de a ordem (e ) ao longo da altura do pilar. A não-linearidade ísica é considerada através de uma epressão aproimada da curvatura na seção crítica. A epressão aproimada da curvatura na seção mais solicitada oi mostrada nas Eq. 11 e 18. O momento letor total máimo no pilar deve ser calculado pela epressão: d,tot α b 1d,A + N d e l 10 1 r 1d,A 1d,mín (Eq. 3) onde: α b parâmetro deinido no item 7.3; orça normal solicitante de cálculo; l e comprimento de lambagem. 1/r curvatura na seção crítica, avaliada pela epressão aproimada (Eq. 18): 1 r 0,005 ( ν + 0,5) 0,005 A orça normal adimensional (ν) oi deinida na Eq. 19, sendo: Nd ν A. c cd

23 19 O momento solicitante de 1 a ordem deve ser: 1d,A 1d,mín com: 1d,A valor de cálculo de 1 a ordem do momento A, como deinido no item 7.3; 1d,mín momento letor mínimo como deinido a seguir; A c área da seção transversal do pilar; cd resistência de cálculo à compressão do concreto ( cd ck /γ c ); dimensão da seção transversal na direção considerada. A NBR 6118/03 introduziu um parâmetro novo no cálculo dos pilares: o momento letor mínimo, o qual consta no código ACI 318 (1995) como equação Segundo o código, a esbeltez é levada em consideração aumentando-se os momentos letores nos etremos do pilar. Se os momentos atuantes no pilar são muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma ecentricidade mínima, dada pelo momento mínimo. Na NBR 6118/003 consta que o eeito das impereições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1 a ordem dado a seguir (item ): N (0,015 0,03 ) (Eq. 33) 1 d,mín d + com sendo a altura total da seção transversal na direção considerada, em metro. A NBR 6118/003 ainda inorma que ao se considerar o momento letor mínimo pode-se desconsiderar a ecentricidade acidental ou o eeito das impereições locais, e que ao momento mínimo devem ser acrescidos os momentos de a ordem. A rigor, o momento letor total máimo deve ser calculado para cada direção principal do pilar. Ele leva em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a ecentricidade máima de a ordem, o momento letor máimo de 1 a ordem seja corrigido pelo ator α b. Isto é semelante ao que se encontra no item de FUSCO (1981), com a dierença de que novos parâmetros oram estabelecidos para α b. Se o momento de 1 a ordem or nulo ou menor que o mínimo, então o momento mínimo, constante na altura do pilar, deve ser somado ao momento letor de a ordem. 8. ÉTODO DO PILAR-PADRÃO CO RIGIDEZ κ APROXIADA Neste método, a não-linearidade geométrica é considerada de orma aproimada, supondose que a deormação da barra seja senoidal, de orma idêntica ao eposto no método anterior. A não-linearidade ísica deve ser considerada através de uma epressão aproimada da rigidez, epressa pelo coeiciente κ. O momento total máimo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1 a ordem pela epressão: αb 1d,A 1d,A d,tot (Eq. 34) λ 1d,mín 1 10 κ / ν sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproimadamente pela epressão:

24 0 d,tot κ ν (Eq. 35). Nd As variáveis, ν, 1d,A, 1d,mín e α b são as mesmas deinidas anteriormente. λ representa o índice de esbeltez e ν o coeiciente adimensional relativo à orça normal (Eq. 19). Substituindo a Eq. 35 na Eq. 34 obtém-se uma equação do o grau que serve para calcular diretamente o valor de d,tot, sem a necessidade de se azer iterações: 1900 d,tot + (3840 Nd λ Nd 1900 αb 1d,A ) d,tot 3840 αb Nd 1d, A 0 (Eq. 36) 9. SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO Para eeito de projeto, os pilares dos ediícios podem ser classiicados nos seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de etremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto dierente. 9.1 PILAR INTEREDIÁRIO Nos pilares intermediários (Figura 16) considera-se a compressão centrada para a situação de projeto, pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos letores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis. Não eistem, portanto, os momentos letores A e B de 1 a ordem nas etremidades do pilar, como descritos no item 7.3. PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO Figura 16 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares intermediários.

25 1 9. PILAR DE EXTREIDADE Os pilares de etremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas dos ediícios, vindo daí o termo pilar de etremidade, como mostrado na Figura 17. Na situação de projeto os pilares de etremidade estão submetidos à leão composta normal, que decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à borda de etremidade. Eistem, portanto, os momentos letores A e B de 1 a ordem nas etremidades do lance do pilar, como descritos no item 7.3. Nas seções do topo e da base dos pilares de etremidade ocorrem ecentricidades e 1 de 1 a ordem, oriundas dos momentos letores de 1 a ordem A e B, com valor: A e 1,A e Nd B e 1,B (Eq. 37) N d PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO e 1 Figura 17 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de etremidade. Os momentos letores A e B de 1 a ordem devidos ao carregamento vertical são obtidos calculando-se os pilares em conjunto com as vigas ormando pórticos ou então de uma maneira mais simples e que pode ser eita manualmente, com a aplicação das equações já apresentadas na apostila de Vigas de Concreto Armado, de BASTOS (005). Conorme a Figura 18 os momentos letores inerior e superior no pilar são calculados pelas epressões: in r in eng rin + rsup + r (Eq. 38) viga sup rsup eng r + r + r (Eq. 39) in sup viga

26 com: eng momento letor de ligação entre a viga e o pilar; r I/l índice de rigidez relativa; I momento de inércia da seção na direção considerada; l vão teórico da viga ou comprimento de lambagem do pilar. O valor eng nas Eq. 38 e 39 pode ser calculado azendo o vão etremo adjacente ao pilar como biengastado, ou pode também ser o momento resultante da viga vinculada ao pilar por meio de um engaste elástico (mola), como eito em BASTOS (005). Nos ediícios de pavimentos os momentos letores que aparecem nos pilares são provenientes da superposição dos eeitos das vigas dos dierentes níveis (Figura 18). Considerando-se por eemplo o lance do pilar compreendido entre os pavimentos i e i + 1, os momentos letores na base e no topo do lance são: base sup,i + 0,5 in,i ,5 (Eq. 40) topo in,i 1 sup,i 1 sup in,i sup,i NÍVEL (i + 1) PILAR DE EXTREIDADE viga in sup sup,i + 1 in,i+1 NÍVEL i in,i + 1 sup,i+1 TRAO EXTREO 1 in sup,i in,i NÍVEL (i - 1) Figura 18 omentos letores nos pilares provenientes da ligação com as vigas (FUSCO, 1981). Os eemplos numéricos apresentados no item 18 mostram o cálculo dos momentos letores solicitantes por meio das Eq. 38 a PILAR DE CANTO De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos ediícios, vindo daí o termo pilar de canto, como mostrado na Figura 19. Na situação de projeto os pilares de canto estão submetidos à leão composta oblíqua, que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às bordas do pilar. Eistem, portanto, os momentos letores A e B (item 7.3) de 1 a ordem nas etremidades do pilar, nas suas duas direções. Esses momentos podem ser calculados da orma como apresentado nos pilares de etremidade. Nas seções do topo e da base dos pilares de etremidade ocorrem ecentricidades e 1 de 1 a ordem nas duas direções do pilar.

27 3 PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO e 1, e 1, Figura 19 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de canto. 10. DETERINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O ÁXIO OENTO FLETOR Sendo constante a orça normal de cálculo ( ) ao longo da altura do pilar, no cálculo de dimensionamento deve ser analisada qual seção do pilar estará submetida ao máimo momento letor, seção essa que conduzirá a maior armadura longitudinal no pilar. Normalmente basta veriicar as seções de etremidade (topo e base) e uma seção intermediária C, onde atua o máimo momento letor de a ordem ( d ). A Figura 0 mostra os casos de momentos letores solicitantes mais comuns nos pilares. No caso do momento letor ser variável, o valor máimo deve ser nomeado A e considerado positivo. O momento na outra etremidade será nomeado B e considerado negativo se tracionar a ibra oposta a de A. 0 OU A + A C OU A A + TOPO SEÇÃO INTEREDIÁRIA OU A + B +, má + B - B BASE B B Figura 0 - omentos letores de 1 a ordem com o de a ordem nas seções do lance do pilar.

28 4 Levando-se em conta que um momento letor mínimo, como deinido no item 7.3, deve ser obrigatoriamente considerado no pilar, os valores dos momentos letores totais a serem considerados nas seções em cada direção principal do pilar são: a) Seções de Etremidade (topo ou base) 1d,A d,tot (Eq. 41) 1d,mín b) Seção Intermediária (C) 1d,C + d d,tot (Eq. 4) 1d,mín + d Com o momento de 1 a ordem 1d,C avaliado conorme as relações: 0,6 1d,A + 0,4 1d,B 1d,C (Eq. 43) 0,4 1d,A 11. SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO O cálculo dos pilares pode ser eito diretamente dos valores da orça normal e do momento letor total, como mostrado no item anterior, sem se calcular as ecentricidades relativas aos momentos letores solicitantes. as o cálculo pode também ser eito eplicitando-se as ecentricidades, que são unção dos momentos letores. Nos itens seguintes estão mostradas as ecentricidades que devem ser obrigatoriamente consideradas no dimensionamento dos pilares, em unção do tipo de pilar (intermediário, de etremidade ou de canto) e para λ má 90. As ecentricidades a serem consideradas são as seguintes: a) Eentricidade de 1 a ordem e 1A N 1d,A d 1d,B e 1B (Eq. 44) N d b) Ecentricidade mínima e 1,mín 1,5 + 0,03 com em cm (Eq. 45) c) Ecentricidade de a ordem e 0,0005 l e ( ν + 0,5) (Eq. 46) com ν deinido na Eq. 19.

29 5 d) Ecentricidade de 1 a ordem na seção intermediária C 0,6 e1a + 0,4 e1b e 1C (Eq. 47) 0,4 e1a 11.1 PILAR INTEREDIÁRIO Nos pilares intermediários considera-se que não atuam momentos letores de 1 a ordem, de modo que na situação de projeto ocorre a compressão simples ou uniorme, como mostrado na Figura 1. Se o pilar tiver λ má λ 1 não eistirão ecentricidades de a ordem, neste caso basta considerar a ecentricidade mínima nas duas direções ( 1 a situação de cálculo e a situação de cálculo). No caso de eistir ecentricidade de a ordem, ela deve ser somada à ecentricidade mínima. e 1,mín e e e e e 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. Figura 1 Situação de projeto e de cálculo para os pilares intermediários. Para cada situação de cálculo deve ser calculada uma armadura para o pilar, considerandose, no entanto, um mesmo arranjo ou distribuição da armadura na seção transversal do pilar. Isso é importante porque a armadura inal deve atender a todas as situações de cálculo eistentes. Entre todas as armaduras calculadas deve ser escolida a maior. De modo geral, para os pilares retangulares ica ácil determinar qual a situação de cálculo que resultará na maior armadura, pois a maior ecentricidade normalmente é na direção de menor rigidez do pilar. 11. PILARES DE EXTREIDADE Nos pilares de etremidade ocorre a leão composta normal na situação de projeto, com a eistência de ecentricidade de 1 a ordem numa direção do pilar. As seções de etremidade e a seção intermediária C devem ser analisadas. As Figuras e 3 mostram as situações de cálculo para a seção de etremidade A e intermediária C, respectivamente. Devido aos apoios (ou vínculos) nos etremos do pilar, não eiste o deslocamento orizontal nas seções de etremidade, ou seja, não ocorre ecentricidade de a ordem (e ). Por outro lado, se λ má λ 1, a ecentricidade de a ordem é pequena e por isso pode ser desprezada, segundo a NBR 6118/03. Se λ má > λ 1, a máima ecentricidade de a ordem deve ser considerada na seção intermediária C, onde a ecentricidade de 1 a ordem altera-se de e 1,A para e 1,C na situação de projeto. Do mesmo modo como no pilar intermediário a armadura inal do pilar será a maior calculada para cada situação de cálculo, considerando-se o mesmo arranjo das barras na seção transversal.

30 6 e Nd 1,A Nd e { 1,A e 1,mín S.P. 1 s.c. Figura Situação de projeto e de cálculo para as seções de etremidade dos pilares de etremidade. e e e e { e 1,C 1,mín e 1,C e { 1,C e 1,mín e S.P. 1 s.c. s.c. Figura 3 Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de etremidade PILARES DE CANTO Nos pilares de canto a solicitação de projeto é a leão composta oblíqua, com a eistência de ecentricidade de 1 a ordem nas duas direções principais do pilar. Na seção de etremidade A, como mostrado na Figura 4, apenas uma situação de cálculo é suiciente, comparando-se as ecentricidades de 1 a ordem com as ecentricidades mínimas em cada direção. Na seção intermediária C as ecentricidades de 1 a ordem alteram-se de e 1A para e 1C, como apresentado na Figura 5. Eistindo as ecentricidades de a ordem, elas devem ser acrescentadas às ecentricidades de 1 a ordem, segundo a direção em que eistir. A armadura inal do pilar será a maior calculada entre as situações de cálculo, considerando-se as barras distribuídas de modo idêntico no cálculo das armaduras. e1,a e1,a { e 1,mín e 1,A e1,a { e1,mín S.P. 1 s.c. Figura 4 Situação de projeto e de cálculo para as seções de etremidade dos pilares de canto.

31 7 e 1,C Nd e 1,C e1,c { e 1,mín e e Nd { e 1,C e1,mín e { e 1,C e1,mín e e1,c { e 1,mín S.P. 1 s.c. s.c. Figura 5 Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de canto. 1. CÁLCULO DA ARADURA CO AUXÍLIO DE ÁBACOS No dimensionamento manual dos pilares os ábacos são imprescindíveis e importantíssimos, pois permitem a rápida determinação da taa de armadura, sem que aja a necessidade de aplicar as equações teóricas da Fleão Composta Normal ou Oblíqua. Além disso, os ábacos proporcionam o ácil cálculo com dierentes arranjos da armadura na seção transversal. Nesta apostila serão adotados os ábacos de VENTURINI (1987) para a Fleão Composta Normal e de PINHEIRO (1994) para a Fleão Composta Oblíqua. Para cada caso de solicitação diversos ábacos podem ser utilizados para o cálculo da armadura do pilar. No entanto, deve ser escolido o ábaco que resultar na menor e, portanto, a armadura mais econômica. 1.1 FLEXÃO COPOSTA NORAL A Figura 6 mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos para a leão composta normal. d' representa uma distância paralela à ecentricidade entre a ace da seção e o centro da barra do canto. De modo geral tem-se d c + φ t + φ l /, com c cobrimento de concreto, φ t diâmetro do estribo e φ l diâmetro da barra longitudinal. d / e / b d Figura 6 Notação para a leão composta normal (VENTURINI, 1987).

32 8 As equações para a construção dos ábacos oram apresentadas na publicação de PINHEIRO (1994). A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esorços adimensionais ν - ni e µ - mi. O valor adimensional ν oi deinido na Eq. 19, sendo aqui repetido: Nd ν A. c cd d,tot µ, ou (Eq. 48) A c cd e µ ν (Eq. 49) com: orça normal de cálculo; A c área da seção transversal; cd resistência de cálculo do concreto à compressão ( ck /γ c ); d,tot momento letor total de cálculo; dimensão do pilar na direção considerada; e ecentricidade na direção considerada. Escolida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determina-se o ábaco a ser utilizado, em unção do tipo de aço e do valor da relação d /. No ábaco, com o par ν e µ obtémse a taa mecânica ω. A armadura é então calculada pela epressão: A s ω A c cd (Eq. 50) d 1. FLEXÃO COPOSTA OBLÍQUA A Figura 7 mostra a notação aplicada na utilização do ábacos para a leão composta oblíqua. d' e d têm o mesmo signiicado de d, porém, cada um numa direção do pilar. d d d d Figura 7 Fleão composta oblíqua (PINHEIRO, 1994).

33 9 A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esorços adimensionais ν e µ, com µ segundo as duas direções principais do pilar: Nd ν A. c cd e d,tot, µ ν (Eq. 51) Ac cd d,tot, e µ ν (Eq. 5) A c cd Escolida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determina-se o ábaco a ser utilizado, em unção do tipo de aço e dos valores das relações d / e d /. No ábaco, com o trio (ν, µ, µ ), obtém-se a taa mecânica ω. A armadura é calculada pela Eq. 50: A s ω A c d cd 13. CÁLCULO DOS PILARES INTEREDIÁRIOS Apresenta-se o roteiro de cálculo dos camados pilares intermediários, com a aplicação do étodo do pilar-padrão com curvatura aproimada e do étodo do pilar-padrão com rigidez κ aproimada. Em seguida são apresentados dois eemplos numéricos de aplicação ROTEIRO DE CÁLCULO No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: A B 0, em ambas as direções do pilar, o que leva a 1d,A 0 e e 1 0. a) Esorços Solicitantes A orça normal de cálculo pode ser determinada como γ n. γ. N k (Eq. 53) onde: N k orça normal característica no pilar; γ n coeiciente de majoração da orça normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); γ coeiciente de majoração da orça normal, como deinido na Tabela 11.1 da NBR 6118/03. b) Índice de Esbeltez (Eq. 1 e ) l e λ, i I i, para seção retangular: A 3,46 l λ e c) omento Fletor ínimo (Eq. 33) 1d,mín (1,5 + 0,03 ) com dimensão do pilar, em cm, na direção considerada.

34 30 d) Esbeltez Limite (Eq. 7) e ,5 λ 1 com α λ b e 1 0 para pilar intermediário. λ λ 1 - não considera-se o eeito de ª ordem para a direção considerada; λ > λ 1 - considera-se o eeito de ª ordem para a direção considerada. e) omento de a Ordem e1) étodo do Pilar-Padrão com Curvatura Aproimada Determina-se d,tot pela Eq. 3: d,tot α b. 1d,A + N d e l 10 1 r 1d,A 1d,mín 1d,A 1d,mín e) étodo do Pilar-Padrão com Rigidez κ Aproimada Determina-se d,tot pela Eq. 36: d 1900,tot + (3840 Nd λ Nd 1900 αb 1d,A ) d,tot 3840 αb Nd 1d, A 13. EXEPLOS NUÉRICOS Os eemplos numéricos a seguir são de pilares intermediários, biapoiados, de nós ios (contraventados) e sem orças transversais atuantes. Os cálculos serão eitos em unção dos momentos letores solicitantes e, a título de eemplo, serão eitos também em unção das ecentricidades, segundo as seções de etremidade e intermediária, como mostrado no item 11. Os seguintes dados são comuns em todos os eemplos: concreto C0; aço CA-50 ; d 4,0 cm ; γ c γ ; γ s 1, Eemplo Numérico 1 0 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 8, sendo conecidos: N k 785,7 kn seção 0 50 (A c cm ) l e l e 80 cm 0 cm Nd 50 cm Figura 8 Dimensões da seção transversal e situação de projeto. RESOLUÇÃO Embora a armadura longitudinal resultará do cálculo segundo a direção de menor rigidez do pilar (dir. ), a título de eemplo será demonstrado também o cálculo segundo a direção.