parte maior parte mais pequena applet numero ouro 0

Transcrição

1 1 O que é a secção de ouro? A secção de ouro é uma proporção que surge em várias situações geométricas e aritméticas. A mais simples é a seguinte (Euclides) - consideremos um segmento de comprimento l e dividámo-lo em duas partes desiguais - uma maior e outra mais pequena. Esta divisão diz-se que está na razão de ouro (ou na proporção divina) se: segmento total parte maior = parte maior parte mais pequena applet numero ouro 0

2 Se x representa o comprimento da parte maior, a que é igual x? De acordo com a proporção divina, temos que: segmento total parte maior e portanto x é solução da equação do o grau: As soluções são: = parte maior parte mais pequena l x = x l x x + l x l = 0 x = l ± l + 4l Mas só nos interessa a solução positiva que é: x = = 1 ± 5 l l

3 3 Se Φ representa o valor comum das duas fracções que surgem na proporção divina, qual o valor de Φ? Por definição Φ = segmento total parte maior e portanto, pelo que vimos no ponto anterior: = Φ = O número Φ chama-se o número de ouro. parte maior parte mais pequena = l x Como vimos, x + l x l = 0. Dividindo ambos os membros por x, vemos que Φ é a raíz positiva da equação A outra solução é Ψ. = 1 5 Concluindo: Φ satisfaz a igualdade X X 1 = 0 = 1 Φ. Φ Φ 1 = 0 Φ = Φ + 1 ( ) que desempenha um papel importante no que se segue.

4 4 Como construir geometricamente o número de ouro? A construção clássica está ilustrada no applet seguinte: applet: numero-ouro1 Começamos com um triângulo ABC, rectângulo em A, com catetos 1 e 1/. com centro em C traçamos uma circunferência de raio 1/, para determinar o ponto X no cateto BC. com centro em B traçamos uma circunferência de raio BX, para determinar o ponto D no cateto AB D divide o cateto AB na proporção de ouro. De facto, pelo teorema de Pitágoras, BC = 5 1 5/ e daí que BX = DB =. Portanto 1/DB = Φ. Note que DB = 1 Φ, e portanto AD = 1 1 Φ = 1 Φ.

5 5 O que é o rectângulo de ouro? É um rectângulo em que: lado maior lado menor = Φ Um processo de o construir está ilustrado no applet seguinte (clique no play): applet rectangulo-ouro.html Começamos com um quadrado ABCD de lado a. pelo ponto médio M do lado AB traçamos uma circunferência de raio MC até encontrar a recta AB no ponto E. construímos o rectângulo AEF D, que é de ouro. a 5 De facto, MC = ME = 4 + a = a. Portanto AE = a 5 + a = Φa e: lado maior lado menor = Φa a = Φ Note que o rectângulo BEF C é semelhante ao inicial e é portanto também um rectângulo de ouro. De facto, BE = ME a 5 1 = a, e portanto: lado maior lado menor = a 5 1 a = Φ

6 6 Uma generalização da construção anterior Uma generalização da construção anterior está ilustrada no applet seguinte: applet falbo.html Começamos com o quadrado ABCD de lado 1. para cada inteiro n 1 consideramos o ponto M n na recta AB, a uma distância n/ de A. traçamos uma circunferência centrada em M n, de raio M n D até encontrar a recta AB no ponto E. construímos o rectângulo AEF D. Para n = 1 obtemos o rectângulo de ouro, é claro. No caso geral M n D = n + 4 M n E = e portanto: lado maior lado menor = AE/AD = n + n + 4 Se n = 1 obtemos Φ, enquanto que, para n = obtemos 1 +. O applet abre com n = 3, com AE/AD = AD/GE = ( )/. Mais uma vez é verdade que o rectângulo maior AEF D é semelhante ao rectângulo mais pequeno GEF H, como pode verificar fazendo os cálculos.

7 7 Construir um rectângulo com a propriedade seguinte: após remover um quadrado maximal (gnomon) obtemos um rectângulo semelhante ao inicial. Podemos supôr que o rectângulo inicial tem lado maior igual a 1 e lado menor igual a a. Pretendemos pois calcular a de tal forma que, após remover um quadrado de lado a, obtemos um rectângulo semelhante ao inicial, como se ilustra na figura seguinte: Pode testar vários valores de a usando o applet seguinte: applet rectangulo-ouro1.html A condição de semelhança traduz-se na proporção seguinte: 1 a = a 1 a Portanto a satisfaz a equação do o grau: cuja solução positiva é: a = 1 a a = 1 Φ O rectângulo inicial e o mais pequeno são pois ambos rectângulos de ouro! A construção pode agora ser iterada, obtendo-se ainda uma espiral de ouro, como se ilustra no applet seguinte (clique no play): applet rectangulo-ouro.html Este processo iterativo dá-nos uma dissecção do rectângulo inicial como uma reunião infinita de quadrados cujos lados têm comprimento a = 1 Φ, 1 Φ, 1 Φ 3,, em progressão geométrica de razão 1/Φ. A soma das áreas destes quadrados é igual à area do rectângulo inicial, e portanto: 1 Φ = 1 Φ + 1 Φ Φ 6 +

8 8 Generalização da construção anterior Dado um rectângulo qualquer cujos lados estão na proporção: lado maior lado menos = r 1, r > 1 dividi-lo em dois rectângulos mais pequenos um dos quais seja semelhante ao inicial. Iterando a construção obtemos uma dissecção do rectângulo inicial, como se ilustra no applet seguinte: appelt falboespiral.html Note que nesta situação os rectângulos que vamos retirando (gnomons) não são em geral quadrados. De facto, só o são quando o rectângulo inicial é de ouro! Como exercício, pode calcular as coordenadas dos pontos indicados A 1, A, A 3, A 4, como função de r. Eles convergem para o ponto C = ( ) r r, r

9 9 Pentagrama místico Quando se inscreve um pentágono regular numa circunferência, obtemos um padrão de linhas com relações tão interessantes entre si que recebeu o nome de pentagrama místico. Vamos analisar este padrão. O triângulo ADC é semelhante ao triângulo CDJ (porquê?), e, além disso, são ambos isósceles (porquê?). Portanto: AD CJ = CJ JD Mas, por outro lado CJ = JA. Substituindo na proporção anterior obtem-se: AD AJ = AJ JD Isto significa que a diagonal AD é dividida pela diagonal CE na proporção de ouro: AD AJ = Φ Por outro lado, como CJ = AJ = DC, concluímos ainda que a razão entre a diagonal AD e o lado DC do pentágono ABCDE é também igual ao número de ouro: AD DC = Φ

10 10 Podemos evidentemente repetir a construção anterior, agora ao pentágono F GHIJ, para obter um novo pentagrama encaixado no anterior, e assim sucessivamente, como se ilustra na figura seguinte: Também é interessante considerar a seguinte iteração: applet pentagrama-iterado

11 11 Construção de um pentágono regular applet pentagonoconstrucao Começamos com um quadrado ABCD. traçamos o arco de circunferência de centro M (o ponto médio de AB), e raio MC para determinar os pontos H e H na recta AB. traçamos o arco de circunferência de centro A e raio AH e depois o arco de circunferência de centro B e raio BH. Estes dois arcos intersectam-se no ponto L que é um dos vértices do pentágono pretendido. traçamos o arco de circunferência de centro A e raio AD determinamos o ponto P. Analogamente, traçamos o arco de circunferência de centro B e raio BC determinamos o ponto P. Obtemos desta forma o pentágono AP LPB.

12 1 Triângulo de ouro Na figura seguinte: o triângulo ADC, por exemplo, é isósceles e o ângulo no vértice A é metade de cada ângulo da base: D = A e C = A. Destaquemos este triângulo. Como: A + A + A = 180 o vemos que 5A = 180 o, isto é A = 36 o. Bissectando um dos ângulos da base produzimos um novo triângulo CJD semelhante ao inicial. Como vimos antes: AD CD = Φ

13 13 Por isso, o triângulo ACD diz-se um triângulo de ouro. É claro que podemos aplicar o mesmo processo ao novo triângulo CJD e assim sucessivamente para obter uma sucessão de triângulos de ouro encaixados uns nos outros e todos semelhantes entre si, e ainda uma espiral de ouro como se indica na figura seguinte:

14 14 Um problema geométrico Na figura o triângulo DEF é equilátero inscrito numa circunferência. Os ponto A e C são os pontos médios dos lados DE e DF, respectivamente. Então C divide AB na proporção de ouro, isto é: AB AC = AC CB = Φ De facto, considere os triângulos DGC e BCF, Estes triângulos são semelhantes (porquê?) e portanto: GC CF = DC CB Por outro lado GC = AB e DC = CF = AC o que permite concluir o que se afirmou.

15 15 Mostre que o número de ouro satisfaz as seguintes igualdades: A. Φ + 1 = Φ B. Φ 1 = 1 Φ São consequência imediata do facto de que Φ é solução da equação X X 1 = 0, como vimos num ponto anterior. Note os factos muito curiosos: somando 1 a Φ obtemos o quadrado de Φ subtraindo 1 a Φ obtemos o inverso de Φ O que é a sucessão de ouro? É a sucessão das sucessivas potências (negativas e positivas) de Φ:, 1 Φ 4, 1 Φ 3, 1 Φ, 1 Φ, 1, Φ, Φ, Φ 3, Φ 4, Φ 5, Usando sistematicamente a relação A. do ponto anterior, Φ = Φ + 1, podemos linearizar todas as potências de Φ com expoente positivo, obtendo sucessivamente: Φ = 0 + Φ Φ = 1 + Φ Φ 3 = Φ Φ = Φ (1 + Φ) = Φ + Φ = Φ Φ = 1 + Φ Φ 4 = Φ Φ 3 = Φ (1 + Φ) = Φ + Φ = Φ + + Φ = + 3Φ Φ 5 = Φ Φ 4 = Φ ( + 3Φ) = Φ + 3Φ = Φ Φ = 3 + 5Φ Φ 6 = Φ Φ 5 = Φ (3 + 5Φ) = 3Φ + 5Φ = 3Φ Φ = 5 + 8Φ.. = Os números que aparecem são os famosos números de Fibonacci: f 0 = 0, f 1 = 1, f = 1, f 3 =, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13, f 8 = 1, ou genericamente: f 0 = 0, f 1 = 1, e f n+ = f n + f n+1 para n 0 cada número f n, para n, é pois obtido somando os dois imediatamente anteriores. Portanto: Φ n = f n 1 + f n Φ, para n 1

16 16 Mais fórmulas Designemos por Φ o número de ouro e por Ψ = 1/Φ: Φ = 1 + 5, Ψ = 1 5 Calculemos as sucessivas potências de Φ e Ψ: Φ = 1 (1 + 5) Ψ = 1 (1 5) Φ = 1 (3 + 5) Ψ = 1 (3 5) Φ 3 = 1 (4 + 5) Ψ 3 = 1 (4 5) Φ 4 = 1 (7 + 5) Ψ 4 = 1 (7 3 5) Φ 5 = 1 ( ) Ψ 5 = 1 (11 5 5) Φ 6 = 1 ( ) Ψ 6 = 1 (18 8 5).. Se adicionarmos os termos correspondentes das duas sucessões anteriores, obtemos a sucessão l n dos chamados números de Lucas, enquanto que, se subtrairmos os termos correspondentes das duas sucessões anteriores, e dividirmos por 5, obtemos a sucessão f n dos chamados números de Fibonacci: Φ + Ψ = 1 Φ Ψ = 5 Φ + Ψ = 3 Φ Ψ = 5 Φ 3 + Ψ 3 = 4 Φ 3 Ψ 3 = 5 Φ 4 + Ψ 4 = 7 Φ 4 Ψ 4 = 3 5 Φ 5 + Ψ 5 = 11 Φ 5 Ψ 5 = 5 5 Φ 6 + Ψ 6 = 18 Φ 6 Ψ 6 = Obtemos pois duas fórmulas surpreendentes para os termos gerais, l n e f n, das sucessões de Lucas e Fibonacci: l n = Φ n + Ψ n = ( ) n ( 5 1 ) n 5 + e [( f n = 1 (Φ n Ψ n ) = ) n ( 5 1 ) n ] 5 Como Ψ < 1, para n muito grande Ψ n 0 e portanto: l n Φ n = ( 1 + ) n 5 enquanto que: ( f n 1 Φ n = ) n Por último, para n muito grande, temos que: l n+1 l n Φ, f n+1 f n Φ

17 17 Uma falácia geométrica A seguinte falácia ilustra uma relação muito interessante entre Φ e os números de Fibonacci. Consideremos um quadrado cujo lado tem um comprimento igual à soma de dois números de Fibonacci consecutivos. Por exemplo 3+5 = 8 como na ilustração seguinte: applet geometria3 do flash Mas podemos construir outros exemplos com quadrados de lado = 13 ou = 55, etc. Retomando o applet, proceda como aí é indicado, isto é, dissecte o quadrado nos pedaços indicados e com eles construa um rectângulo de lados = 13 e 5. Como se vê, as áreas do quadrado e do rectângulo são respectivamente 8 = 64 e 5 13 = 65 - diferem de uma unidade!!!!... Consegue explicar isto?? Mas se usarmos a sucessão: 1, Φ, 1 + Φ, 1 + Φ, + 3Φ, 3 + 5Φ, que é do tipo Fibonacci, no sentido em que cada termo é igual à soma dos dois anteriores, a falácia não funciona. Neste caso o ajuste é total e as áreas do quadrado e do rectângulo são iguais! Por exemplo, na figura anterior escolhemos um quadrado de lado igual a 1 + Φ então, recordando que Φ = 1 + Φ: a área do quadrado é igual a (1 + Φ) = + 3Φ a área do rectângulo é igual a Φ (1 + Φ) = + 3Φ Um outro exemplo: se escolhemos um quadrado de lado igual a (1 + Φ) + ( + 3Φ) = 3 + 5Φ então: a área do quadrado é igual a (3 + 5Φ) = Φ a área do rectângulo é igual a (5 + 8Φ) ( + 3Φ) = Φ

18 18 Quadrados aditivos Um rectângulo de ouro pode ser obtido aproximadamente por um processo de adição de quadrados sucessivamente maiores, para obter uma sucessão de rectângulos cada vez mais próximos de um rectângulo de ouro. O processo ilustra-se no applet seguinte: applet EspiralDouroRect.html Quantos mais quadrados adicionarmos, mais o rectângulo obtido estará próximo de um rectângulo de ouro, isto é, lado maior/lado menor=φ. No applet começamos com dois quadrados de lado 1. Note que os comprimentos dos lados dos quadrados que se vão adicionando são respectivamente: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, - mais uma vez os famosos números de Fibonacci. Daí que os rectângulos sejam cada vez mais próximos de um rectângulo de ouro.

19 19 O número de ouro e o icosaedro Como vimos, o rectângulo de ouro e o pentágono são dois objectos geométricos onde aparece o número de ouro. Estes dois objectos estão também presentes, de uma forma algo surpreendente no icosaedro regular. O icosaedro é um poliedro regular com 0 faces, cada um das quais é um triângulo equilátero. Veremos isto com mais dealhe num outro trabalho incluído neste site. Se encaixarmos 3 rectângulos de ouro iguais, perpendicularmente uns aos outros, os seus 1 vértices formam os vértices de um icosaedro, como se ilustra nos applets seguintes: applet icosaedrorectangulouro1html.html e icosaedrorectangulourohtml.html Como vemos, em cada vértice do icosaedro incidem 5 triângulos equiláteros, e este conjunto de 5 faces formam uma pirâmide cuja base é um pentágono regular. Notemos ainda que o comprimento das arestas da pirâmide são todas iguais ao comprimento do lado mais curto de cada rectângulo de ouro, e as diagonais do pentágono da base tem um comprimento igual ao do lado maior de cada rectângulo de ouro.