Unidade II 4. Fenômenos ondulatórios e acústica

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNVERSDADE DO ESTADO DO RO GRANDE DO NORTE - UERN Pró-Reitoria de Ensino de Graduação PROEG Hoe Page: E-ail: proeg@uern.br UNDADE: Capus Avançado de Natal Unidade 4. Fenôenos ondulatórios e acústica Proessor Dr. Edaly Oliveira de Aleida

2 4. A Velocidade do So A velocidade de qualquer onda ecânica depende tanto da propriedade inercial do eio coo da propriedade elástica. Generalizando da equação () teos τ propriedade elástica v μ propriedade inercial Eq. 9 Se o eio or o ar, podeos supor que a propriedade inercial, que corresponde à densidade linear µ para ua corda esticada, é a assa especiica (densidade) ρ do ar

3 Quando ua onda sonora atravessa o ar, a energia potencial ica associada às copressões e rareações periódicas dos pequenos eleentos de volue do ar. Quando a pressão aplicada sobre ele auenta ou diinui, é o ódulo de elasticidade voluar B B P Eq. 30 V / V Onde ΔV/V é a variação relativa do volue produzida por ua variação ΔP na pressão. Os sinais de ΔP e ΔV são sepre opostos. Assi, ao auentaros a pressão nu eleento luido (ΔP positivo) seu volue decresce (ΔV negativo). ncluíos u sinal negativo na deinição de B

4 Para que B seja sepre ua quantidade positiva. Substituindo B por tal (tensão na corda) e ρ (densidade do ar) por µ (densidade linear da corda) na equação (9), obteos Exeplo B v (velocidade do so) Eq. 30 ρ A aixa de reqüência audível para o ouvido noral é aproxiadaente de 0 Hz a 0 khz. Quais são os coprientos de onda das ondas sonoras nestas reqüências? Considere a velocidade do so no ar igual a 343 /s Dados do problea V = reqüência ais baixa = 0 Hz V = reqüência ais alta = 0 khz V ar = velocidade

5 Da equação (), teos, para a reqüência ais baixa λ v ar v 343 / s 0Hz 7 E, para a reqüência ais alta, λ v ar v 343 / s 0000Hz 0,07,7c

6 4. Ondas Sonoras Progressivas Considere ua ina caada de ar de espessura Δx, localizada nua posição x, ao longo do tubo. À edida que a onda passa, este eleento oscila para trás e para rente e torno da sua posição de equilíbrio, coo a vista apliada da igura (b)

7 O deslocaento (longitudinal) do eleento oscilante é dado por S S cos( kx wt) Eq. 3 O deslocaento áxio S é uito enor que o copriento da onda sonora. Durante a passage da onda, a pressão na posição x, na igura (a), auentou e diinui co o tepo, sendo a variação dada por P P sen( kx wt) Eq. 3 U valor negativo de ΔP, na equação (3) corresponde a ua rareação e u valor positivo a ua copressão. E que a variação áxia da pressão na onda, ΔP na equação (3) está relacionado ao deslocaento áxio, S por P ( vρω) S Eq. 33 Onde v é a velocidade, ρ a densidade do ar, w a reqüência angular e S a aplitude de deslocaento

8 Exeplo A variação áxia da pressão ΔP que o ouvido pode tolerar, e sons ortes, é aproxiadaente de 8 Pa. Qual é a aplitude de deslocaento S deste so no ar, nua reqüência de 000 Hz Dados do problea ΔP = 8Pa S =? V ar = 343 /s ρ =, kg/ 3 = 000Hz P S S v v P v w ar ar ar w P S S S S S S 8Pa (343 / s)(,kg / N 8 kg 343, π000 3 s s kg 8 s 60770,398 kg s kg 5, x0 s kg, x0 5 s kg s s kg 3 )(π)(000hz) S, x0 5

9 4.3 ntensidade e Nível Sonoro A intensidade de ua onda sonora é deinida coo a taxa édia por unidade de área, na qual a energia contida na onda atravessa a superície ou é absorvida pela superície. Mateaticaente, teos: P A Eq. 34 Onde P é a taxa de variação co o tepo da transerência de energia (potência) da onda sonora e A é a área da superície que intercepta o so. Coo vaos ostrar daqui a pouco, a intensidade está relacionada à aplitude do deslocaento S da onda sonora através da equação Variação da ntensidade co a Distância vw S Eq. 35 E alguas situações, poré podeos ignorar os ecos e supor que a onte sonora é ua onte pontual e isotrópica, ou seja, que eite o so co a esa intensidade e todas as direções.

10 As rentes de onda que existe e torno de ua onte pontual isotrópica S e u dado instante são ostradas na Fig. 0. Fig. 0 Ua onte pontual S eite ondas sonoras co a esa intensidade e todas as direções. As ondas atravessa ua esera iaginária de raio r co centro e S. O so pode azer u copo de vidro oscilar. Se o so produzir ua onda estacionária e se a intensidade do so or elevada, o vidro pode quebrar. (Be/The age Bank/Getty ages)

11 Assi, a taxa co a qual a energia das ondas sonoras atravessa a superície é igual à taxa co a qual a energia é eitida pela onte (ou seja, a potência O s da onte). De acordo co a Eq. 34, a intensidade da onda sonora na superície da esera é dada por Ps 4r Eq. 36 Onde 4πr é a área da esera. A Eq. 7-8 nos diz que a intensidade do so eitido por ua onte pontual isotrópica diinui co o quadrado da distância r da onte. A Escala de Decibéis De acordo co a Eq. 35, a intensidade de u so varia co o quadrado da aplitude, a razão entre as intensidades nesse dois liites do sistea auditivo huano é 0. sso signiica que os seres huanos pode ouvir e ua enore aixa de intensidades. Para lidar co u intervalo tão grande de valores, recorreos aos logaritos. Considere a relação y log x, Onde x e y são variáveis. Ua propriedade desta equação é que se x é ultiplicado por 0, y auenta de unidade. Para ostrar que isso é verdade, escreveos x log0 log x y y' log 0

12 Da esa ora, quando ultiplicaos x por 0 y auentaos apenas unidades. Assi, e vez de alaros de intensidade da onda sonora, achaos ser ais conveniente alaros do nível sonoro β, deinido coo (0dB)log Eq Onde db é a abreviação de decibel, a unidade de nível sonoro, u noe escolhido e hoenage a Alexander Graha Bell. 0 na Eq. 37 é ua intensidade de reerencia (= 0 - W/ ), cujo valor oi escolhido porque está próxio do liite inerior da aixa de audição huana. Para = 0 a Eq. 37 ornece β = 0 log = 0, de odo que a intensidade de reerência corresponde a zero decibel. O valor de β auenta e 0 db toda vez que a intensidade sonora auenta de ua orde de grandeza (u ator de 0). Assi, β = 40 corresponde a ua intensidade 0 4 aior que a intensidade de reerência. A Tabela ostra os níveis sonoros e alguns abientes.

13 Tabela Alguns Níveis Sonoros (db) Liiar de audição 0 Faralha de olhas 0 Conversa 60 Show de rock 0 Liiar da dor 0 Turbina a jato 30 Explicitação de valores da equação (37) Β (db) / = 0 0 = = = = = =

14 Exeplo Duas ondas sonoras tê intensidade e. Coo coparar seus níveis sonoros? Escrevendo a razão entre as duas intensidade coo (0dB)log / / Toando o logarito dos dois ebros e ultiplicando por 0 db, teos (0dB)log (0dB)log β (0dB)log (0dB)log (0dB)log (0dB)log 0 β β 0 / / 0 0 (0dB)log 0

15 Exeplo Da tabela, veos que u grupo de rock (β = 0 db) é 0 db ais orte que ua artelada (β = 90 db). Qual a razão de suas intensidades (0dB)log (0dB)log (0dB)log β β 0dB 90dB 0dB log log log / dB 0dB

16 Exeplo Ondas de so esérica são eitidas unioreente e todas as direções, de ua onte pontual coo na igura abaixo. A potência irradiada P é de 5 w (a) qual é a intensidade da onda sonora a ua distância r da onte? Calcule para r =,5 (b) qual é o nível sonoro correspondente Solução Toda a potência irradiada deve, necessariaente, passar através de ua esera de raio r centrada na onte. Logo, P 4πr Veos que a intensidade do so decai co o inverso do quadrado da distância à onte. Nuericaente, teos

17 5w (4 )(,5) 5w (4 )6,5 5w 78, , w / 0,3w / 30w / Da equação (7-9) teos β β β β β (0dB)log (0dB) 5w / (0dB) log 0,3w / 0 0,3w / (0dB)log 0 w / 0,49 w / log0 w / OBS: 0 na Eq. 37 é ua intensidade de reerencia (= 0 - W/ )

18 4.4 Fontes Sonoras Musicais Os sons usicais pode ser produzidos pelas oscilações de cordas (violão, piano, violino), ebranas (típano, tabor), colunas de ar (lauta, oboé, tubos de órgão e o digeridu da Fig. ), blocos de adeira ou barras de aço (ariba, xiloone) e uitos outros corpos. Na aioria dos instruentos as oscilações envolve ais de ua peça. O oboé é instruento usical de sopro, classiicado coo u aeroone, ebro da aília das adeiras e de palheta dupla. A aília das adeiras inclui as lautas, clarinetes, agotes, saxoones, entre outros, sendo que oboés e agotes possue palhetas duplas Fig. A coluna de ar no interior de u digeridu (u tubo ) oscila quando o instruento é tocado. (Alay agens)

19 Na Fig. a ostra a onda estacionária ais siples que pode ser produzida e u tubo co as duas extreidades abertas. Existe u antinó e cada extreidade e u nó no ponto édio do tubo. U odo ais siples de representar esse onda sonora longitudinal estacionária é ostrado na Fig. b, na qual ela oi desenhada coo se osse ua onda estacionária e ua corda. A onda estacionária da Fig. a é chaada de odo undaental ou prieiro harônico. Para produzir-lo as ondas sonoras e u tubo de copriento L deve ter u copriento de onda tal que λ = L. A Fig. 3a ostra várias outras ondas sonoras estacionárias que pode ser produzidas e u tubo co as duas extreidades abertas. No caso do segundo harônico, o copriento das ondas sonoras é λ = L, no caso do terceiro harônico é λ = L/3, e assi por diante. Fig. (a) O padrão de deslocaento ais siples para ua onda sonora (longitudinal) estacionária e u tubo co as duas extreidades abertas possui u antinó (A) e cada extreidade e u nó (N) no ponto édio do tubo. (Os deslocaento longitudinais, representados pelas setas duplas, estão uito exagerados.) (b) O padrão correspondente para ua onda elástica (transversal) estacionária e ua corda.

20 No caso geral, as reqüências de ressonância de u tubo de copriento L co as duas extreidades abertas corresponde a coprientos de onda dados por L, Para n =,, 3,..., n Eq. 38 Onde n é o núero harônico. Chaando de V a velocidade do so, podeos escrever as reqüências de ressonância de u tubo aberto nas duas extreidades coo V nv, Para n =,, 3,... L (tubo, duas extreidades abertas). Eq. 39 Fig. 3 Ondas estacionárias e tubos, representadas por curvas de pressão e unção da posição. (a) Coo as duas extreidades do tubo abertas qualquer harônico pode ser produzido no tubo. (b) Co apenas ua extreidade aberta, apenas os harônicos ípares pode ser produzidos.

21 A Fig. 3b ostra alguas ondas sonoras estacionárias que pode ser produzidas e u tubo co apenas ua extreidades abertas. Neste caso existe u antinó na extreidade aberta e u nó na extreidade echada. O odo ais siples é aquele no qual λ = 4L. No segundo odo ais siples, λ = 4L/3, e assi por diante. No caso geral as reqüências de ressonância de u tubo de copriento L co ua extreidade aberta e a outra echada corresponde a coprientos de onda dados por 4L, Para n =, 3, 5,..., Eq. 40 n Onde o núero harônico n é u núero ípar. As reqüência de ressonância são dados por V nv, Para n =, 3, 5,... Eq. 4 4L Observe que apenas os harônicos ípares pode existir e u tubo co ua das extreidades abertas. Assi, por exeplo, o segundo harônico, co n =, não pode ser produzido e u tubo desse tipo. Observe tabé que e u tubo desse tipo ua expressão coo o terceiro harônico ainda se reere ao odo cujo núero harônico é 3, e não ao terceiro harônico possível.

22 Exeplo Ruídos de undo de baixa intensidade e ua sala produze ondas estacionária e u tubo de papelão de copriento L = 67,0 c as duas extreidades abertas. Suponha que a velocidade do so no ar dentro do tubo é 343 /s. (a) Qual a requência do so produzido pelo tubo? (b) Se você encostar o ouvido e ua das extreidades do tubo, que requência undaental ouvirá? a) nv L 343 / s 0, ,34 s 55,970493Hz b) nv 4L 343 / s 4 0, ,68 s 7, Hz 56Hz 8Hz

23 4.5 Batientos É quando dois sons chega aos nossos ouvidos siultaneaente ouvios ua édia das duas reqüência, as percebeos tabé ua grande variação na intensidade do so; ela auenta e diinui alternadaente, produzindo u batiento que se repete co ua reqüência dierente das duas reqüência originais. A Fig. 4 ilustra esse enôeno. Suponha que as variações de pressão e u local, produzidas por duas ondas sonoras de esa aplitude S, seja S S cos wt e S S cos wt Eq. 4 Fig. 4 (a,b) As variações de pressão ΔP de duas ondas sonoras quando são detectadas separadaente. As reqüências das ondas são uito próxias. (c) A variação de pressão resultante quando as duas ondas são detectadas siultaneaente.

24 Onde w >> w. De acordo co o princípio de superposição, a variação de pressão total é dada por Usando a identidade trigonoétrica S cos cos cos Podeos escrever a variação de pressão total na ora S S S cos wt cos w t cos Deinios S S cos w w t cos w w t w w e w w w w Eq. 43 Eq. 44 Podeos escrever a Eq. 43 na ora t S cos w t wt S cos Eq. 45

25 Vaos supor que as reqüência angulares w >> w das ondas que se cobina são quase iguais, o que signiica que w >> w na Eq. 44. Nesse caso podeos considerar a Eq. 45 coo ua unção co-seno cuja reqüência angular é w e cuja aplitude (que não é constante, as varia co ua reqüência angular w ) é o valor absoluto do ator entre colchetes. U áxio de aplitude ocorre sepre que cos w t na Eq. 45 é igual a ou -, o que acontece duas vezes e cada repetição da unção co-seno. Coo cos w t te ua requência angular w, a requência angular w bat. Co a qual ocorre o batiento é w bat = w. Assi, co a ajuda da Eq. 44 podeos escrever w bat w w w w w Coo w = π, esta equação tabé pode ser escrita na ora bat (Freqüência de batiento) Eq. 46

26 Exeplo Os pinguins iperadores, eite sons usados siultaneaente os dois lados da siringe. Cada lado produz ondas acústicas estacionárias na garganta e na boca do pássaro, coo e u tubo co as duas extreidades abertas. Suponha que a requência do prieiro harônico produzido pelo lado A da siringe é A = 43Hz e que a requência do prieiro harônico produzido pela extreidade B é B = 37Hz. Qual é a requência de batiento entre as duas requências do prieiro harônico e entre as duas requência do segundo harônico? bat, bat, bat, V L A 6Hz B 43Hz 37Hz nv L Prieiro harônico V V L L Segundo harônico V L Para o pingui, o segundo harônico do lado A te ua requência A = A. Usando a Eq co as requência A e B, descobrios que a requência de batiento correto é bat, bat, bat, bat, bat, A A 43Hz 37Hz 864Hz 74Hz Hz B B

27 4.6 O Eeito Doppler O eeito Doppler é a variação da reqüência relacionada ao oviento. Esse eeito oi proposto (ebora não tenha sido pereitaente analisado) e 84 pelo ísico austríaco Joha Christian Dopple. Foi estudado experientalente e 845 por Buys Ballot, na Holanda, usando ua locootiva que puxava u vagão aberto co vários tropetistas Se o detector ou onte está se ovendo, ou se abos estão se ovendo, a reqüência eitida e a reqüência detectada são relacionadas através da equação v v v v D (equação geral do eeito Doppler) Eq. 47 Onde v é a velocidade do so no ar, v D é a velocidade do detector e relação ao ar e v é a velocidade da onte e relação ao ar. A escolha do sinal positivo ou negativo é dada pela seguinte regra: Quando o oviento do detector ou da onte é no sentido de aproxiá-los, o sinal da velocidade deve resultar e u auento da reqüência. Quando o oviento do detector ou da onte é no sentido de aastá-los, o sinal da velocidade deve resultar e ua diinuição da reqüência.

28 Detector e oviento, Fonte parada Na Fig. 5 u detector D (representado por ua orelha) está se ovendo co velocidade v D e direção a ua onte estacionária S que eite ondas eséricas, de copriento de onda λ e reqüência, que se propaga co velocidade v do so no ar. As rentes de onda estão desenhadas co ua separação de u copriento de onda. A reqüência detectada pelo detector D é a taxa co a qual D intercepta as rentes de onda (ou coprientos de onda individuais). Se D estivesse parado essa taxa seria, as coo D está se ovendo e direção às rentes de onda a taxa de interceptação é aior e, portanto, a reqüência detectada é aior do que. v v v D Eq. 58 (detector e oviento, onte parada). Fig. 5 Ua onte sonora estacionária S eite rentes de onda eséricas, ostradas co ua separação de u copriento de onda, que se expande radialente co velocidade v. U detector D, representado por ua orelha, se ove co velocidade v D e direção à onte. O detector ede ua reqüência aior por causa do oviento

29 Fonte e Moviento, Detector Parada Para copreenderos por que isso acontece, vaos chaar de T (= /) o intervalo de tepo entre a eissão de u par de rentes de onda sucessivas, 0 e 0. Durante o intervalo T a rente de onda 0 percorre ua distância vt e a onte percorre ua distância v S T. No i do intervalo T a rente de onda 0 é eitida. No lado para onde S está se ovendo a distância entre 0 e 0 que é o copriento de onda λ das ondas que se propaga nessa direção, é vt v S T. Se D detecta essas ondas, detecta ua reqüência dada por v Eq. 49 v v (onte e oviento, detector parado). Fig. 6 U detector D está parado e ua onte S se ove e direção a ele co velocidade v s. A rente de onda 0 oi eitida quando a onte estava e S e a rente de onda 0 7 quando a onte estava e S 7. No instante representado a onte está e S. O detector percebe ua reqüência, aior porque a onte e oviento de onda, eite ua onda co u copriento de onda reduzido λ na direção do oviento.

30 V V V V D. Detector e onte e oviento = requência detectada = requência eitida v = velocidade do so no eio v D = velocidade do detector e relação ao eio v = velocidade da onte e relação ao eio Detector está parado V D = 0 Fonte está parada V F = 0 + Detector se aproxiando da onte - Detector se aastando da onte + Fonte se aastando do detector - Fonte se aproxia do detector