Eletromagnetismo II Capítulo III Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Eletromagnetismo II Capítulo III Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte"

Transcrição

1 Eletromagnetismo II Capítulo III Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte Prof. Dr. Ricardo L. Viana Departamento de Física Universidade Federal do Paraná Curitiba - PR 15 de setembro de Introdução Neste capítulo daremos sequência ao estudo de ondas eletromagnéticas iniciado no capítulo anterior, abordando essencialmente dois assuntos: (a ondas guiadas (guias de onda, linhas de transmissão e cavidades ressonantes e (b introdução à teoria da dispersão ótica nos materiais, na qual estudaremos um modelo microscópico clássico para a interação entre elétrons e ondas eletromagnéticas. 2 Reflexão em uma superfície condutora Vamos inicialmente recordar as condições de contorno que envolvem a superfície de separação entre um dielétrico (que pode ser o vácuo (meio 1 e um condutor ideal (meio 2, que vimos no Capítulo I do curso. Como o campo elétrico (e, consequentemente, o deslocamento elétrico é nulo no interior de um condutor, na superfície condutora temos que D 1n = σ S, onde σ S é a densidade de carga na superfície do condutor. Logo E 2n = 0 E 1n = σ S ε 1, (1 onde ε 1 = K 1 ε 0 é a permissividade do dielétrico. Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo elétrico, como E 2t = 0, então para a interface vale E 1t = 0, (2 Dentro do condutor também não há campo magnético, de modo que as condições de contorno para o campo magnético serão: B 1n = B 2n = 0, (3 H 1t = H 2t = 0. (4 1

2 3 Guias de onda Figura 1: Guias de onda. Guias de onda são tubos ocos de paredes metálicas e de seção reta uniforme, utilizados para transportar ondas eletromagnéticas de alta frequência (usualmente na faixa de radio-frequência e micro-ondas. Num forno de micro-ondas, por exemplo, eles são usados para transportar as micro-ondas desde a válvula onde são gerados ( klystron até a câmara de cozimento. Há diversos tipos de guias de onda, sendo os mais comuns os retangulares e cilíndricos, usados em sistemas de telecomunicações, radar, etc. [Fig. 1]. Devido às paredes condutoras que envolvem os campos elétrico e magnético da onda, os guias de onda apresentam um nível baixo de perdas de energia. Outro tipo de guias de onda bastante empregados em ótica são fibras óticas, ou guias de onda dielétricos. O estudo completo de guias de onda é um assunto bastante extenso, inclusive pelas implicações tecnológicas, e portanto foge ao escopo de nosso curso. Vamos estudar os fundamentos da propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda, mas sem entrar em detalhes de projeto. 3.1 Equações básicas Vamos considerar um guia de onda retilíneo ao longo da direção z e com uma seção reta arbitrária formada por paredes metálicas que supomos serem condutores ideais (condutividade infinita, assim desprezando a existência do efeito pelicular (penetração dos campos no condutor. Frequentemente o interior dos guias de onda feitos de aço é revestido por uma fina camada de prata, que tem uma grande condutividade elétrica. Assim podemos supor que os campos elétrico e magnético sejam nulos no interior das paredes condutoras. As condições de contorno apropriadas a esta situação, na posição das paredes condutoras são (2 e (4, a saber: E = 0, B = 0 (5 onde os índices e significam paralelo à parede e perpendicular à parede, respectivamente. As direções perpendiculares são x e y, de modo que a especi- 2

3 ficação das condições de contorno depende da forma da seção reta do guia de onda, o que será visto na próxima subseção. Recordando, aqui, as equações de Maxwell no vácuo e na ausência de fontes (cargas e/ou correntes: E = 0, (6 B = 0, (7 E = B t, (8 B = 1 E c 2 t. (9 Como supomos a propagação ao longo do eixo z positivo, temos soluções na forma de ondas planas E(r,t = E 0 (x,ye i(kz ωt, (10 B(r,t = B 0 (x,ye i(kz ωt (11 de maneira que podemos fazer as seguintes associações: t iω, ik. (12 z É importante observar que ondas eletromagnéticas confinadas num guia de onda não são, em geral, transversais (como ondas no espaço livre. Logo temos de incluir componentes longitudinais para ambos os campos: E 0 (x,y = E xˆx+e y ŷ+e z ẑ (13 B 0 (x,y = B xˆx+b y ŷ+b z ẑ. (14 Levando este fato em conta, e aplicando (12 na Lei de Faraday (8, obtemos as seguintes equações em componentes: E z y ike y = iωb x, (15 ike x E z x E y x E x y = iωb y, (16 = iωb z, (17 Procedendo da mesma forma com a Lei de Ampère-Maxwell (9 obtemos B z y ikb y ikb x B z x B y x B x y = iω c 2E x, (18 = iω c 2E y, (19 = iω c 2E z, (20 Resolvendo o sistema de equações (15, (16, (18 e (19 resultam as componentes transversais (perpendiculares a z dos campos elétrico e magnético como 3

4 funções das componentes longitudinais (paralelas a z: ( i E x = (ω/c 2 k E z k 2 x +ω B z y ( i E y = k E z B x = B y = (ω/c 2 k 2 i (ω/c 2 k 2 i (ω/c 2 k 2 y ω B z x ( k B z x ω E z c 2 y ( k B z y + ω E z c 2 x, (21, (22, (23, (24 de modo que basta acharmos as componentes E z e B z para que as demais sejam conhecidas em função das suas derivadas pelas equações acima. Para encontrarmos a equação a ser satisfeita por E z usamos a lei de Gauss elétrica (6: E x x + E y y + E z z = 0 (25 Substituindo (21 e (22 e dividindo tudo por ik temos a seguinte equação diferencial 2 [ E z x E (ω 2 z y 2 + k 2] E z = 0. (26 c Analogamente, a componente B z é obtida usando usamos a lei de Gauss magnética (7: B x x + B y y + B z z = 0 (27 que, usando (23 e (24 resulta em 2 B z x B z y 2 + [ (ω Há dois tipos de solução para as equações (26-(28: c 2 k 2] B z = 0. (28 1. Ondas TE (transversais elétricas: para as quais E z = 0; 2. Ondas TM (transversais magnéticas: para as quais B z = 0; Se E z = 0 e B z = 0 a onda é chamada TEM (transversal eletromagnética, como uma onda eletromagnética no vácuo. No entanto, para um guia de onda oco não pode haver ondas TEM: de (21-24, se E z = B z = 0 temos que as demais componentes dos campos elétrico e magnético seriam nulas, ou seja, não haveria onda neste caso. 3.2 Guia de onda retangular Um dos guias de onda mais utilizado na prática tem seção reta retangular, suas paredes internas tendo altura a e largura b [Fig. 2]. Vamos trabalhar nesta subseção apenas com a onda TE, donde E z = 0 de forma que temos de resolver 4

5 Figura 2: Guia de onda retangular. apenas a equação (28 para B z. A condição de contorno (5 a ser usada neste caso é B = 0 nas paredes do guia: B x (x = 0,y = B x (x = a,y = 0, (29 B y (x,y = 0 = B y (x,y = b = 0. (30 Vamos resolver (28 por separação de variáveis: B z (x,y = X(xY(y (31 de maneira que obtemos, após dividir por XY: 1 d 2 X } X {{ dx d 2 [ Y (ω 2 } Y dy } {{ 2 + k 2] = 0, c } = kx 2 = ky 2 onde k 2 x e k2 y são constantes de separação, satisfazendo k 2 x k2 y + ( ω c 2 k 2 = 0. (32 As equações 1 d 2 X X dx 2 = k2 x, são facilmente resolvidas, fornecendo 1 Y d 2 Y dy 2 = k2 y X(x = A 1 sink x x+a 2 cosk x x, (33 Y(y = C 1 sink y y +C 2 cosk y y, (34 cujas derivadas são X (x = A 1 k x cosk x x A 2 k x sink x x, (35 Y (y = C 1 k y cosk y y C 2 k y sink y y. (36 5

6 De (23 B x é proporcional a x B z, ou seja, a condição de contorno (89 aplica-se à derivada da função X: X (0 = X (a = 0. Como X (0 = A 1 k x resulta que A 1 = 0, e portanto X (a = A 2 k x sink x a = 0 que é satisfeita se k x a = mπ, onde m é um inteiro não-negativo, ou seja k x = mπ, (m = 0,1,2,... (37 a De (24 B y é proporcional a y B z, ou seja, a condição de contorno (90 aplica-se à derivada da função Y: Y (0 = Y (a = 0. Como Y (0 = C 1 k y resulta que C 1 = 0, e portanto Y (b = C 2 k y sink y b = 0 que é satisfeita se k y b = nπ, onde n é um inteiro não-negativo, ou seja k y = nπ b, (n = 0,1,2,... (38 Substituindo (37 e (38 em (31 e fazendo A 2 C 2 B 0 temos as soluções B z (x,y = B 0 cos ( mπx ( nπy cos, (39 a b as quais denominaremos modos TE mn, pois são as únicas soluções compatíveis com as condições de contorno adotadas ( autofunções. O número de onda para estes modos é dado por (32: onde usamos, ainda, (37 e (38. (ω [ 2 (m 2 ( k = π 2 n + c a b 2 ], ( Frequência de corte dos modos TE mn Vamos definir a frequência característica do modo TE mn : ω mn = cπ de modo que (40 se escreva (m a 2 + ( n b 2, (41 k = 1 c ω2 ω 2 mn. (42 6

7 Se ω < ω mn o radicando é negativo, ou seja, o número de onda é um imaginário puro. Neste caso, como sabemos, a onda não se propaga. Como apenas as ondas com frequências maiores do que ω mn podem se propagar, chamamos ω mn de frequência de corte para o modo TE mn. Nas aplicações de guias de onda é mais conveniente trabalhar com a frequência ν mn = ω mn 2π = c (m 2 ( n 2, + (43 2 a b Em guias de onda retangularesnãoexiste o modo TE com m = 0 e n = 0: de (39 teríamos B z = B 0, que é uma constante. Como E z = 0 para os modos TE, as equações (21-24 implicam que as demais componentes dos campos elétrico e magnético seriam nulas. Portanto, o modo com frequência de corte mais baixa é TE 10, com m = 1 e n = 0 (também chamado de modo dominante do guia de ondas: ν 10 = c 2a. (44 Guias de onda retangulares são bastante utilizados para a transmissão de microondas. Costuma-se escolher as dimensões do guia de onda de forma que apenas o modo TE 10 propague-se na frequência desejada (acima da frequência de corte f 10 para esse modo. Por exemplo, se a = 2,28cm e b = a/2 = 1,14cm, a frequência de corte do modo dominante é ν 10 = 6,58GHz, correspondendo ao comprimento de onda de corte λ 10 = c ν 10 = 4,57cm, de modo que ondas com λ > λ 10 não se propagam. Considerando a = 2b, como neste caso, as frequências de corte podem ser escritas em função da frequência do modo dominante: ν mn = ν 10 m2 +4n 2, (45 tal que os modoste comfrequênciade cortemais próximosaomodo dominante são TE 01, TE 11 e TE 20, com ν 01 = ν 20 = 2ν 10 = 13,2GHz, ν 11 = 5ν 10 = 14,7GHz, correspondendo aos seguintes comprimentos de onda de corte: λ 01 = λ 20 = λ 10 2 = 2,28cm, λ 11 = λ 10 5 = 2,04cm. (46 Para que seja propagado apenas o modo TE 10 neste tipo de guia de onda o comprimentode ondadevesermenordoqueλ 10, porémmaiordoqueλ 11 = λ 20, para que estes (e outros modos não se propaguem, o que deixa uma faixa 2,28cm < λ < 4,57cm. No entanto, imperfeições na fabricação dos guias de onda bem como perdas de energia próximo ao comprimento de onda de corte 7

8 Figura 3: Campo elétrico em modos TE m0. do modo TE 10 fazem com que a banda comercial seja menor do que esta, algo como 2,42cm < λ < 4,35cm. Os modos TM têm frequências de corte também dadas por (43, mas neste caso os inteiros são m = 1,2,... e n = 1,2,... (ver exercício. 3.4 Propagação dos modos TE mn Os modos TE mn são tais que E z = 0 mas B z não é nulo, e é dado por (39: ( mπx ( nπy B z (x,y = B 0 cos cos, (47 a b As componentes transversais do campo elétrico são dadas por (21 e (22 como E x E y = iω B 0 nπ ( mπx ( nπy cos sin, (48 Ω b a b = iω B 0 mπ ( mπx ( nπy sin cos, (49 Ω a a b ao passo que as componentes transversais do campo magnético são dadas por (23 e (24 como onde definimos B x B y = ik B 0 mπ ( mπx ( nπy sin cos, (50 Ω a a b = ik B 0 nπ ( mπx ( nπy cos sin. (51 Ω b a b ( ω 2 Ω = k 2. (52 c Considerando, por exemplo, o caso n = 0, teremos que os modos TE m0 tem 8

9 campos E x = 0, (53 E y = iω B 0 mπ ( mπx sin Ω a a B x = ik B 0 mπ ( mπx sin, (54 Ω a a B y = 0. O campo elétrico para estes modos tem nós nas paredes da cavidade ao longo da direção x, e tem m 1 nós intermediários, como vemos na Fig. 3, onde representamos esquematicamente os modos TE 10, TE 20 e TE 30. As linhas de campo elétrico e magnético estão esquematizadas na Fig. 4 para os modos TE 10, TE 20, TE 11 e TE 21. Para os modos TE as linhas de campo elétrico estão no plano perpendicular ao eixo z. Já as linhas de campo magnético são sempre fechadas e estão em planos perpendiculares ao plano xy. Neste caso, as projeções das linhas de campo no plano xy são segmentos horizontais, o que também pode ser visto na Fig Velocidades de fase e de grupo A velocidade de fase das ondas correspondendo aos modos TE mn é dada por v = ω k = c 1 ( ω mn, (55 2 ω onde usamos (42. Como apenas as ondas com ω > ω mn propagam-se ao longo do guia, então resulta que v > c: a velocidade de fase das ondas é superior à velocidade da luz no vácuo! Apesar do aparente desacordo com a teoria especial da relatividade (que proibe a propagação de qualquer sinal com velocidade maior que c, este resultado está correto. Na verdade, uma onda infinitamente extensa (como sempre temos presumido não é propriamente um sinal pois não carrega qualquer informação. Para que isto ocorra é necessário que a onda tenha uma extensão espacial, em outras palavras, que ela seja um pacote de ondas. Um pacote de ondas é uma superposição de ondas de frequências ligeiramente diferentes, o que provoca sua concentração em uma região espacial limitada, o que permite codificar informações (através de uma modulação de amplitude ou frequência, por exemplo. Para ilustrar esta idéia vamos considerar a superposição de duas ondas de frequências ligeiramente diferentes ω+ ω e ω ω, onde ω ω, e números de onda também ligeiramente diferentes: k + k e k k, com k k [3]: E 1 (x,t = E 0 cos[(k + kx (ω + ωt], (56 E 2 (x,t = E 0 cos[(k kx (ω ωt], (57 Usando as seguintes abreviações: α = kx ωt, β = ( kx ( ωt, (58 9

10 Figura 4: Campos elétrico e magnético em alguns modos TE e TM para um guia de onda retangular. 10

11 Figura 5: Variação espacial do campo elétrico de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes a superposição destes dois campos será E 1 +E 2 = E 0 cos(α+β+e 0 cos(α β, = 2E 0 cosαcosβ, = 2E 0 cos[( kx ( ωt]cos(kx ωt, (59 e que é uma onda cuja amplitude é modulada: o envelope da onda é dado pelo fator cos[( kx ( ωt] [Fig. 5]. É justamente o envelope dessa onda que carrega informação, e viaja à velocidade ω/ k. Fazendo o limite ω 0 a razão tende para a derivada de ω em relação a k, que chamamos velocidade de grupo da onda: v g = dω (60 dk Como v g é a velocidade de propagação de uma informação, a relatividade especial prevê que v g c. Se a frequência não depende de k a velocidade de grupo é zero, e a onda é chamada não-dispersiva. Já quando ω depende de k a onda é chamada dispersiva, e a relação ω = ω(k é chamada relação de dispersão da onda. Para as ondas do modo TE mn a relação de dispersão é dada por (42, ou ainda ω(k = c 2 k 2 +ω 2 mn. (61 Num pacote de ondas formado pela superposição de várias ondas com diferentes frequências, cada uma delas propaga-se com uma velocidade diferente. Como resultado, um pacote de ondas dispersivas sofre uma alteração no seu formato com o passar do tempo. Para os modos TE mn a velocidade de grupo é dada por ( ωmn 2 v g = c 1 < c (62 ω já que ω > ω mn, portanto de acordo com a relatividade. Finalmente, decorre de (55 e (60 a seguinte relação entre as velocidades de fase e de grupo vv g = c 2. (63 11

12 Figura 6: Cavidade ressonante num laser. 4 Cavidades ressonantes São guias de onda fechadas em ambas as extremidades por paredes também condutoras, de modo que há padrões do tipo ondas estacionáriasem todas as dimensões. Cavidades ressonantes são usadas para armazenar energia nos campos eletromagnéticos em seu interior, particularmente em frequências altas (como microondas. Na física básica aprendemos que um circuito LC também é capaz de armazenar energia no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor, para baixas frequências ω = 1/ LC. No entanto, cavidades ressonantes são melhores que circuitos LC por vários aspectos. Primeiramente é impossível construir circuitos LC com frequências na faixa dos GHz (micro-ondas. Segundo as cavidades ressonantes apresentam uma dissipação por ciclo de oscilação que é cerca de 1/20 da dissipação que ocorre num circuito LC devido a perdas ôhmicas, etc. Além disso, cavidades ressonantes são usadas para gerar e filtrar ondas em equipamentos de radar, fornos de micro-ondas e aceleradores de partículas. Na ótica cavidades ressonantes são usadas no laser, no qual a radiação produzida é intensificada pelas sucessivas reflexões nas paredes [Fig. 6]. 4.1 Paralelepípedo Vamos considerar um paralelepípedo de arestas a, b e d e paredes metálicas que supomos condutores ideais [Fig. 7]. Assim como no caso de guias de onda, vamos limitar nossa análise aos modos T E. Isso significa que impomos como condições de contorno E t = 0 e B n = 0 nas paredes. Cada componente do campo elétrico no interior do paralelepípedo satisfaz a equação de onda, como E x (r,t: 2 E x x E x y E x z E x c 2 t 2 = 0. (64 Supondo que E x (r,t = E x (x,y,ze iωt obtemos a equação de Helmholtz 2 E x x E x y E x z 2 + ω2 c 2 E x = 0. (65 Resolveremos por separação de variáveis E x (x,y,z = X(xY(yZ(z 12

13 Figura 7: Cavidade ressonante na forma de um paralelepípedo. que, substituida em (65 e dividindo-se por XY Z, resulta 1 d 2 X X dx Y d 2 Y dy } {{ 2 } = ky Z d 2 Z dz 2 } {{ } = k 2 z ( ω 2 + = 0, c onde ky 2 e k2 z são constantes de separação. As equações 1 d 2 Y Y dy 2 = 1 d 2 Z k2 y, Z dz 2 = k2 z têm soluções na forma Y(y = A 1 sink y y +A 2 cosk y y, (66 Z(z = C 1 sink z z +C 2 cosk z z. (67 Nas paredes y = 0 e y = b o campo elétrico transversal é E x ou E z, o que implica nas condições de contorno E x (x,y = 0,z = E x (x,y = b,z = 0 ou seja Y(0 = 0 e Y(b = 0, de modo que A 2 = 0 e k y = mπ/b, onde m = 0,1,2,... Analogamente, nas paredes z = 0 e z = d o campo elétrico transversal é E x ou E y, o que implica nas condições de contorno E x (x,y,z = 0 = E x (x,y,z = d = 0 ou seja Z(0 = 0 e Z(d = 0, de modo que C 2 = 0 e k z = nπ/b, onde n = 0,1,2,... Escrevendo E 1 A 1 C 1 E x (x,y,z = E 1 X(xsink y ysink z z. (68 Repetimos o processo para outra componente, como E y, fazendo separação de variáveis e aplicando as condições de contorno adequadas, que são E y (x = 0,y,z = E y (x = a,y,z = 0, 13

14 o que leva a k x = lπ/a, com l = 0,1,2,... e a seguinte expressão e analogamente para a última componente E y (x,y,z = E 2 sink x xy(ysink z z. (69 E z (x,y,z = E 3 sink x xsink y yz(z. (70 As funções X, Y e Z que aparecem nas componentes são determinadas a partir da lei de Gauss elétrica (6: que, usando (68-(70, fornecem E x x + E y y + E z z = 0 E 1 X (xsink y ysink z z +E 2 sink x xy (ysink z z +E 3 sink x xsink y yz (z = 0, e que é identicamente satisfeita se X (x = k x sink x x X(x = cosk x x, Y (y = k y sink y y Y(y = cosk y y, Z (z = k z sink z z Z(z = cosk z z. Colocando em evidência os fatores de seno obtemos a seguinte condição k x E 1 +k y E 2 +k z E 3 = k E = 0, (71 donde os vetores k e E são perpendiculares (por isso o modo é TE: transversal elétrico. 4.2 Frequências ressonantes da cavidade A componente E x é dada por (68 como E x (x,y,z = E 1 cosk x xsink y ysink z z. Substituindo na equação de Helmholtz (65 obtemos 2 E x x E x y E x z 2 + ω2 c 2 E x = 0 ( k 2x k 2y k 2z + ω2 E 1 cosk x xsink y ysink z z = 0 c 2 k 2 x k2 y k2 z + ω2 c 2 = 0. Substituindo as expressões para k x, k y e k z determinadas pelas condições de contorno temos a seguinte relação para as frequências de ressonância ω lmn da cavidade: l 2 π 2 a 2 + m2 π 2 b 2 + n2 π 2 d 2 ω2 lmn c 2 = 0, (72 14

15 Figura 8: Linha de transmissão coaxial. ou, ainda, em termos da frequência f = ω/2π: f lmn = c 2 l 2 a 2 + m2 b 2 + n2 d2. (73 Ao fixarmos duas dimensões da cavidade, como a = 2,28cm e b = a/2 = 1,01cm, a frequência de ressonância será uma função da dimensão d, que pode ser então ajustada à frequência que desejamos. Considerando, por exemplo, o modo l = 1, m = 0 e n = 2, a frequência ressonante será f 102 = 1, d Se desejamos uma frequência ressonante de 10GHz nesse modo, então d = 2, 5cm. 5 Linha de transmissão coaxial Vimos anteriormente que os únicos modos que propagam-se em guias de onda ocos são os TE (transversal elétrico e T M (transversal magnético. Os chamados modos TEM (transversal eletro-magnético, para os quais E z = B z = 0 (componentes longitudinais nulas não podem se propagar em guias de onda. No entanto, uma linha de transmissão (ou cabo coaxial permite os modos TEM, o que os faz serem bastante usados na transmissão de sinais de TV a cabo [Fig. 8]. Vamos considerar uma linha de transmissão coaxial é um fio reto longo (alinhado com o eixo z de raio r = a cercado por um revestimento condutor cilíndricoderaior = b > a. PartimosdasequaçõesdeMaxwellemcomponentes, dadas por (15-(20, para as quais os modos TEM com E z = B z = 0 implicam 15

16 em ike y = iωb x, (74 E y x E x y ike x = iωb y, (75 = 0, (76 ikb y = iω c 2E x, (77 ikb x = iω c 2E y, (78 B y x B x = 0. (79 y As equações (75 e (77 são simultaneamente satisfeitas se k = ω c, ou seja, as ondas propagam-se dentro do cabo (mais especificamente no espaço entre os dois condutores interno e externo à velocidade da luz e não são dispersivas, de modo que (75 ou (77 implicam em cb y = E x. (80 Analogamente, as equações (74 e (78 são satisfeitas se k = ω/c e Portanto cb x = E y. (81 E B = E x B x +E y B y +E z B } {{ z = cb } y B x cb x B y = 0 =0 ou seja, os campos elétrico e magnético são mutuamente perpendiculares dentro do cabo. As eqs. (76 e (79 podem ser reescritas vetorialmente como E = 0, (82 B = 0, (83 que são as leis de Faraday e de Ampère quando os campos não dependem do tempo. Adicionando as leis de Gauss elétrica e magnética E = E x x + E y y B = B x x + B y y = 0, (84 = 0, (85 temos que o conjunto de equações que descreve as amplitudes E x,y e B x,y dos modos TEM no interior do cabo coaxial de transmissão é o mesmo conjunto da eletrostática e da magnetostática (em duas dimensões! Conhecidas as componentes dos campos na direção perpendicular a z obtemos as amplitudes E 0 (x,y e B 0 (x,y tal que os modos TEM propagando-se na direção z são dados por E(x,y,z;t = E 0 (x,ye i(kz ωt, (86 B(x,y,z;t = B 0 (x,ye i(kz ωt. (87 16

17 Figura 9: Cabo coaxial. 5.1 Campos elétrico e magnético no cabo coaxial Um cabo coaxial consiste em dois condutores na forma de cilindros muito longos alinhadosàdireçãoz: uminterno,comraior = aeoutroexternocomraior = b, separados por um espaço vazio [Fig. 9]. O condutor interno é mantido a um potencial constante V, ao passo que o condutor externo é aterrado, ou seja, tem potencial nulo. De (82 podemos escrever o campo elétrico entre os dois condutores como E 0 = ϕ, onde ϕ(r é um potencial eletrostático. Substituindo em (84 segue que o potencial deve satisfazer a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas (r,θ,z: 2 ϕ(r,θ,z = 0 (88 com as seguintes condições de contorno ϕ(r = a = V, (89 ϕ(r = b = 0, (90 Pela simetria do problema o potencial(e o respectivo campo elétrico não podem depender das coordenadas θ ou z. O laplaciano em coordenadas cilíndricas é ( 1 r ϕ = 0 (91 r r r ou r ϕ r = C = const. que pode ser imediatamente integrada dando ϕ(r = Clnr +C 1, onde C 1 é uma segunda constante de integração. 17

18 Impondo as condições de contorno (89-(90 temos a seguinte solução para a região (a r b: ϕ(r = V ( r ln(a/b ln, (92 b a partir do que obtemos o campo elétrico radial onde definimos a quantidade: E 0 (r = ϕ rˆr = V ln(a/b ξ = ˆr = ξ (93 r rˆr, V ln(a/b. (94 Para encontrar o campo magnético no cabo coaxial imaginamos que há uma corrente I fluindo no condutor interno e uma corrente I no condutor externo (ou seja, em sentidos opostos. Devido à simetria cilíndrica do problema o campo magnético é dado imediatamente pela lei circuital de Ampère que, integrada numa superfície S aberta de raio r, fornece B ˆndA = B ds = B(2πr = µ 0 I, S onde C é um círculo C de raio r, donde C B 0 (r = µ 0I 2πrˆθ (95 é o campo magnético na direção angular. De fato, como havíamos mostrado anteriormente, os campos E e B são perpendiculares entre si, bem como à direção de propagação (por serem modos TEM. 5.2 Impedância do cabo coaxial Podemos encontrar uma relação entre os módulos dos campos E e B no interior do cabo cilíndrico a partir de alguns conceitos elementares de circuitos elétricos. Recordamos que a capacitância (por unidade de comprimento de um cabo coaxial com um espaço oco entre os condutores é dada por (exercício C = 2πε 0 ln(b/a, (96 e que a sua indutância por unidade de comprimento é L = µ ( 0 b 2π ln. (97 a A impedância característica do cabo é, portanto Z = L C = 1 ( µ0 b ln, (98 2π ε 0 a 18

19 onde Z 0 = é a impedância do espaço livre. Pela definição de impedância µ0 ε 0 377Ω (99 Z = V I (100 segue que a corrente no condutor interno é I = 2πV 1 Z 0 1 ln(b/a, (101 em função do seu potencial. Substituindo (101 em (95 o campo magnético é B 0 (r = V 1 ε0 µ 0 = ln(a/b rˆθ crˆθ ξ (102 em função da amplitude do campo elétrico correspondente (93. Substituindo em (86 e (87 resulta, em coordenadas cilíndricas ξ E 0 (r = (103 rˆr, B 0 (r = ξ crˆθ, (104 de modo que os modos TEM propagando-se no cabo coaxial têm os seguintes campos E(r,t = E 0 (re i(kz ωt = ξ r ei(kz ωtˆr, (105 B(r,t = B 0 (re i(kz ωt = ξ cr ei(kz ωtˆθ. (106 6 Interação das ondas eletromagnéticas com a matéria Vários aspectos da interação de ondas eletromagnéticas com a matéria podem ser explicados a partir de uma teoria microscópica clássica para os elétrons, que foi desenvolvida entre os séculos XIX e XX por vários físicos, principalmente H. Lorentz e P. Drude. Por esse motivo o modelo que vamos estudar é conhecido na literatura como modelo de Drude-Lorentz. Os elétrons neste modelo são tratados como osciladores harmônicos: são partículas clássicas de massa m = 9, kg e carga e = 1, C ligados a uma posição de equilíbrio por uma força restauradora Hookeana, ou seja, proporcional ao deslocamento x em relação ao equilíbrio x = 0. Podemos imaginarqueoelétronseja, então, umcorpodemassamligadoauma mola de constante elástica C, sujeito a uma força elástica restauradora F hooke = Cx. A frequência de oscilação desse sistema massa-mola é, como sabemos C ω 0 = m, (107 19

20 Figura 10: Sistema massa-mola com amortecimento e forçamento externo que chamaremos de frequência natural do elétron. Do ponto de vista da velha teoria quântica (modelo de Bohr, os elétrons circulam em torno do núcleo em órbitas circulares de raio r com velocidade constante v. Então podemos associar uma frequência angular Ω = v/r a esse movimento, e que podemos identificar com a frequência natural do elétron. Numa órbita circular de raio r a força coulombiana entre o elétron e o núcleo de carga Ze (onde Z é o número atômico é uma força centrípeta: 1 (Zee 4πε 0 r 2 = mv2 = mω 2 r, r donde a frequência natural do elétron é dada por ω 2 = 1 4πε 0 Ze 2 mr 3. (108 O campo elétrico de uma onda eletromagnética age sobre o elétron como uma força elétrica cujo módulo é F E = ee 0 e iωt, onde E 0 é a amplitude do campo elétrico da onda e ω é a sua frequência. É importante observar que apenas precisamos considerar a força elétrica, uma vez que a força magnética é (vide Capítulo I F B = v c F E, (109 tal que, se a partícula tem velocidades baixas (v c, a força magnética pode ser desprezada em comparação com a força elétrica. Há, ainda, a presença de uma força dissipativa, que aparece devido a vários fatores, entre eles a perda de energia que um elétron acelerado sofre por emissão de radiação, um assunto que veremos nos próximos capítulos em detalhe. Modelamos essa força dissipativa como se fosse um atrito viscoso, ou seja, uma força proporcional à velocidade do elétron F atrito = Gv = Gẋ, onde G é uma constante de amortecimento. No modelo de Drude-Lorentz, o elétron é representado por um sistema massa-mola com amortecimento e um forçamento externo periódico devido à onda eletromagnética. A equação de movimento do elétron é obtida inserindo 20

21 as diversas forças que atuam no elétron na segunda lei de Newton: mẍ = F hooke +F atrito +F onda = Cx Gẋ+eE 0 e iωt Usando (107 e definindo uma constante γ G/m, a equação de movimento para o elétron se escreve ẍ+γẋ+ω 2 0 x = ee 0 m e iωt. (110 7 Polarização e constante dielétrica complexas A equação (110 é linear, de modo que a resposta do oscilador a um forçamento externo com frequência ω será também uma oscilação de mesma frequência, de modo que podemos supor uma solução de (110 na seguinte forma x(t = x 0 e iωt, (111 de modo que ẋ = iωx e ẍ = ω 2 x. Substituindo em (110 e dividindo pelo fator exponencial temos que a amplitude de oscilação do elétron é dada por x 0 = ee 0 /m ω 2 0 ω2 iγω. (112 O deslocamento do elétron em relação à sua posição de equilíbrio origina um momento de dipolo induzido pelo campo elétrico da onda p(t = p 0 e iωt = ex(t = ex 0 e iωt (113 e que oscila com a sua frequência, com amplitude p 0 = ex 0 = e 2 E 0 /m ω 2 0 ω2 iγω (114 Vamos recordar, de Eletro I, que a polarização de um meio dielétrico é definida como o momento de dipolo total por unidade de volume, ou P = Np V = np, (115 onde n = N/V é o número de moléculas por unidade de volume. Substituindo (113 a polarização (complexa torna-se P = ne 2 /m ω0 2 E, (116 ω2 iγω onde, como de hábito, subentende-se que no final é tomada a parte real do resultado. De maneira geral, elétrons em posições diferentes dentro de uma molécula têm frequências naturais e coeficientes de amortecimento diferentes. Assim precisamos levar em conta a contribuição global de todos eles: supomos que haja 21

22 f j elétrons com frequências naturais ω 0j e coeficientes de amortecimento γ j em cada molécula. Então o número de elétrons da espécie j por unidade de volume é n j = nf j, onde n é o número de moléculas por unidade de volume. Somando sobre todas as espécies: P = ne2 m j f j E, ω0j 2 (117 ω2 iγ j ω onde, por definição, temos que f j = 1 (118 j conhecida como regra de soma, e f j são denominadas intensidades de oscilador. Comparando com a relação constitutiva entre a polarização e o campo elétrico P = ε 0 χ e E, (119 onde χ e é chamada susceptibilidade dielétrica do meio, a Eq. (117 prevê uma susceptibilidade complexa: χ e = ne2 mε 0 j f j ω0j 2 ω2 iγ j ω = ω2 P j onde definimos a chamada frequência de plasma f j ω 2 0j ω2 iγ j ω (120 ω 2 P = ne2 mε 0. (121 Uma relação constitutiva existe também entre o deslocamento elétrico e o campo elétrico: D = εe = ε 0 KE, (122 onde ε é a permissividade elétrica e K é a constante dielétrica, relacionada com a susceptibilidade dielétrica por K = 1+χ e = 1+ω 2 P j f j ω 2 0j ω2 iγ j ω, (123 onde usamos (120. Observe que a constante dielétrica também é complexa. 8 Ondas eletromagnéticas em meios dispersivos Meios onde a constante dielétrica depende da frequência são chamados dispersivos. A equação de onda em meios dispersivos (mas não-magnéticos será 2 E Kε 0 µ 0 2 E t 2 = 2 E K c 2 2 E t 2 = 0 (124 22

23 onde K = K r +ik i é, agora, interpretado como uma constante dielétrica complexa, dada por(123 em termos das propriedades microscópicas dos osciladores. Assim como temos feito sistematicamente, procuramos soluções de (124 do tipo ondas planas E(z,t = Ẽ0e i( kz ωt, (125 onde usamos o número de onda complexo introduzido no Capítulo II: de modo que k = k +iκ. (126 E(z,t = Ẽ0e κz e i(kz ωt, (127 tal que as ondas planas têm número de onda k = Re k, e o índice de refração do meio está, portanto, associado à parte real do vetor de propagação n = ck ω. (128 Por outro lado, as amplitudes decaem exponencialmente com a distância segundo um coeficiente de atenuação, ou absorção κ = Im k. Tanto o índice de refração quando o coeficiente de atenuação podem ser estimados para um meio dispersivo em termos do modelo de Drude-Lorentz. Substituindo (126 em (124 obtemos então ( k 2 +K ω2 Ẽ 0 = 0, após simplificar o fator exponencial, o que conduz à seguinte relação: c 2 k = ω c K. (129 Substituindo a expressão (123 na relação fundamental teremos 1/2 k = ω 1+ωP 2 f j c ω0j 2. (130 ω2 iγ j ω j Para gases a somatória na expressão acima é muito pequena, de maneira que podemos usar a aproximação binomial (1+x 1/2 1+x/2 e escrever k ω 1+ ω2 P f j. c 2 ω0j 2 (131 ω2 iγ j ω j Uma álgebra simples permite separar as partes real e imaginária de (131 para que obtenhamos o índice de refração e o coeficiente de absorção como funções da frequência: n = ck ω = c ω Re{ k} 1+ ω2 P 2 j f j (ω 2 0j ω2 (ω 2 0j ω2 2 +γ 2 j ω2 (132 κ = Im{ k} ω2 P 2 ω 2 c f j γ j (ω0j 2 ω2 2 (133 +γj 2 ω2. j 23

24 Figura 11: Variação do índice de refração com o comprimento de onda da luz para alguns meios transparentes. Figura 12: Decomposição da luz branca em um prisma. 9 Dispersão normal É um fato conhecido da ótica que o índice de refração de um meio transparente diminui com o comprimento de onda da luz ou, o que é equivalente, aumenta com a frequência da onda. Para o vidro, por exemplo, o índice de refração varia de 1,53 para o violeta (λ = 410nm a 1,51 para o vermelho (λ = 660nm [Fig. 11]. Este fenômeno é conhecido como dispersão normal da onda. DaLeideSnell, oânguloderefraçãoθ comincidênciaapartirdoar(n 1 = 1, n 2 = n é dado por sinθ = sinθ/n, onde θ é o ângulo de incidência. Logo, quanto menor o índice de refração maior será o ângulo de refração, de modo que a componente violeta da luz branca (maior n tem ângulo de refração menor do que a componente vermelha (menor n. Em outras palavras, a componente violeta refrata mais (ou seja, raio refratado mais próximo à normal que a componente vermelha, provocando a separação das cores do arco-iris, como Newton obteve num prisma por volta de 1670 [Fig. 12]. 24

25 O modelo de Drude-Lorentz explica satisfatoriamente a dispersão normal. Para isso vamos considerar que a frequência da luz incidente esteja suficientemente longe de qualquer uma das frequências naturais ω 0j dos elétrons na molécula. Essa suposição, como veremos mais adiante, faz com que possamos desprezar o termo de amortecimento devido à absorção da luz. Então a expressão (132 para o índice de refração fica simplesmente n = 1+ ω2 P 2 j f j ω 2 0j ω2 (134 Supondo que as frequências na faixa do visível sejam muito menores do que qualquer frequência natural (o que é verificado pois as frequências naturais mais próximas estão tipicamente na faixa do ultravioleta, ω ω 0j então, usando a aproximação binomial: 1 ω 2 0j ω2 = 1 ω 2 0j ( com o que reescrevemos (132 como n 1+ ω2 P 2 1 ω2 ω 2 0j j 1 1 f j ω 2 0j ( ω 2 0j 1+ ω2 ω 2 0j ( 1+ ω2 ω0j 2, = 1+A+Cω 2, (135, onde definimos A = ω2 P 2 C = ω2 P 2 j j f j ω0j 2 f j ω0j 4 (136 (137 Definindo, ainda B = 4πc2 C A a expressão (135 reduz-se à chamada fórmula de Cauchy (138 n = 1+A (1+ Bλ 2, (139 ondeaéchamadocoeficientederefraçãoeb coeficientededispersão. Afórmula de Cauchy foi obtida empiricamente em 1836 e representa bem a variação do índice de refração com o comprimento de onda para diversos meios transparentes. As expressões teóricas (136 e (137 concordam com os resultados experimentais para gases, de forma geral. 10 Dispersão anômala e absorção ressonante Ao contrário da seção anterior, vamos considerar agora justamente a vizinhança de uma das frequências naturais, como ω 0. Se as demais frequências estiverem 25

26 0,2 0,15 κ n-1 0,1 0,05 0 ω a ω 0 ω b -0,05-0, Figura 13: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão normal e anômala, para γ = 1, ω 0 = 5 e 1/c = 0,5. suficientemente afastadas, podemos ignorar em (132 e (133 a somatória em j e analisar apenas a frequência ω 0 : ou ainda n = 1+ ω2 P 2 κ = ω2 P 2 ω 2 c n 1 = F(ω = fω2 P 2 κ = G(ω = ω2 c f(ω 2 0 ω 2 (ω 2 0 ω2 2 +γ 2 ω 2 (140 fγ (ω 2 0 ω2 2 +γ 2 ω 2 (141 ω0 2 ω 2 (ω0 2 ω2 2 (142 +γ 2 ω2, fγω 2 P c 1 (ω0 2 ω2 2 (143 +γ 2 ω2, cujos gráficos mostramos na figura 13 em função da frequência da onda eletromagnética para o caso ω P f/2 = 1. Para ω bem abaixo da frequência natural ω 0 observamos duas coisas: (i o índice de refração aumenta com a frequência, o que vimos anteriormente com o nome de dispersãonormal. Observeque, comon 1 épositivo, temos que n > 1; (ii o coeficiente de absorção da onda é relativamente baixo, indicando que podemos desprezar o termo de absorção, que é a hipótese que usamos anteriormente para deduzir a fórmula de Cauchy. 26

27 Jáparaω próximoàfrequêncianaturalobservamosdafig. 13queaabsorção da onda aumenta bastante, tendo um valor máximo em ω 0 igual a G(ω 0 = ω2 P f 2cγ. Interpretamos esse fenômeno como uma ressonância entre a frequência da onda e a frequência natural do elétron: sabemos da mecânica clássica que, para forçamento ressonante, há uma máxima transferência de potência do forçamento para o oscilador. O elétron tendo um aumento considerável de amplitude em sua oscilação tende também a dissipar mais energia, absorvendo mais energia da onda eletromagnética. Poresse motivo a forma de κ é chamadade pico de absorçãoressonante, e ω 0 de frequência ressonante. Ao mesmo tempo, observamos que o índice de refração diminui com a frequência, fenômeno que denominamos dispersão anômala. A banda de dispersão anômala abrange o intervalo ω a < ω 0 < ω b, onde ω a,b são os extremos da função G(ω. Não por acaso, a banda de dispersão anômala coincide com a região de máxima absorção de onda: o meio pode ser praticamente opaco nessa banda. Os valores de ω a,b são obtidos de forma simples graças a uma simplificação algébrica que podemos fazer em (142 no caso de estarmos muito perto da frequência ressonante: se ω ω 0, então tal que ω 2 0 ω 2 = (ω 0 +ω(ω 0 ω 2ω 0 (ω 0 ω, F(ω fω2 P 2 2ω 0 (ω 0 ω 4ω 2 0 (ω 0 ω 2 +γ 2 ω 2 0 = ω2 P f 4ω 0 ω 0 ω (ω 0 ω 2 +γ 2 /4, a partir do que podemos achar os extremos impondo a condição F (ω = 0, o que fornece ω a = ω 0 γ 2, ω b = ω 0 + γ 2, (144 donde a largura do pico de absorção ressonante é ω = γ. Se γ tende a zero a largura do pico também tende a zero, e a sua altura ( γ 1 vai a infinito. De fato, nesse limite a expressão (142 tende a uma função delta de Dirac centrada em ω 0 : δ(ω ω 0. Para transições óticas em átomos temos que ω s 1 e o coeficiente de amortecimento é γ 10 9 s 1, donde a condição γ ω 0 é amplamente verificada, o que faz com que a banda de dispersão anômala seja estreita e o pico de absorção ressonante seja bastante fino e alto. Em átomos e moléculas de forma geral há vários picos de absorção correspondente às diversas frequências ressonantes ω 0j, cada qual com uma banda de absorção anômala [Fig. 14]. Cada pico tem altura e largura diferentes pois os valores de γ j e f j são também distintos para cada ressonância. Finalmente temos, para ω > ω b na Fig. 13 (fora da banda de dispersão anômala novamente uma região de dispersão normal, só que, como n 1 < 0, temos n < 1. Esse resultado pode parecer paradoxal, visto que, neste caso, a velocidade da onda eletromagnética é v = c n > c. 27

28 Figura 14: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão anômala um átomo típico. No entanto, assim como vimos no caso de guias de onda, a velocidade de fase pode ser maior que c sem violar o princípio da relatividade, uma vez que informações propagam-se, em geral, com a velocidade de grupo da onda. 11 Dispersão em metais e plasmas Elétrons livres em metais também podem ser descritos pelo modelo de Drude- Lorentz: como eles não estão ligados podemos fazer C = 0( constante elástica, de forma que sua frequência ressonante é ω 0 = 0 e f = 1. No entanto, nós mantemos a dissipação fenomenológica mesmo sem a oscilação dos elétrons, já que num metal os elétrons livres colidem com os íons da rede cristalina dando origem a uma dissipação de energia. Além de metais, esse caso também pode ser aplicado a plasmas (gases fortemente ionizados formados de uma mistura de elétrons livres e íons positivos. A diferença, neste caso, está tanto na densidade de elétrons n como na respectiva frequência de plasma ω 2 P = ne2 ε 0 m. (145 Por exemplo, para metais n m 3, correspondendo a ω P s 1, ao passo que num plasma frio n m 3, e ω P 10 7 s 1, uma diferença de quatro ordens de grandeza! Uma fórmula prática para calcular a frequência de plasma é f P = ω P 2π = 9 n, (146 28

29 onde a densidade de elétrons livres é medida em m 3 e a frequência é dada diretamente em khz. Fazendo o limite ω 0 0 em (142 e (143 obtemos o índice de refração e o coeficiente de absorção para elétrons em metais e plasmas: n 1 = ω2 P /2 ω 2 +γ2, (147 κ = γω2 P /2c ω 2 +γ2. (148 Para metais à temperatura ambiente o coeficiente de amortecimento é da ordem de γ s 1, o que é bem menor do que a frequência de plasma s 1. Como γ ω P podemos aproximar as expressões (147 e (148 para n 1 ω2 P ω 2, (149 κ ω2 P 2c lim γ γ 0 ω 2 +γ 2 = ω2 P π δ(ω, 2c 2 (150 onde usamos a representação Lorentziana da função delta de Dirac (vista em MétodosII. Este último resultado impĺica num pico de absorçãoem frequências nulas. Já o índice de refração será positivo apenas quando ω > ω P, ou seja, haverá propagaçãoda onda se a sua frequência for maior do que a frequência de plasma característica daquele meio. Se ω < ω P o índice de refração será negativo. Como n = K, isto implica num valor imaginário para a constante dielétrica e, portanto, a onda não se propaga neste caso. Uma onda eletromagnética incidente num plasma com ω < ω P será refletida na interface do plasma, o que tem aplicações interessantes em telecomunicações, como veremos Reflexão de ondas na ionosfera Terrestre A ionosfera é uma região da atmosfera superior, aproximadamente localizada entre 85 e 600km de altitude [Fig. 15]. Devido à alta incidência de radiação eletromagnética ionizante (ultravioleta proveniente do Sol e à baixa densidade de átomos, a ionosfera é um plasma frio composto de elétrons livres e íons positivos. Costuma-se dividir a ionosfera em camadas: D, E e F, em ordem de altitude crescente(quanto mais alto mais ionizado é o plasma, ou seja, a camada D éamaisbaixa(duranteodia. Duranteanoiteograudeionizaçãodosátomos diminui e a camada E é mais baixa. A densidade de elétrons na ionosfera é da ordem de n m 3, com uma frequência de plasma ω P 10 7 s 1. Logo a ionosfera é altamente refletora para ondas de rádio AM (para as quais f 10 6 Hz < f P 10 7 Hz, mas é transparente para ondas FM e de TV (onde f 10 8 Hz > f P. Desde os primórdios da pesquisa com radiocomunicações a capacidade da ionosfera de refletir ondas de rádio com f < f P tem sido usada para criar um guia de ondas entre a superfície da Terra e a superfície da camada D ionosférica [Fig. 16]. Devido à curvatura da Terra, a propagação por esse guia de ondas permite a transmissão de sinais de rádio entre locais distantes na Terra, para os quais não haveria possibilidade de transmissão direta. Como durante a noite a 29

30 Figura 15: Camadas da atmosfera e ionosfera terrestres Figura 16: Propagação de ondas de rádio usando a reflexão pela ionosfera. 30

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E

Ondas Eletromagnéticas. E=0, 1 B=0, 2 E= B t, 3 E Ondas Eletromagnéticas. (a) Ondas Planas: - Tendo introduzido dinâmica no sistema, podemos nos perguntar se isto converte o campo eletromagnético de Maxwell em uma entidade com existência própria. Em outras

Leia mais

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos

objetivos A partícula livre Meta da aula Pré-requisitos A partícula livre A U L A 7 Meta da aula Estudar o movimento de uma partícula quântica livre, ou seja, aquela que não sofre a ação de nenhuma força. objetivos resolver a equação de Schrödinger para a partícula

Leia mais

1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos

1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos 1 Fibra Óptica e Sistemas de transmissão ópticos 1.1 Introdução Consiste em um guia de onda cilíndrico, conforme ilustra a Figura 1, formado por núcleo de material dielétrico (em geral vidro de alta pureza),

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 3 Linhas de Força Mencionamos na aula passada que o físico inglês Michael Faraday (79-867) introduziu o conceito de linha de força para visualizar a interação elétrica entre duas cargas. Para Faraday, as

Leia mais

Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético

Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético Energia e Momento Linear do Campo Eletromagnético Metas Generalizar a lei de conservação da energia e do momento linear de forma a incluir fenômenos eletromagnéticos; Deduzir as expressões para as densidades

Leia mais

TIPO-A FÍSICA. r 1200 v média. Dado: Aceleração da gravidade: 10 m/s 2. Resposta: 27

TIPO-A FÍSICA. r 1200 v média. Dado: Aceleração da gravidade: 10 m/s 2. Resposta: 27 1 FÍSICA Dado: Aceleração da gravidade: 10 m/s 01. Considere que cerca de 70% da massa do corpo humano é constituída de água. Seja 10 N, a ordem de grandeza do número de moléculas de água no corpo de um

Leia mais

Transmissão das Ondas Eletromagnéticas. Prof. Luiz Claudio

Transmissão das Ondas Eletromagnéticas. Prof. Luiz Claudio Transmissão das Ondas Eletromagnéticas Prof. Luiz Claudio Transmissão/Recebimento das ondas As antenas são dispositivos destinados a transmitir ou receber ondas de rádio. Quando ligadas a um transmissor

Leia mais

Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo.

Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo. Capacitores e Dielétricos Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores separados por um material isolante, ou pelo vácuo. Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os

Leia mais

COMUNICAÇÃO DE INFORMAÇÃO A LONGAS DISTÂNCIAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E COMUNICAÇÃO

COMUNICAÇÃO DE INFORMAÇÃO A LONGAS DISTÂNCIAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E COMUNICAÇÃO COMUNICAÇÃO DE INFORMAÇÃO A LONGAS DISTÂNCIAS À medida que uma onda se propaga, por mais intensa que seja a perturbação que lhe dá origem, uma parte da sua energia será absorvida pelo meio de propagação,

Leia mais

CONCURSO DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO FÍSICA CADERNO DE QUESTÕES

CONCURSO DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO FÍSICA CADERNO DE QUESTÕES CONCURSO DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO E GRADUAÇÃO FÍSICA CADERNO DE QUESTÕES 1 a QUESTÃO Valor: 1,00 A L 0 H mola apoio sem atrito B A figura acima mostra um sistema composto por uma parede vertical

Leia mais

Polarização de Ondas Eletromagnéticas Propriedades da Luz

Polarização de Ondas Eletromagnéticas Propriedades da Luz Polarização de Ondas Eletromagnéticas Propriedades da Luz Polarização Polarização: Propriedade das ondas transversais Ondas em uma corda Oscilação no plano vertical. Oscilação no plano horizontal. Onda

Leia mais

Existe uma serie de nomenclatura e parâmetros que caracterizam e diferenciam as ondas eletromagnéticas.

Existe uma serie de nomenclatura e parâmetros que caracterizam e diferenciam as ondas eletromagnéticas. Teoria básica das ondas eletromagnéticas Geração de ondas eletromagnéticas Um condutor elétrico que esteja sobre a influência dum campo magnético variável gera uma corrente elétrica. Esta corrente elétrica

Leia mais

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios.

objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. Exercícios A U L A 10 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico estudado neste módulo à resolução de um conjunto de exercícios. objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos nas Aulas 4 a 9 por meio da

Leia mais

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante.

FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO META Aula 8 Caracterizar e mostrar o campo magnético produzido por uma carga a velocidade constante. Mostrar a lei da circulação de Ampère-Laplace e a lei de Biot-Savart. Estudar

Leia mais

Antena Escrito por André

Antena Escrito por André Antena Escrito por André Antenas A antena é um dispositivo passivo que emite ou recebe energia eletromagnéticas irradiada. Em comunicações radioelétricas é um dispositivo fundamental. Alcance de uma Antena

Leia mais

Lei de Gauss da Eletricidade. Prof. Rudi Gaelzer IFM/UFPel (Física Básica III )

Lei de Gauss da Eletricidade. Prof. Rudi Gaelzer IFM/UFPel (Física Básica III ) Lei de Gauss da Eletricidade Objetivos iremos aprender: O que significa fluxo elétrico e como é possível calcular o mesmo. Como é possível determinar a carga elétrica delimitada por uma superfície fechada

Leia mais

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL

AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programa de Física 12.º ano homologado em 21/10/2004 ENSINO SECUNDÁRIO FÍSICA 12.º ANO TEMAS/DOMÍNIOS

Leia mais

A Mecânica Quântica nasceu em 1900, com um trabalho de Planck que procurava descrever o espectro contínuo de um corpo negro.

A Mecânica Quântica nasceu em 1900, com um trabalho de Planck que procurava descrever o espectro contínuo de um corpo negro. Radiação de Corpo Negro Uma amostra metálica como, por exemplo, um prego, em qualquer temperatura, emite radiação eletromagnética de todos os comprimentos de onda. Por isso, dizemos que o seu espectro

Leia mais

Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciência e Tecnologia Universidade Federal de São Paulo Instituto de Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciência e Tecnologia Oscilações 1. Movimento Oscilatório. Cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS) 3. MHS e Movimento

Leia mais

Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia.

Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia. Capacitores e Dielétricos (continuação) Energia armazenada num capacitor Um capacitor não armazena apenas carga, mas também energia. A energia armazenada num capacitor é igual ao trabalho necessário para

Leia mais

Lei de Coulomb: Campo Elétrico:

Lei de Coulomb: Campo Elétrico: Lei de Coulomb: Método para distribuição de cargas: Dividir a distribuição em infinitos dq Analisar feito por dq Dividir em suas componentes dfx e dfy Analisar se há alguma forma de simetria que simplifica

Leia mais

ONDAS MECÂNICAS, ONDA ELETROMAGNETICA E ÓPTICA FÍSICA

ONDAS MECÂNICAS, ONDA ELETROMAGNETICA E ÓPTICA FÍSICA FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA, CAMPUS DE JI-PARANÁ, DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL DE JI-PARANÁ DEFIJI 1 SEMESTRE 2013-2 ONDAS MECÂNICAS, ONDA ELETROMAGNETICA E ÓPTICA FÍSICA Prof. Robinson

Leia mais

Como o material responde quando exposto à radiação eletromagnética, e em particular, a luz visível.

Como o material responde quando exposto à radiação eletromagnética, e em particular, a luz visível. Como o material responde quando exposto à radiação eletromagnética, e em particular, a luz visível. Radiação eletromagnética componentes de campo elétrico e de campo magnético, os quais são perpendiculares

Leia mais

Radiação. Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria

Radiação. Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria Radiação Radiação é o processo de transferência de energia por ondas eletromagnéticas. As ondas eletromagnéticas são constituídas de um campo elétrico e um campo magnético que variam harmonicamente, um

Leia mais

TIPO-A FÍSICA. x v média. t t. x x

TIPO-A FÍSICA. x v média. t t. x x 12 FÍSICA Aceleração da gravidade, g = 10 m/s 2 Constante gravitacional, G = 7 x 10-11 N.m 2 /kg 2 Massa da Terra, M = 6 x 10 24 kg Velocidade da luz no vácuo, c = 300.000 km/s 01. Em 2013, os experimentos

Leia mais

FÍSICA 3. Capacitância e Dielétricos

FÍSICA 3. Capacitância e Dielétricos FÍSICA 3 Capacitância e Dielétricos Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba Ementa Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência Circuitos

Leia mais

Vestibular UFRGS 2015. Resolução da Prova de Física

Vestibular UFRGS 2015. Resolução da Prova de Física Vestibular URGS 2015 Resolução da Prova de ísica 1. Alternativa (C) O módulo da velocidade relativa de móveis em movimentos retilíneos de sentidos opostos pode ser obtido pela expressão matemática: v r

Leia mais

Primeira lista de física para o segundo ano 1)

Primeira lista de física para o segundo ano 1) Primeira lista de física para o segundo ano 1) Dois espelhos planos verticais formam um ângulo de 120º, conforme a figura. Um observador está no ponto A. Quantas imagens de si mesmo ele verá? a) 4 b) 2

Leia mais

1 OSCILADOR SEM AMORTECIMENTO. 1.1 A equação do oscilador harmónico e o movimento harmónico simples. 1.2 O plano complexo

1 OSCILADOR SEM AMORTECIMENTO. 1.1 A equação do oscilador harmónico e o movimento harmónico simples. 1.2 O plano complexo 1 OSCILADOR SEM AMORTECIMENTO 1.1 A equação do oscilador harmónico e o movimento harmónico simples 1.2 O plano complexo 1.3 Movimento harmónico simples, fasores e movimento circular uniforme 1.4 O circuito

Leia mais

Física. Resolução. Q uestão 01 - A

Física. Resolução. Q uestão 01 - A Q uestão 01 - A Uma forma de observarmos a velocidade de um móvel em um gráfico d t é analisarmos a inclinação da curva como no exemplo abaixo: A inclinação do gráfico do móvel A é maior do que a inclinação

Leia mais

Fenómenos Ondulatórios. Reflexão, refracção, difracção

Fenómenos Ondulatórios. Reflexão, refracção, difracção Fenómenos Ondulatórios Reflexão, refracção, difracção Natureza dualística da radiação electromagnética A radiação electromagnética é um fenómeno ondulatório envolvendo a propagação de um campo magnético

Leia mais

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA. Plano de Ensino

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA. Plano de Ensino DISCIPLINA: Teoria Eletromagnética. CÓDIGO: MEE007 Validade: Carga Horária: 45 horas-aula Créditos: 03 Área de Concentração / Módulo: Sistemas Elétricos / Formação Básica Ementa: Análise Vetorial. Equações

Leia mais

3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos

3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos 3 Espectroscopia no Infravermelho 3.1. Princípios Básicos A espectroscopia estuda a interação da radiação eletromagnética com a matéria, sendo um dos seus principais objetivos o estudo dos níveis de energia

Leia mais

O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau

O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau O degrau de potencial. Caso II: energia maior que o degrau U L 9 Meta da aula plicar o formalismo quântico ao caso de uma partícula quântica que incide sobre o degrau de potencial, definido na ula 8. Vamos

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL420. Módulo 2 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Módulo 2 Thévenin Norton Helmholtz Mayer Ohm Galvani Conteúdo 2 Elementos básicos de circuito e suas associações...1 2.1 Resistores lineares

Leia mais

O caso estacionário em uma dimensão

O caso estacionário em uma dimensão O caso estacionário em uma dimensão A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quântico no caso de o potencial ser independente do tempo. objetivos verificar que, no caso de o potencial ser independente

Leia mais

22/Abr/2015 Aula 15. 17/Abr/2015 Aula 14

22/Abr/2015 Aula 15. 17/Abr/2015 Aula 14 17/Abr/2015 Aula 14 Introdução à Física Quântica Radiação do corpo negro; níveis discretos de energia. Efeito foto-eléctrico: - descrições clássica e quântica - experimental. Efeito de Compton. 22/Abr/2015

Leia mais

Saber calcular o fluxo elétrico e o campo elétrico através de uma superfície de contorno bem definida.

Saber calcular o fluxo elétrico e o campo elétrico através de uma superfície de contorno bem definida. Aula 5 LEI DE GAUSS META Mostrar a fundamental importância da lei de Gauss para a compreensão do campo elétrico e como essa lei facilita o desenvolvimento matemático de problemas complexos de eletricidade.

Leia mais

Ondas Eletromagnéticas Física - Algo Sobre INTRODUÇÃO

Ondas Eletromagnéticas Física - Algo Sobre INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO É importante tomarmos consciência de como estamos imersos em ondas eletromagnéticas. Iniciando pelos Sol, a maior e mais importante fonte para os seres terrestres, cuja vida depende do calor

Leia mais

NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA CAPÍTULO 1. Prof. Carlos R. A. Lima INTRODUÇÃO AO CURSO E TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL

NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA CAPÍTULO 1. Prof. Carlos R. A. Lima INTRODUÇÃO AO CURSO E TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO AO CURSO E TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL Edição de junho de 2014 2 CAPÍTULO 1 TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL ÍNDICE 1.1-

Leia mais

OBJETIVO Verificar as leis da Reflexão Verificar qualitativamente e quantitativamente a lei de Snell. Observar a dispersão da luz em um prisma.

OBJETIVO Verificar as leis da Reflexão Verificar qualitativamente e quantitativamente a lei de Snell. Observar a dispersão da luz em um prisma. UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA CURSO DE FÍSICA LABORATÓRIO ÓPTICA REFLEXÃO E REFRAÇÃO OBJETIVO Verificar as leis da Reflexão Verificar qualitativamente e quantitativamente a lei de Snell. Observar a

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 4 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 4 Faraday Lenz Henry Weber Maxwell Oersted Conteúdo 4 - Capacitores e Indutores...1 4.1 - Capacitores...1 4.2 - Capacitor

Leia mais

DH 406A SISTEMA DE TREINAMENTO EM MICROONDAS. Descrição de componentes

DH 406A SISTEMA DE TREINAMENTO EM MICROONDAS. Descrição de componentes DH 406A SISTEMA DE TREINAMENTO EM MICROONDAS Descrição de componentes 2 1 INTRODUÇÃO O sistema de treinamento em microondas DH-0406A foi desenvolvido para permitir explorar experimentalmente alguns conceitos

Leia mais

Professores: Gilberto / Gustavo / Luciano / Maragato CURSO DOMÍNIO. Comentário: Energia de Capacitor. Comentário: Questão sobre atrito

Professores: Gilberto / Gustavo / Luciano / Maragato CURSO DOMÍNIO. Comentário: Energia de Capacitor. Comentário: Questão sobre atrito Professores: Gilberto / Gustavo / Luciano / Maragato CURSO DOMÍNIO A prova de física exigiu um bom conhecimento dos alunos. Há questões relacionadas principalmente com a investigação e compreensão dos

Leia mais

Comunicação sem fio - antenas

Comunicação sem fio - antenas Comunicação sem fio - antenas Antena é um condutor elétrico ou um sistema de condutores Necessário para a transmissão e a recepção de sinais através do ar Na transmissão Antena converte energia elétrica

Leia mais

E irr = P irr T. F = m p a, F = ee, = 2 10 19 14 10 19 2 10 27 C N. C kg = 14 1027 m/s 2.

E irr = P irr T. F = m p a, F = ee, = 2 10 19 14 10 19 2 10 27 C N. C kg = 14 1027 m/s 2. FÍSICA 1 É conhecido e experimentalmente comprovado que cargas elétricas aceleradas emitem radiação eletromagnética. Este efeito é utilizado na geração de ondas de rádio, telefonia celular, nas transmissões

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 4 Lei de Gauss Considere uma distribuição arbitrária de cargas ou um corpo carregado no espaço. Imagine agora uma superfície fechada qualquer envolvendo essa distribuição ou corpo. A superfície é imaginária,

Leia mais

FUNDAMENTOS DE ONDAS, Prof. Emery Lins Curso Eng. Biomédica

FUNDAMENTOS DE ONDAS, Prof. Emery Lins Curso Eng. Biomédica FUNDAMENTOS DE ONDAS, RADIAÇÕES E PARTÍCULAS Prof. Emery Lins Curso Eng. Biomédica Questões... O que é uma onda? E uma radiação? E uma partícula? Como elas se propagam no espaço e nos meios materiais?

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal "-" associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1

Números Complexos. Note com especial atenção o sinal - associado com X C. Se escrevermos a expressão em sua forma mais básica, temos: = 1 1 Números Complexos. Se tivermos um circuito contendo uma multiplicidade de capacitores e resistores, se torna necessário lidar com resistências e reatâncias de uma maneira mais complicada. Por exemplo,

Leia mais

grandeza do número de elétrons de condução que atravessam uma seção transversal do fio em segundos na forma, qual o valor de?

grandeza do número de elétrons de condução que atravessam uma seção transversal do fio em segundos na forma, qual o valor de? Física 01. Um fio metálico e cilíndrico é percorrido por uma corrente elétrica constante de. Considere o módulo da carga do elétron igual a. Expressando a ordem de grandeza do número de elétrons de condução

Leia mais

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) Avaliador Revisor Uma montagem experimental simples permite a medida da força entre objetos carregados com o auxílio de uma balança (A. Cortel, Physics Teacher 7, 447 (1999)).

Leia mais

18 a QUESTÃO Valor: 0,25

18 a QUESTÃO Valor: 0,25 6 a A 0 a QUESTÃO FÍSICA 8 a QUESTÃO Valor: 0,25 6 a QUESTÃO Valor: 0,25 Entre as grandezas abaixo, a única conservada nas colisões elásticas, mas não nas inelásticas é o(a): 2Ω 2 V 8Ω 8Ω 2 Ω S R 0 V energia

Leia mais

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =

IBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = = Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo

Leia mais

Cap. 6 - Campo Magnético e Força Magnética

Cap. 6 - Campo Magnético e Força Magnética Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 6 - Campo Magnético e Força Magnética Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, estudaremos as forças que agem em cargas elétricas

Leia mais

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga POTENCIAL ELÉTRICO A lei de Newton da Gravitação e a lei de Coulomb da eletrostática são matematicamente idênticas, então os aspectos gerais discutidos para a força gravitacional podem ser aplicadas para

Leia mais

PRÉ-VESTIBULAR Física

PRÉ-VESTIBULAR Física PRÉ VESTIBULAR Física / / PRÉ-VESTIBULAR Aluno: Nº: Turma: Exercícios Fenômenos Lista de sites com animações (Java, em sua maioria) que auxiliam a visualização de alguns fenômenos: Reflexão e refração:

Leia mais

ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: Ondas Eletromagnéticas

ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: Ondas Eletromagnéticas Professor: Edney Melo ALUNO(A): Nº TURMA: TURNO: DATA: / / COLÉGIO: 1. INTRODUÇÃO Ondas Eletromagnéticas Embora não estejamos sempre cientes de sua presença, as ondas eletromagnéticas permeiam nosso ambiente.

Leia mais

Ondas II F-228 UNICAMP

Ondas II F-228 UNICAMP Ondas II F-228 UNICAMP http://thenonist.com/index.php/thenonist/permalink/stick_charts/ Superposição de ondas Resumo de ondas mecânicas Superposição de ondas Exemplos Representação matemática Interferência

Leia mais

c) A corrente induzida na bobina imediatamente após a chave S ser fechada terá o mesmo sentido da corrente no circuito? Justifique sua resposta.

c) A corrente induzida na bobina imediatamente após a chave S ser fechada terá o mesmo sentido da corrente no circuito? Justifique sua resposta. Questão 1 Um estudante de física, com o intuito de testar algumas teorias sobre circuitos e indução eletromagnética, montou o circuito elétrico indicado na figura ao lado. O circuito é composto de quatro

Leia mais

Capacitância. 4.1 Capacitores e Capacitância. 4.1.1 Capacitor de Placas Paralelas

Capacitância. 4.1 Capacitores e Capacitância. 4.1.1 Capacitor de Placas Paralelas Capítulo 4 Capacitância 4.1 Capacitores e Capacitância O capacitor é um aparelho eletrônico usado para armazenar energia elétrica. Consiste de dois condutores com um isolante entre eles. Os condutores

Leia mais

CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS

CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS Considerando a interdependência das várias áreas de conhecimento dentro da Física, julgue os itens a seguir. 61 A temperatura de um cubo de gelo a 0 ºC, ao ser colocado em um

Leia mais

a) I b) II c) III d) IV e) V

a) I b) II c) III d) IV e) V 1. (Cesgranrio 1991) Sobre uma lente semiesférica de vidro incide um raio de luz, cuja direção é paralela ao eixo óptico da lente. Qual dos raios (I, II, III, IV ou V) indicados na figura a seguir que

Leia mais

Aula de Véspera - Inv-2008

Aula de Véspera - Inv-2008 01. Um projétil foi lançado no vácuo formando um ângulo θ com a horizontal, conforme figura abaixo. Com base nesta figura, analise as afirmações abaixo: (001) Para ângulos complementares teremos o mesmo

Leia mais

Física IV. Interferência

Física IV. Interferência Física IV Interferência Sears capítulo 35 Prof. Nelson Luiz Reyes Marques Interferência Arco-íris = Bolha de sabão refração interferência Princípio da superposição Quando duas ou mais ondas se superpõem,

Leia mais

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor 1 a QUESTÃO: (,0 pontos) Avaliador evisor Vários fenômenos físicos podem ser explicados pela propagação retilínea da luz em meios homogêneos. Essa hipótese é conhecida como o modelo do raio luminoso da

Leia mais

TE053-Ondas Eletromagnéticas ONDAS GUIADAS PROF. CÉSAR AUGUSTO DARTORA - UFPR E-MAIL: CADARTORA@ELETRICA.UFPR.BR CURITIBA-PR

TE053-Ondas Eletromagnéticas ONDAS GUIADAS PROF. CÉSAR AUGUSTO DARTORA - UFPR E-MAIL: CADARTORA@ELETRICA.UFPR.BR CURITIBA-PR TE053-Ondas Eletromagnéticas ONDAS GUIADAS PROF. CÉSAR AUGUSTO DARTORA - UFPR E-MAIL: CADARTORA@ELETRICA.UFPR.BR CURITIBA-PR Roteiro da Aula: Conceitos Fundamentais sobre Guias de Ondas e Linhas de Transmissão

Leia mais

CQ049 : FQ IV - Eletroquímica. CQ049 FQ Eletroquímica. prof. Dr. Marcio Vidotti LEAP Laboratório de Eletroquímica e Polímeros mvidotti@ufpr.

CQ049 : FQ IV - Eletroquímica. CQ049 FQ Eletroquímica. prof. Dr. Marcio Vidotti LEAP Laboratório de Eletroquímica e Polímeros mvidotti@ufpr. CQ049 FQ Eletroquímica prof. Dr. Marcio Vidotti LEAP Laboratório de Eletroquímica e Polímeros mvidotti@ufpr.br 1 a estrutura I-S (água) ion central moléculas de água orientadas interações ion - dipolo

Leia mais

Biofísica Bacharelado em Biologia

Biofísica Bacharelado em Biologia Biofísica Bacharelado em Biologia Prof. Dr. Sergio Pilling PARTE A Capítulo 4 Luz como uma onda, refração, polarização, difracão e interferência. Formação de imagens e instrumentos óticos. Objetivos: Nesta

Leia mais

UFMG - 2003 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UFMG - 2003 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UFMG - 2003 2º DIA FÍSICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Física Questão 01 Durante uma brincadeira, Rafael utiliza o dispositivo mostrado nesta figura para lançar uma bolinha horizontalmente. Nesse

Leia mais

c = c = c =4,20 kj kg 1 o C 1

c = c = c =4,20 kj kg 1 o C 1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO TESTE INTERMÉDIO - 2014 (VERSÃO 1) GRUPO I 1. H vap (H 2O) = 420 4 H vap (H 2O) = 1,69 10 3 H vap (H 2O) = 1,7 10 3 kj kg 1 Tendo em consideração a informação dada no texto o calor

Leia mais

Problemas de eletricidade

Problemas de eletricidade Problemas de eletricidade 1 - Um corpo condutor está eletrizado positivamente. Podemos afirmar que: a) o número de elétrons é igual ao número de prótons. b) o número de elétrons é maior que o número de

Leia mais

Introdução à Eletricidade e Lei de Coulomb

Introdução à Eletricidade e Lei de Coulomb Introdução à Eletricidade e Lei de Coulomb Introdução à Eletricidade Eletricidade é uma palavra derivada do grego élektron, que significa âmbar. Resina vegetal fossilizada Ao ser atritado com um pedaço

Leia mais

29/Abril/2015 Aula 17

29/Abril/2015 Aula 17 4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda

Leia mais

Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014

Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014 Resolução Comentada CEFET/MG - 2 semestre 2014 01 - A figura mostra um sistema massa-mola que pode oscilar livremente, sem atrito, sobre a superfície horizontal e com resistência do ar desprezível. Nesse

Leia mais

Aula de Véspera - Inv-2009 Professor Leonardo

Aula de Véspera - Inv-2009 Professor Leonardo 01. Dois astronautas, A e B, encontram-se livres na parte externa de uma estação espacial, sendo desprezíveis as forças de atração gravitacional sobre eles. Os astronautas com seus trajes espaciais têm

Leia mais

Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação)

Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação) Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação) O Pêndulo Físico O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de um corpo rígido (com qualquer forma) suspenso por um ponto O e que

Leia mais

Independentemente do formato destes condutores, os chamamos de placas.

Independentemente do formato destes condutores, os chamamos de placas. Após a introdução dos conceitos básicos de Força Eletrostática, Campo Elétrico e Potencial Elétrico, damos início ao estudo das aplicações elétricas e eletrônicas, começando com as mais simples. Qualquer

Leia mais

Redes de Computadores sem Fio

Redes de Computadores sem Fio Redes de Computadores sem Fio Prof. Marcelo Gonçalves Rubinstein Programa de Pós-Graduação em Engenharia Eletrônica Faculdade de Engenharia Universidade do Estado do Rio de Janeiro Programa Introdução

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 21

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 21 Aula 1 Ondas sonoras harmônicas Na aula passada deduzimos a equação de onda para ondas sonoras propagando-se em uma dimensão. Vimos que ela pode ser escrita em termos de três variáveis medidas em relação

Leia mais

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Física 0 Duas partículas A e, de massa m, executam movimentos circulares uniormes sobre o plano x (x e representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por xa ( t ) = a+acos ( ωt ), ( t )

Leia mais

Camada Física. Bruno Silvério Costa

Camada Física. Bruno Silvério Costa Camada Física Bruno Silvério Costa Sinais Limitados por Largura de Banda (a) Um sinal digital e suas principais frequências de harmônicas. (b) (c) Sucessivas aproximações do sinal original. Sinais Limitados

Leia mais

Problemas de Mecânica e Ondas 11

Problemas de Mecânica e Ondas 11 Problemas de Mecânica e Ondas 11 P. 11.1 ( Exercícios de Física, A. Noronha, P. Brogueira) Dois carros com igual massa movem-se sem atrito sobre uma mesa horizontal (ver figura). Estão ligados por uma

Leia mais

são aplicadas num objeto cuja massa é 8,0 kg, sendo F» 1 mais intensa que F» 2

são aplicadas num objeto cuja massa é 8,0 kg, sendo F» 1 mais intensa que F» 2 Física Unidade Movimentos na Terra e no spaço QUSTÕS PROPOSTS 4. Duas forças F» e F» 2 são aplicadas num objeto cuja massa é 8,0 kg, sendo F» mais intensa que F» 2. s forças podem atuar na mesma direção

Leia mais

Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios IV CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios IV CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Eletricidade e Magnetismo - Lista de Exercícios IV CEFET-BA / UE - VITÓRIA DA CONQUISTA COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Campo Magnético (Fundamentos de Física Vol.3 Halliday, Resnick e Walker, Cap.

Leia mais

NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 5 PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA Primeira Edição junho de 2005 CAPÍTULO 5 PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA ÍNDICE 5.1- Postulados

Leia mais

Linhas de Transmissão

Linhas de Transmissão Linhas de Transmissão 1. Objetivo Medir a capacitância, indutância e a impedância num cabo coaxial. Observar a propagação e reflexão de pulsos em cabos coaxiais. 2. Introdução Uma linha de transmissão

Leia mais

Efeito estufa: como acontece, por que acontece e como influencia o clima do nosso planeta

Efeito estufa: como acontece, por que acontece e como influencia o clima do nosso planeta XXII Encontro Sergipano de Física Efeito estufa: como acontece, por que acontece e como influencia o clima do nosso planeta Prof. Dr. Milan Lalic Departamento de Física Universidade Federal de Sergipe

Leia mais

Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. Lei de Gauss Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que

Leia mais

04. Com base na lei da ação e reação e considerando uma colisão entre dois corpos A e B, de massas m A. , sendo m A. e m B. < m B.

04. Com base na lei da ação e reação e considerando uma colisão entre dois corpos A e B, de massas m A. , sendo m A. e m B. < m B. 04. Com base na lei da ação e reação e considerando uma colisão entre dois corpos A e B, de massas m A e m B, sendo m A < m B, afirma-se que 01. Um patrulheiro, viajando em um carro dotado de radar a uma

Leia mais

Prof. Rogério Porto. Assunto: Eletrostática

Prof. Rogério Porto. Assunto: Eletrostática Questões COVEST Física Elétrica Prof. Rogério Porto Assunto: Eletrostática 1. Duas esferas condutoras A e B possuem a mesma carga Q. Uma terceira esfera C, inicialmente descarregada e idêntica às esferas

Leia mais

Resolução O período de oscilação do sistema proposto é dado por: m T = 2π k Sendo m = 250 g = 0,25 kg e k = 100 N/m, vem:

Resolução O período de oscilação do sistema proposto é dado por: m T = 2π k Sendo m = 250 g = 0,25 kg e k = 100 N/m, vem: 46 c FÍSICA Um corpo de 250 g de massa encontra-se em equilíbrio, preso a uma mola helicoidal de massa desprezível e constante elástica k igual a 100 N/m, como mostra a figura abaixo. O atrito entre as

Leia mais

Circuitos CA I. 1 Resumo da aula anterior. Aula 6. 5 de abril de 2011

Circuitos CA I. 1 Resumo da aula anterior. Aula 6. 5 de abril de 2011 Circuitos CA I Aula 6 5 de abril de 20 Resumo da aula anterior Estudamos a teoria formulada por Lammor que permite explicar a existência de diamagnetismo em algumas substancia. Basicamente a teoria supõe

Leia mais

Figura 2.1: Carro-mola

Figura 2.1: Carro-mola Capítulo 2 EDO de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 2.1 Introdução - O Problema Carro-Mola Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Colocase o carro

Leia mais

COMUNICAÇÕES A LONGAS DISTÂNCIAS

COMUNICAÇÕES A LONGAS DISTÂNCIAS Física 11º Ano COMUNICAÇÕES A LONGAS DISTÂNCIAS MARÍLIA PERES TRANSMISSÃO DE INFORMAÇÃO Produziu p pela p primeira vez ondas eletromagnéticas em laboratório (1887) utilizando um circuito para produzir

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO ONDAS 2004 / 05. Exercícios teórico-práticos FILIPE SANTOS MOREIRA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO ONDAS 2004 / 05. Exercícios teórico-práticos FILIPE SANTOS MOREIRA INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO ONDAS 004 / 05 Eercícios teórico-práticos FILIPE SANTOS MOREIRA Ondas (EE) Eercícios TP Índice ÍNDICE I DERIVADAS E INTEGRAIS

Leia mais

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente:

Ivan Guilhon Mitoso Rocha. As grandezas fundamentais que serão adotadas por nós daqui em frente: Rumo ao ITA Física Análise Dimensional Ivan Guilhon Mitoso Rocha A análise dimensional é um assunto básico que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito a suas unidades de medida. Como as grandezas

Leia mais

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL EZEQUIEL F. LIMA ATERRAMENTO E BLINDAGEM

GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL EZEQUIEL F. LIMA ATERRAMENTO E BLINDAGEM GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL EZEQUIEL F. LIMA ATERRAMENTO E BLINDAGEM Os sistemas de cabeamento estruturado foram desenvolvidos

Leia mais

Teste de Avaliação 3 A - 06/02/2013

Teste de Avaliação 3 A - 06/02/2013 E s c o l a S e c u n d á r i a d e A l c á c e r d o S a l Ano letivo 201 2/2013 Física e Química A Bloco II (11ºano) Teste de Avaliação 3 A - 06/02/2013 1. Suponha que um balão de observação está em

Leia mais

Física FUVEST ETAPA. ε = 26 cm, e são de um mesmo material, Resposta QUESTÃO 1 QUESTÃO 2. c) Da definição de potência, vem:

Física FUVEST ETAPA. ε = 26 cm, e são de um mesmo material, Resposta QUESTÃO 1 QUESTÃO 2. c) Da definição de potência, vem: Física QUESTÃO 1 Um contêiner com equipamentos científicos é mantido em uma estação de pesquisa na Antártida. Ele é feito com material de boa isolação térmica e é possível, com um pequeno aquecedor elétrico,

Leia mais