Eletromagnetismo II Capítulo III Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte

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1 Eletromagnetismo II Capítulo III Ondas Eletromagnéticas - Segunda Parte Prof. Dr. Ricardo L. Viana Departamento de Física Universidade Federal do Paraná Curitiba - PR 15 de setembro de Introdução Neste capítulo daremos sequência ao estudo de ondas eletromagnéticas iniciado no capítulo anterior, abordando essencialmente dois assuntos: (a ondas guiadas (guias de onda, linhas de transmissão e cavidades ressonantes e (b introdução à teoria da dispersão ótica nos materiais, na qual estudaremos um modelo microscópico clássico para a interação entre elétrons e ondas eletromagnéticas. 2 Reflexão em uma superfície condutora Vamos inicialmente recordar as condições de contorno que envolvem a superfície de separação entre um dielétrico (que pode ser o vácuo (meio 1 e um condutor ideal (meio 2, que vimos no Capítulo I do curso. Como o campo elétrico (e, consequentemente, o deslocamento elétrico é nulo no interior de um condutor, na superfície condutora temos que D 1n = σ S, onde σ S é a densidade de carga na superfície do condutor. Logo E 2n = 0 E 1n = σ S ε 1, (1 onde ε 1 = K 1 ε 0 é a permissividade do dielétrico. Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo elétrico, como E 2t = 0, então para a interface vale E 1t = 0, (2 Dentro do condutor também não há campo magnético, de modo que as condições de contorno para o campo magnético serão: B 1n = B 2n = 0, (3 H 1t = H 2t = 0. (4 1

2 3 Guias de onda Figura 1: Guias de onda. Guias de onda são tubos ocos de paredes metálicas e de seção reta uniforme, utilizados para transportar ondas eletromagnéticas de alta frequência (usualmente na faixa de radio-frequência e micro-ondas. Num forno de micro-ondas, por exemplo, eles são usados para transportar as micro-ondas desde a válvula onde são gerados ( klystron até a câmara de cozimento. Há diversos tipos de guias de onda, sendo os mais comuns os retangulares e cilíndricos, usados em sistemas de telecomunicações, radar, etc. [Fig. 1]. Devido às paredes condutoras que envolvem os campos elétrico e magnético da onda, os guias de onda apresentam um nível baixo de perdas de energia. Outro tipo de guias de onda bastante empregados em ótica são fibras óticas, ou guias de onda dielétricos. O estudo completo de guias de onda é um assunto bastante extenso, inclusive pelas implicações tecnológicas, e portanto foge ao escopo de nosso curso. Vamos estudar os fundamentos da propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda, mas sem entrar em detalhes de projeto. 3.1 Equações básicas Vamos considerar um guia de onda retilíneo ao longo da direção z e com uma seção reta arbitrária formada por paredes metálicas que supomos serem condutores ideais (condutividade infinita, assim desprezando a existência do efeito pelicular (penetração dos campos no condutor. Frequentemente o interior dos guias de onda feitos de aço é revestido por uma fina camada de prata, que tem uma grande condutividade elétrica. Assim podemos supor que os campos elétrico e magnético sejam nulos no interior das paredes condutoras. As condições de contorno apropriadas a esta situação, na posição das paredes condutoras são (2 e (4, a saber: E = 0, B = 0 (5 onde os índices e significam paralelo à parede e perpendicular à parede, respectivamente. As direções perpendiculares são x e y, de modo que a especi- 2

3 ficação das condições de contorno depende da forma da seção reta do guia de onda, o que será visto na próxima subseção. Recordando, aqui, as equações de Maxwell no vácuo e na ausência de fontes (cargas e/ou correntes: E = 0, (6 B = 0, (7 E = B t, (8 B = 1 E c 2 t. (9 Como supomos a propagação ao longo do eixo z positivo, temos soluções na forma de ondas planas E(r,t = E 0 (x,ye i(kz ωt, (10 B(r,t = B 0 (x,ye i(kz ωt (11 de maneira que podemos fazer as seguintes associações: t iω, ik. (12 z É importante observar que ondas eletromagnéticas confinadas num guia de onda não são, em geral, transversais (como ondas no espaço livre. Logo temos de incluir componentes longitudinais para ambos os campos: E 0 (x,y = E xˆx+e y ŷ+e z ẑ (13 B 0 (x,y = B xˆx+b y ŷ+b z ẑ. (14 Levando este fato em conta, e aplicando (12 na Lei de Faraday (8, obtemos as seguintes equações em componentes: E z y ike y = iωb x, (15 ike x E z x E y x E x y = iωb y, (16 = iωb z, (17 Procedendo da mesma forma com a Lei de Ampère-Maxwell (9 obtemos B z y ikb y ikb x B z x B y x B x y = iω c 2E x, (18 = iω c 2E y, (19 = iω c 2E z, (20 Resolvendo o sistema de equações (15, (16, (18 e (19 resultam as componentes transversais (perpendiculares a z dos campos elétrico e magnético como 3

4 funções das componentes longitudinais (paralelas a z: ( i E x = (ω/c 2 k E z k 2 x +ω B z y ( i E y = k E z B x = B y = (ω/c 2 k 2 i (ω/c 2 k 2 i (ω/c 2 k 2 y ω B z x ( k B z x ω E z c 2 y ( k B z y + ω E z c 2 x, (21, (22, (23, (24 de modo que basta acharmos as componentes E z e B z para que as demais sejam conhecidas em função das suas derivadas pelas equações acima. Para encontrarmos a equação a ser satisfeita por E z usamos a lei de Gauss elétrica (6: E x x + E y y + E z z = 0 (25 Substituindo (21 e (22 e dividindo tudo por ik temos a seguinte equação diferencial 2 [ E z x E (ω 2 z y 2 + k 2] E z = 0. (26 c Analogamente, a componente B z é obtida usando usamos a lei de Gauss magnética (7: B x x + B y y + B z z = 0 (27 que, usando (23 e (24 resulta em 2 B z x B z y 2 + [ (ω Há dois tipos de solução para as equações (26-(28: c 2 k 2] B z = 0. (28 1. Ondas TE (transversais elétricas: para as quais E z = 0; 2. Ondas TM (transversais magnéticas: para as quais B z = 0; Se E z = 0 e B z = 0 a onda é chamada TEM (transversal eletromagnética, como uma onda eletromagnética no vácuo. No entanto, para um guia de onda oco não pode haver ondas TEM: de (21-24, se E z = B z = 0 temos que as demais componentes dos campos elétrico e magnético seriam nulas, ou seja, não haveria onda neste caso. 3.2 Guia de onda retangular Um dos guias de onda mais utilizado na prática tem seção reta retangular, suas paredes internas tendo altura a e largura b [Fig. 2]. Vamos trabalhar nesta subseção apenas com a onda TE, donde E z = 0 de forma que temos de resolver 4

5 Figura 2: Guia de onda retangular. apenas a equação (28 para B z. A condição de contorno (5 a ser usada neste caso é B = 0 nas paredes do guia: B x (x = 0,y = B x (x = a,y = 0, (29 B y (x,y = 0 = B y (x,y = b = 0. (30 Vamos resolver (28 por separação de variáveis: B z (x,y = X(xY(y (31 de maneira que obtemos, após dividir por XY: 1 d 2 X } X {{ dx d 2 [ Y (ω 2 } Y dy } {{ 2 + k 2] = 0, c } = kx 2 = ky 2 onde k 2 x e k2 y são constantes de separação, satisfazendo k 2 x k2 y + ( ω c 2 k 2 = 0. (32 As equações 1 d 2 X X dx 2 = k2 x, são facilmente resolvidas, fornecendo 1 Y d 2 Y dy 2 = k2 y X(x = A 1 sink x x+a 2 cosk x x, (33 Y(y = C 1 sink y y +C 2 cosk y y, (34 cujas derivadas são X (x = A 1 k x cosk x x A 2 k x sink x x, (35 Y (y = C 1 k y cosk y y C 2 k y sink y y. (36 5

6 De (23 B x é proporcional a x B z, ou seja, a condição de contorno (89 aplica-se à derivada da função X: X (0 = X (a = 0. Como X (0 = A 1 k x resulta que A 1 = 0, e portanto X (a = A 2 k x sink x a = 0 que é satisfeita se k x a = mπ, onde m é um inteiro não-negativo, ou seja k x = mπ, (m = 0,1,2,... (37 a De (24 B y é proporcional a y B z, ou seja, a condição de contorno (90 aplica-se à derivada da função Y: Y (0 = Y (a = 0. Como Y (0 = C 1 k y resulta que C 1 = 0, e portanto Y (b = C 2 k y sink y b = 0 que é satisfeita se k y b = nπ, onde n é um inteiro não-negativo, ou seja k y = nπ b, (n = 0,1,2,... (38 Substituindo (37 e (38 em (31 e fazendo A 2 C 2 B 0 temos as soluções B z (x,y = B 0 cos ( mπx ( nπy cos, (39 a b as quais denominaremos modos TE mn, pois são as únicas soluções compatíveis com as condições de contorno adotadas ( autofunções. O número de onda para estes modos é dado por (32: onde usamos, ainda, (37 e (38. (ω [ 2 (m 2 ( k = π 2 n + c a b 2 ], ( Frequência de corte dos modos TE mn Vamos definir a frequência característica do modo TE mn : ω mn = cπ de modo que (40 se escreva (m a 2 + ( n b 2, (41 k = 1 c ω2 ω 2 mn. (42 6

7 Se ω < ω mn o radicando é negativo, ou seja, o número de onda é um imaginário puro. Neste caso, como sabemos, a onda não se propaga. Como apenas as ondas com frequências maiores do que ω mn podem se propagar, chamamos ω mn de frequência de corte para o modo TE mn. Nas aplicações de guias de onda é mais conveniente trabalhar com a frequência ν mn = ω mn 2π = c (m 2 ( n 2, + (43 2 a b Em guias de onda retangularesnãoexiste o modo TE com m = 0 e n = 0: de (39 teríamos B z = B 0, que é uma constante. Como E z = 0 para os modos TE, as equações (21-24 implicam que as demais componentes dos campos elétrico e magnético seriam nulas. Portanto, o modo com frequência de corte mais baixa é TE 10, com m = 1 e n = 0 (também chamado de modo dominante do guia de ondas: ν 10 = c 2a. (44 Guias de onda retangulares são bastante utilizados para a transmissão de microondas. Costuma-se escolher as dimensões do guia de onda de forma que apenas o modo TE 10 propague-se na frequência desejada (acima da frequência de corte f 10 para esse modo. Por exemplo, se a = 2,28cm e b = a/2 = 1,14cm, a frequência de corte do modo dominante é ν 10 = 6,58GHz, correspondendo ao comprimento de onda de corte λ 10 = c ν 10 = 4,57cm, de modo que ondas com λ > λ 10 não se propagam. Considerando a = 2b, como neste caso, as frequências de corte podem ser escritas em função da frequência do modo dominante: ν mn = ν 10 m2 +4n 2, (45 tal que os modoste comfrequênciade cortemais próximosaomodo dominante são TE 01, TE 11 e TE 20, com ν 01 = ν 20 = 2ν 10 = 13,2GHz, ν 11 = 5ν 10 = 14,7GHz, correspondendo aos seguintes comprimentos de onda de corte: λ 01 = λ 20 = λ 10 2 = 2,28cm, λ 11 = λ 10 5 = 2,04cm. (46 Para que seja propagado apenas o modo TE 10 neste tipo de guia de onda o comprimentode ondadevesermenordoqueλ 10, porémmaiordoqueλ 11 = λ 20, para que estes (e outros modos não se propaguem, o que deixa uma faixa 2,28cm < λ < 4,57cm. No entanto, imperfeições na fabricação dos guias de onda bem como perdas de energia próximo ao comprimento de onda de corte 7

8 Figura 3: Campo elétrico em modos TE m0. do modo TE 10 fazem com que a banda comercial seja menor do que esta, algo como 2,42cm < λ < 4,35cm. Os modos TM têm frequências de corte também dadas por (43, mas neste caso os inteiros são m = 1,2,... e n = 1,2,... (ver exercício. 3.4 Propagação dos modos TE mn Os modos TE mn são tais que E z = 0 mas B z não é nulo, e é dado por (39: ( mπx ( nπy B z (x,y = B 0 cos cos, (47 a b As componentes transversais do campo elétrico são dadas por (21 e (22 como E x E y = iω B 0 nπ ( mπx ( nπy cos sin, (48 Ω b a b = iω B 0 mπ ( mπx ( nπy sin cos, (49 Ω a a b ao passo que as componentes transversais do campo magnético são dadas por (23 e (24 como onde definimos B x B y = ik B 0 mπ ( mπx ( nπy sin cos, (50 Ω a a b = ik B 0 nπ ( mπx ( nπy cos sin. (51 Ω b a b ( ω 2 Ω = k 2. (52 c Considerando, por exemplo, o caso n = 0, teremos que os modos TE m0 tem 8

9 campos E x = 0, (53 E y = iω B 0 mπ ( mπx sin Ω a a B x = ik B 0 mπ ( mπx sin, (54 Ω a a B y = 0. O campo elétrico para estes modos tem nós nas paredes da cavidade ao longo da direção x, e tem m 1 nós intermediários, como vemos na Fig. 3, onde representamos esquematicamente os modos TE 10, TE 20 e TE 30. As linhas de campo elétrico e magnético estão esquematizadas na Fig. 4 para os modos TE 10, TE 20, TE 11 e TE 21. Para os modos TE as linhas de campo elétrico estão no plano perpendicular ao eixo z. Já as linhas de campo magnético são sempre fechadas e estão em planos perpendiculares ao plano xy. Neste caso, as projeções das linhas de campo no plano xy são segmentos horizontais, o que também pode ser visto na Fig Velocidades de fase e de grupo A velocidade de fase das ondas correspondendo aos modos TE mn é dada por v = ω k = c 1 ( ω mn, (55 2 ω onde usamos (42. Como apenas as ondas com ω > ω mn propagam-se ao longo do guia, então resulta que v > c: a velocidade de fase das ondas é superior à velocidade da luz no vácuo! Apesar do aparente desacordo com a teoria especial da relatividade (que proibe a propagação de qualquer sinal com velocidade maior que c, este resultado está correto. Na verdade, uma onda infinitamente extensa (como sempre temos presumido não é propriamente um sinal pois não carrega qualquer informação. Para que isto ocorra é necessário que a onda tenha uma extensão espacial, em outras palavras, que ela seja um pacote de ondas. Um pacote de ondas é uma superposição de ondas de frequências ligeiramente diferentes, o que provoca sua concentração em uma região espacial limitada, o que permite codificar informações (através de uma modulação de amplitude ou frequência, por exemplo. Para ilustrar esta idéia vamos considerar a superposição de duas ondas de frequências ligeiramente diferentes ω+ ω e ω ω, onde ω ω, e números de onda também ligeiramente diferentes: k + k e k k, com k k [3]: E 1 (x,t = E 0 cos[(k + kx (ω + ωt], (56 E 2 (x,t = E 0 cos[(k kx (ω ωt], (57 Usando as seguintes abreviações: α = kx ωt, β = ( kx ( ωt, (58 9

10 Figura 4: Campos elétrico e magnético em alguns modos TE e TM para um guia de onda retangular. 10

11 Figura 5: Variação espacial do campo elétrico de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes a superposição destes dois campos será E 1 +E 2 = E 0 cos(α+β+e 0 cos(α β, = 2E 0 cosαcosβ, = 2E 0 cos[( kx ( ωt]cos(kx ωt, (59 e que é uma onda cuja amplitude é modulada: o envelope da onda é dado pelo fator cos[( kx ( ωt] [Fig. 5]. É justamente o envelope dessa onda que carrega informação, e viaja à velocidade ω/ k. Fazendo o limite ω 0 a razão tende para a derivada de ω em relação a k, que chamamos velocidade de grupo da onda: v g = dω (60 dk Como v g é a velocidade de propagação de uma informação, a relatividade especial prevê que v g c. Se a frequência não depende de k a velocidade de grupo é zero, e a onda é chamada não-dispersiva. Já quando ω depende de k a onda é chamada dispersiva, e a relação ω = ω(k é chamada relação de dispersão da onda. Para as ondas do modo TE mn a relação de dispersão é dada por (42, ou ainda ω(k = c 2 k 2 +ω 2 mn. (61 Num pacote de ondas formado pela superposição de várias ondas com diferentes frequências, cada uma delas propaga-se com uma velocidade diferente. Como resultado, um pacote de ondas dispersivas sofre uma alteração no seu formato com o passar do tempo. Para os modos TE mn a velocidade de grupo é dada por ( ωmn 2 v g = c 1 < c (62 ω já que ω > ω mn, portanto de acordo com a relatividade. Finalmente, decorre de (55 e (60 a seguinte relação entre as velocidades de fase e de grupo vv g = c 2. (63 11

12 Figura 6: Cavidade ressonante num laser. 4 Cavidades ressonantes São guias de onda fechadas em ambas as extremidades por paredes também condutoras, de modo que há padrões do tipo ondas estacionáriasem todas as dimensões. Cavidades ressonantes são usadas para armazenar energia nos campos eletromagnéticos em seu interior, particularmente em frequências altas (como microondas. Na física básica aprendemos que um circuito LC também é capaz de armazenar energia no campo elétrico do capacitor e no campo magnético do indutor, para baixas frequências ω = 1/ LC. No entanto, cavidades ressonantes são melhores que circuitos LC por vários aspectos. Primeiramente é impossível construir circuitos LC com frequências na faixa dos GHz (micro-ondas. Segundo as cavidades ressonantes apresentam uma dissipação por ciclo de oscilação que é cerca de 1/20 da dissipação que ocorre num circuito LC devido a perdas ôhmicas, etc. Além disso, cavidades ressonantes são usadas para gerar e filtrar ondas em equipamentos de radar, fornos de micro-ondas e aceleradores de partículas. Na ótica cavidades ressonantes são usadas no laser, no qual a radiação produzida é intensificada pelas sucessivas reflexões nas paredes [Fig. 6]. 4.1 Paralelepípedo Vamos considerar um paralelepípedo de arestas a, b e d e paredes metálicas que supomos condutores ideais [Fig. 7]. Assim como no caso de guias de onda, vamos limitar nossa análise aos modos T E. Isso significa que impomos como condições de contorno E t = 0 e B n = 0 nas paredes. Cada componente do campo elétrico no interior do paralelepípedo satisfaz a equação de onda, como E x (r,t: 2 E x x E x y E x z E x c 2 t 2 = 0. (64 Supondo que E x (r,t = E x (x,y,ze iωt obtemos a equação de Helmholtz 2 E x x E x y E x z 2 + ω2 c 2 E x = 0. (65 Resolveremos por separação de variáveis E x (x,y,z = X(xY(yZ(z 12

13 Figura 7: Cavidade ressonante na forma de um paralelepípedo. que, substituida em (65 e dividindo-se por XY Z, resulta 1 d 2 X X dx Y d 2 Y dy } {{ 2 } = ky Z d 2 Z dz 2 } {{ } = k 2 z ( ω 2 + = 0, c onde ky 2 e k2 z são constantes de separação. As equações 1 d 2 Y Y dy 2 = 1 d 2 Z k2 y, Z dz 2 = k2 z têm soluções na forma Y(y = A 1 sink y y +A 2 cosk y y, (66 Z(z = C 1 sink z z +C 2 cosk z z. (67 Nas paredes y = 0 e y = b o campo elétrico transversal é E x ou E z, o que implica nas condições de contorno E x (x,y = 0,z = E x (x,y = b,z = 0 ou seja Y(0 = 0 e Y(b = 0, de modo que A 2 = 0 e k y = mπ/b, onde m = 0,1,2,... Analogamente, nas paredes z = 0 e z = d o campo elétrico transversal é E x ou E y, o que implica nas condições de contorno E x (x,y,z = 0 = E x (x,y,z = d = 0 ou seja Z(0 = 0 e Z(d = 0, de modo que C 2 = 0 e k z = nπ/b, onde n = 0,1,2,... Escrevendo E 1 A 1 C 1 E x (x,y,z = E 1 X(xsink y ysink z z. (68 Repetimos o processo para outra componente, como E y, fazendo separação de variáveis e aplicando as condições de contorno adequadas, que são E y (x = 0,y,z = E y (x = a,y,z = 0, 13

14 o que leva a k x = lπ/a, com l = 0,1,2,... e a seguinte expressão e analogamente para a última componente E y (x,y,z = E 2 sink x xy(ysink z z. (69 E z (x,y,z = E 3 sink x xsink y yz(z. (70 As funções X, Y e Z que aparecem nas componentes são determinadas a partir da lei de Gauss elétrica (6: que, usando (68-(70, fornecem E x x + E y y + E z z = 0 E 1 X (xsink y ysink z z +E 2 sink x xy (ysink z z +E 3 sink x xsink y yz (z = 0, e que é identicamente satisfeita se X (x = k x sink x x X(x = cosk x x, Y (y = k y sink y y Y(y = cosk y y, Z (z = k z sink z z Z(z = cosk z z. Colocando em evidência os fatores de seno obtemos a seguinte condição k x E 1 +k y E 2 +k z E 3 = k E = 0, (71 donde os vetores k e E são perpendiculares (por isso o modo é TE: transversal elétrico. 4.2 Frequências ressonantes da cavidade A componente E x é dada por (68 como E x (x,y,z = E 1 cosk x xsink y ysink z z. Substituindo na equação de Helmholtz (65 obtemos 2 E x x E x y E x z 2 + ω2 c 2 E x = 0 ( k 2x k 2y k 2z + ω2 E 1 cosk x xsink y ysink z z = 0 c 2 k 2 x k2 y k2 z + ω2 c 2 = 0. Substituindo as expressões para k x, k y e k z determinadas pelas condições de contorno temos a seguinte relação para as frequências de ressonância ω lmn da cavidade: l 2 π 2 a 2 + m2 π 2 b 2 + n2 π 2 d 2 ω2 lmn c 2 = 0, (72 14

15 Figura 8: Linha de transmissão coaxial. ou, ainda, em termos da frequência f = ω/2π: f lmn = c 2 l 2 a 2 + m2 b 2 + n2 d2. (73 Ao fixarmos duas dimensões da cavidade, como a = 2,28cm e b = a/2 = 1,01cm, a frequência de ressonância será uma função da dimensão d, que pode ser então ajustada à frequência que desejamos. Considerando, por exemplo, o modo l = 1, m = 0 e n = 2, a frequência ressonante será f 102 = 1, d Se desejamos uma frequência ressonante de 10GHz nesse modo, então d = 2, 5cm. 5 Linha de transmissão coaxial Vimos anteriormente que os únicos modos que propagam-se em guias de onda ocos são os TE (transversal elétrico e T M (transversal magnético. Os chamados modos TEM (transversal eletro-magnético, para os quais E z = B z = 0 (componentes longitudinais nulas não podem se propagar em guias de onda. No entanto, uma linha de transmissão (ou cabo coaxial permite os modos TEM, o que os faz serem bastante usados na transmissão de sinais de TV a cabo [Fig. 8]. Vamos considerar uma linha de transmissão coaxial é um fio reto longo (alinhado com o eixo z de raio r = a cercado por um revestimento condutor cilíndricoderaior = b > a. PartimosdasequaçõesdeMaxwellemcomponentes, dadas por (15-(20, para as quais os modos TEM com E z = B z = 0 implicam 15

16 em ike y = iωb x, (74 E y x E x y ike x = iωb y, (75 = 0, (76 ikb y = iω c 2E x, (77 ikb x = iω c 2E y, (78 B y x B x = 0. (79 y As equações (75 e (77 são simultaneamente satisfeitas se k = ω c, ou seja, as ondas propagam-se dentro do cabo (mais especificamente no espaço entre os dois condutores interno e externo à velocidade da luz e não são dispersivas, de modo que (75 ou (77 implicam em cb y = E x. (80 Analogamente, as equações (74 e (78 são satisfeitas se k = ω/c e Portanto cb x = E y. (81 E B = E x B x +E y B y +E z B } {{ z = cb } y B x cb x B y = 0 =0 ou seja, os campos elétrico e magnético são mutuamente perpendiculares dentro do cabo. As eqs. (76 e (79 podem ser reescritas vetorialmente como E = 0, (82 B = 0, (83 que são as leis de Faraday e de Ampère quando os campos não dependem do tempo. Adicionando as leis de Gauss elétrica e magnética E = E x x + E y y B = B x x + B y y = 0, (84 = 0, (85 temos que o conjunto de equações que descreve as amplitudes E x,y e B x,y dos modos TEM no interior do cabo coaxial de transmissão é o mesmo conjunto da eletrostática e da magnetostática (em duas dimensões! Conhecidas as componentes dos campos na direção perpendicular a z obtemos as amplitudes E 0 (x,y e B 0 (x,y tal que os modos TEM propagando-se na direção z são dados por E(x,y,z;t = E 0 (x,ye i(kz ωt, (86 B(x,y,z;t = B 0 (x,ye i(kz ωt. (87 16

17 Figura 9: Cabo coaxial. 5.1 Campos elétrico e magnético no cabo coaxial Um cabo coaxial consiste em dois condutores na forma de cilindros muito longos alinhadosàdireçãoz: uminterno,comraior = aeoutroexternocomraior = b, separados por um espaço vazio [Fig. 9]. O condutor interno é mantido a um potencial constante V, ao passo que o condutor externo é aterrado, ou seja, tem potencial nulo. De (82 podemos escrever o campo elétrico entre os dois condutores como E 0 = ϕ, onde ϕ(r é um potencial eletrostático. Substituindo em (84 segue que o potencial deve satisfazer a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas (r,θ,z: 2 ϕ(r,θ,z = 0 (88 com as seguintes condições de contorno ϕ(r = a = V, (89 ϕ(r = b = 0, (90 Pela simetria do problema o potencial(e o respectivo campo elétrico não podem depender das coordenadas θ ou z. O laplaciano em coordenadas cilíndricas é ( 1 r ϕ = 0 (91 r r r ou r ϕ r = C = const. que pode ser imediatamente integrada dando ϕ(r = Clnr +C 1, onde C 1 é uma segunda constante de integração. 17

18 Impondo as condições de contorno (89-(90 temos a seguinte solução para a região (a r b: ϕ(r = V ( r ln(a/b ln, (92 b a partir do que obtemos o campo elétrico radial onde definimos a quantidade: E 0 (r = ϕ rˆr = V ln(a/b ξ = ˆr = ξ (93 r rˆr, V ln(a/b. (94 Para encontrar o campo magnético no cabo coaxial imaginamos que há uma corrente I fluindo no condutor interno e uma corrente I no condutor externo (ou seja, em sentidos opostos. Devido à simetria cilíndrica do problema o campo magnético é dado imediatamente pela lei circuital de Ampère que, integrada numa superfície S aberta de raio r, fornece B ˆndA = B ds = B(2πr = µ 0 I, S onde C é um círculo C de raio r, donde C B 0 (r = µ 0I 2πrˆθ (95 é o campo magnético na direção angular. De fato, como havíamos mostrado anteriormente, os campos E e B são perpendiculares entre si, bem como à direção de propagação (por serem modos TEM. 5.2 Impedância do cabo coaxial Podemos encontrar uma relação entre os módulos dos campos E e B no interior do cabo cilíndrico a partir de alguns conceitos elementares de circuitos elétricos. Recordamos que a capacitância (por unidade de comprimento de um cabo coaxial com um espaço oco entre os condutores é dada por (exercício C = 2πε 0 ln(b/a, (96 e que a sua indutância por unidade de comprimento é L = µ ( 0 b 2π ln. (97 a A impedância característica do cabo é, portanto Z = L C = 1 ( µ0 b ln, (98 2π ε 0 a 18

19 onde Z 0 = é a impedância do espaço livre. Pela definição de impedância µ0 ε 0 377Ω (99 Z = V I (100 segue que a corrente no condutor interno é I = 2πV 1 Z 0 1 ln(b/a, (101 em função do seu potencial. Substituindo (101 em (95 o campo magnético é B 0 (r = V 1 ε0 µ 0 = ln(a/b rˆθ crˆθ ξ (102 em função da amplitude do campo elétrico correspondente (93. Substituindo em (86 e (87 resulta, em coordenadas cilíndricas ξ E 0 (r = (103 rˆr, B 0 (r = ξ crˆθ, (104 de modo que os modos TEM propagando-se no cabo coaxial têm os seguintes campos E(r,t = E 0 (re i(kz ωt = ξ r ei(kz ωtˆr, (105 B(r,t = B 0 (re i(kz ωt = ξ cr ei(kz ωtˆθ. (106 6 Interação das ondas eletromagnéticas com a matéria Vários aspectos da interação de ondas eletromagnéticas com a matéria podem ser explicados a partir de uma teoria microscópica clássica para os elétrons, que foi desenvolvida entre os séculos XIX e XX por vários físicos, principalmente H. Lorentz e P. Drude. Por esse motivo o modelo que vamos estudar é conhecido na literatura como modelo de Drude-Lorentz. Os elétrons neste modelo são tratados como osciladores harmônicos: são partículas clássicas de massa m = 9, kg e carga e = 1, C ligados a uma posição de equilíbrio por uma força restauradora Hookeana, ou seja, proporcional ao deslocamento x em relação ao equilíbrio x = 0. Podemos imaginarqueoelétronseja, então, umcorpodemassamligadoauma mola de constante elástica C, sujeito a uma força elástica restauradora F hooke = Cx. A frequência de oscilação desse sistema massa-mola é, como sabemos C ω 0 = m, (107 19

20 Figura 10: Sistema massa-mola com amortecimento e forçamento externo que chamaremos de frequência natural do elétron. Do ponto de vista da velha teoria quântica (modelo de Bohr, os elétrons circulam em torno do núcleo em órbitas circulares de raio r com velocidade constante v. Então podemos associar uma frequência angular Ω = v/r a esse movimento, e que podemos identificar com a frequência natural do elétron. Numa órbita circular de raio r a força coulombiana entre o elétron e o núcleo de carga Ze (onde Z é o número atômico é uma força centrípeta: 1 (Zee 4πε 0 r 2 = mv2 = mω 2 r, r donde a frequência natural do elétron é dada por ω 2 = 1 4πε 0 Ze 2 mr 3. (108 O campo elétrico de uma onda eletromagnética age sobre o elétron como uma força elétrica cujo módulo é F E = ee 0 e iωt, onde E 0 é a amplitude do campo elétrico da onda e ω é a sua frequência. É importante observar que apenas precisamos considerar a força elétrica, uma vez que a força magnética é (vide Capítulo I F B = v c F E, (109 tal que, se a partícula tem velocidades baixas (v c, a força magnética pode ser desprezada em comparação com a força elétrica. Há, ainda, a presença de uma força dissipativa, que aparece devido a vários fatores, entre eles a perda de energia que um elétron acelerado sofre por emissão de radiação, um assunto que veremos nos próximos capítulos em detalhe. Modelamos essa força dissipativa como se fosse um atrito viscoso, ou seja, uma força proporcional à velocidade do elétron F atrito = Gv = Gẋ, onde G é uma constante de amortecimento. No modelo de Drude-Lorentz, o elétron é representado por um sistema massa-mola com amortecimento e um forçamento externo periódico devido à onda eletromagnética. A equação de movimento do elétron é obtida inserindo 20

21 as diversas forças que atuam no elétron na segunda lei de Newton: mẍ = F hooke +F atrito +F onda = Cx Gẋ+eE 0 e iωt Usando (107 e definindo uma constante γ G/m, a equação de movimento para o elétron se escreve ẍ+γẋ+ω 2 0 x = ee 0 m e iωt. (110 7 Polarização e constante dielétrica complexas A equação (110 é linear, de modo que a resposta do oscilador a um forçamento externo com frequência ω será também uma oscilação de mesma frequência, de modo que podemos supor uma solução de (110 na seguinte forma x(t = x 0 e iωt, (111 de modo que ẋ = iωx e ẍ = ω 2 x. Substituindo em (110 e dividindo pelo fator exponencial temos que a amplitude de oscilação do elétron é dada por x 0 = ee 0 /m ω 2 0 ω2 iγω. (112 O deslocamento do elétron em relação à sua posição de equilíbrio origina um momento de dipolo induzido pelo campo elétrico da onda p(t = p 0 e iωt = ex(t = ex 0 e iωt (113 e que oscila com a sua frequência, com amplitude p 0 = ex 0 = e 2 E 0 /m ω 2 0 ω2 iγω (114 Vamos recordar, de Eletro I, que a polarização de um meio dielétrico é definida como o momento de dipolo total por unidade de volume, ou P = Np V = np, (115 onde n = N/V é o número de moléculas por unidade de volume. Substituindo (113 a polarização (complexa torna-se P = ne 2 /m ω0 2 E, (116 ω2 iγω onde, como de hábito, subentende-se que no final é tomada a parte real do resultado. De maneira geral, elétrons em posições diferentes dentro de uma molécula têm frequências naturais e coeficientes de amortecimento diferentes. Assim precisamos levar em conta a contribuição global de todos eles: supomos que haja 21

22 f j elétrons com frequências naturais ω 0j e coeficientes de amortecimento γ j em cada molécula. Então o número de elétrons da espécie j por unidade de volume é n j = nf j, onde n é o número de moléculas por unidade de volume. Somando sobre todas as espécies: P = ne2 m j f j E, ω0j 2 (117 ω2 iγ j ω onde, por definição, temos que f j = 1 (118 j conhecida como regra de soma, e f j são denominadas intensidades de oscilador. Comparando com a relação constitutiva entre a polarização e o campo elétrico P = ε 0 χ e E, (119 onde χ e é chamada susceptibilidade dielétrica do meio, a Eq. (117 prevê uma susceptibilidade complexa: χ e = ne2 mε 0 j f j ω0j 2 ω2 iγ j ω = ω2 P j onde definimos a chamada frequência de plasma f j ω 2 0j ω2 iγ j ω (120 ω 2 P = ne2 mε 0. (121 Uma relação constitutiva existe também entre o deslocamento elétrico e o campo elétrico: D = εe = ε 0 KE, (122 onde ε é a permissividade elétrica e K é a constante dielétrica, relacionada com a susceptibilidade dielétrica por K = 1+χ e = 1+ω 2 P j f j ω 2 0j ω2 iγ j ω, (123 onde usamos (120. Observe que a constante dielétrica também é complexa. 8 Ondas eletromagnéticas em meios dispersivos Meios onde a constante dielétrica depende da frequência são chamados dispersivos. A equação de onda em meios dispersivos (mas não-magnéticos será 2 E Kε 0 µ 0 2 E t 2 = 2 E K c 2 2 E t 2 = 0 (124 22

23 onde K = K r +ik i é, agora, interpretado como uma constante dielétrica complexa, dada por(123 em termos das propriedades microscópicas dos osciladores. Assim como temos feito sistematicamente, procuramos soluções de (124 do tipo ondas planas E(z,t = Ẽ0e i( kz ωt, (125 onde usamos o número de onda complexo introduzido no Capítulo II: de modo que k = k +iκ. (126 E(z,t = Ẽ0e κz e i(kz ωt, (127 tal que as ondas planas têm número de onda k = Re k, e o índice de refração do meio está, portanto, associado à parte real do vetor de propagação n = ck ω. (128 Por outro lado, as amplitudes decaem exponencialmente com a distância segundo um coeficiente de atenuação, ou absorção κ = Im k. Tanto o índice de refração quando o coeficiente de atenuação podem ser estimados para um meio dispersivo em termos do modelo de Drude-Lorentz. Substituindo (126 em (124 obtemos então ( k 2 +K ω2 Ẽ 0 = 0, após simplificar o fator exponencial, o que conduz à seguinte relação: c 2 k = ω c K. (129 Substituindo a expressão (123 na relação fundamental teremos 1/2 k = ω 1+ωP 2 f j c ω0j 2. (130 ω2 iγ j ω j Para gases a somatória na expressão acima é muito pequena, de maneira que podemos usar a aproximação binomial (1+x 1/2 1+x/2 e escrever k ω 1+ ω2 P f j. c 2 ω0j 2 (131 ω2 iγ j ω j Uma álgebra simples permite separar as partes real e imaginária de (131 para que obtenhamos o índice de refração e o coeficiente de absorção como funções da frequência: n = ck ω = c ω Re{ k} 1+ ω2 P 2 j f j (ω 2 0j ω2 (ω 2 0j ω2 2 +γ 2 j ω2 (132 κ = Im{ k} ω2 P 2 ω 2 c f j γ j (ω0j 2 ω2 2 (133 +γj 2 ω2. j 23

24 Figura 11: Variação do índice de refração com o comprimento de onda da luz para alguns meios transparentes. Figura 12: Decomposição da luz branca em um prisma. 9 Dispersão normal É um fato conhecido da ótica que o índice de refração de um meio transparente diminui com o comprimento de onda da luz ou, o que é equivalente, aumenta com a frequência da onda. Para o vidro, por exemplo, o índice de refração varia de 1,53 para o violeta (λ = 410nm a 1,51 para o vermelho (λ = 660nm [Fig. 11]. Este fenômeno é conhecido como dispersão normal da onda. DaLeideSnell, oânguloderefraçãoθ comincidênciaapartirdoar(n 1 = 1, n 2 = n é dado por sinθ = sinθ/n, onde θ é o ângulo de incidência. Logo, quanto menor o índice de refração maior será o ângulo de refração, de modo que a componente violeta da luz branca (maior n tem ângulo de refração menor do que a componente vermelha (menor n. Em outras palavras, a componente violeta refrata mais (ou seja, raio refratado mais próximo à normal que a componente vermelha, provocando a separação das cores do arco-iris, como Newton obteve num prisma por volta de 1670 [Fig. 12]. 24

25 O modelo de Drude-Lorentz explica satisfatoriamente a dispersão normal. Para isso vamos considerar que a frequência da luz incidente esteja suficientemente longe de qualquer uma das frequências naturais ω 0j dos elétrons na molécula. Essa suposição, como veremos mais adiante, faz com que possamos desprezar o termo de amortecimento devido à absorção da luz. Então a expressão (132 para o índice de refração fica simplesmente n = 1+ ω2 P 2 j f j ω 2 0j ω2 (134 Supondo que as frequências na faixa do visível sejam muito menores do que qualquer frequência natural (o que é verificado pois as frequências naturais mais próximas estão tipicamente na faixa do ultravioleta, ω ω 0j então, usando a aproximação binomial: 1 ω 2 0j ω2 = 1 ω 2 0j ( com o que reescrevemos (132 como n 1+ ω2 P 2 1 ω2 ω 2 0j j 1 1 f j ω 2 0j ( ω 2 0j 1+ ω2 ω 2 0j ( 1+ ω2 ω0j 2, = 1+A+Cω 2, (135, onde definimos A = ω2 P 2 C = ω2 P 2 j j f j ω0j 2 f j ω0j 4 (136 (137 Definindo, ainda B = 4πc2 C A a expressão (135 reduz-se à chamada fórmula de Cauchy (138 n = 1+A (1+ Bλ 2, (139 ondeaéchamadocoeficientederefraçãoeb coeficientededispersão. Afórmula de Cauchy foi obtida empiricamente em 1836 e representa bem a variação do índice de refração com o comprimento de onda para diversos meios transparentes. As expressões teóricas (136 e (137 concordam com os resultados experimentais para gases, de forma geral. 10 Dispersão anômala e absorção ressonante Ao contrário da seção anterior, vamos considerar agora justamente a vizinhança de uma das frequências naturais, como ω 0. Se as demais frequências estiverem 25

26 0,2 0,15 κ n-1 0,1 0,05 0 ω a ω 0 ω b -0,05-0, Figura 13: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão normal e anômala, para γ = 1, ω 0 = 5 e 1/c = 0,5. suficientemente afastadas, podemos ignorar em (132 e (133 a somatória em j e analisar apenas a frequência ω 0 : ou ainda n = 1+ ω2 P 2 κ = ω2 P 2 ω 2 c n 1 = F(ω = fω2 P 2 κ = G(ω = ω2 c f(ω 2 0 ω 2 (ω 2 0 ω2 2 +γ 2 ω 2 (140 fγ (ω 2 0 ω2 2 +γ 2 ω 2 (141 ω0 2 ω 2 (ω0 2 ω2 2 (142 +γ 2 ω2, fγω 2 P c 1 (ω0 2 ω2 2 (143 +γ 2 ω2, cujos gráficos mostramos na figura 13 em função da frequência da onda eletromagnética para o caso ω P f/2 = 1. Para ω bem abaixo da frequência natural ω 0 observamos duas coisas: (i o índice de refração aumenta com a frequência, o que vimos anteriormente com o nome de dispersãonormal. Observeque, comon 1 épositivo, temos que n > 1; (ii o coeficiente de absorção da onda é relativamente baixo, indicando que podemos desprezar o termo de absorção, que é a hipótese que usamos anteriormente para deduzir a fórmula de Cauchy. 26

27 Jáparaω próximoàfrequêncianaturalobservamosdafig. 13queaabsorção da onda aumenta bastante, tendo um valor máximo em ω 0 igual a G(ω 0 = ω2 P f 2cγ. Interpretamos esse fenômeno como uma ressonância entre a frequência da onda e a frequência natural do elétron: sabemos da mecânica clássica que, para forçamento ressonante, há uma máxima transferência de potência do forçamento para o oscilador. O elétron tendo um aumento considerável de amplitude em sua oscilação tende também a dissipar mais energia, absorvendo mais energia da onda eletromagnética. Poresse motivo a forma de κ é chamadade pico de absorçãoressonante, e ω 0 de frequência ressonante. Ao mesmo tempo, observamos que o índice de refração diminui com a frequência, fenômeno que denominamos dispersão anômala. A banda de dispersão anômala abrange o intervalo ω a < ω 0 < ω b, onde ω a,b são os extremos da função G(ω. Não por acaso, a banda de dispersão anômala coincide com a região de máxima absorção de onda: o meio pode ser praticamente opaco nessa banda. Os valores de ω a,b são obtidos de forma simples graças a uma simplificação algébrica que podemos fazer em (142 no caso de estarmos muito perto da frequência ressonante: se ω ω 0, então tal que ω 2 0 ω 2 = (ω 0 +ω(ω 0 ω 2ω 0 (ω 0 ω, F(ω fω2 P 2 2ω 0 (ω 0 ω 4ω 2 0 (ω 0 ω 2 +γ 2 ω 2 0 = ω2 P f 4ω 0 ω 0 ω (ω 0 ω 2 +γ 2 /4, a partir do que podemos achar os extremos impondo a condição F (ω = 0, o que fornece ω a = ω 0 γ 2, ω b = ω 0 + γ 2, (144 donde a largura do pico de absorção ressonante é ω = γ. Se γ tende a zero a largura do pico também tende a zero, e a sua altura ( γ 1 vai a infinito. De fato, nesse limite a expressão (142 tende a uma função delta de Dirac centrada em ω 0 : δ(ω ω 0. Para transições óticas em átomos temos que ω s 1 e o coeficiente de amortecimento é γ 10 9 s 1, donde a condição γ ω 0 é amplamente verificada, o que faz com que a banda de dispersão anômala seja estreita e o pico de absorção ressonante seja bastante fino e alto. Em átomos e moléculas de forma geral há vários picos de absorção correspondente às diversas frequências ressonantes ω 0j, cada qual com uma banda de absorção anômala [Fig. 14]. Cada pico tem altura e largura diferentes pois os valores de γ j e f j são também distintos para cada ressonância. Finalmente temos, para ω > ω b na Fig. 13 (fora da banda de dispersão anômala novamente uma região de dispersão normal, só que, como n 1 < 0, temos n < 1. Esse resultado pode parecer paradoxal, visto que, neste caso, a velocidade da onda eletromagnética é v = c n > c. 27

28 Figura 14: Pico de absorção ressonante e bandas de dispersão anômala um átomo típico. No entanto, assim como vimos no caso de guias de onda, a velocidade de fase pode ser maior que c sem violar o princípio da relatividade, uma vez que informações propagam-se, em geral, com a velocidade de grupo da onda. 11 Dispersão em metais e plasmas Elétrons livres em metais também podem ser descritos pelo modelo de Drude- Lorentz: como eles não estão ligados podemos fazer C = 0( constante elástica, de forma que sua frequência ressonante é ω 0 = 0 e f = 1. No entanto, nós mantemos a dissipação fenomenológica mesmo sem a oscilação dos elétrons, já que num metal os elétrons livres colidem com os íons da rede cristalina dando origem a uma dissipação de energia. Além de metais, esse caso também pode ser aplicado a plasmas (gases fortemente ionizados formados de uma mistura de elétrons livres e íons positivos. A diferença, neste caso, está tanto na densidade de elétrons n como na respectiva frequência de plasma ω 2 P = ne2 ε 0 m. (145 Por exemplo, para metais n m 3, correspondendo a ω P s 1, ao passo que num plasma frio n m 3, e ω P 10 7 s 1, uma diferença de quatro ordens de grandeza! Uma fórmula prática para calcular a frequência de plasma é f P = ω P 2π = 9 n, (146 28

29 onde a densidade de elétrons livres é medida em m 3 e a frequência é dada diretamente em khz. Fazendo o limite ω 0 0 em (142 e (143 obtemos o índice de refração e o coeficiente de absorção para elétrons em metais e plasmas: n 1 = ω2 P /2 ω 2 +γ2, (147 κ = γω2 P /2c ω 2 +γ2. (148 Para metais à temperatura ambiente o coeficiente de amortecimento é da ordem de γ s 1, o que é bem menor do que a frequência de plasma s 1. Como γ ω P podemos aproximar as expressões (147 e (148 para n 1 ω2 P ω 2, (149 κ ω2 P 2c lim γ γ 0 ω 2 +γ 2 = ω2 P π δ(ω, 2c 2 (150 onde usamos a representação Lorentziana da função delta de Dirac (vista em MétodosII. Este último resultado impĺica num pico de absorçãoem frequências nulas. Já o índice de refração será positivo apenas quando ω > ω P, ou seja, haverá propagaçãoda onda se a sua frequência for maior do que a frequência de plasma característica daquele meio. Se ω < ω P o índice de refração será negativo. Como n = K, isto implica num valor imaginário para a constante dielétrica e, portanto, a onda não se propaga neste caso. Uma onda eletromagnética incidente num plasma com ω < ω P será refletida na interface do plasma, o que tem aplicações interessantes em telecomunicações, como veremos Reflexão de ondas na ionosfera Terrestre A ionosfera é uma região da atmosfera superior, aproximadamente localizada entre 85 e 600km de altitude [Fig. 15]. Devido à alta incidência de radiação eletromagnética ionizante (ultravioleta proveniente do Sol e à baixa densidade de átomos, a ionosfera é um plasma frio composto de elétrons livres e íons positivos. Costuma-se dividir a ionosfera em camadas: D, E e F, em ordem de altitude crescente(quanto mais alto mais ionizado é o plasma, ou seja, a camada D éamaisbaixa(duranteodia. Duranteanoiteograudeionizaçãodosátomos diminui e a camada E é mais baixa. A densidade de elétrons na ionosfera é da ordem de n m 3, com uma frequência de plasma ω P 10 7 s 1. Logo a ionosfera é altamente refletora para ondas de rádio AM (para as quais f 10 6 Hz < f P 10 7 Hz, mas é transparente para ondas FM e de TV (onde f 10 8 Hz > f P. Desde os primórdios da pesquisa com radiocomunicações a capacidade da ionosfera de refletir ondas de rádio com f < f P tem sido usada para criar um guia de ondas entre a superfície da Terra e a superfície da camada D ionosférica [Fig. 16]. Devido à curvatura da Terra, a propagação por esse guia de ondas permite a transmissão de sinais de rádio entre locais distantes na Terra, para os quais não haveria possibilidade de transmissão direta. Como durante a noite a 29

30 Figura 15: Camadas da atmosfera e ionosfera terrestres Figura 16: Propagação de ondas de rádio usando a reflexão pela ionosfera. 30

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