ALGUMAS PROPRIEDADES RELATIVAS À CONJECTURA DE GOLBACH

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Betty de Paiva Desconhecida
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1 153 ALGUMAS PROPRIEDADES RELATIVAS À CONJECTURA DE GOLBACH Antônio Carlos da Silva Filho INTRODUÇÃO A Conjectura de Goldbach estabelece que: "Todo inteiro par maior do que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos". Ela também é conhecida como a Conjectura de Goldbach forte. A Conjectura fraca de Goldbach's (também conhecida como a velha conjectura de Goldbach, o problema ternário de Goldbach ou o problema dos três primos ) estabelece que: Todo número ímpar maior do que 7 pode ser expresso como a soma de três primos ímpares (onde um dado número primo pode ser usado mais de uma vez na mesma soma) Esta conjectura é conhecida como fraca porque se a Conjectura de Goldbach relacionada à soma de dois primos, for provada, a conjectura fraca ficará provada automaticamente, pois como cada número para maior do que sete é a soma de dois primos, simplesmente adicionando 3 a cada número par maior do que 4 produzirá os números ímpares maiores do que 7. Embora a Conjectura de Goldbach tenha sido verificada para os primeiros trilhões de números pares no computador, ela não foi provada até hoje. O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: Todo número par é a soma de até 6 números primos Seguem alguns exemplos para a decomposição de um número par como soma de dois primos: 4 = 2 + 2

2 154 6 = = = = = = = = RESULTADOS Resultados para números pares entre 4 e 22: 14 Quantidade de Números Primos que Somados Dois a Dois formam um dado Número Par 12 1 quantidade de números números pares positivos Figura 1. Quantidade de números primos que, somados dois a dois, formam um número par, para números pares entre 4 e 22. No caso dos primeiros 1 números pares entre 4 e 22, temos a seguinte decomposição em termos da quantidade de números de pares que, somados, dão um determinado número: 1 decomposição: decomposições:

3 155 3 decomposições: decomposições: decomposições: E assim por diante. Os primeiros oito pares de primos gêmeos e sua soma estão colocados a seguir: número par = primos gêmeos = 3 5 número par = primos gêmeos = 5 7 número par = primos gêmeos = número par = primos gêmeos = número par = primos gêmeos = número par = primos gêmeos = número par = primos gêmeos = número par = primos gêmeos = A partir destes números, podemos formar a sequência onde os elementos são formados pela distância entre pares formados pela soma de primos gêmeos: Este resultado é geral, pois todo número primo é do tipo: 6k ± 1. Assim, um dado par de gêmos, (6p 1) e (6p + 1), somado produz o numero par 12p, para p inteiro. O mesmo sucede para o par de gêmeos sucessivo: (6q 1) e (6q + 1), para q inteiro. A soma destes gêmeos produz o número par 12q. A diferença entre eles é, então, dada por 12(q-p), ou seja, um múltiplo de 12, exceto para a diferença entre os dois primeiros pares de gêmeos (3, 5) e (5, 7), que formam 8 e 12, respectivamente. As primeiras sete distâncias podem ser observadas na figura (1):

4 156 4 Distância entre pares formados por primos gêmeos distância número de ordem do número par formado por primos gêmeos Figura 2. Distância entre pares formados por primos gêmeos, para os primeiros sete pares de primos gêmeos. 4 Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por primos gêmeos distância (n) distância (n-1) Figura 3. Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por primos gêmeos. Os gráficos correspondentes aos acima, mas para números comprendidos entre 4 e 2.2 estão a seguir:

5 157 6 Quantidade de Números Primos que Somados Dois a Dois Formam um Dado Número Par 5 4 quantidade de números números pares positivos x 1 4 Figura 4. Número de elementos na órbita em função do número gerador, desde n = 1 até n = 1. Os primeiros cinquenta números pares formados pela soma de dois primos gêmeos estão, como exemplo, a seguir:

6 Distância entre Pares Formados por Primos Gêmeos distância número de ordem do primo par formado por primos gêmeos Figura 5. Distância entre pares formados por primos gêmeos, para os primeiros 24 pares de primos gêmeos.. Neste intervalo, temos um total de 24 números. As distâncias entre eles estão colocadas a seguir:

7 Diagrama de Retorno para a Distância entre Pares formados por Primos Gêmeos distância (n) distância (n-1) Figura 6. Diagrama de retorno para a distância entre pares formados por primos gêmeos. CONCLUSÃO O nosso foco está nos resultados sumarizados na figura (4). O trabalho ainda está em andamento, mas a proposta é modelar: (a) mínimos da quantidade de pares de primos; (b) máximos da quantidade de pares de primos; (c) envoltórias da quantidade de pares de primos REFERÊNCIAS

8 16 Pipping, N. "Die Goldbachsche Vermutung und der Goldbach-Vinogradovsche Satz." Acta. Acad. Aboensis, Math. Phys. 11, 4-25, Fliegel, H. F.; Robertson, D. S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture ; Journal of Recreational Mathematics, v21(1), 1989, pp. 1-7.

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