POR. José Milton Arana Departamento de Cartografia Faculdade de Ciências e Tecnologia Unesp Campus de Presidente Prudente

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1 TRIGONOMETRI ESFÉRIC: NOTS DE UL POR José Milton rana Departamento de Cartografia Faculdade de Ciências e Tecnologia Unesp Campus de Presidente Prudente MRÇO/006

2 SUMÁRIO LIST DE TELS 4 LIST DE FIGURS 4 1 TRIGONOMETRI ESFÉRIC Conceitos bási 5 1. Unidades de medidas de ar e ângulos Transformação de unidades Linhas e funções trigonométricas Relações entre funções circulares r e extremidades associadas Funções circulares inversas Série de Taylor Exercícios relativos aos conceitos bási 1 CONCEITOS FUNDMENTIS 16.1 Definições 16. Exercícios relativos à esfera 19 3 TRIÃNGULO ESFÉRICOS Polígono esféri 0 3. Triângulo esférico Igualdade dos triângulos esféri 3.4 Propriedades dos triângulos esféri 3.5 Triângulos polares Excesso esférico Exercícios relativos aos triângulos esféri 5 4 FÓRMULS FUNDMENTIS D TRIGONOMETRI ESFÉRIC Fórmula dos quatro elementos (lado) 6 4. Fórmula dos quatro elementos (ângulo) Lei dos os da Trigonometria Esférica Fórmula dos cinco elementos Fórmula das Co-tangentes Fórmula da orda nalogias de Delambre e as de Nepper Resolução dos triângulos esféri retângulos 3

3 3 4.9 Exercício - resolução de triângulos esféri retângulos Resolução de triângulos esféri retilátero Exercício resolução de triângulos esféri retiláteros 34 5 COORDENDS DE UM PONTO SORE SUPERFÍCIE D TERR E SORE MODELOS GEOMÉTRICOS Coordenadas geográficas Superfícies de referências 36 6 RELÇÃO DE EXERCÍCIOS SEREM RESOLVIDOS 37 7 ILIOGRFI UTILIZD 40

4 4 LIST DE TELS Tabela 4.1 Triângulos esféri retângulos 33 Tabela 4. - Triângulos esféri retiláteros 34 Tabela 6.1 Relação de exercícios a serem resolvidos 37 Tabela 6. Relação de cidades e suas coordenadas geográficas 38 Tabela 6.3 Relação de triângulos esféri resolvidos 39 LIST DE FIGURS Figura 1.1 Seno 7 Figura 1. Co-o 7 Figura 1.3 Tangente 8 Figura 1.4 Co-secante 8 Figura 1.5 Secante 9 Figura 1.6 Co-tangente 9 Figura.1 Circunferência 16 Figura. Circunferência máxima 16 Figura.3 Circunferência menor 17 Figura.4 Calota esférica 18 Figura.5 Zona esférica 18 Figura 3.1 Polígono esférico 0 Figura 3. Ângulo esférico 0 Figura 3.3 Esfera e triângulo esférico 1 Figura 3.4 Triângulo esférico 1 Figura 3.5 Triângulos polares 3 Figura 4.1 Lei dos co-os 6 Figura 4. Triângulo esférico retângulo 3 Figura 4.3 Triângulo esférico retilátero 33 Figura 5.1 Coordenadas geográficas 35 Figura 5. - Superfícies utilizadas em Geodésia 36

5 5 OS: O objetivo desta notas de aula é apenas para facilitar as atividades devolvidas em sala de aulas, proporcionando aos alunos do Curso de Engenharia Cartográfica um material para estudos de fácil acesso. Lembra-se aos leitores que não se pretende abordar todo o conteúdo de Trigonometria Esférica, apenas aborda-lo de maneira simples e de fácil entendimento para ao aluno, proporcionando uma ferramenta ao devolvimento do Curso. NOTS DE UL Trigonometria Esférica é imprescindível ao estudo de stronomia de Posição; Cartografia; da Geodésia Elementar;... Onde, fundamentalmente, seu conteúdo será abordado de maneira a resolver o triângulo esférico, resolvendo problemas relativos a Posicionamentos. Numa primeira aproximação, em nosso estudo, a Terra será reduzida ao modelo esférico. 1 TRIGONOMETRI ESFÉRIC 1.1 Conceitos bási Trigonometria é parte da Matemática que tem por objetivo o estudo das funções trigonométrica e a conseqüente resolução dos triângulos. Didaticamente, a Trigonometria é dividida em: Trigonometria Plana e em Trigonometria Esférica (esta é alvo de nossos estudos). Trigonometria Plana: estuda os triângulos situados em uma superfície plana (esfera de raio infinito), estes triângulos são denominados de triângulos planos.. Trigonometria Esférica: estuda a resolução dos triângulos situados em uma superfície esférica, estes são denominados de triângulos esféri.. Circunferência Orientada: é a circunferência na qual se fixou, convencionalmente, como tido de percurso o tido anti-horário (denominado de tido positivo).. círculo trigonométrico: é a circunferência orientada, cujo raio é tomado como a unidade de comprimento (r = 1).. arco trigonométrico: é um segmento do círculo trigonométrico. 1. Unidades de medidas de ar e ângulos s unidades de medidas de ar e ângulos são: - Grau: é o arco que mede 1/360 da circunferência ( o ). s sub-unidades o grau são o minuto de arco ( ), que corresponde a 1/60 do grau; e o segundo de arco ( ) que corresponde a 1/60 do minuto, os segundos são subdivididos em decimais.

6 6 Exemplificando: o 07 18,34 (vinte e dois graus, sete minutos, dezoito segundos e trinta e quatro centésimos de segundo; - Grado: é o arco que mede 1/400 da circunferência (gr), seus submúltiplos são decimais. Exemplo : 4,580 gr (4 grados, cinqüenta e oito centigrados); - Radiano: é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência (rad). O radiano subdivide-se em sub-múltiplos decimais. Ex.: 0,386 rad (trezentos, oitenta e seis miliradianos).; - Hora: é o arco correspondente à 1/4 da circunferência (h). s sub-unidade da hora são o minuto de arco (min) que corresponde à 1/60 da hora e o segundo de arco de hora (s) é 1/60 do minuto de arco de hora, este são sub-divididos em sub-múltiplos decimais. Ex.,566 (duas horas, quinhentos e sesta e seis milésimos). 1.3 Transformação de unidades Para calcular o valor correspondente em outra unidade angular, basta fazer as relações, que seguem: 180 o = 00 gr = 1 h = π rad Onde, π = 3, rad Tem-se que 1 é igual a 0, rad, ainda: 1 = 0, Estes valores são utilizados para transformação angulares de segundo de arco para radiano, bastando fazer a multiplicação por 1, ou melhor, arredondando, dividi-lo por E para transformar pequenas quantidades (valores absolutos) de radiano para segundo de arco, simplesmente multiplica-o por

7 7 1.4 Linhas e funções trigonométricas Seno, o valor o () de um arco, mede a projeção do raio no eixo vertical, do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e segundos quadrantes e negativos aos pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes. Seus valores extremos são +1 e -1. Na figura 1.1, repreta o segmento de reta que liga S à circunferência. o Q 1 o Q C α S 3 o Q 4 o Q D Figura 1.1 Seno Co-o, o valor co-o () de um arco, mede a projeção do raio no eixo horizontal, do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes. Seus valores extremos são +1 e -1. Na figura 1., repreta o segmento de reta que liga c ao eixo CD, ou centro da circunferência. o Q 1 o Q C α c 3 o Q 4 o Q D Figura 1. Co-o

8 8 Tangente, o valor tangente (tg) de um arco, mede a projeção do raio no eixo T, do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + 1 e -. Na figura 1.3, repreta o segmento de reta que liga ao ponto T. T C o Q 1 o Q α 3 o Q 4 o Q D Figura Tangente Co-secante, o valor co-secante (sec) de um arco, mede o segmento de reta de O à S, do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e segundo quadrantes e negativos aos pertencentes ao terceiro e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + e -. Na figura 1.4, repreta o segmento de reta que liga o centro O à S. S o Q 1 o Q M C α O 3 o Q 4 o Q D Figura 1.4 Co-secante

9 9 Secante, o valor secante (sec) de um arco, mede o segmento de reta de O à U do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e quarto quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e terceiro quadrantes. Seus valores extremos são + e -. Na figura 1.5, repreta o segmento de reta que liga o centro O à U. o Q 1 o Q M C α O 3 o Q 4 o Q U D Figura 1.5 Secante Co-tangente, o valor tangente (cotg) de um arco, mede a projeção do raio no eixo T, do positivos aos ar pertencentes ao primeiro e terceiro quadrantes e negativos aos pertencentes ao segundo e quarto quadrantes. Seus valores extremos são + e -. Na figura 1.6, repreta o segmento de reta que liga ao ponto T. T C o Q 1 o Q α 3 o Q 4 o Q D Figura 1.6 Co-tangente

10 Relações entre funções circulares a + a = 1 a tg a = a a cot g a = a sec a = 1 a sc a = 1 a arc x = arc tg 1 x x arc x = arc tg x 1 x 1.6 r e extremidades associadas Dois ar de mesma origem têm extremidades associada quando estas extremidades são simétricas em relação ao centro, ou a um dos eixos: - complemento b = 90 o a - suplemento b = 180 o a - explemento b = 180 o + a - replemento b = 360 o a Para os ar respectivos, tem-se as seguintes igualdades trigonométricas: complemento suplemento explemento replemento (90 o - a) = a (180 o - a) = a (180 o + a) = - a (360 o - a) = - a (90 o - a) = a (180 o - a) = - a (180 o + a) = - a (360 o - a) = a tg (90 o - a) = cotg a tg (180 o - a) = - tg a tg (180 o + a) = - tg a tg (360 o - a) = - tg a cotg (90 o - a) = tg a cotg (180 o - a) = -cotg a cotg (180 o + a) = cotg a cotg (360 o - a) = - cotg a sec (90 o - a) = sec a sec (180 o - a) = - sec a sec (180 o + a) = - sec a sec (360 o - a) = a sec (90 o - a) = sec a sec(180 o -a) = sec a sec(180 o +a)=-sec a sec(360 o -a) =-sec a

11 Funções circulares inversas s funções inversas tem por objetivo determinar os ar quando se conhece o valor da função. Por possuírem uma infinidade de ar que proporcionam o mesmo valor, significa dizer que o problema inverso é indeterminado, ou seja admitem uma infinidade de ar que tem o mesmo valor (mesmo o, mesmo o, mesma tangente,...). Sendo a função: a = x Existirá um único valor de x para o valor de a dado. No entanto, quando se conhece o valor de x, a equação proporciona infinitas soluções. Nos problemas da Engenharia quase sempre nos interessa as soluções correspondentes às menores determinações. s funções inversas são repretadas por: arc, arc,... Exemplificando: a = 0,5 solução será arco do primeiro ou segundo quadrante (existirá infinitas soluções poderá ser 30 o, 150, 390 o,510,... (30 o + n 360; e n 360). 1.8 Série de Taylor s funções trigonométricas podem ser calculadas pelas Séries de Taylor, que segue: 3 x x = x + 3! 5 7 x x + 5! 7!... x x = 1 +! 4 6 x x ! 6! tg x = x + x 3 3 x x arc x = x + 3 x 6 3 x x arc tg 3 x x = x 3 + x 5 5 x x n 1 n 1 ( 1) n 1 ps: os valores dos ar (x) são sempre em radianos.

12 1 1.9 Exercícios relativos aos conceitos bási 1 Transformar os ângulos em graus decimais: a) 7 o 19 53,78 Solução: 7 o 19 53,78 = 7 o ,78 (#) Sabemos que 1 o contém 60, portanto 19 = 19 / 60 o = 0, o ; e 1 o contém 3600, então 53,78 = 53,78 / 3600 o = 0, o Levando estes valores em (#), tem-se: 7 o 19 53,78 = 7 o + 0, o + 0, o 7 o 19 53,78 = 7, o b) 43 = c) 1500 = d) 0, = Dados os ângulos, transforma-los em radianos: a) 7 o 19 53,78 b) 43 = c) 1500 = d) 0, = e) 35 o 54 43,98 =

13 13 3 Transformar em graus sexagesimais: a) 7, o Solução: 7, o = 7 o + 0, o ( ) 0, o = 0, x 60 = 19, , = , , = 0, x 60 = 53,78 Então, retornando à ( ), tem-se que 7, o = 7 o ,78, ou 7 o 19 53,78 b),4678 rad c) 378,341 gr d) 17h 43min 57,9s e) 0,5537 rad 4 Transformar os dados, conforme indicados: a) 31,6759 = o, b) 10 o 4 4 =, o c) 115 o 9 06,35 = h min, s d) 1,6765 rad =, o e) 00,5634 gr = o, f) 31,6769 = o, g) 31,6769 = h min,

14 14 h) 0,76578 rad =, i) 0,76578 rad = o, j) 0 o 05 1,6769 =, k) 8h 1min 51,64s = o, i) 4h 4min 54,18s =, rad j) 1h 0min 44,5s =, h 5 Extrair o valor das funções abaixo: a) 0 o 56 1,3 =, b) -50 o 16 4,7 =, c) 5,34578 rad =, d) tg 307 o 01, =, e) sec 67 o =, f) cotg 345 =, g) sec,35gr =, 6 Calcular os ar correspondentes a: a) x = 0, x = o, ou x = o, b) x = 0, x = o, ou x = o, c) tg x =, x = o, ou x = o, d) cotg x = 10, x = o, ou x = o,

15 15 e) sec x = 10, x = o, ou x = o, f) sec x = 10, x = o, ou x = o, h) (90 o a) = 0, a = o, ou a = o, i) tg (90 o a) =, a = o, ou a = o, j) b = -0, b = h min, s ou b = h min, s k) (180 o a) = -0, a = h min, s b = h min, s l) (180 o a) = 0, a =, rd a =, rd m) tg (90 o b ) = b =, h ou b =, h n) cotg a = - a =, o a =, o 7 Utilizando-se das Séries de Taylor, calcular o valor das funções trigonométricas: a) 3 o 46 17,3 b) 67 o 15 47,43 c) tg 54 o 49 54,1 d) arc 0, e) arc tg 1,419568

16 16 CONCEITOS FUNDMENTIS.1 Definições: a. Superfície esférica: é o lugar geométrico dos pontos do espaço que eqüidistam de um ponto interior chamado centro. Ver figura.1. R Figura.1 - Circunferência b. Círculo máximo e círculo menor: interseção de um plano com a esfera forma um círculo. Há duas situações: se este plano contiver o centro da esfera, tem-se o círculo máximo (figura.); e se o plano que corta a esfera não contém o centro da esfera, tem-se o círculo menor (figura.3). Circunferência máxima: é a figura geométrica formada pela interseção da superfície esférica com um plano que contém o centro da superfície esférica. figura.. C Figura. Circunferência máxima

17 17 Circunferência menor: é a figura geométrica formada pela interseção da superfície esférica com um plano que não contém o centro da superfície esférica. figura.3. C Figura.3 Círculo menor c. Distância esférica: é o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos na superfície esférica, a figura. ilustra a distância esférica entre os pontos e. Ou, ainda, se existirem dois pontos não diametralmente opostos de uma superfície esférica, por ele sempre passa um único arco de círculo máximo, a distância esférica entre estes dois pontos é o arco de menor comprimento do arco de círculo máximo que passa por eles. d = R α (rad ) d. Pólo e polar. Pólo de um círculo da esfera são os extremos de um diâmetro perpendicular ao plano do círculo considerado. No caso da consideração de um círculo máximo, este é denominado de polar. Portanto polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que eqüidistam 90 o dos pólos. e. Área de uma superfície esférica. área de uma superfície esférica é expressa em função do Raio (R) da superfície esférica. S = 4 π R seu volume será V = 4 π R 3 3

18 18 f. Área de uma calota esférica. Calota esférica é cada uma das partes em que a superfície esférica fica dividida por um plano secante à ela. Figura.4 h R S c = π R h Figura.4 Calota esférica g. Área de uma zona esférica. Zona esférica é a porção da superfície compreendida entre dois paralelos quaisquer. área de uma zona esférica é expressa em função do raio da superfície esférica e a distância (k) entre os paralelos. Figura.5 k S z = π R k Figura.5 Zona esférica i. Meridiano. é uma circunferência máxima que contém os pólos de uma superfície esférica. j. Área de um fuso esférico. Fuso esférico é a porção da superfície esférica compreendida entre dois semi-meridiano de um mesmo diâmetro. amplitude de um fuso (a o ) é o ângulo diedro formado pelos semi-meridianos que compõem o fuso. S f π R = 90 o a

19 19. Exercícios relativos à esfera. Supondo-se que a forma da Terra seja esférica com raio de km. Calcular:.1- Sua área..- Seu volume..3- Supondo que sua densidade média seja,67 g/cm 3, determine sua massa..4- área de um fuso de o de amplitude..5- O comprimento do equador..6- O comprimento do paralelo distante 30 o do equador..7- área da calota esférica, cuja distância polar é de 3 o área de um fuso de 15 o de amplitude..9 área da zona esférica limitada pelo equador e o trópico de capricórnio (latitude 3 o 7 S).

20 0 3. TRIÂNGULO ESFÉRICO 3.1 Polígono esférico Denomina-se polígono esférico a porção da superfície esférica limitada exclusivamente por ar de circunferência máxima. Figura 3.1 a o c b d Figura 3.1 Polígono esférico 3. Triângulo esférico Triângulo esférico (euleriano) é a porção da superfície esférica limitada por três ar de circunferência máxima, menores que 180 º. Ou, polígono esférico formado por três lados menores que 180 º. Todo triângulo corresponde um triedro com vértice no centro da esfera a qual pertence o triângulo. Resolver um triângulo esférico é determinar três de seus elementos quando são conhecidos os outros três elementos, onde os elementos de um triângulo esférico são: - três ângulos são os ângulos esféri formados nos vértices do triângulo, repretam-se, normalmente por,, C; - três lados são os ar de circunferências máximas que unem os três vértices, dois a dois, normalmente são repretados por a, b, c. 0 α α Figura 3. Ângulos esféri

21 1 c O b a C Figura 3.3 Esfera e triângulo esférico c c b b O a a C Figura 3.4 Triângulo esférico Medida dos lados de um triângulo esférico os lados de um triângulo esférico medem-se através dos ar de círculo que eles contêm, do, em conseqüência, equivalentes às respectivas medidas das faces do triedro que se obtém quando se ligam seus vértices ao centro da esfera. Os lados do triângulo esférico são medidos pelos ângulos planos das faces do diedro, assim, o ângulo ÔC mede o lado b. Medida dos ângulos de um triângulo esférico os ângulos de um triângulo esférico medem-se através das medidas dos respectivos diedros do triedro que ele determina quando se ligam seus vértices ao centro da esfera. O ângulo CÂ mede o vértice.

22 3.3 Igualdade dos triângulos esféri Dois triângulos, pertencentes à mesma esfera, ou esfera de mesmo raio são iguais quando: a. Possuir um ângulo igual, compreendido entre dois lados, respectivamente igual; a = a Β c c b. Possuir três lados respectivamente iguais; e a b = a b c c c. Ter um lado igual, adjacentes a dois ângulos iguais. c c 3.4 Propriedades dos triângulos esféri a. soma dos ângulos de um triângulo esférico está compreendido entre 180 o e 540 º. 180 o < + + C < 540 o b. soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360 º. a + b + c < 360 º. c. Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença dos mesmos; a < b + c a > b c d. O lado maior se opõe ao ângulo maior; e. lados iguais se opões ângulos iguais;

23 3 f. soma de 180 o a um ângulo do triângulo esférico é maior que a soma dos outros dois ângulos o > + C; g. Todo triângulo esférico tri-retângulo é tri-retilátero e vice-versa = = C = 90 o, implica dizer que a = b = c = 90 o ; h. o lado maior de um triângulo esférico se opõe o maior ângulo. 3.5 Triângulos polares Polar Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90 o dos pólos; assim, todas as circunferências máximas perpendiculares a polar contém os pólos Dois triângulos esféri são polares quando os vértices do primeiro são os pólos dos lados homônimos do outro, e reciprocamente. relação existente entre os triângulos polares diz: os lados de um triângulo esférico polar são suplementos dos ângulos do triângulo dado, e seus ângulos são os suplementos dos lados do triângulo dado. c c b b C C a a Figura 3.5 Triângulos polares

24 4 Propriedades dos triângulos polares (decorrentes da relação mencionada acima). + a = 180 o + b = 180 o C + c = 180 o a + = 180 o b + = 180 o c + C = 180 o 3.6 Excesso esférico Conforme já mencionamos, a soma dos ângulos de um triângulo esférico euleriano é sempre maior que 180 o, e o que excede de 180 o é denominado de excesso esférico. ε = + + C 180 o (este excesso é proporcional à área do triangulo esférico). O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de L Huillier: tg ε 4 s = tg s a tg s b tg s tg c, onde a + b + c s = área do triângulo esférico, determinada em a partir de seu excesso esférico: S = R ε, ou ainda: rad S π R = 180 o ε o S = R 1 ε

25 5 3.7 Exercícios relativos aos triângulos esféri 3.1 Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera raio km, onde: = 144 o = 97 o 7 1 C = 68 o Determinar a área do triângulo polar ao do exercício Determinar o excesso esférico e a área do de um triângulo esférico (pertencente a uma esfera de raio km) de lados: a = 5 994,37 m b = ,943 m c = 8 998,31 m. 3.4 Determinar o excesso esférico e a área do triângulo (pertencente a uma esfera de raio km): a = 33 o 1 37 b = 83 o c = 110 o 48 9

26 6 4 FÓRMULS FUNDMENTIS D TRIGONOMETRI ESFÉRIC Trigonometria Esférica, em nossos estudos, tem por objetivo principal a resolução dos triângulos esféri, onde serão utilizadas das leis que relacionam os elementos destes triângulos. Estaremos deduzindo apenas um grupo de fórmulas, as conhecidas como Fórmula dos Quatro Elementos, conforme segue. 4.1 Fórmula dos Quatros Elementos (lado) s fórmulas dos quatro elementos aplicada a lados, também denominada de Lei dos co-os da Trigonometria Esférica, este grupo de fórmulas relacionam três lados e um ângulo do triângulo esférico. partir do triângulo esférico, figura 4.1, de ângulos,, C, pertencente a uma esfera de raio unitário (R = 1), Ligando seus vértices ao centro da esfera O.. b b c c C M O a a Figura 4.1 Lei dos co-os N Da figura 4, tem-se: OÂM = OÂN = 90 o Tomando os triângulos planos MN e OMN, e lembrando MÂN = e MÔN = a, tem-se: MN = MO + NO NO MO a e MN = N + M N M, portanto: MO + NO NO MO a = N + M N M MO - M + NO - N NO MO a + N M = 0

27 7 inda na figura 4.1, tem-se: MO = O + M O = MO M NO = O + N O = NO N Portanto: O + O + N M = NO MO coa ou O + N M = NO MO a inda da figura 4.1, O O b = O = OM b c = OM ON O = ON c e b = M OM M = OM b c = N ON N = ON c Portanto: OM b + ON c OM b = NO MO a OM a = b + c b ( ) ON mas, O ON = c OM ON b = OM O c b lembrando : O = OM b, OM c = O OM c O b OM c b = OM b b

28 8 OM b = c b substituindo em ( ), tem-se: ON a = b c + b c, b = coa a c + a c c = coa a b + a b C e por analogia, Estas são as da Lei dos Co-os da Trigonometria Esférica, cujo enunciado: O co-o de um lado é igual ao produto do co-o dos outros dois lados mais o produto dos os dos mesmos lados pelo co-o do ângulo por eles formado plicação: Resolver o triângulo esférico: a = 5 o b = 66 o c = 68 o Fórmula dos Quatro Elementos (ângulo) Utilizando-se das propriedades dos triângulos esféri polares, chega-se às fórmulas dos quatro elementos aplicadas a ângulos. Este grupo de fórmulas relacionam três ângulos e um lado. = - C + C a = - C + C b. C = - + c Exemplo: Resolver o triângulo esférico = 110 o 30 0 = 130 o C = 100 o 0 50

29 9 4.3 Lei dos Senos da Trigonometria Esférica Este grupo de fórmulas, também conhecido como nalogia dos Senos relaciona dois lados e dois ângulos opostos. a = b = c C Cujo enunciado é: Em todo triângulo esférico os os dos lados são proporcionais aos os dos ângulos opostos. 4.4 Fórmulas dos 5 elementos Este grupo de fórmulas relaciona três lados e dois ângulos. b = a c - a c c = b a - b a C a C = c b - c b b C = c a - c a c = a b - a b C a = b c - b c 4.5 Fórmulas das Co-tangentes Este grupo de fórmulas apretam a relação entre dois lados e dois ângulos. cotg = cotg a c - c cotg C = cotg b a - a C cotg C = cotg c b - b cotg C = cotg a b - b C cotg = cotg b c - c cotg C = cotg c a - a

30 Fórmulas da orda Este grupo de fórmulas também é conhecido como Fórmulas do Marinheiro. ( s c) ( s b) = b c s ( s a) = b c ( s a) ( s c) = a c s ( s b) = a c C ( s a) ( s b) = a b C s ( s c) = a b Por divisão conveniente das fórmulas da orda, chega-se às chamadas Fórmulas dos Marinheiros tg = ( s b) ( s c) s ( s a) tg a S ( S ) = ( S ) ( S C) tg = ( s a) ( s c) s ( s b) tg b S ( S ) = ( S ) ( S C) tg C = ( s a) ( s b) s ( s c) tg c S ( S C) = ( S ) ( S ) com s = a + b + c S = + + C

31 nalogias de Delambre e as de Nepper s nalogias de Delambre, também conhecidas como Equações de Gauss, são muito utilizadas como formulas de verificação, envolvem os seis elementos do triângulo e conduzem a uma identidade quando os elementos obtidos pelo cálculo são corretos. Quadro 4.1 nalogias de Delambre e as de Neper nalogia de DELMRE (verificação) ( + ) ( ) c c = = C C (a b) (a b) nalogia de NEPER dois lados e três ângulos ( tg + ) = cot g C (a b) (a + b) nalogia de NEPER Três lados e dois angulos (a + b) tg = tg c ( ) ( + ) ( + ) ( ) c c = = C C (a + b ) (a + b) ( tg ) = cot g C (a b) (a + b) (a b) tg = tg c ( ) ( + ) ( + C ) ( C ) b b = = (a c) (a c) ( tg + C) = cot g (a c) (a + c) (a + c) tg = tg b ( C) ( + C) ( + C ) ( C ) b b = = (a + c) (a + c) ( tg C) = cot g (a c) (a + c) (a c) tg = tg b ( C) ( + C) ( + C ) ( C ) a a = = (b c) (b c) ( tg + C) = cot g (b c) (b + c) (b + c) tg = tg a ( C) ( + C) ( + C ) ( C ) a a = = (b + c) (b + c) ( tg C) = cot g (b c) (b + c) (b c) tg = tg a ( C) ( + C)

32 3 4.8 Resolução dos triângulos esféri retângulos Um triângulo esférico é retângulo, se possuir pelo menos um ângulo reto. Para a resolução destes triângulos, existe uma regra mnemônica que é denominada como Regra de Maudiut. Cujo enunciado é: O co-o do elemento médio é igual ao produto das co-tangentes dos elementos conjunto ou produto dos os dos elementos separados = cotg cotg = b c C a Figura 4. Triângulo Esférico Retângulo Na aplicação desta regra, há que se considerar: 1 dmitindo a como elemento médio (poderia ser escolhido qualquer elemento do triângulo, exceto o ângulo reto), seus elementos conjuntos serão os lados e C, seus elementos separados serão b e c; O Elemento reto é considerado inexiste na aplicação da regra. Se admitirmos b 0como elemento médio, seus conjuntos serão C e c; e 3 Não se tomam os catetos, e sim seus complementos: Se for o ângulo reto, utilizaremos (90 o c) e não c; (90 o b) e não b.

33 Exercícios resolução de triângulos esféri retângulos Resolver os triângulos esféri, retângulos em : Tabela 4.1 Triângulos esféri retângulos 4.1 b = 75 o a = 65 o 00 3 a = 67 o 56 8 = 8 o a = 75 o = 47 o c = 35 o C = 67 o Resolução de Triângulos Esféri Retiláteros O triângulo esférico retilátero é o triângulo esférico que possui pelo menos um lado reto (lado igual a 90 o ). b c C a = 90 o Figura 4.3 Triângulo Esférico Retilátero resolução do triângulo esférico retilátero, utilizando da Regra de Mauduit, procede-se da seguinte maneira: - Lembrando-se das propriedades dos triângulos polares, verifica-se que um triângulo polar ao triângulo retilátero será um triângulo retângulo. - Utilizando das propriedades dos triângulos polares, determina-se o triângulo polar ao triângulo dado; - Utiliza-se da Regra de Mauduit, resolve o triângulo polar (este determinado pelas propriedades polares); - Resolvido o triângulo polar (utilizado a regra de Mauduit), novamente com as propriedades dos triângulos polares calcula-se o triângulo dado.

34 Exercícios resolução de triângulos esféri retiláteros Resolver os triângulos esféri, retiláteros: Tabela 4. Triângulos esféri retiláteros 4.5 a = 90 o b = 45 o 8 5 c = 67 o c = 90 o b = 83 o 33 5 = 7 o c = 90 o a = 55 o = 77 o c = 90 o a = 115 o 4 36 b =

35 35 5 COORDENDS DE UM PONTO SORE SUPERFÍCIE D TERR E SORE MODELOS GEOMÉTRICOS 5.1 Coordenadas geográficas Como um dos objetivos da stronomia de Posição é a determinação das coordenadas geográficas ou astronômicas de um ponto, definem-se as coordenadas, conforme segue: a latitude geográfica ou astronômica de um ponto é o ângulo formado pela vertical desse ponto com sua projeção equatorial (em nossa disciplina será repretada pela letra grega φ), tem variação de 0 o a ± 90 o, do positiva no Hemisfério Norte e negativa no Hemisfério Sul; b longitude geográfica é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). É simbolizada pela letra grega λ. longitude varia de 0 o a 180 o por leste ou de 0 o a 180 o por oeste de Greenwich. Usualmente, repreta-se a longitude com variação de 0 o a ± 180 º. No devolvimento de nossa disciplina, utilizar-se-á o sinal positivo para longitude de pontos situados a leste de Greenwich e negativo para pontos situados a oeste. ssim, todos os pontos situados em território brasileiro terão longitude negativa. c - azimute astronômico. Chama-se azimute astronômico de uma direção ao ângulo formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento da direção, contado sobre o plano do horizonte, a partir do sul por oeste. Pn meridiano origem S paralelo de S G S meridiano de S G Q ϕ Q λ λ equador Ps Figura 5.1 Coordenadas geográficas

36 36 5. Superfícies de referências Rotineiramente, o cartógrafo utiliza-se de três superfícies: Superfície física da Terra É a superfície na qual são realizadas as operações geodésicas e astronômicas; Superfície do modelo geométrico Denominada de superfície de referência e sobre a qual são efetuados os cálculos geodési, na maioria das vezes é o elipsóide de revolução; e o geóide é uma determinada superfície eqüipotencial do campo da gravidade; geope que mais se aproxima do nível médio dos mares. Nos continentes e ilhas acha no interior da crosta. O geóide presta-se à definição da terceira coordenada natural, ou seja, a altitude ortométrica (distância contada ao longo da vertical, desde o geóide até o ponto considerado). Na figura 3, que segue, mostra-se esquematicamente as três superfícies mencionadas e mais o geópe passante pelo ponto S; este admite V como vertical (perpendicular ao geope W) e N como normal. O desvio da vertical i é o ângulo formado pela vertical e pela normal passante pelo ponto S Superfície Física i geópe H h geóide N elipsóide Figura 5. Superfícies utilizadas em Geodésia

37 37 6 RELÇÃO DE EXERCÍCIOS SEREM RESOLVIDOS Tabela 6.1 Relação de exercícios a serem resolvidos: Exercício o o o 6.1 a = b = c = = = C = a = b = C = = = c = a = b = = b = c = = a = = = a = = = a = b = C = a = = c = b = = c = a = b = = a = c = = a = = = = C = = b = c = = c = C = = a = b = = a = b = = a = b = C = , 6. a = b = = a = b = c = = = C = b = = C = 37 05

38 38 Dados as coordenadas geográficas das cidades, pede-se a distância esférica e o azimute astronômico entre elas: Tabela 6. Relação de cidades e suas coordenadas geográficas Localidade Latitude (ϕ) Longitude (λ) Presidente Prudente o S 51 o 4 0 W Curitiba S W Foz do Iguaçu S W Rio ranco S W Greenwich N Calcutá 33 5 N E Moscou N E Tóquio N E Ps: dotar o Raio da Terra = km

39 39 Tabela 6.3 Relação de triângulos esféri resolvidos a b c C 15 o o 06 0 o o o o

40 40 7 ILIOGRFI UTILIZD RN, J. M. stronomia de Posição: Notas de aula. FCT/Unesp- Departamento de Cartografia. Presidente Prudente OSCO, R. Conceitos de stronomia. Editora Edghard lücheer Ltda. São Paulo GEML, C. Elementos de Trigonometria Esférica: Notas de aula. UFPR/Diretório cadêmico do Setor de Tecnologia. Curitiba NDL, C.. Introdução à Trigonometria Esférica plicações na stronomia e na Cartografia. UFPR/Setor de Tecnologia Departamento de Geociências. Curitiba VELLOSO, F. de C. Trigonometria Esférica. IME. Rio de Janeiro