LISTA DE EXERCÍCIOS N o 4 SOLUÇÕES

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA EPUSP PNV-31 Termodinâmica e Transferência de Calor LISTA DE EXERCÍCIOS N o 4 SOLUÇÕES Para todos os problemas desta lista, com exceção do primeiro, apresentamos um modelo de solução no software Interactive Thermodynamics (IT). Propomos que os alunos tentem montar seus próprios modelos no IT e os comparem com as soluções aqui apresentadas. Convém relembrar a necessidade de indicar ao IT as unidades de trabalho (usamos sempre o S.I.). Exercício 6. Trata-se de obter o volume específico da água nas condições dadas e, com a vazão em massa conhecida, calcular a área de passagem necessária para que a velocidade (média) do escoamento não ultrapasse o valor especificado. É, portanto, uma aplicação da Equação da Continuidade (Conservação de Massa). Do CATT, temos: v1 = 0, m3/kg e v = 0,07074 m3/kg. Assumindo regime permanente, a vazão em massa (igual na entrada e saída) é: mdot = 1,389 kg/s. Mas mdot = (Vel*A)/v, logo A = (mdot*v)/vel. Impondo velocidade Vel1 = Vel = 0 m/s, temos: para a entrada A1 = 6,94*10-5 m e para a saída A = 0,0049 m. Exercício 6.14 É uma aplicação da Primeira Lei a um trocador de calor de superfície ( entradas e saídas). O problema sugere admitir que o trocador é isolado termicamente, ou seja, que todo o calor perdido por um dos fluxos é transferido ao outro. O modelo para o IT e seu resultado estão abaixo: // Exercicio 6.14, Van Wylen, 5a Ed. mdot1 = 1 // kg/s p1 = 10 // kpa T1 = 300 // oc p = 10 // kpa x = 0 // liquido saturado p3 = // kpa (assumimos P atmosferica no lago) T3 = 0 // oc p4 = // kpa (idem, sem perda de carga) T4 = 30 // oc hsat = hsat_px("water/steam", p, x) h = hsat h3 = h_pt("water/steam", p3, T3) h4 = h_pt("water/steam", p4, T4) // Conservation of mass mdot1 = mdot mdot3 = mdot4 // Conservation of energy mdot1 * (h1) + mdot3 * (h3) - mdot * (h) - mdot4 * (h4) = 0

2 h1 h h3 h4 hsat mdot mdot3 mdot4 T1 T3 T4 mdot1 p1 p p3 p4 x ,8 8, ,8 1 68,46 68, ,3 101,3 0 É interessante observar que para cada unidade de vazão resfriada no condensador quase 70 unidades de vazão são poluídas termicamente no lago. Exercício 6. Neste problema, aplica-se a Primeira Lei a um difusor (uma seção de passagem cuja finalidade é aumentar a pressão do ar) na entrada de uma turbina aeronáutica (ou, mais especificamente, na entrada do seu compressor). Considera-se o difusor como adiabático. O estado de entrada é conhecido e a vazão é irrelevante para o problema dado (implicaria apenas em áreas de passagem maiores ou menores). O volume específico na saída do difusor resulta da aplicação da conservação de massa (Equação da Continuidade), juntamente com o conhecimento da razão entre áreas de entrada e saída. O modelo abaixo resolve o problema no IT (atentar para a conversão de unidades entre entalpia e energia cinética na Primeira Lei): // Exercicio 6., Van Wylen 5a Ed. Vel1 = 900 / 3.6 // m/s T1 = -5 // oc p1 = 50 // kpa Vel = 80 // m/s A = 1 // area unitaria A1 = 0.8 * A // Propridades h1 = h_t("air", T1) v1 = v_tp("air", T1, p1) // Outras propriedades mdot1 = (Vel1 * A1) / v1 v = v1 * (Vel / Vel1) * (A / A1) 0 = mdot1 - mdot mdot = mdot1 0 = mdot * (1000 * (h1 - h) + (Vel1^ / - Vel^ / )) // Outras propriedades T = T_h("Air", h) v = v_tp("air", T, p) Os resultados obtidos são: A1 T h1 h mdot mdot1 mdot p v1 v A T1 Vel1 Vel p1 1 0,8,95 68,1 96,1 19,9 19,9 19, ,539 0, Exercício 6.6 Este problema trata de um processo de estrangulamento em uma válvula, no qual não há troca de calor (processo adiabático ) nem trabalho (não há partes móveis). Neste caso, a Primeira Lei se

3 resume a um balanço entre entalpia e energia cinética. Vamos apresentar duas soluções possíveis para esta questão e discuti-las brevemente. A primeira solução possível consiste em assumir a priori que a variação de energia potencial é desprezível. Deste modo, o processo resulta isoentálpico. Neste problema queremos saber o estado da água após o estrangulamento (por exemplo, sua temperatura e título). Dentro desta hipótese, a velocidade após o estrangulamento (também pedida pelo problema) resulta igual a da entrada. O modelo no IT para a primeira solução é: // Exercicio 6.6, Van Wylen, 5a Ed. // Primeira solução mdot1 = 1 // não interessa p1 = 1500 // MPa T1 = 150 // oc p = 00 // kpa Qdot = 0 // adiabatico Wdot = 0 // não ha partes moveis Vel1 = 5 // m/s A1 = 1 // area unitaria A = 1 // areas iguais v1 = v_pt("water/steam", p1, T1) x1 = x_hp("water/steam", h1, p1) h = h1 // hipotese 0 = mdot1 - mdot mdot = mdot1 // Outras propriedades x = x_hp("water/steam", h, p) T = T_ph("Water/Steam", p, h) v = v_ph("water/steam", p, h) 0 = Qdot - Wdot + mdot * (1000 * (h1 - h) + (Vel1^ / - Vel^ / )) E o resultado é: T Vel h1 h mdot mdot v1 v x1 x A1 A Qdot T1 Vel1 Wdot mdot1 p1 p 1 10, 5 631,7 631, , , , Na segunda solução possível, mais acurada porém mais complexa, vamos considerar que, em virtude do aumento no volume específico (redução de densidade) ocasionado pela queda de pressão (expansão na válvula), pode ocorrer de a velocidade do fluido ser substancialmente maior à juzante (após) da válvula (ainda que a vazão em massa e a área de passagem sejam as mesmas). Deste modo, pode ocorrer de a variação de energia cinética não ser desprezível e, por isso, vamos incluí-la na análise. Se ela for realmente pequena, observaremos este fato nos resultados. O problema desta solução é que, se a fôssemos realizar manualmente, teríamos que recorrer a um laborioso processo iterativo, cuja origem é a seguinte. A equação da Primeira Lei para este processo se resume a V1 V h 1 + = h +. Mas, sendo a vazão em massa e a área de passagem as mesmas nas seções 1 e,

4 V 1 V as respectivas velocidades são relacionadas por =, onde v 1 e v são os volumes específicos v v nas seções 1 e. Estes, por sua vez, são propriedades e, portanto, determinados pelo estado, por exemplo, por entalpia e pressão. O estado na seção 1 é dado, logo h 1 e v 1 são conhecidos. A entalpia na seção ( h ) é determinada pela equação da Primeira Lei, na qual comparece V, que depende de v (através da relação acima), o qual, por sua vez, depende do estado em (por exemplo h ) que é o que queremos determinar. Surge, assim, a necessidade de um processo iterativo no qual admitimos um valor inicial para, digamos, v, determinando assim V e seqüencialmente h. Com h e a pressão em (dado do problema), reavaliamos o valor de v e repetimos o processo até a convergência. O programa IT permite a automação deste processo de forma transparente, pois o número de incógnitas não é superior ao de equações disponíveis (lembrando que o programa dispõe de equações para a determinação de propriedades, do tipo v = v_ph("water/steam", p, h). O modelo abaixo resolve o problema, com os resultados a seguir (note-se que o modelo já exclui as grandezas irrelevantes): 1 /* Exercicio 6.6, Van Wylen, 5a Ed. A solução abaixo procura calcular valores "exatos" para a entalpia e velocidade na saída, isto é, sem supor que se trata de processo isoentálpico. As equações são altamente não lineares, portanto o método numérico depende em grande medida das condições iniciais. O conjunto padrão (todos os valores iguais a 1) não converge. É preciso usar um ponto inicial melhor, por exemplo: Vel = 00, h1 = h = 500 (pode-se deixar o resto no padrão). */ p1 = 1500 // kpa T1 = 150 // oc p = 00 // kpa Vel1 = 5 // m/s v1 = v_pt("water/steam", p1, T1) v = v_ph("water/steam", p, h) x = x_hp("water/steam", h, p) Vel = Vel1 / v1 * v 0 = 1000 * (h1 - h) + (Vel1^ / - Vel^ / ) Vel h1 h v1 v x T1 Vel1 p1 p 1 01,5 631,7 611,4 0, , , Em termos quantitativos, observa-se que, ao invés de permanecer constante (como assumido na primeira solução), a entalpia cai 3.% após a válvula em virtude do aumento da velocidade e o título exato é 7.5% menor (entalpia menor significa maior porcentagem de líquido, daí o título menor). Apesar da pouca influência sobre a entalpia, o aumento de velocidade é expressivo: de 5 m/s para mais de 00 m/s. Este aumento provavelmente teria que ser considerado no projeto de uma válvula real, em função de seu impacto nas perdas por atrito. Exercício 6.7 O exercício trata de uma câmara de mistura adiabática que recebe dois fluxos de entrada, que se misturam para produzir um único fluxo de saída. O detalhe fica por conta de uma válvula que estrangula o fluxo da linha 1, reduzindo sua pressão à pressão da outra linha (confirmamos que se trata de redução após exame dos respectivos estados). Temos que supor que o estrangulamento é isoentálpico, de modo que podemos simplesmente entrar na Primeira Lei com a entalpia do estado

5 anterior à válvula. Além disso, há a questão das velocidades. O problema fornece a velocidade do fluxo de saída, portanto podemos incluí-la na Primeira Lei. A velocidade na linha é considerada baixa no enunciado (ou seja, zero). Resta a velocidade na linha 1. Aqui temos que fazer alguma hipótese, por exemplo, que ela é também baixa. De qualquer modo, é simples verificar que estas velocidades têm efeito muito pequeno no resultado do problema. Segue o modelo no IT e respectivo resultado (observem a discrepância de quase 6% com relação ao resultado do livro). // Exercicio 6.7, Van Wylen, 5a Ed. mdot = // kg/s p = 1000 // kpa T = 100 // oc T1 = 60 // oc x1 = 0 // líquido saturado p3 = 1000 // kpa x3 = 1 // vapor saturado Vel1 = 0 // desprezamos Vel = 0 // velocidade pequena Vel3 = 0 // m/s Qdot = 0 // câmara adiabática Wdot = 0 // não há trabalho h = h_pt("r134a", p, T) p1 = psat_t("r134a", T1) hsat1 = hsat_px("r134a", p1, x1) h1 = hsat1 hsat3 = hsat_px("r134a", p3, x3) h3 = hsat3 0 = mdot1+ mdot - mdot3 0 = Qdot - Wdot + mdot1 * (1000 * h1 + Vel1^ / ) + mdot * (1000 * h + Vel^ / ) - mdot3 * (1000 * h3+ Vel3^ / ) h1 h h3 hsat1 hsat3 mdot1 mdot3 p1 Qdot T1 T Vel1 Vel Vel3 Wdot mdot p p3 x1 x ,4 334, ,4 68 1,019 3, Exercício 6.9 Este problema pede para calcular a potência de uma turbina a vapor, a qual possui uma extração de vapor a uma pressão intermediária entre a entrada e a saída. O resultado deriva de uma aplicação direta da Equação da Continuidade (Conservação de Massa) e da Primeira Lei (Conservação de Energia), na qual desprezam-se as variações de Energia Potencial e Cinética. O modelo a seguir resolve o problema no IT (notem que usamos o processo genérico de uma entrada e duas saídas e não o processo de estágio de turbina, pois este último não permite o uso de extração). O resultado é fornecido em kw (ou seja, equivale a MW). // Exercicio 6.9, Van Wylen, 5a Ed. mdot1 = 100 // kg/s p1 = // kpa T1 = 600 // oc mdot = 0 // kg/s p = 000 // kpa T = 350 // oc p3 = 75 // kpa x3 = 0.95 Qdot = 0 // turbina adiabática

6 h = h_pt("water/steam", p, T) hsat3 = hsat_px("water/steam", p3, x3) h3 = hsat3 0 = mdot1- mdot - mdot3 0 = Qdot - Wdot + mdot1 * (h1) - mdot * (h) - mdot3 * (h3) Wdot h1 h h3 hsat3 mdot3 Qdot T1 T mdot1 mdot p1 p p3 x3 1 9,156E ,5E ,95 Exercício 6.3 Neste exercício, a potência de uma turbina a vapor é dada, juntamente com a vazão de vapor e o estado de entrada do vapor na turbina, determinando assim, pela Primeira Lei, a entalpia de saída do vapor. Sendo também conhecida a pressão de saída, fica completamente determinado o estado de saída. O problema pede a temperatura de saída do vapor (se superaquecido) ou seu título (se saturado). Quanto à válvula na entrada da turbina, supomos que esta opera um estrangulamento (isoentálpico), de modo que sua pressão de saída não desempenha papel algum no problema (na prática isto não seria verdade, mas para compreender este aspecto precisamos dos conceitos de entropia e de rendimento térmico da turbina, os quais serão vistos mais adiante no curso). O modelo abaixo resolve o problema no IT. O vapor na saída está saturado com título de %. // Exercicio 6.3, Van Wylen, 5a Ed. Wdott = 110 // kw mdot = 0.5 // kg/s p1 = 1400 // Kpa T1 = 50 // oc p = 10 // kpa x = x_hp("water/steam", h, p) 0 = mdot1 - mdot mdot = mdot1 0 = - Wdott + mdot * ((h1 - h)) h1 h mdot1 mdot x T1 Wdott mdot p1 p ,5 0,5 0, ,