UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA IVAN CARLOS HORBACH

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA IVAN CARLOS HORBACH O CONCEITO DE FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS QUADRÁTICOS JOINVILLE - SC

2 IVAN CARLOS HORBACH Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciatura em Matemática. Orientadora: Profª. Msa. Viviane Maria Beuter JOINVILLE - SC 2012

3 H811o Horbach, Ivan Carlos O conceito de Fatoração Única em Anéis Quadráticos / Ivan Carlos Horbach p.: il Bibliografia: f Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Centro de Ciências Tecnológicas, Curso de Matemática. Joinville (SC), Orientadora: Profª. Msa. Viviane Maria Beuter 1. Anéis Fatoriais. 2. Elementos Primos e Irredutíveis. 3. Inteiros Quadráticos. 4. Fatoração em Ideais. I. Beuter, Viviane Maria. II. Universidade do Estado de Santa Catarina - Curso de Matemática. III. Anéis Fatoriais em Inteiros Quadráticos. CDD: 512.4

4 IVAN CARLOS HORBACH TÍTULO: O CONCEITO DE FATORAÇÃO ÚNICA EM ANÉIS QUADRÁTICOS Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciatura em Matemática. Banca Examinadora Orientador(a): Membro: Membro: Profª. Ms. Viviane Maria Beuter Universidade do Estado de Santa Catarina Prof. Dr. Rogério de Aguiar Universidade do Estado de Santa Catarina Profª. Drª. Elisandra Bar de Figueiredo Universidade do Estado de Santa Catarina Joinville, 29 de novembro de 2012.

5 AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar, quero agradecer meus pais por me proporcionar essa oportunidade e por me apoiar nos momentos difíceis. Quero agradecer a todos os meus amigos que me apoiaram durante essa estrada e estiveram sempre do meu lado me ajudando no que fosse preciso. Por fim, quero agradecer a minha orientadora, Professora Viviane Maria Beuter, que me ajudou a cumprir mais esta etapa da minha vida.

6 A matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a rainha das matemáticas. Gauss

7 RESUMO HORBACH, Ivan Carlos. O Conceito de Fatoração Única em Anéis Quadráticos f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, Este trabalho pretende, de forma simples, expor uma generalização do Teorema Fundamental da Aritmética para um anel de integridade. Com esse propósito, serão definidos anéis fatoriais e apresentado o conceito de fatoração única de um elemento como produto de elementos irredutíveis. De modo geral, o estudo sobre esses anéis engloba as noções de anéis principais e euclidianos. Também, serão apresentados os Anéis de Inteiros Quadráticos, que são ótimos exemplos de como a unicidade da fatoração nem sempre existe. Neste contexto, serão analisados os elementos e os ideais dos anéis quadráticos. Palavras-chave: Anéis Fatoriais. Elementos Primos e Irredutíveis. Inteiros Quadráticos. Fatoração em Ideais.

8 ABSTRACT HORBACH, Ivan Carlos. The concept of unique factorization in quadratic rings f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, This work intends, simply, exposing a generalization of the Fundamental Theorem of Arithmetic for a integral domain. For this purpose, factorial rings are set and presented the concept of unique factorization of an element as a product of irreducible elements. In general, the study of these rings encompasses the concepts of Euclidean and Principal rings. Also, we will present the Rings of Quadratic Integers which are great examples of how the uniqueness of factorization does not always exist. In this context, the elements and the ideals of quadratic rings will be analyzed. Key-words: Factorial rings. Primes and irreducibles elements. Quadratic integers. Factorization into Ideals.

9 LISTA DE SÍMBOLOS N Conjunto dos números naturais Z Conjunto dos números inteiros Q Conjunto dos números racionais R Conjunto dos números reais C Conjunto dos números complexos K Corpo a Classe de equivalência do elemento a e/ou conjugado do elemento a Z m Classe de equivalência de Z módulo m a Anel/Grupo gerado pelo elemento a (G : H) Índice do grupo H em G Q[ m] Corpo Quadrático O(m) Conjunto de todos os inteiros quadráticos de Q[ m] Z[ m] Inteiros Quadráticos N (α) Norma do elemento α T r (α) Traço do elemento α U (A) Elementos inversíveis do anel A Im(f ) Imagem da função f N(A) Núcleo da função f a b a é associado de b A B A é equivalente a B

10 Conteúdo 1 NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA ANÉIS Subanel Ideais Homomorfismos de Anéis Anéis Quocientes GRUPOS ANÉIS PRINCIPAIS, FATORIAIS E EUCLIDIANOS ELEMENTOS PRIMOS E IRREDUTÍVEIS ANÉIS FATORIAIS ANÉIS PRINCIPAIS ANÉIS EUCLIDIANOS INTEIROS QUADRÁTICOS ANÉIS DE INTEIROS QUADRÁTICOS ELEMENTOS INVERSÍVEIS EM O(m) ELEMENTOS PRIMOS E IRREDUTÍVEIS EM O(m) ANÉIS QUADRÁTICOS EUCLIDIANOS Anéis Quadráticos Imaginários Euclidianos Anéis Quadráticos Reais Euclidianos FATORAÇÃO EM IDEAIS IDEAIS DOS ANÉIS DE INTEIROS QUADRÁTICOS NORMA DE UM IDEAL FATORAÇÃO ÚNICA EM IDEAIS PRIMOS IDEAIS FRACIONÁRIOS GRUPO DE CLASSES CONCLUSÃO 61 9

11 INTRODUÇÃO O estudo da Teoria dos Números já vem de antes da era Cristã quando os Pitagóricos estudavam números primos e números perfeitos. O matemático talvez mais importante daquela época foi Diofanto de Alexandria, que viveu por volta de 300 a.c. A ideia de estudar a aritmética de anéis de integridade mais complicados que os números inteiros surge de vários problemas clássicos da teoria dos números. Por exemplo, uma maneira mais fácil de trabalhar com o problema para encontrar soluções inteiras x e y tais que x 2 y 2 = p, com p primo, é escrever x 2 y 2 = (x y)(x+y) e trabalhar como um problema de fatoração nos inteiros. Da mesma forma, para encontrar x e y inteiros tal que x 2 + y 2 = p, poderíamos escrever (x iy)(x + iy) = x 2 + y 2 e interpretar a equação como um problema em Z[i] = {a + bi a,b Z}, conhecido como o Anel dos Inteiros de Gauss. Os métodos de Diofanto foram estudados, mais adiante, por Fermat, o qual afirmou ( Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la.), que a equação diofantina x n + y n = z n não possui soluções inteiras positivas para n > 2. Isto é, o famoso Último Teorema de Fermat, que demorou mais de 300 anos para ser demonstrado. De acordo com Boyer [1], logo depois de seu doutoramento o matemático Kummer começara a interessar-se pelo último teorema de Fermat. Kummer conseguiu provar o teorema para uma grande classe de expoentes, mas uma prova geral ele não conseguiu. A pedra no caminho parece ter estado no fato de que na fatoração de x n + y n, através da resolução de x n + y n = 0 para x em termos de y, os inteiros algébricos, ou raízes da equação, não satisfazem necessariamente ao teorema fundamental da aritmética, ou seja, não têm fatoração única. Euler também apresentou números algébricos em sua prova de que a equação diofantina y 2 = x 3 2 possui (x,y) = (3,5) como única solução nos números naturais fatorando a equação como x 3 = (y + 2)(y 2). O trabalho de Euler, Lagrange e Legendre sobre formas quadráticas foram formados em uma teoria escrita por Gauss em seu Disquisitiones Arithmeticae publicado em No estudo dessas formas quadráticas, Gauss achou necessário entender o significado da palavra inteiro para incluir os chamados inteiros de Gauss, cujos números formam um domínio de integridade como os inteiros (Z), porém mais gerais. Os problemas de divisibilidade tornam-se mais complicados, pois 5 já não é primo, sendo decomponível no produto dos dois primos 1 + 2i e 1 2i. Nas Disquisitiones Gauss incluiu o Teorema Fundamental da Aritmética, um dos princípios básicos que continuam a valer no domínio de integridade dos inteiros de Gauss. Mais precisamente, ele desenvolveu uma teoria de fatoração em primos para esses números complexos e demonstrou que essa decomposição em primos é única, como acontece com o conjunto dos números inteiros. A teoria dos números, no sentido moderno começa com Dedekind, ele percebeu a importância do fechamento integral, e provou que temos fatoração única em ideais 10

12 primos e em anéis de inteiros. Hilbert traduziu todos os resultados obtidos até agora por Gauss, Dirichlet, e Kummer na linguagem de Dedekind, e em certo sentido, o seu relatório de 1896 concluiu a era clássica da teoria dos números. Ao mesmo tempo, a axiomatização da matemática começou com o surgimento do conceito de grupos abstratos e espaços vetoriais. Foram necessários mais 25 anos até que Emmy Noether finalmente veio com os axiomas que garantem que um anel admite fatoração única em ideais. Tais anéis eram chamados de anéis de Dedekind começando por volta de Para determinar as soluções inteiras de equação de Pell x 2 my 2 = 1, com m > 1, livre de quadrados, convém escrever x 2 my 2 como produto (x y m)(x + y m). As soluções inteiras (a,b) desta equação correspondem aos elementos inversíveis a + b m do anel Z[ m], com norma igual a 1. A Teoria dos Números Algébricos é um ramo da Teoria dos Números em que o conceito de número é expandido para o de número algébrico, que são raízes de polinômios com coeficientes racionais. Um corpo de números algébricos K é uma extensão de corpo finita (e por isso algébrica) dos números racionais. A noção central na Teoria dos Números é a do anel dos inteiros algébricos O K, do corpo algébrico K. Estes anéis de integridade contêm elementos análogos aos inteiros, os chamados inteiros algébricos, os quais são elementos do corpo algébrico K e que são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Nesta conformação, as propriedades familiares aos inteiros (por exemplo, fatoração única) não necessitam valer. Um corpo de números algébricos K é chamado de corpo quadrático quando é uma extensão de grau 2. Um elemento do corpo quadrático K é um inteiro quadrático quando este elemento é raiz de um polinômio com coeficiente inteiros. Contudo, no capítulo 3 definiremos corpo quadrático e anel de inteiros quadráticos de uma maneira diferente. É possível provar que as definições do capítulo 3 são equivalentes as definições acima, mas este não é o objetivo deste trabalho. Vamos estudar estes conjuntos de forma particular, sem estar diretamente relacionados com a Teoria dos Números Algébricos. Este trabalho está divido da seguinte forma: No Capítulo 1 serão apresentados os conceitos mais básicos da álgebra, informações que serão necessárias para melhor compreensão do trabalho. O Capítulo 2, tem como objetivo principal o estudo dos anéis fatoriais, tais anéis generalizam o conceito de fatoração de um número inteiro como produto de números primos. Além disso, serão introduzidos os anéis principais e os euclidianos, afim de descobrir quais relações há entre estes três tipos de anéis. O conjunto dos inteiros quadráticos O(m) é um subanel do corpo Q[ m] = {a+b m a,b Q}, onde m é um inteiro livre de quadrados. Definiremos estes conjuntos no capítulo 3 e apresentaremos as noções de norma, traço e a caracterização dos elementos de O(m). Neste mesmo capítulo, trabalharemos com elementos irredutíveis, inversíveis e anéis de inteiros quadráticos fatoriais e não fatoriais, analisando possíveis anéis quadráticos que são euclidianos. No Capítulo 4, o foco será os ideais dos anéis de inteiros quadráticos. Num primeiro momento, provaremos que todo ideal de O(m) é gerado no máximo por dois elementos, e definiremos a norma de um ideal. Com estas informações, será possível descrever qualquer ideal não trivial como produto de ideais primos, e assim, concluir que o conceito de anel principal e fatorial são equivalentes nos anéis quadráticos. Para finalizar este capítulo apresentamos o conceito de ideal fracionário e grupo de classes, onde a ordem desse grupos determina se O(m) é um anel principal (fatorial). E, finalmente, no Capítulo 5 serão apresentadas às conclusões deste trabalho 11

13 e sugestões para trabalhos futuros. 12

14 Capítulo 1 NOÇÕES BÁSICAS DE ÁLGEBRA Neste capítulo apresentamos alguns conceitos e resultados que vamos explorar nos capítulos que se seguem. Esta exposição resumida tem apenas o propósito de referência usada neste trabalho. Enunciaremos definições, exemplos e proposições da teoria de anéis e grupos. Em geral, na Álgebra estudamos um conjunto não pela natureza de seus elementos, mas sim pelas propriedades de suas operações e a vantagem dessa abordagem está no fato de obtermos propriedades para muitos conjuntos de uma só vez. Mais detalhes podem ser encontrados em textos clássicos como A. Gonçalves [7] e H. Domingues & G. Iezzi [4]. 1.1 ANÉIS Atualmente, quando trabalhamos com conjuntos numéricos dentro da Teoria dos Números, estamos interessados em conhecer as propriedades das relações destes conjuntos, principalmente as propriedades aritméticas dos números inteiros. Os conjuntos com operações que satisfazem axiomas pré-determinados são chamados de estruturas algébricas. O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatização da álgebra, surgiu como consequência da sistematização dos conjuntos numéricos. De outra forma, o conceito de anel está relacionada com a seguinte pergunta: Quais propriedades as operações de um conjunto A devem satisfazer para que possamos fazer contas em A de forma semelhante a que fazemos em Z? A resposta da pergunta leva a duas operações definidas em A que satisfazem a seis axiomas de anel. Definição 1.1. Uma operação em um conjunto não vazio A é uma função de A A em A, isto é, : A A A (a,b) a b. Portanto, uma operação em A associa a cada par de elementos de A um único elemento de A. Definição 1.2. Um anel A é um conjunto não vazio no qual estão definidas duas operações + e (usualmente chamadas soma e produto, respectivamente), satisfazendo as seguintes propriedades: 13

15 (i) a + b = b + a, a,b A (comutatividade da soma). (ii) (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c A (associatividade da soma). (iii) Existe 0 A A tal que a + 0 A = a = 0 A + a, a A soma). (existência do elemento neutro da (iv) Dado a A, existe ( a) A tal que a + ( a) = ( a) + a = 0 A simétrico em relação a soma). (existência do elemento (v) (a b) c = a (b c), a,b,c A (associatividade do produto). (vi) a (b + c) = a b + a c e (a + b) c = a b + a c, a,b,c A (distributividade do produto em relação a soma). Para indicar que o conjunto A é um anel, em relação as operações + e, escrevemos (A, +, ). Quando não houver possibilidade de confusão sobre a operação considerada, podemos nos referir simplesmente ao anel A, sem mencionar as operações. Exemplo 1.1. Os conjuntos numéricos (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ) e (C,+, ) são exemplos clássicos de anéis com as operações usuais de adição (+) e multiplicação ( ). Exemplo 1.2. Seja M 2 (R) o conjunto formado por todas as matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Com as operações usuais de adição e multiplicação de matrizes é possível mostrar que M 2 (R) é um anel. Exemplo 1.3. Denotamos o conjunto de todas as funções de R em R por R R, isto é, R R = { f : R R f é uma função }. Vamos introduzir as operações de adição e multiplicação em R R. Para f,g R R definimos f +g e f g por: (f +g)(x) = f (x)+g(x) e (f g)(x) = f (x)g(x), para todo x R. Decorre diretamente das definições que R R é um anel. Definição 1.3. Dizemos que o anel A é comutativo quando: (vii) a b = b a, a,b A (comutatividade do produto). Definição 1.4. Dizemos que o anel A é um anel com unidade quando: (viii) Existe 1 A A tal que a 1 A = a = 1 A a, a A (elemento neutro do produto). Definição 1.5. Dizemos que o anel A é um sem divisores de zero quando: (ix) a,b A, a b = 0 A a = 0 A ou b = 0 A (lei do anulamento do produto). 14

16 Definição 1.6. Se A é um anel com unidade, comutativo e sem divisores de zero, então A recebe o nome de anel de integridade ou domínio de integridade (ou simplesmente domínio ). Proposição 1.1. Um anel A comutativo com unidade é um anel de integridade se, e somente se, todo elemento não nulo de A é regular quanto a multiplicação, isto é, a,b,c A, a 0 e ab = ac b = c (lei do cancelamento do produto). Demonstração: ( ) Suponhamos que ab = ac, para quaisquer a,b,c A e a 0. Temos que, ab = ac ab ac = 0 a(b c) = 0 b c = 0 b = c, pois A é um anel de integridade. ( ) Uma vez que o anel A é comutativo e com unidade, precisamos apenas mostrar que se b A tal que ab = 0, então b = 0. De fato, ab = 0 = a0 ab = a0 b = 0, pela lei do cancelamento. Portanto A é um anel de integridade. Exemplo 1.4. O conjunto dos números inteiros Z é um anel de integridade. Exemplo 1.5. O anel M 2 (R) é um anel com unidade, tendo como unidade a matriz identidade, mas M 2 (R) possui divisores de zero e não é comutativo. Podemos ver isso nos contra-exemplos abaixo. Se então, A = AB = ( ) ( 4 ) e B = e BA = ( ) 2 1, 1 0 ( ) Logo, AB BA e M 2 (R) não é comutativo. Agora, tomando ( ) ( ) C = e D =, ( ) 0 0 temos que C e D são matrizes não nulas, porém CD =. 0 0 Exemplo 1.6. Notamos que a função constante igual à 1 é a unidade de R R e como R é comutativo, segue que R R { é comutativo. Contudo, R{ R possui divisores de zero. Para 1 se x < 0 0 se x < 0 ver isso basta tomar f (x) = 0 se x 0 e g(x) =. Ambas funções 1 se x 0 são não nulas, porém seu produto é nulo. 15

17 Definição 1.7. Um corpo K é um anel comutativo com unidade que satisfaz: (x) Dado a K e a 0, existe a 1 K tal que a a 1 = a 1 a = 1 K (existência do elemento inverso em relação ao produto). Observação 1.1. Seja A um anel com unidade. Dizemos que a A é elemento inversível quando existe b A tal que ab = ba = 1. Denotamos o inverso de a por a 1 e o conjunto dos elementos inversíveis de A por U (A). U (A) = {a A b A tal que ab = ba = 1}. Exemplo 1.7. (Z,+, ) não é corpo, pois os únicos elementos que possuem inverso são 1 e 1. Exemplo 1.8. Os anéis (Q, +, ), (R, +, ) e (C, +, ) são corpos Subanel Definição 1.8. Sejam A um anel e B um subconjunto não vazio de A. Dizemos que B é um subanel de A se, para quaisquer x,y B, tem-se: (i) x y B (ii) xy B Observação 1.2. Se B é um subanel de A, então, em particular, B é um anel. Realmente, temos por hipótese que a multiplicação é fechada em B. Além disso, os axiomas de anel (i), (ii), (v) e (vi) são hereditários. Vamos provar os demais axiomas de anel. (iii) Se x B, por hipótese, 0 A = x x B. Como 0 A é o elemento neutro para a adição em A, também será em B. (iv) Seja y B. Vimos que 0 A B, daí, y = 0 A y B. E por fim, a adição é fechada em B. Se x,y B, temos que y B e x + y = x ( y) B. Exemplo 1.9. Seja n um número natural fixo, o subconjunto nz = { nx : x Z } é um subanel de Z. Definição 1.9. Dizemos que m Z, m 1 e m 0, é livre de quadrados quando o único quadrado que divide m é 1. Isto é, x 2 m implica que x 2 = 1. Note que m = 1 é livre de quadrados e que 1 = i Q. Afirmação: Se m Z é livre de quadrados e m 1, então m Q. Suponhamos que m Q. Então, existem p,q Z com mdc(p,q) = 1, tal que m = p q m = p q m = p2 q 2 mq2 = p 2 p m 16

18 Escrevemos m = pt, t Z, e substituímos na igualdade mq 2 = p 2 ptq 2 = p 2 tq 2 = p p t Escrevemos t = pu, u Z, e substituímos em m = pt, daí, m = p 2 u. Então, p 2 m. Como m é livre de quadrados, temos que p 2 = 1. Contradição. Logo, m Q. Exemplo Para cada número m Z, livre de quadrados, o conjunto Z[ m] = { a + b m a,b Z } é um subanel de (C,+, ) com as operações usuais. Óbvio que Z[ m] é não vazio. Sejam x = a + b m e y = c + d m, temos que x y = a + b m (c + d m) = (a c) + (b d) m Z[ m] e xy = (a + b m)(c + d m) = (ac + bdm) + (ad + bc m) Z[ m]. O anel Z[ m] é chamado de anel Z adjunção m. Exemplo De maneira análoga ao exemplo anterior, podemos construir o anel Q adjunção m, Q[ m] = { a + b m a,b Q }, que é subanel de (C,+, ). Também, podemos observar que, Z[ m] é subanel de Q[ m]. Observação 1.3. Os elementos de Q[ m] são escritos de forma única, isto é, sejam a + b m, c + d m Q[ m], então a + b p = c + d m a = c e b = d. De fato, suponhamos que b d, então d b 0. De a + b m = c + d m temos que a c = (d b) m e consequentemente m = a c d b Q. Como vimos acima, m Q. Portanto nossa suposição é falsa e b = d. Logo, de a + b m = c + d m temos que a = c. A recíproca é óbvia. De forma análoga, os elementos de Z[ m] são escritos de forma única. Observação 1.4. Em geral, se α C e α Q, definimos Z adjunção α por Z[α] = {a + bα a,b Z} Proposição 1.2. Seja B um subanel do anel A. (a) Se A é comutativo, então B é comutativo. 17

19 (b) Se A é anel sem divisores de zero, então B é anel sem divisores de zero. Demonstração: Imediata, pois estas propriedades são hereditárias de A. Observação 1.5. Como consequência da proposição acima, temos que: Q[ m] é subanel comutativo e sem divisores de zero do anel C. Z[ m] é subanel comutativo e sem divisores de zero do anel Q[ m]. Além disso, podemos ver que 1 é a unidade em Z[ m] e Q[ m]. Exemplo Temos que Z[ m] e Q[ m] são anéis de integridade. Todavia, Q[ m] é corpo. Para assegurar isso, falta apenas provar que todo elemento não nulo de Q[ m] possui inverso. Seja x = a + b m Q[ m], precisamos encontrar y Q[ m] tal que xy = 1. Temos que, (a + b m)y = 1 implica em 1 y = a + b m = a b m a 2 mb 2 = a a 2 mb 2 b m a 2 mb 2 Q[ m]. Exemplo O anel Z[ m] não é um corpo. Temos que U (Z[ m]) = { a + b m Z[ m] a 2 mb 2 = ±1}. Vamos mostrar primeiro que todo elemento do conjunto { a+b m Z[ m] a 2 mb 2 = ±1} é inversível. Se a + b m Z[ m] e a 2 mb 2 = ±1, temos: ±1 = a 2 mb 2 = (a + b m)(a b m) Portanto o inverso de a + b m é a b m Z[ m] ou (a b m) Z[ m]. Agora vamos provar que todo elemento de U (Z[ m]) é desta forma. Seja a + b m U (Z[ m]), então existe c + d m Z[ m] tal que 1 = (a + b m)(c + d m) = (ac + mbd) + (ad + bc) m. Daí temos que Temos também ad + bc = 0 e ac + mbd = 1. (a b m)(c d m) = (ac + mbd) (ad + bc) m = 1. Assim 1 = 1.1 = (a + b m)(c + d m)(a b m)(c d m) = (a 2 mb 2 )(c 2 md 2 ) Logo, (a 2 mb 2 )(c 2 md 2 ) = 1. Como a 2 mb 2,c 2 md 2 Z, concluímos que a 2 mb 2 = ±1. 18

20 1.1.2 Ideais Definição Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que I é um ideal de A se, para quaisquer x,y I e qualquer a A tem-se: (i) x y I (ii) ax I. Exemplo O subconjunto I = {f : R R f (1) = 0} R R é um ideal de R R. Exemplo Seja A um anel e x 1,x 2,,x n A. O conjunto I = Ax 1 + Ax 2 + Ax n = {a 1 x 1 + a 2 x a n x n A a i A, i = 1, n} é um ideal de A. De fato, 0 I, pois 0 = 0x 1 + 0x x n, vem que I não é vazio. Sejam c = a 1 x 1 + a 2 x a n x n e d = b 1 x 1 + b 2 x b n x n, onde a i,b i A, para 1 i n. Desde que A é anel, temos que a i b i A, para 1 i n. Daí, d c = (b 1 a 1 )x 1 + (b 2 a 2 )x (b n a n )x n I. Para finalizar, seja b A um elemento arbitrário, então pois cada um dos ba i pertencem a A. bc = (ba 1 )x 1 + (ba 2 )x (ba n )x n I, Muitas vezes denotamos Ax 1 + Ax 2 + Ax n por x 1,x 2,,x n e dizemos que x 1,x 2,,x n é um ideal gerado por x 1,x 2,,x n. Em particular, se A é um anel e x A, então x é um ideal denominado ideal principal de A gerado por x. Exemplo Seja n Z. O conjunto dos múltiplos de n, nz = {nx x Z}, é um ideal de Z gerado por n. Proposição 1.3. Seja I um subconjunto não vazio de Z. Então, I é um ideal de Z se, e somente se, existe n Z tal que I = nz. Mais precisamente, todo ideal de Z é um ideal principal. Demonstração: ( ) Se I = {0}, é claro que 0Z = {0}. Suponhamos que I {0}. Seja n I o menor elemento estritamente positivo. Dado a I, pelo algoritmo de Euclides, existem q,r A tal que a = nq + r, com (0 r < n). Daí, r = a nq. Logo, r I, já que a,n I. Como n é o menor elemento estritamente positivo de I, não podemos ter 0 < r < n, portanto r = 0 e a = nq, ou seja, a n. Portanto, I n. Como n I, pois n I, temos que I = n = nz. ( ) Vamos provar que nz é ideal de Z. Sejam x,y nz, com x = nm 1 e y = nm 2, 19

21 m 1,m 2 Z. Temos que x y = nm 1 nm 2 = n(m 1 m 2 ) nz. Agora, seja a Z, então ax = anm 1 = n(am 1 ) nz. Logo, nz é ideal de Z. Exemplo Seja I 1 I 2 I 3... uma sequência de ideais num anel A. Então, I = I n é um ideal em A. De fato, I é um conjunto não vazio e sejam a A e x,y I, n=1 então x I i para algum i N e y I j para algum j N. Se I i I j x,y I j x y I j e ax I j x y I e ax I. De forma análoga se I j I i. Definição Sejam A um anel comutativo e M um ideal de A. Dizemos que M é um ideal maximal de A quando M A e I é um ideal de A e M I A I = M ou I = A. Ou seja, o único ideal de A que contém M, e é diferente de M, é o próprio anel A. Exemplo Seja I = {0} o ideal nulo de Z. Então I não é ideal maximal, pois {0} 2Z Z. Exemplo Se p é um número primo então pz é ideal maximal em Z. De fato, temos que pz Z. Seja I um ideal de Z tal que pz I Z. Vimos na Proposição 1.3 que I = mz para algum m N. De p pz I = mz, temos que m p, mas como p é primo, logo m = 1 ou m = p. Se m = 1, então I = mz = Z. Se m = p então I = mz = pz. Portanto pz é ideal maximal de Z. Definição Seja A um anel comutativo. Dizemos que um ideal P de A, P A, é um ideal primo se, sempre que xy P implicar x P ou y P. Se P 0, P é dito ideal próprio de A. Observação 1.6. Se A é um anel de integridade, então P = {0} é um ideal primo de A. Proposição 1.4. Num anel de integridade A todo ideal maximal é primo. Demonstração: Seja M um ideal maximal de A. Sejam a,b A, com ab M. Suponhamos que a M. Temos que < a > +M é ideal de A. Como a M, vem que M < a > +M. Logo < a > +M = A, pois M é um ideal maximal. Desta forma, temos que 1 = ax + my, com x,y A e m M. Segue que b = abx + bm M. Observação 1.7. A recíproca do teorema acima não é válida. Temos que P = {0} é um ideal primo em Z, mas não é um ideal maximal Z. Definição O produto de dois ideais I e J, de um anel de integridade A, é o ideal n IJ = a i b i ; n N, a i I e b i J. i=1 É fácil ver que IJ é de fato um ideal de A, contido em I J. Note que IJ é o conjunto de todas as somas finitas de produtos de um elemento de I por um elemento de J. 20

22 1.1.3 Homomorfismos de Anéis Dentre todas as aplicações existentes entre dois anéis A e B arbitrários, destacaremos os homomorfismos e isomorfismos, que são importantes por serem aplicações que preservam as operações de soma e produto definidas no anel. Definição Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f : A B é chamada homomorfismo de A em B se, para todo x,y A, tem-se: (i) f (x + y) = f (x) + f (y), (ii) f (xy) = f (x)f (y). Definição Dado um homomorfismo de anéis f : A B, o núcleo de f é o subconjunto N(f ) A, definido por N(f ) = {x A f (x) = 1 B }, e a imagem de f é o subconjunto Im(f ) B (ou f (A)), definido por Im(f ) = {y B x A tal que y = f (x)}. Observação 1.8. Dado um homomorfismo de anéis f : A B, é fácil verificar que o N(f ) é um ideal de A e Im(f ) é um subanel de B. Além disso, N(f ) = {0} se, e somente se, f é injetora. De fato, suponhamos que f (b) = f (a), então f (a b) = 0 e a b N(f ) = {0}, logo, a = b e f é injetora. Por outro lado, se a N(f ), então f (a) = 0 = f (0), sendo f injetora, temos que a = 0 e assim N(f ) = {0}. Definição Sejam A e B anéis arbitrários. Uma aplicação f : A B é chamada isomorfismo de A em B se (i) f é um homomorfismo de anéis, (ii) f é bijetora Anéis Quocientes Definição Seja A um anel e I um ideal de A. Para todo x,y A, definimos a relação x congruente a y módulo I, por x y (mod I) x y I. Proposição 1.5. A relação definida acima é uma relação de equivalência em A. Demonstração: Para quaisquer x,y,z A temos: x x (mod I), pois 0 = x x I. x y (mod I) y x (mod I), pois y x = (x y) I. x y (mod I) e y z (mod I) x z (mod I), pois x z = (x y) + (y z) I. 21

23 Denotamos por x = {y A y x (mod I)} a qual chamamos de classe de equivalência do elemento x A. Observe que y x se, e somente se, y x I, por isso, também denotamos a classe x por x = x + I = {x + z z I}. Chamamos de conjunto quociente de A por I ao conjunto A I = {x = x + I x A}. Se A é um anel e I um ideal de A, para todo x,y A, definimos em A I as operações: (i) x + y = x + y, = {x x A} (ii) xy = x y. Com as operações acima o conjunto A I é um anel. Podemos observar que, se A tem unidade 1, então 1 é a unidade de A I e se A é comutativo, então A I também é comutativo. Teorema 1.1. Seja A um anel comutativo com unidade e seja I um ideal de A. Então, I é um ideal maximal de A se, e somente se, A I Demonstração: é um corpo. ( ) Suponhamos que I é um ideal maximal de A, e seja 0 a A. Temos que I provar que existe b A tal que ab = 1. Seja L = a ideal gerado por a. Temos que I I + L = {x + y x I, y L} é um ideal que contém I, e ainda, a 0 se, e somente se, a I. Como a = 1 a L I + L temos que I + L é um ideal que contém I e I + L I. Pela maximalidade de I, segue que A = I + L. Logo, 1 I + L e, portanto, existe u I e v L tais que 1 = u + v. Mas, v L = a, então v = ba, para algum b A. Ou seja, 1 = u + ba. Daí, temos que 1 = u + ba = u + ba = 0 + b a. Logo, ab = 1, como queríamos. ( ) Suponha que A I seja corpo. Assim, 0,1 A e então I A. Se M I é um I ideal de A e I M A, então existe a M, a I, ou seja, a 0, a A I. Como A I é corpo, existe b A I tal que a b = 1, ou ainda, ab 1 (mod I) ab 1 I. Logo, existe u I tal que ab 1 = u, ou seja, 1 = ab u. Como a M, segue que ab M, e como u I M, temos que u M. Logo, 1 = ab u M, e M = A, como queríamos. Proposição 1.6. Seja I um ideal maximal do anel A. Se 1 I, então I = A. Demonstração: A inclusão I A segue da definição de ideal. Vamos mostrar que A I. Seja a A. Como 1 I, segue que a = a 1 I. Logo, A = I. 22

24 Teorema 1.2. (Teorema do Isomorfismo). Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Então: é isomorfismo. A ϕ : Im(f ) N(f ) a f (a) Demonstração: Temos que Im(f ) é subanel de B e N(f ) é ideal de A. Portanto, ϕ : A Im(f ), tal que ϕ(a) = f (a), é uma função entre anéis. No entanto, os elementos N(f ) A de são classes de equivalência, e então devemos provar que ϕ não depende da N(f ) escolha dos representantes das classes. Isto é, se a = b em A, então ϕ(a) = ϕ(b). N(f ) De a = b, temos que a b N(f ) e, daí 0 = f (a b) = f (a) f (b) = ϕ(a) ϕ(b) Logo, ϕ(a) = ϕ(b) e ϕ está bem definida. Agora vamos ver que ϕ é homomorfismo. Sejam a,b A N(f ), então e Logo, ϕ é homomorfismo. ϕ(a + b) = ϕ(a + b) = f (a + b) = f (a) + f (b) = ϕ(a) + ϕ(b) ϕ(ab) = ϕ(ab) = f (ab) = f (a)f (b) = ϕ(a)ϕ(b) Para ver que ϕ é sobrejetora, tome y Im(f ). Então y = f (x) para x A. Se x ϕ(x) = f (x) = y, concluímos que ϕ é sobrejetora. Para mostrar que ϕ é injetora, vamos mostrar que N(ϕ) = {0}. u N(ϕ) ϕ(u) = 0 f (u) = 0 u N(f ) u 0 N(f ) u = 0 Portanto, ϕ é isomorfismo de anéis. A N(f ) e Um exemplo importante de anel quociente são os chamados anéis Z n que são formados pelos anéis quociente Z nz. Se n N, então Z n = {0,1,...,n 1} é um conjunto finito, contendo n classes de equivalência. Proposição 1.7. (i) O anel Z n é um anel de integridade se, e somente se, n é primo. (ii) Se n for primo, então Z n = {0,1,...,n 1} é corpo. Demonstração: 23

25 (i) ( ) Suponhamos que n não seja primo. Então n = ab, com 1 < a,b < n. De n = ab, temos que 0 = n = ab, onde a 0 e b 0, ou seja, se n não for primo, Z n possui divisores de zero. ( ) Suponhamos que n seja um número primo, e sejam a,b Z n. Se ab = 0, vamos provar que a = 0 ou b = 0. Se ab = 0, temos que ab = 0, ou seja, ab 0 (mod n), ou ainda, n ab. Sendo n primo, n a ou n b. Se n a, a = 0 e se n b, b = 0, como queríamos. (ii) Vimos que se n é um número primo, então nz é um ideal maximal. Segue do Teorema 1.1 que Z n é corpo. Reciprocamente, se Z n é corpo, então nz é maximal, e portanto, n é primo. 1.2 GRUPOS Definição Um grupo G é um conjunto não vazio no qual está definido uma operação, satisfazendo as seguintes propriedades: (i) (x y) z = x (y z), x,y,z G (associatividade). (ii) Existe 1 G G tal que x 1 G = x = 1 G x, x A (existência do elemento neutro). (iii) Dado x G, existe x 1 G tal que x x 1 = x 1 x = 1 G inverso). (existência do elemento Notação: (G, ) ou simplesmente, G. Em geral, usamos a multiplicação como operação para um grupo qualquer. (iii) Dizemos que G é um grupo abeliano ou comutativo se x y = y x, para todo x,y G. Exemplo (Z,+) é um grupo aditivo abeliano, sendo 0 o elemento neutro. (Q, ) é um grupo multiplicativo abeliano com elemento neutro 1. GL 2 = {A M 2 (R) det(a) 0} é um grupo multiplicativo (não abeliano) e a matriz identidade é o elemento neutro. Definição Um subconjunto H do grupo G é um subgrupo de G se, para todo x,y H, temos que x y 1 H, onde y 1 é o inverso de y em H. 24

26 Observação 1.9. Um subgrupo é, por si só, um grupo. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: G e {1}, sendo 1 o elemento neutro de G. Esses subgrupos são chamados subgrupos triviais de G. Exemplo (nz,+) é um subgrupo de (Z,+). Definição Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que x,y G são congruentes, módulo H se, e somente se, xy 1 H. Notação: x y (mod H). Simbolicamente, x y (mod H) xy 1 H. Proposição 1.8. A relação x y (mod H) definida acima é uma relação de equivalência. Demonstração: x x (mod H) x G, pois 1 = xx 1 H. x y (mod H) y x (mod H), pois se xy 1 H então yx 1 = (xy 1 ) 1 H. x y (mod H) e y z (mod H) x z (mod H), pois xy 1 H e yz 1 H xz 1 = (xy 1 )(yz 1 ) H. Logo, é uma relação de equivalência. Seja G um grupo abeliano. Consideremos agora a classe de equivalência x = {y G y x (mod H)} e representaremos o conjunto quociente G H = {x x G} = {Hx x G} = {xh x G}, que é o conjunto de todas as classes laterais de H em G. Proposição 1.9. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para todo x,y G, definiremos (xh)(yh) = (xy)h. Com isso temos que G H é um grupo. Demonstração: A multiplicação é fechada, pois definimos assim. Vamos mostrar as outras propriedades. Associativa: [(xh)(yh)](zh) = [(xy)h](zh) = (xyz)h = (xh)[(yz)h] = (xh)[(yh)(zh)] = (xh)[(yz)h], x, y, z G. 25

27 Elemento neutro: (xh)(h) = xh, x G. Elemento inverso: (xh)(x 1 H) = (xx 1 )H = H, Logo, G H é um grupo, sendo H o elemento neutro. Exemplo Temos que, para cada n Z, o conjunto nz, com a operação soma, é um subgrupo de Z e o grupo quociente Z nz = Z n = {0,1,,n 1}. Definição Seja G um grupo finito, representamos por G o número de elementos de G, e definimos a ordem de G como sendo o número G de elementos de G. 26

28 Capítulo 2 ANÉIS PRINCIPAIS, FATORIAIS E EUCLIDIANOS Neste capítulo, nosso principal objetivo e definir e estudar anéis de integridade fatoriais. Para uma melhor compreensão, vamos iniciar revendo dois teoremas bem conhecidos: O Teorema Fundamental da Aritmética e o Teorema Fundamental da Álgebra. O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que para cada número inteiro a diferente de 0, 1 e 1, existem primos positivos p 1 < p 2 <... < p r e inteiros positivos n 1,n 2,,n r tais que a = ±p n 1 1 pn 2 2 pn r r, ou seja, podemos escrever qualquer número inteiro não nulo e não inversível como produto de números primos. O mais importante, é que essa fatoração é única. Também, não se discute a fundamental importância desse teorema na Teoria do Números. O Teorema Fundamental da Aritmética foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de Euclides. O segundo teorema, o Teorema Fundamental da Álgebra, afirma que qualquer polinômio p(x) com coeficientes complexos de uma variável e de grau n 1 admite pelo menos uma raiz complexa. Uma consequência do Teorema Fundamental da Álgebra é que qualquer polinômio p(x) com coeficientes complexos e grau n 1 pode ser escrito como produto de polinômios de primeiro grau com coeficientes complexos, mais precisamente, p(x) = u(x x 1 )...(x x n ), onde x 1,...,x n são as raízes do polinômio e u é um número complexo. Novamente, essa fatoração é única a menos da ordem dos fatores. De forma mais geral, se K é um corpo, o conjunto K[x] = { a 0 + a 1 x a i x i + a i K i N e n N tal que a j = 0 j > n }, é um anel de integridade, denominado anel de polinômios com coeficientes em K. O anel K[x] apresenta importantes semelhanças algébricas com o anel Z dos números inteiros. O conceito de polinômio irredutível corresponde no anel dos inteiros, ao de números primos. Convém mencionar, contudo, que em situações mais gerais os conceitos de elemento primo e elemento irredutível em um anel de integridade não 27

29 coincidem. Informalmente, um anel de integridade A recebe o nome de anel fatorial se todo elemento a A, não nulo e não inversível, pode ser expresso como produto finito de elementos irredutíveis de modo único, a menos de uma permutação. 2.1 ELEMENTOS PRIMOS E IRREDUTÍVEIS Definição 2.1. Sejam A um anel e a,b A. Dizemos que a é um divisor de b quando existe c A tal que b = ac. Usaremos a notação a b para indicar que a é divisor de b e lê-se "a divide b" ou "b é múltiplo de a". O elemento c da definição acima é chamado de quociente da divisão de b por a. Exemplo 2.1. Em Z[i] temos que 1 + i divide 2, pois 1 i Z[i] e (1 + i)(1 i) = 2. Exemplo 2.2. Em Z 10 temos que 2 divide 6, pois 2 3 = 6. Note que também 2 8 = 16 = 6. No exemplo acima vemos que 2 divide 6 em Z 10 com dois quocientes diferentes. Nosso interesse é por anéis onde o quociente é único. Lema 2.1. Sejam A um anel de integridade, a,b A e a 0. Se a b então o quociente é único. Demonstração: Suponhamos que c,c A sejam quocientes da divisão de b por a. Então ac = b e ac = b. Igualando temos: ac = ac ac ac = 0 a(c c ) = 0. Desde que A é um anel de integridade e a 0, vem que c = c. Em função do Lema 2.1, a partir deste momento vamos trabalhar apenas com anéis de integridade. Definição 2.2. Sejam A um anel de integridade e a,b A. Dizemos que a é associado de b quando a b e b a. Usaremos a notação a b para indicar que a é associado de b. Proposição 2.1. Sejam A um anel de integridade e a,b A são equivalentes: (a) a b. 28

30 (b) a = b (c) Existe u U (A) tal que b = au. Demonstração: (a) (b) Como a b, existem c,d A tal que b = ac e a = bd. Seja x a, então existe r A tal que x = ar e, como a = bd, temos que x = b(dr). Logo, x b e a b. A inclusão contrária é análoga. (b) (c) Como a = b e a a, existe r A tal que a = br. Analogamente, b = as para algum s A. Portanto, a = a(rs). Se a = 0, então b = 0 e vale a igualdade 0 = 0 1, como 1 é inversível, está provado nossa tese. Se a 0, ficamos com rs = 1 e, portanto, r é inversível. Como a = br, a tese está provada. (c) (a) Por hipótese, b = au, u U (A). Segue que a b. Além disso, de b = au temos a = bu 1 e então b a. Portanto, a b. Observação 2.1. A relação definida acima sobre um anel de integridade A é uma relação de equivalência. De fato, (i) é reflexiva Seja a A, então a a, pois a = a 1 onde 1 é inversível. (ii) é transitiva Sejam a,b,c A. Se a b e b c, então a = bu e b = cv para u,v U (A), temos que a = c(vu), com vu U (A), daí a c. (iii) é simétrica Sejam a,b A. Se a b, então a = bu com u U (A). Segue que b = au 1 e u 1 U (A). Logo, b a. Sejam A um anel de integridade e a A. É claro que 1 a. Então a 1 se, e somente se, a 1. Uma vez que os divisores de 1 são os elementos inversíveis temos que U (A) = {a A a 1}. Exemplo 2.3. Como U (Z) = {±1}, temos que os elementos associados a 3 Z são 3 e -3. Definição 2.3. Seja A um anel de integridade. Dizemos que um elemento d A é máximo divisor comum dos elementos a,b A se: (i) d a e d b (ii) Se d A, d a e d b, então d d Notação: d = mdc(a,b). Dois elementos a,b A se dizem primos entre si se admitem a unidade de A como máximo divisor comum. 29

31 Definição 2.4. Seja A um anel de integridade. Dizemos que um elemento m A é mínimo múltiplo comum de a e b se: (i) a m e b m (ii) Se m A, a m e b m, então m m Notação: m = mmc(a,b). Definição 2.5. Sejam A um anel de integridade e p A um elemento não nulo. Dizemos que p é um elemento primo se p é não inversível e satisfaz a seguinte propriedade: a,b A, p ab p a ou p b. Definição 2.6. Um elemento p não nulo de um anel de integridade A é chamado irredutível se p é não inversível e vale: a,b A, p = ab a U (A) ou b U (A). Se um elemento a A é não nulo, não inversível e não irredutível, então a é chamado redutível ou composto. Proposição 2.2. Todo elemento primo de um anel de integridade A é irredutível. Demonstração: Seja p A um elemento primo. Por definição, p 0 e p U (A). Para provar que p é irredutível, considere a,b A tais que p = ab. Devemos mostrar que a U (A) ou b U (A). De p = ab vem que p ab e como p é primo temos que p a ou p b. Supondo que p a, então existe c A tal que a = pc. Substituindo em p = ab temos p = p(cb). Como A é um anel de integridade e p 0, obtemos cb = 1. Segue que b U (A). De modo análogo, supondo que p b obteremos que a U (A). Portanto, p é irredutível como queríamos. Exemplo 2.4. Se p é um número primo positivo em Z, então o elemento p é redutível em Z[ p], ou seja, p não é irredutível em Z[ p]. De fato, observamos que p não é inversível em Z[ p], de acordo com o Exemplo Além disso, p = p p, onde p Z[ p] não é inversível, também pelo Exemplo Portanto p é redutível em Z[ p], pela contrapositiva da Proposição 2.2, p não é primo. Exemplo 2.5. O elemento p é primo em Z[ p], para todo número primo positivo p Z. Pelo Exemplo 1.13, p U (Z[ p]). Para ver que p é elemento primo tomamos α = a + b p, β = c + d p Z[ p], tais que p αβ. Devemos mostrar que p α ou p β. Se p αβ, então existe x + y p Z[ p] tal que p(x + y p) = αβ = (ac + pbd) + (ad + bc) p. Segue que ad + bc = x e ac + pbd = py. E ac + pbd = py p(y bd) = ac p ac p a ou p c. 30

32 Se p a, então pt = a para algum t Z e α = a + b p = pt + b p = p(b + t p), implica que, p α. Se p c, então pu = c para algum u Z e β = c + d p = pu + d p = p(d + u p), implica que p β. Logo, p é elemento primo em Z[ p]. Podemos concluir, pela Proposição 2.2, p é irredutível em Z[ p]. Observação 2.2. Não vale a recíproca da Proposição 2.2. Por exemplo, no anel Z[ 5], 2 é irredutível e 2 (1+ 5)(1 5) e, no entanto, 2 não divide (1+ 5) nem (1 5), logo, 2 não é primo em Z[ 5]. Contudo, no conjunto Z dos números inteiros, temos que se p Z e p é primo se, e somente se, p é irredutível. Lema 2.2. Seja p Z, p 0 e p U (Z) = {±1}. São equivalentes: (a) p é um número primo. (b) p é elemento primo. (c) p é elemento irredutível. Demonstração: (a) (b) Sejam a,b Z tais que p ab. Se p a a demonstração acabou. Se p a então mdc (a,b) = 1. Pela identidade de Bezout, existem x,y Z tais que ax + by = 1. Multiplicando por b vem que abx+pby = b. Como p ab e p p temos que p (abx+pby), isto é, p b. Portanto, p é elemento primo. (b) (c) Segue da Proposição 2.2. (c) (a) Seja a Z tal que p a. Assim existe b Z tal que p = ab. Por hipótese, a U (Z) = {±1} ou b U (Z) = {±1}. Se a = ±1 nada temos para fazer. Se b = ±1, substituímos em p = ab obtendo a = ±p. Logo p é um número primo. 2.2 ANÉIS FATORIAIS Definição 2.7. Um anel de integridade A recebe o nome de anel fatorial se: (i) todo elemento a A, não nulo e não inversível, pode ser fatorado do seguinte modo: a = p 1 p 2...p n, onde n N e os p i irredutíveis; (ii) se a = q 1 q 2...q s, onde s N e os q j também são irredutíveis, então n = s e cada fator p i é associado de um fator q j. Ou seja, a fatoração é única. Observação 2.3. Na decomposição a = p 1 p 2...p n podemos ter alguns pares de fatores p i e p j associados, com i j. É conveniente agrupar os fatores associados entre si. Dessa maneira a decomposição assume o seguinte forma: a = up n 1 1 pn 2 2 pn r r, onde u é inversível, n 1,,n r são inteiros positivos e p i e p j não são associados se i j. 31

33 Exemplo 2.6. Pelo Lema 2.2, temos que p Z e p é primo se, e somente se, p é irredutível. Desta forma e pelo Teorema Fundamental da Aritmética, o conjunto Z dos números inteiros é um anel fatorial. Proposição 2.3. Sejam A um anel fatorial e p um elemento de A. Então, p é um elemento primo se, e somente se, p é irredutível Demonstração: ( ) Segue da Proposição??. ( ) Suponhamos que a,b A e que p ab. Se a U (A), então p b. Se b U (A), então p a. São triviais os casos em que a = 0 ou b = 0. Agora, suponhamos que a e b são não nulos e não inversíveis. Como p ab, existe c A tal que ab = pc. Sejam a = p 1 p 2...p m e b = q 1 q 2...q n as decomposições de a e b em fatores irredutíveis. Então p 1...p m q n = pc. Pela definição de anel fatorial p deve ser associado ou de um dos p i ou de um dos q j. No primeiro caso p a, e se o segundo caso acontecer, p b. O mais importante na definição de anel fatorial é a "unicidade" da fatoração. Realmente, fatorar em irredutíveis acontece em muitos casos, mas sem a unicidade isso tem pouca valia na resolução de problemas. Por um instante vamos trabalhar em Z[ 6]. Existem duas fatoração, 6 = 2 3 e 6 = 6 6. Aqui os elementos 2,3, 6 são irredutíveis (porque eles não podem ser escritos como um produto de fatores não "triviais" em Z[ 6]), porém, eles não são primos. De fato, 6 é divisor de 6 = 2 3, mas não é um divisor de 2 e nem de 3 no anel Z[ 6]. Ao decorrer deste trabalho, vamos ver que reconhecer um anel fatorial não é uma tarefa fácil. Para tentar desvendar se A é um anel fatorial, estudaremos duas condições suficientes. No primeiro momento, demonstraremos que se A é um anel de integridade principal, então A é um anel fatorial. Posteriormente, se A é um anel de integridade euclidiano, então A também é fatorial. 2.3 ANÉIS PRINCIPAIS Lembramos que se A é um anel e x A, então x = {xa A a A} é um ideal de A denominado ideal principal gerado por x. Definição 2.8. Dizemos que um anel de integridade A é principal se todos os seus ideais são principais. O exemplo mais simples de anel principal é o anel dos inteiros Z. Demonstramos isso na Proposição 1.3. Com a intenção de provar que todo elemento não nulo e não inversível de um anel principal pode ser fatorado em elementos irredutíveis de "maneira única", necessitamos de algumas proposição e lemas, que a seguir serão expostos. 32

34 Proposição 2.4. Num anel principal A todo elemento irredutível p A é primo. Demonstração: Seja p um elemento irredutível. Então, por definição, p 0 e p não é inversível. Supondo que p ab, onde a,b A, precisamos provar que p a ou p b. Consideramos um ideal gerado por p,a. Como A é principal, existe d A tal que p,a = d. Como p pertence a esse ideal, existe q A tal que p = dq. Se p é irredutível, então ou d é inversível ou q é inversível. Se d é inversível, então 1 = dd 1 d = p,a. Logo existem x,y A tal que px + ay = 1, implica que, p(bx) + (ab)y = b. Como p divide ambas as parcelas do segundo membro desta equação, concluímos que p b. Se q é inversível, então p = dq implica que d = pq 1. Por outro lado, a d, então a = dq 1, com q 1 A. Portanto a = p(q 1 q 1 ) o que nos garante que p a. Proposição 2.5. Um elemento p 0 de um anel principal A é irredutível se, e somente se, o ideal p é maximal. Demonstração: ( ) Suponhamos p irredutível e admitamos que a seja um ideal em A tal que p a. Então existe q A de maneira que p = aq. Sendo p é irredutível, então q é inversível ou a é inversível. Devemos descartar q é inversível, pois resultaria p = a. Então a é inversível, do que resulta a = A. ( ) Suponhamos p maximal. Então p não é inversível, pois p inversível implica em p = A. Se p = ab, então p a. Donde a = p ou a = A. O primeiro caso leva a a p e portanto b é inversível. O segundo caso nos leva a que a é inversível. Lema 2.3. Seja I 1 I 2 I 3... uma sequência de ideais num anel principal A. Então I = I n é um ideal de A e existe r 1 de modo que I r = I r+1 =... n=1 Demonstração: Segue do Exemplo 1.17 que I é um ideal de A. Uma vez que A é um anel principal, existe d A tal que I = d. Estando d em I, existe r 1 de maneira que d I r. Vamos mostrar que I = I r. Para isso basta provar que I I r. Se x I, existe a A tal que x = da. Como d I r, x também pertence a I r. Assim, I I r. Logo, usando esse mesmo raciocínio, chegaremos que I r = I r+1 =... Lema 2.4. Seja A um anel principal. Então, um elemento a A, não nulo e não inversível, admite um divisor irredutível. Demonstração: Tomemos o ideal I 0 = a. Se este ideal é maximal, então a é irredutível. Caso contrário, existe a 1 A tal que I 0 I 1 = a 1. Se I 1 é maximal, a 1 é irredutível. Caso contrário, existe a 2 A tal que I 0 I 1 I 2 = a 2. Como a sequência de ideais obtida é a mesma do Lema 2.3, existirá então um índice r 0 de modo que I r é maximal. O gerador a r deste ideal é irredutível e a r a pois a a r. 33

35 Proposição 2.6. Se A é um anel principal, então A é anel fatorial. Demonstração: Devemos mostrar que, dado a A, não nulo e não inversível, existem elementos irredutíveis p 1,p 2,...,p n, com n 1, tal que a = p 1 p 2...p n. Além disso, se a = q 1 q 2...q s, com os q j irredutíveis, então n = s e cada fator p i da primeira decomposição é associado de um fator q j da segunda decomposição. Existência: Suponhamos a A um elemento composto. Então existe um elemento irredutível p 1 A tal que a = p 1 q 1, com q 1 A e q 1 não inversível. Caso q 1 seja irredutível a proposição está provada. Se não, existe um elemento irredutível p 2 que divide q 1, ou seja, q 1 = p 2 q 2, com q 2 A e q 2 não inversível. Então a = p 1 p 2 q 2. Seguindo esse raciocínio, existirá um n > 1 de maneira que q n 1 é irredutível. Fazendo q n 1 = p n obtemos a decomposição desejada a = p 1 p 2...p n. Unicidade: Suponhamos a = p 1 p 2...p n = q 1 q 2...q s. Como p 1 a, então p 1 q 1 q 2...q s. Sendo p 1 um elemento primo, p 1 divide um dos q j. Admita que p 1 q 1. Como q 1 também é primo, segue que p 1 q 1. Suponhamos q 1 = u 1 p 1, com u 1 inversível. Então de p 1 p 2...p n = q 1 q 2...q s tiramos que p 2...p n = (u 1 q 2 )q 3...q s. Usando essa mesma argumentação chegaremos que p 2 q 2. Repetindo esse raciocínio chegaremos em p i q j. 2.4 ANÉIS EUCLIDIANOS Estudamos o Algoritmo de Euclides (ou Algoritmo da Divisão) em dois casos especiais: Em Cálculo para efetuar a divisão de polinômios, e em Teoria de Números para a divisão de números inteiros. Agora introduziremos os anéis Euclidianos, que em Álgebra são anéis em que o Algoritmo de Euclides também pode ser usado. Daí decorrem outras propriedades interessantes como a existência do MDC e fatoração única em irredutíveis. Definição 2.9. Dizemos que um anel de integridade A é euclidiano se existe uma função φ : A N com as seguintes propriedades: (i) Para todo a,b A, φ(ab) φ(a); (ii) Dado b 0 e a em A, existem q,r A tais que a = bq + r e r = 0 ou φ(r) < φ(b). O elemento q é chamado de quociente e r de resto na divisão euclidiana de a por b. E ainda, denominamos a função φ de norma euclidiana. Proposição 2.7. Todo anel euclidiano é principal. Demonstração: Seja A um anel euclidiano e I A um ideal qualquer não nulo, precisamos provar que I é um ideal principal. Consideramos o subconjunto S = { φ(x) x I } Z. Como φ(x) N, temos que 0 é um cota inferior. Então, pelo Princípio do Menor Inteiro, S admite um mínimo. Seja b I tal que φ(b) = min{ φ(x) x I }. 34