Transformação de Coordenadas

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1 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Beja Transformação de Coordenadas Disciplina: Cartografia Matemática Docente: Luís Machado Discentes: João Soares nº 687 Luís Faria nº 47 Curso: Engenharia Topográfica Ano: º Ano Lectivo: 5/6 Data de Entrega: 6//5 Cartografia Matemática

2 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Índice Índice... Introdução... Palavras-chave...4 O Modelo de Bursa Wolfe...7 O Modelo de Molodensk... Transformação de Coordenadas... A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas... Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais... 4 Transformação de Coordenadas Cartográficas... 6 Coordenadas Tridimensionais:... 7 Coordenadas Geodésicas Elipsoidais:... 8 Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de coordenadas... Conclusão... Referências Bibliográficas... Cartografia Matemática

3 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Introdução No âmbito da disciplina de Cartografia Matemática, elaborou-se um trabalho que tem como título Transformação de Coordenadas. Este trabalho tem o intuito de informar ou mostrar algumas das transformações de coordenadas eistentes na Geodesia. Há várias transformações de coordenas, mas só algumas vão ser referidas neste trabalho. Algumas das transformações de coordenadas que se iram verificar neste trabalho são: Transformação de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais (,, ) Transformação de Coordenadas Geodésicas (φ, λ, h) Transformação de Coordenadas Cartográficas Posteriormente a todas estas transformações definimos dois métodos que se revelam muito importantes sendo até mesmo inseparáveis na elaboração de transformação de coordenadas, esses métodos são: Método de Bursa-Wolfe Método de Molodensk Estes métodos vão ser importantes para a elaboração do trabalho, uma ve que vão ser referidos ao longo de quase todo o trabalho. Optamos também por inserir algumas definições que achamos que seriam relevantes para a riquea do trabalho, definições essas que passam por uma pequena eplicação de algumas palavras-chave para um entendimento melhor e mais definido do trabalho. Cartografia Matemática

4 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Palavras-chave Cartografia matemática Ramo da Cartografia que trata dos aspectos matemáticos ligados à concepção e construção das cartas, designadamente as projecções cartográficas. Embora as primeiras projecções cartográficas conhecidas remontem à antiguidade clássica, a sua abordagem mais formal só foi iniciada após o desenvolvimento do cálculo matemático, que se verificou no final do séc. XVII, sobretudo por Lambert e Lagrange. Nó séc. XIX, foram muito importantes os contributos de Gauss e de Tissot. O termo tradicional português actualmente em desuso, é geografia matemática. Coordenadas cartográficas Coordenadas rectangulares definidas sobre uma quadrícula cartográfica, designadamente a distância à distância à meridiana e a distância à perpendicular. Coordenadas geodésicas Sistema de coordenadas, rectangulares ou geográficas, definido numa determinada superfície de referência geodésica. Coordenadas geodésicas elipsoidais Coordenadas geodésicas definidas num elipsóide de referência, designadamente a latitude, a longitude e a altitude geodésicas. Coordenadas rectangulares Cartografia Matemática 4

5 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Sistema de coordenadas, no plano (ou no espaço tridimensional), que utilia duas (ou três) medidas de distância a dois (ou três) eios perpendiculares entre si para referenciar as posições. No caso dos sistemas de coordenadas planas, os eios são geralmente designados por eio das abcissas e eio das ordenadas. Datum Em geodesia, o conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um sistema de coordenadas geográficas ou altimétricas. Datum Geodésico Conjunto dos parâmetros que constituem a referência de um determinado sistema de coordenadas geográficas, e que inclui a especificação do elipsóide de referência, bem como a sua posição e orientação relativamente ao globo terrestre. Elipsóide de referência Elipsóide utiliado como superfície de referência geodésica. Trata-se, geralmente, de um elipsóide de revolução podendo, em circunstâncias especiais, ser um elipsóide triaial. Vários elipsóides de revolução têm sido utiliados, a partir do início do século XIX, desde o elipsóide de Everest (8) até ao recente WGS84. A maior parte da cartografia mundial ainda assenta no elipsóide internacional de Haford, aprovado em 94. A emergência e disseminação do GPS troue, por outro lado, uma importância acrescida ao WGS84. Geodesia Ciência que se ocupa do estudo da forma e dimensões da Terra. Tradicionalmente, a Geodesia subdividia-se em dois ramos: a Geodesia superior, Cartografia Matemática 5

6 Transformação de Coordenadas Junho de 6 que estudava o campo gravítico da Terra e estabelecia a rede geodésica de primeira ordem; e a Geodesia Inferior, que adensava a rede geodésica de primeira ordem e tratava da Cartografia. Nos nossos dias, a Cartografia e a Topografia autonomiaram-se, pelo que o campo de actuação da Geodesia se limita aquilo que era a Geodesia Superior. Latitude Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na superfície terrestre, que é o ângulo entre o plano do equador e a normal á superfície de referência. Longitude Coordenada geográfica definida na esfera, no elipsóide de referência ou na superfície da Terra, que é o ângulo diedro entre o plano do meridiano do lugar e plano de um meridiano tomado como referência, o meridiano Greenwich. Cartografia Matemática 6

7 Transformação de Coordenadas Junho de 6 O Modelo de Bursa Wolfe As coordenadas geodésicas rectangulares (,, ) de um ponto, relativas a um determinado datum geodésico, podem ser relacionadas com as coordenadas geodésicas rectangulares (u, v, w) do mesmo ponto, relativas a um segundo datum geodésico, por intermédio de uma transformação de semelhança elementar, conhecida por transformação de Bursa-Wolfe. A transformação de Bursa-Wolfe consiste numa rotação (R) seguida por uma mudança de escala e por uma translação epressa pela formula de Bursa-Wolfe: U u k RX v k + w onde, e k são ângulos muito pequenos, que (em radianos) eprimem três rotações sucessivas em torno dos eios dos, dos e dos, respectivamente, é um factor de escala, próimo da unidade e (,, ) são as componentes de um vector translação. Os parâmetros de rotação, escala e translação da transformação de Bursa- Wolfe podem ser estimados a partir de um conjunto de pontos do terreno cujas coordenadas geodésicas rectangulares, relativas aos dois data, sejam previamente conhecidas. A fórmula de Bursa-Wolfe permite formar um sistema de equações não linear, para cuja resolução, em ordem aos parâmetros desconhecidos, pode ser utiliado o método descrito seguidamente. Cartografia Matemática 7

8 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Cartografia Matemática 8 Considerando a fórmula de Bursa-Wolfe, tendo em atenção que:, d R dr k k Resulta a relação aproimada: dr d X U Desde que se ignore a parcela matricial de segunda ordem dr d. Considerando três pontos, cujas coordenadas geodésicas rectangulares relativas aos dois data geodésicos são conhecidas, a relação anterior permite constituir um sistema de equações lineares que pode ser epresso matricialmente na forma: d = w v u w v u w v u

9 Transformação de Coordenadas Junho de 6 A informação proporcionada por dois pontos com coordenadas conhecidas nos dois data não é suficiente para determinar os sete parâmetros da transformação. A informação proporcionada por três pontos não colineares já se torna, no entanto, redundante. A utiliação de três (ou mais) pontos conhecidos nos dois sistemas, torna possível constituir um sistema redundante com nove (ou mais) equações lineares a sete incógnitas, em geral inconsistente, que pode ser tratado pelo método dos mínimos quadrados. Simboliando por a matri do sistema, por o vector das incógnitas e por o vector dos termos independentes, o método dos mínimos quadrados preconia a resolução, em ordem a, da equação vectorial consistente: T T A A A Na prática, por raões de naturea numérica, os pontos com coordenadas conhecidas nos dois data devem enquadrar os pontos a transformar no seu interior. Se se pretender determinar parâmetros válidos, por eemplo, para todo o território de Portugal continental, deverá ser utiliado um conjunto de pontos conhecidos com uma distribuição semelhante à da rede geodésica de primeira ordem. Os sistemas de equações resultantes de conjuntos de pontos muito próimos são sistemas instáveis cuja resolução dá origem a valores afectados por erros significativos. Quadro Parâmetros da transformação de Bursa-Wolfe SGL Dt DtL Cartografia Matemática 9

10 Transformação de Coordenadas Junho de 6 A transformação das coordenadas geodésicas rectangulares relativas aos data geodésicos locais Haford-Melriça e Haford-Lisboa, para o datum geodésico global WGS84, pode ser baseada nos parâmetros de escala, rotação ( em dmgon e translação (,,, em metros que se encontram no Quadro., O Modelo de Molodensk O modelo de Molodensk é o modelo mais utiliado na transformação de coordenadas geodésicas relativas a diferentes data geodésicos. Os receptores GPS possuem software para a conversão entre os data nacionais e o WGS84, em geral, baseado no modelo de Molodensk. As coordenadas geodésicas elipsoidais de um ponto,, h, relativas a um determinado datum geodésico, podem ser relacionados com as coordenadas geodésicas elipsoidais do ponto:,, h h Relativas a um segundo datum geodésico, pela transformação de Molodensk. A transformação de Molodensk é apresentada (Stansel, 978) em duas versões: a versão standard e a versão abreviada, onde são feitas algumas simplificações. Em particular, na versão abreviada, a altitude é ignorada nas correcções à latitude e à longitude. As fórmulas da transformação abreviada de Molodensk, que fornecem os acréscimos em latitude, longitude e altitude geodésicas às coordenadas do ponto relativas ao primeiro datum, são: Cartografia Matemática

11 Transformação de Coordenadas Junho de 6 SenCos SenSen Cos R M fa af Sen Sen Cos R Cos N h CosCos CosSen Sen fa af Sen a onde a e f são as diferenças entre o semieio maior e o achatamento dos dois elipsóides de referência e, etc., são as componentes do vector diferença entre os centros dos dois elipsóides de referência. Esta transformação ignora os parâmetros de rotação dos eios que são considerados no modelo de Bursa-Wolfe. Deve notar-se que os acréscimos da latitude e da longitude são independentes das altitudes, embora o acréscimo da altitude depende da latitude e da longitude do ponto, o que permite transformar as latitudes e as longitudes independentemente da altitude elipsoidal que na prática é muitas vees desconhecida. No Quadro, H e B simboliam os elipsóides de Haford e Bessel, são apresentados os parâmetros de Molodensk, para a transformação de coordenadas geodésicas relativas a diversos data geodésicos com interesse em Portugal. Quadro Parâmetros da Transformação de Molodensk Transformação m m m am 5 f BL HL BL ED BL WGS BL Dt HL ED HL WGS HL Dt Cartografia Matemática

12 Transformação de Coordenadas Junho de 6 HL WGS Dt7 WGS Dt7 WGS ED5 WGS ED5 WGS Transformação de Coordenadas A Transformação de coordenadas Naturais em Geodésicas A transformação entre coordenadas naturais e as coordenadas geodésicas elipsoidais associadas a um dado datum geodésico, eige o conhecimento, em cada ponto, das componentes meridiana e perpendicular do desvio angular da normal ao elipsóide relativo ao versor da direcção da vertical ( n ) e da ondulação do geóide, definidas do seguinte modo: - desvio da vertical segundo o meridiano, é o ângulo formado pela projecção de n no plano que contem o meridiano geodésico em P, e pela normal ao elipsóide; - desvio da vertical segundo a secção normal principal, é o ângulo formado pela projecção de n no plano da secção normal principal em P com a normal ao elipsóide; - ondulação do geóide, é o comprimento do segmento da linha de fio de prumo que passa em P, entre o geóide e o elipsóide (positivo para o eterior e negativo para o interior do elipsóide). Cartografia Matemática

13 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Uma ve conhecidas as componentes do desvio da vertical e a ondulação do geóide em P, a transformação das coordenadas naturais em coordenadas geodésicas elipsoidais é muito simples:, Sec, h Eemplo: Os valores dos desvios da vertical nos vértices da rede geodésica de Portugal continental, relativamente ao elipsóide de Haford posicionado em Potsdam, no Datum Europeu (ED5), podem atingir cerca de 5". No vértice geodésico de Melriça, cujas coordenadas naturais são: 9 4' 7." " 6.5m os desvios da vertical e a ondulação do geóide relativos ao ED5: -7.9" -6.8" -.m permitem calcular as suas coordenadas geodésicas elipsoidais ED5: 9 4' 9.94" 8 7' 44.55" 57.4m Os aimutais astronómicos e geodésicos definidos por dois pontos P e Q, estão relacionados pela equação de Laplace, cuja versão simplificada, para pontos a altitudes semelhantes, é: Sen an Cartografia Matemática

14 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Eemplo: No vértice geodésico Melriça, os aimutes astronómicos podem ser convertidos em aimutes geodésicos mediante uma correcção: A Tan " Transformação entre Coordenadas Geodésicas e Tridimensionais A posição de um ponto P do terreno, de coordenadas cartesianas (X,Y,Z), relativas a um datum geodésico, pode ser epressa em coordenadas geodésicas,, h, relativas a mesmo datum geodésico, através das seguintes epressões: X ( R h)cos cos N Y R N h cos sen R e hsen Z N onde RN representa o raio de curvatura de secção normal à latitude, também designado por Grande Normal, cujo valor é dado por: R N a e sen Cartografia Matemática 4

15 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Fig. Relação entre as coordenadas tridimensionais e geográficas Para a transformação inversa, ou seja, o cálculo das coordenadas geográficas, conhecidas tridimensionais, podem utiliar-se as seguintes epressões: tan ( X ' Z e bsen Y e a cos ) / tan Y X h X Y cos R N onde a, b, e, e são respectivamente os semieios maior e menor e a primeira e segunda ecentricidades do elipsóide de referência e onde: tan b X az Y Cartografia Matemática 5

16 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Usualmente, esta transformação é feita por um processo iterativo, mas pode também ser usado um processo directo, através da resolução de uma equação de quarto grau (Vanicek & Krakiwsk, 98). Este último método encontra-se programado e em aplicação no IPCC (Salomé Romão, 987). Transformação de Coordenadas Cartográficas Para a compilação geométrica entre conjuntos de dados geográficos definidos em coordenadas cartográficas, é necessária a transformação das coordenadas dos objectos de um ou de ambos os conjuntos para um sistema de referência comum. A compilação é relativamente simples quando a regra de transformação entre referenciais é conhecida, podendo ser mais complea quando não eiste uma regra conhecida. No caso de a conversão entre referenciais ser conhecida podem utiliar-se as funções inversas das projecções cartográficas para obter coordenadas geodésicas e posteriormente, caso seja necessário, coordenadas cartesianas tridimensionais. Sobre estes dois últimos tipos de coordenadas podem aplicar-se transformações de datum e em seguida faer o caminho inverso até obter coordenadas cartográficas. A determinação de regras de transformação, com epressão polinomial, pode ser feita mediante a selecção de um conjunto de pontos de controlo identificáveis em ambas as cartas. Cartografia Matemática 6

17 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Coordenadas Tridimensionais: A cada elipsóide pode ser associado o referencial cartesiano tridimensional cuja origem coincide com o centro do elipsóide, cujo eio dos contém o seu eio menor (eio polar), cujo eio dos passa pela intersecção do meridiano de Greenwich com o Equador e cujo eio dos, também sobre o Equador, forma com os anteriores um diedro directo. As coordenadas cartesianas tridimensionais associadas ao referencial anterior designam-se por coordenadas geodésicas rectangulares. São as coordenadas vulgarmente conhecidas como X, Y e Z. A sua designação provem do facto de elas estarem correlacionadas com as três dimensões. As coordenadas tridimensionais são utiliadas, nomeadamente, na conversão entre diferentes data geodésicos, locais ou globais, e em posicionamento por métodos espaciais, no caso dos elipsóides posicionados por data globais. Fig. Sistemas de Coordenadas Cartesianas Cartografia Matemática 7

18 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Coordenadas Geodésicas Elipsoidais: A equação do elipsóide de rotação em coordenadas cartesianas é a b se o centro do elipsóide coincidir com a origem das coordenadas. Em ordem a referenciar a posição de um ponto na superfície do elipsoide, é costume faê-lo através de coordenadas curvilíneas. As mais usadas são a latitude e a longitude, a que chamaremos coordenadas geodésicas (ver figura seguinte). figura). é o angulo entre a normal á superfície e o plano do equador (ver próima Cartografia Matemática 8

19 Transformação de Coordenadas Junho de 6 A linha curvilínea = constante é designada por paralelo. A curva = constante é designada por meridiano. A longitude refere-se a um meridiano ero que pode ser escolhido arbitrariamente. O meridiano de Greenwich é normalmente escolhido como meridiano ero e também contem o eio dos X. Para o elipsóide de rotação, os meridianos são elipses e os paralelos são círculos. O angulo é o aimute da linha de superfície PP. O aimute é contado positivamente a partir do meridiano que passa por P e P e no sentido dos ponteiros do relógio. Dado um elipsóide de referência, posicionado relativamente à Terra, os pontos P da superfície terrestres podem ser feitos corresponder às suas projecções P' no elipsóide por intermédio da normal em P' ao elipsóide. Para cada ponto P da superfície terrestre é, nestas condições, possível definir, relativamente a um dado elipsóide de referência, um meridiano e um paralelo geodésico. O meridiano geodésico de P é a secção elíptica causada no elipsóide pelo plano definido pelo eio menor do elipsóide e pela normal ao elipsóide P'. O paralelo geodésico de P é a secção circular causada no elipsóide pelo plano paralelo ao Equador elipsoidal em P'. As coordenadas geodésicas elipsoidais do ponto P são: Latitude geodésica () ângulo medido a partir do plano equatorial até à direcção da perpendicular ao elipsóide no ponto P, sendo positivo na direcção norte; Cartografia Matemática 9

20 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Longitude geodésica () ângulo medido a partir do plano do meridiano de referencia (Greenwich) até ao plano do ponto P, sendo positivo na direcção leste; Altitude elipsoidal (h) distância do ponto P a partir do elipsóide geodésico medida ao longo da perpendicular ao elipsóide nesse ponto, com valor positivo para os pontos eteriores ao elipsóide. Síntese das Transformações e conversões entre sistemas de coordenadas Cartesianas D Bursa-Wolf Cartesianas D (,,) Geodésicas Molodensk Geodésicas (φ,λ,h) Projecção Cartográfica Cartográficas Polinomial Cartográficas Datum Datum Cartografia Matemática

21 Transformação de Coordenadas Junho de 6 A conversação entre diferentes tipos de coordenadas num mesmo datum é eacta, ou seja, a passagem de coordenadas cartesianas tridimensionais para coordenadas geodésicas e daí para coordenadas cartográficas não é efectuada por qualquer incertea. Já a transformação de coordenadas entre data diferentes é necessariamente afectada pela incertea associada às coordenadas dos pontos referenciados em ambos os sistemas e à sua utiliação para a sua estimativa dos parâmetros de transformação. A transformação entre coordenadas cartográficas com funções polinomiais é a que pior se ajusta ao objectivo, atendendo a que polinómios não traduem a compleidade geométrica de uma mudança de datum e uma projecção cartográfica. A transformação entre coordenadas cartesianas tridimensionais é aproimadamente linear, pelo que é adequadamente modelada pela transformação de Bursa-Wolf. Assim, de forma aparentemente paradoal, o processo mais eacto para realiar uma transformação entre sistemas de coordenadas cartográficos é proceder à conversão para coordenadas geodésicas e daí para cartesianas tridimensionais, forma sobre a qual se procede à mudança de datum, descendo depois até coordenadas cartográficas. Cartografia Matemática

22 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Conclusão Sendo a Geodesia uma disciplina que se encarrega do estudo da forma e dimensão da Terra, digamos que também com o apoio da Cartografia Matmática a elaboração deste trabalho tornou-se muito importante uma ve que permitiu obter uma maior noção do seu termo científico e do seu papel desempenhado nos dias de hoje. Para o estudo da forma e dimensão da Terra, bem como do seu campo gravitacional, possuímos métodos e instrumentos para a observação e medição com elevada precisão das coordenadas de pontos sobre a superfície terrestre. Ao longo deste trabalho aplicamos as ferramentas básicas que a Geodesia e Cartografia Matemática possui para transformar coordenadas geodésicas em coordenadas cartesianas tridimensionais e vice-versa. Para além destas, foi também possível transformar coordenadas geodésicas para coordenadas cartográficas e vice-versa, sendo por fim a transformação de coordenadas naturais para coordenadas geodésicas. Cartografia Matemática

23 Transformação de Coordenadas Junho de 6 Referências Bibliográficas - João Casaca, João Matos, Miguel Baio,, Topografia Geral, ª Edição, Lidel, Lisboa, Portugal. - João Matos,, Fundamentos de Informação Geográfica, ª Edição, Lidel, Lisboa, Portugal. - Instituto Geográfico do Eército,, Noções Gerais de Geodesia, Lisboa, Portugal. - Joaquim Alves Gaspar, 4, Dicionário de Ciências Cartográficas, Lidel, Lisboa, Portugal. - Apontamentos Teóricos da cadeira de Geodesia I. Cartografia Matemática