UM ESTUDO SOBRE A INTRODUÇÃO DE FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Transcrição

1 UM ESTUDO SOBRE A INTRODUÇÃO DE FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS NA EDUCAÇÃO BÁSICA Resumo Cintia Melo dos Santos Mestranda do curso de Pós-Graduação em Educação Matemática da UFMS. cintiamelos@hotmail.com José Luiz Magalhães de Freitas Professor da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. joseluizufms2@gmail.com O presente artigo visa um estudo de atividades introdutórias no ensino de Geometria na educação básica, para a identificação de figuras planas e espaciais, bem como de algumas de suas principais propriedades. Na matemática a geometria é um campo que pode auxiliar no desenvolvimento do raciocínio dedutivo, abstração de propriedades e para facilitar a compreensão de várias questões em outras áreas de conhecimento. Nesta vertente, o objetivo desta pesquisa é realizar uma Organização Didática, a partir de algumas atividades para o ensino de figuras planas e espaciais, que poderão fornecer subsídios para a prática do professor, apontando possibilidades de exploração em sala de aula. O referencial teórico e metodológico a ser utilizado é a Teoria Antropológica do Didático, desenvolvida por Yves Chevallard, que tem como intuito compreender e refletir sobre as práticas envolvendo o ensino e a aprendizagem de matemática. Dessa maneira, este trabalho busca contribuir para os estudos em Educação Matemática que têm como intenção conhecer melhor as organizações praxeológicas dos conteúdos geométricos e uma reflexão das atividades envolvendo figuras na introdução ao estudo de Geometria. Palavras-chave: Ensino de Geometria, Organização Praxeológicas, Figuras Planas e Espaciais. Introdução A geometria tem uma vasta aplicação na vida prática, porque, afinal, ela integra os blocos de conteúdos de Espaço e Forma, bem como o de grandezas e medidas, que guardam relações com as formas geométricas. Essa relação vida prática-geometria representa um instrumento importante para resolver situações-problema do cotidiano. Trata-se, portanto, de um conhecimento necessário a todos para a construção da cidadania, para a compreensão do mundo e o desenvolvimento individual, por isso integra todos os currículos escolares da educação básica. Além disso, a Geometria possui um vasto campo de aplicação em contextos variados, desde os relacionados com situações cotidianas, como aqueles que envolvem diversas áreas do conhecimento, como na arquitetura, na física, na engenharia, entre outras.

2 2 Lorenzato (1995) afirma que aqueles que não conhecem a Geometria fazem uma leitura interpretativa do mundo incompleta e reduzida do mundo, porque o seu estudo prestigia o processo de construção do conhecimento, valoriza o descobrir, o conjecturar e o experimentar. Desse modo, é importante desenvolver melhorias para o ensino dessa área. No entanto, há evidências de que tem ocorrido o contrário, ou seja, o ensino de Geometria tem sido esquecido, estando ausente ou quase ausente das salas de aula da educação básica. Conforme menciona Fillos (2008) no Brasil o ensino de Geometria é deficitário. Nesse sentido, há várias pesquisas que apontam o abandono ou a omissão deste ensino em todos os níveis de escolaridade. Dessa maneira, existem vários fatores que resultam nesse descaso com o ensino da Geometria. Segundo Lorenzato (1995) há duas causas que estariam influenciando fortemente nesse descaso no trabalho com esses conteúdos em sala de aula. Uma delas é que o professor não detém os conhecimentos geométricos necessários para a realização de suas práticas pedagógicas. Nesse contexto, existe uma dificuldade em ensinar a Geometria devido à insegurança e a falta de domínio dos conteúdos, tais atitudes acabam gerando um movimento cíclico, ou seja, os alunos que ingressam no curso de licenciatura plena em Matemática ostentam a dificuldade com os conteúdos geométricos, pois na educação básica pouco estudou. No seu egresso algumas dificuldades permanecem, e estes são responsáveis pela formação dos alunos que ingressam nas universidades, resultando nesse movimento cíclico. Outra causa poderia ser atribuída à exagerada importância que os professores dão ao livro didático. Esse fato poderia estar ligado a vários fatores, dentre eles a insegurança com o conteúdo ou ainda com a jornada de trabalho intensa, na qual apresenta a Geometria somente como um conjunto de definições e propriedades desligadas totalmente de qualquer aplicação. Nesse sentido, os alunos acabam preferindo estudar a Aritmética e a Álgebra, pois define o ensino da Geometria como algo de difícil compreensão e aplicabilidade, e acabam sendo explorado apenas de forma intuitiva com pouco trabalho de sistematização. Outro elemento que contribuiu para esse quadro desfavorável foi o Movimento da Matemática Moderna (MMM), que ocorreu a partir do final da década de Um dos objetivos desse movimento era a unificação da linguagem ao abordar os três campos da Matemática: Aritmética, Álgebra e Geometria. Antes do movimento a Geometria era ensinada de forma axiomática, e com o movimento MMM a proposta era de algebrizar a

3 3 Geometria, ou seja, o movimento visava principalmente o uso da linguagem dos conjuntos, simbologias e estruturas algébricas. Segundo Lorenzato (1995) o Movimento da Matemática Moderna (MMM) contribui para o descaso com o ensino atual da Geometria, pois aboliu o modelo anterior marcado pelo ensino logico-dedutivo com demonstrações e não conseguiu algebrizar a Geometria, criando uma lacuna no ensino de Geometria que se estende até os dias atuais. Como permanecia o critério do professor, escolher a melhor maneira de ensinar, muitos por não entender deixavam os conteúdos geométricos para o final do ano letivo, fato que pode ser verificado em livros didáticos daquela época, a Geometria sendo tratada por último. Conforme menciona Pavanello (1993) os que ainda continuavam ensinando Geometria, reservavam o final do ano letivo para sua abordagem em sala de aula, que no final se justificavam pela falta de tempo, que era sempre insuficiente para permitir trabalhar esse conteúdo do programa. Atualmente, devido às orientações dos PCNs e do programa nacional de avaliação do livro didático PNLD, a Geometria passou a ser distribuída do início ao final em todos os livros didáticos. Assim, partimos da hipótese de que compete ao professor desenvolver metodologias que possa levar os alunos ao processo de ensinoaprendizagem, sendo o manual didático uma contribuição nas estratégias de ensino. Todavia, vários estudos mostram que a Geometria na educação básica é motivo de preocupação de vários pesquisadores e professores, nas quais observam nas últimas décadas um ensino precário em sala de aula, não atendendo as perspectivas dos alunos. Nos Parâmetros Curriculares pressupõe que o professor de matemática explore situações de visualização e aplicação de propriedades das figuras. Diante do exposto, apresentaremos no decorrer do trabalho um estudo de algumas atividades que possam contribuir para o professor em sala de aula, no ensino dos conceitos geométricos em específico de figuras planas e espaciais na educação básica. Para a análise das atividades, teremos como aporte teórico e metodológico a Teoria Antropológica do Didático (TAD) que possibilita estudar as organizações praxeológicas. Referencial Teórico e Metodológico

4 4 A teoria antropológica do didático (TAD) desenvolvida por Yves Chevallard estuda as atividades matemáticas, ou seja, as organizações praxeológicas do saber em uma instituição. O termo praxeologia pode ser dividido em duas partes: práxis que significa prática e logus estudo, assim, a praxeologia é o estudo das práticas. Na TAD, para melhor compreender um contéudo matemático, precisamos estudar as organizações praxeológicas relativas ao saber matemático, essas são divididas em: Organização Matemática e Organização Didática, que são respectivamente, a realidade matemática e a construção dessa realidade em sala de aula. A Organização Matemática é estudada por meio de quatro componentes: tipo de tarefas (T), técnica (τ), tecnologia (θ) e teoria (Θ), compreendendo que as atividades humanas fundamentam-se em realizar uma tarefa t de certo tipo T, por meio de uma técnica, amparada por uma tecnologia que se justifica por uma teoria. Assim, a TAD é uma teoria pragmática que possibilita o estudo de práticas tanto em sala de aula, como a proposta nos livros didáticos, bem como pelas obras publicadas pelos matemáticos. No desenvolvimento da Organização Matemática, tanto na que é apresentada pelo professor como pelo livro didático existe uma Organização Didática em torno de um objeto matemático, que acontece por meio de seis momentos, que podem ocorrer não necessariamente na ordem que apresentamos a seguir. O primeiro momento é o encontro com a organização matemática. O segundo momento é o da exploração do tipo de tarefa e da elaboração de uma técnica. O terceiro momento é o da constituição do ambiente tecnológico-teórico relativo à técnica. O quarto momento é dedicado ao trabalho com a técnica. O quinto momento é o da institucionalização. E o sexto e último momento, é o de avaliação. Para Chevallard os objetos matemáticos se distinguem em dois tipos: os objetos ostensivos e os objetos não-ostensivos. Assim, os objetos ostensivos seriam os objetos materiais, que despertam de certa forma os cinco sentidos no ser humano e os objetos não-ostensivos são aqueles que os cinco sentidos não percebem, são constituídos pelos pensamentos, conhecimentos e outros. Desse modo, realizaremos no item seguinte um estudo de atividades voltadas para uma introdução ao estudo da Geometria na educação básica, por meio da identificação de figuras planas e espaciais, bem como de algumas de suas principais propriedades, que poderão fornecer subsídios para o professor, apontando possibilidades de exploração em sala de aula.

5 5 Organização Didática para o Ensino de Figuras Planas e Espaciais O foco principal desse trabalho é discutir e analisar algumas atividades com figuras planas e espaciais que podem ser abordadas na disciplina de matemática da educação básica. Neste item serão realizadas breves discussões, com ênfase nas Organizações Didáticas envolvendo os conceitos relacionados ao tema. Desse modo, apresentaremos atividades que visam contribuir para o ensinoaprendizagem da Geometria, com finalidade de amenizar a lacuna existente, pois conforme Freitas e Bittar (2005), os conceitos geométricos são apresentados sob a forma de geometria calculista, em que são feitos cálculos a partir das propriedades apresentadas, sem deduções, sem descobertas e sem explorar a manipulação de materiais. Muitas das dificuldades no processo de ensino da Geometria são consequências da não exploração de alguns conceitos básicos relativos às figuras planas (bidimensionais) e figuras espaciais (tridimensionais), noções estas consideradas essenciais para uma melhor sistematização dos conhecimentos geométricos. Apresentaremos a seguir alguns elementos de uma organização praxeológica, visando à construção de subsídios para uma possível exploração em sala de aula, com intuito de contribuir para a prática de professores no ensino de Geometria. 1 Tipo de tarefa (T): Reconhecer ou identificar sólidos Geométricos Técnica (τ): Observar os sólidos, buscando identificar semelhanças e diferenças a partir de elementos ou propriedades em comuns. Neste tipo de tarefa é necessária a utilização de materiais concretos que possuem formas de sólidos geométricos, para que os alunos possam manipular e identificar características comuns que possibilitem algumas classificações. Nesse sentido, os alunos analisariam os sólidos a partir de sua percepção visual e tátil, verificando a forma, o tamanho, os que rolam os que não rolam etc., possibilitando ao professor explorar, por meio de questionamentos, os conceitos de poliedro, face, aresta e vértice. Continuando, os alunos poderão desmontar alguns sólidos para visualização e compreensão de suas planificações e especificidades, podendo compor, decompor e sobrepor às figuras geométricas, analisando as faces que coincidem e as que não

6 6 coincidem, quantidades de vértices, de arestas, de faces, paralelismo, intersecções, posições, bem como as dimensões dos espaços onde esses objetos habitam. Segundo a TAD, essas atividades proporcionam o encontro com a Organização Matemática e a exploração do tipo de tarefa e da elaboração de uma técnica. O aluno, ao entrar em contato com os sólidos geométricos (objetos ostensivos) tem o contato com o saber em jogo, sendo confrontados com as tarefas de identificação dos sólidos, de seus elementos e propriedades comuns. O professor, a partir da percepção dos alunos, pode intervir auxiliando, no intuito de que ocorra a construção de praxeologias. Tais intervenções podem ocorrer a partir das seguintes indagações como: Todos os sólidos possuem o mesmo número de vértices? Dentre eles qual possui a maior quantidade de vértices? Há algum poliedro que possui todas as faces triangulares? Há poliedros que possuem todas as faces iguais? Qual poliedro possui pelo menos uma face quadrada. Qual poliedro possui todas as faces quadradas? Em quais poliedros todas as faces são retangulares? Quais poliedros têm todas as faces laterais triangulares? Após reflexões, outras tarefas, que tenham um nível de complexidade maior, poderão ser propostas para os alunos. Na sequência apresentamos atividades, de outro tipo, para continuação do estudo de sólidos geométricos, trabalhando com a Geometria Plana. 2 Tipo de tarefa (T): Classificar Polígonos. Técnica (τ): Com os sólidos apoiados sobre a superfície plana, classificar os polígonos das faces, a partir de propriedades comuns. Após uma primeira etapa de manipulação dos sólidos geométricos, os alunos poderão iniciar um estudo das figuras geométricas planas, analisando detalhadamente as faces de cada sólido, podendo traçar os contornos dessas superfícies sobre uma folha de papel. E em outra folha classificar quanto ao número de lados, paralelismo, medidas de lados e ângulos. Segundo a TAD esse seria o momento de exploração da tarefa T e de elaboração da técnica, que também seria desenvolvida a partir da manipulação dos sólidos (objetos ostensivos). Nesse momento, o professor poderá apresentar os conceitos de vértice de polígono e explorar as noções de paralelismo e perpendicularismo e introduzir a noção de ângulo. Em seguida, observando as faces dos sólidos estes poderão nomear quanto aos seus lados, como exemplo, polígono de três lados triângulo; polígono de quatro

7 7 lados quadrilátero e assim nomear todos os identificados em uma tabela de acordo com os números de lados. Na sequência analisar e classificar, com a participação dos alunos, os tipos de polígonos que são identificados nas faces dos sólidos como os quadrados, retângulos, triângulos e outros. Desse modo, o professor pode apresentar e discutir definições e propriedades dos polígonos de quatro lados, classificando-os em trapézio, paralelogramo (o paralelogramo podendo ser este classificado em losango, retângulo e quadrado e de outro tipo), constituindo o momento que segundo a TAD é o de construção do ambiente tecnológico/teórico relativo à técnica envolvendo figuras planas. E com a intervenção do professor a partir das definições apresentadas poderão ser elencadas as seguintes questões para o estudo da classificação de quadriláteros: Todo quadrado é um retângulo? Todo quadrado é um losango? Todo retângulo é um quadrado? Um paralelogramo que tem lados congruentes pode ser chamado de losango? Os retângulos que são losangos são quadrados? Um paralelogramo é sempre um retângulo? Os lados opostos de um paralelogramo são paralelos? Os lados opostos de um quadrado são perpendiculares? Existem paralelogramos que são trapézios? Os lados consecutivos de um quadrado são perpendiculares? Após reflexões sobre os questionamentos, poderemos passar para um 3 tipo de tarefa que consiste na classificação de sólidos geométricos. 3 Tipo de tarefa (T): Classificar Sólidos Geométricos Técnica (τ): Observar os sólidos, destacando semelhanças e diferenças para classificálos a partir de elementos ou propriedades em comuns. Neste tipo de tarefa o professor pode, inicialmente, propor atividades para classificar os sólidos geométricos em poliedros e corpos redondos. Um objetivo é constituir o bloco tecnológico/teórico relativo aos conceitos de Geometria espacial. Os alunos, por meio da manipulação dos sólidos geométricos (objetos ostensivos) e das informações e questionamentos apresentados pelo professor, deverão separar os sólidos em dois grupos e verificam os que possuem características em comum. Nesse momento, o professor poderá intervir com questões do tipo: Quais são os poliedros cujas faces laterais são todas paralelogramos? Identifique os poliedros que possuem todas as faces iguais. Identifique os poliedros que possuem duas faces iguais e paralelas, ou seja, iguais e situadas em planos paralelos? Como se chama o poliedro que

8 8 possui duas faces iguais e paralelas e as faces laterais são paralelogramos? Nessa coleção há algum poliedro que se parece com as pirâmides do Egito? Em quais deles é possível apoiar uma das faces sobre uma superfície plana de tal forma que um único vértice fique fora dessa superfície e as demais faces (laterais) sejam todas triangulares? Qual é o nome de um poliedro desse tipo? Entre os corpos redondos existem diferenças? Quais são elas? Após reflexões, o professor como mediador do estudo, deverá intervir na construção e exploração do bloco tecnológico-teórico (θ/ Θ), ou seja, apresentar e discutir com os alunos, as definições e conceitos dos sólidos geométricos por meio da identificação e análise de propriedades características. Assim, poderá se desenvolver o estudo introdutório dos conceitos de Prismas e Pirâmides e a identificação de algumas de suas principais propriedades. É importante destacar que o ensino de Geometria não existe uma padronização em que se devem trabalhar primeiramente os conceitos da Geometria plana para posteriormente a Geometria espacial, estes conceitos desenvolvidos com ida e vindas proporciona aos alunos uma melhor mobilização dos conteúdos geométricos. Nesse sentido, depende do professor propor situações que privilegiem esses momentos entre a Geometria espacial e plana, que pense e reflita sobre cada atividade e escolha a que julgue mais adequadas a seus alunos. Assim, após as atividades propostas o professor poderá retomar a identificação de figuras, explorando as suas dimensões e o raciocínio algébrico. Uma atividade a ser realizada e a do único corte que pode ser apresentada por meio de uma tabela contendo três colunas, por exemplo: Tabela 1 Exemplo de atividade Figura original (figura a Tipo de corte Figuras resultantes ser cortada) Retângulo Diagonal Dois triângulos retângulos iguais A atividade consiste em fornecer dois elementos de cada linha e pedir para que o aluno descubra o elemento que falta. Assim, dentre as três colunas neste exemplo dado, poderíamos perguntar qualquer informação como, dada a figura original que tipo de corte foi feito para obter as figuras resultantes ou então, dada uma figura e um tipo de

9 9 corte quais serão as figuras resultantes e vários outros questionamentos. A seguir apresentaremos uma tabela como sugestão para aplicar esse tipo de atividade, lembrando que o professor apresenta aos seus alunos apenas duas informações de cada linha e o aluno que deve completar os espaços vazios na tabela abaixo. Tabela 2 Atividade do corte de figuras planas FIGURA ORIGINAL TIPO DE CORTE FIGURAS Retângulo Quadrado Triângulo Equilátero Hexágono com dois lados paralelos à diagonal Intercepta dois lados consecutivos sem passar pelo vértice Intercepta dois lados opostos, não passa por nenhum vértice e não é paralelo a nenhum dos lados Diagonal Diagonal paralela a um dos lados RESULTANTES Um triângulo e um pentágono Dois triângulos retângulos isósceles Um triângulo e um trapézio isósceles Contudo, na introdução ao ensino de Geometria deve-se realizar atividades, envolvendo manuseios de sólidos geométricos, que permitam explorar conceitos e propriedades, sendo o professor o protagonista desse meio. Assim, a atividade acima pode ser adaptada trocando as figuras planas por figuras espaciais simples, como cubo, prismas e pirâmides, bem como o tipo de corte que ao invés de retas seriam planos. Diante do exposto acima, acreditamos que o estudo da geometria pode ser introduzido por meio de organizações praxeológicas, que poderiam ser construídas a partir dos três tipos de atividades descritas acima, pois acreditamos que elas podem estimular raciocínios e descobertas, bem como estudos pelos alunos, que consideramos como condições necessárias para a aquisição dos conceitos geométricos. Considerações Finais Esperamos que ao propor o estudo desses tipos de tarefas, concernente ao conteúdo de figuras planas e espaciais na educação básica, este trabalho possa contribuir

10 10 para a construção de praxeologias envolvendo conteúdos de geometria, em sala de aula. Assim, esperamos que a concepção dos conceitos geométricos pelos alunos não seja de forma isolada e sem relação com os conceitos, mas de maneira que os conduza para o estudo e consequentemente maior capacidade para resolução de problemas. Tendo em vista que a Geometria permite uma conexão natural entre a experimentação, intuição e a formalização, sendo adequada para a compreensão e a prática do método dedutivo, além disso, possibilita a sua aplicação em outras áreas da atividade humana, almejamos que proposta desta pesquisa, de estudo de atividades visando à construção de praxeologias em Geometria, possa fornecer subsídios, sobretudo para o trabalho de professores que atuam em sala de aula e que possa contribuir para amenizar as dificuldades encontradas em seu processo de ensino, proporcionando agradáveis momentos de estudos desses conceitos geométricos. Referências ALMOLOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática Curitiba: Ed. UFPR, BITTAR, M. e FREITAS, J. L. M. Fundamentos e metodologia de matemática para os ciclos iniciais do ensino fundamental 2ª edição. Campo Grande/MS: Editora da UFMS, CHEVALLARD, Y.; BOSCH, M.; GASCON, J. Estudar Matemáticas: O elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, FILLOS, L. M. O Ensino da Geometria: Depoimentos De Professores que fizeram História. Disponível em: acesso, em 30 de Maio de LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. (org.). Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Editora Atual, LORENZATO A. Por que não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista - ano III - n o 4 - Publicação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e consequências. Revista Zetetiké, ano I-n 1/1993.