SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: DA SUA CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO EM ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO GEOMÉTRICA

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1 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: DA SUA CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO EM ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO GEOMÉTRICA Sílvio César Otero Garcia Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" silvioce@gmail.com Resumo: O presente mini-curso desenvolve-se em duas partes: na primeira delas são apresentadas técnicas para se montar sólidos geométricos utilizando-se varetas e tripas de mico; na segunda parte são apresentadas atividades, para serem trabalhadas com alunos do sexto ano do ensino fundamental, que utilizam principalmente os sólidos montados na primeira parte e envolvem tarefas investigativas de classificação de figuras tridimensionais e quantificação e estabelecimento de relações entre seus elementos. Palavras-chave: Atividades investigativas; Investigações Geométricas; Construção de Sólidos. Introdução O ensino de Geometria, há algum tempo, tem ocupado espaço secundário nos currículos de Matemática. Muitas vezes não é sequer tratada e quando o é normalmente aparece como tópico específico ou apenas no fim dos cursos como algo complementar e de pouca importância (LAMONATO; PASSOS, 2007). Nesse contexto, trabalhar com Geometria logo nos anos iniciais, respeitando-se obviamente certas limitações, é extremamente importante. Mas, como trabalhá-la? Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), existem pelo menos três tipos de tarefas que podem ser utilizadas no processo de ensino-aprendizagem da matemática. São elas: exercícios, problemas e investigações. Sucintamente, para os autores, no exercício o aluno já dispõe de um método para revolvê-lo enquanto que no problema, não. Em comum essas duas tarefas têm um enunciado que indica de modo claro o que é dado e o que é pedido, o que não ocorre numa tarefa investigativa, onde a questão inicial não é bem definida e os rumos a serem tomados são direcionados por quem investiga. As tarefas investigativas, segundo esses autores, possuem grande relação com a Geometria, uma vez que permitem uma compreensão de fatos e relações geométricas que extrapola a simples memorização e utilização de técnicas para resolver exercícios-tipo. Além disso, a exploração de diferentes tipos de abordagem investigativa contribui para o 1

2 desenvolvimento de capacidades como a visualização espacial e uso de diferentes formas de representação. Em concordância com tal fato, Lamonato e Passos (2007) observam que o apelo à intuição e à visualização através da manipulação de materiais torna o ensino de geometria especialmente favorável a realização de atividades de natureza investigativa. Ainda sobre isso, diz os PCN:... é fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1998, p.51) Finalmente, retomando a questão da importância de se trabalhar com a Geometria desde os primeiros anos de escolaridade, Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), bem como Abrantes (1999), apontam que a Geometria permite conceber tarefas investigativas que requerem um número reduzido de pré-requisitos, podendo ser trabalhados em salas de aula de diferentes níveis de desenvolvimento. Acreditamos, assim, que o uso de material manipulativo e a construção de sólidos geométricos por parte dos alunos contemple uma boa parte dos aspectos que citamos acima. Nessa perspectiva, essa proposta de mini-curso pretende tanto apresentar técnicas para a elaboração de material didático para o uso em atividades de investigação geométrica, bem como apresentar atividades que fazem uso desse material. Objetivos São os objetivos do mini-curso: a) Proporcionar ao professor um contato com um conjunto de atividades de investigação geométrica elaboradas para o sexto ano do ensino fundamental; b) Apresentar ao professor técnicas de construção de sólidos geométricos com varetas. Particularmente no caso das atividades: c) Trabalhar com os alunos os seguintes conceitos e procedimentos contemplados nos PCN: classificação de figuras tridimensionais segundo critérios diversos como: corpos redondos e poliedros; estudo dos componentes de um poliedro como lado, arestas e vértices; quantificação e estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de poliedros. Também as seguintes atitudes: desenvolvimento da capacidade de investigação e da perseverança na busca de resultados; valorização do trabalho coletivo. 2

3 O Mini-Curso O mini-curso será dividido em duas partes. Na primeira serão apresentados aos professores técnicas de construção de sólidos geométricos utilizando varetas e tripas de mico. Procuraremos construir os Sólidos de Platão de faces triangulares e uma pirâmide de base quadrada. Num segundo momento, serão sugeridas atividades que utilizam o material montado e que foram elaboradas para serem trabalhadas com o sexto ano do ensino fundamental. A Construção dos Sólidos Fazer sólidos usando varetas e tripa de mico é muito fácil e o resultado fica bastante ilustrativo. É possível fazer uma grande variedade de sólidos usando esses materiais. Particularmente interessante é trabalhar com os Sólidos de Platão, o único inconveniente ocorre com o hexaedro e o dodecaedro, que não possuem faces triangulares. A ausência de rigidez desses sólidos está ligada justamente ao fato de suas faces não serem triangulares; um polígono, com quatro lados ou mais, não fica determinado apenas pelos seus lados. Uma vez que a montagem com varetas e tripa de mico não deixa os ângulos dos sólidos rígidos, aqueles que não possuem faces triangulares acabam ficando frouxos. Esse problema pode ser resolvido triangulando-se as faces do sólido. Os materiais necessários são: varetas (de churrasco ou japonesas, dependendo do tamanho que se deseja que o sólido fique), canudos plásticos (opcional, apenas para deixar mais colorido), tripa de mico e tesoura. A montagem dos sólidos é bem simples e intuitiva. O segredo está nas articulações, que são feitas de tripa de mico. Existem tripas de mico de diversos calibres, é importante adquirir uma na qual as varetas fiquem firmes. Corta-se pedaços da tripa de mico medindo entre dois e três centrímetros (para varetas japonesas, pode ser necessário tramanhos maiores, para que a vareta fique firme). Em seguida, dobrase a tira ao meio e recorta-se as orelhas de modo que o resultado final seja um pedaço de tripa com um furo no meio. Esse furo deve ter um tamanho ideal, pois através dele passará outra (ou outras) tiras; se for pequeno demais, pode ser que não se consiga passar uma outra tripa por ele. Se for muito grande, pode acarretar no rompimento do pedaço de tripa. O que determinará quantos pedaços de tripa terão de passar por cada buraco é o sólido a 3

4 ser montado. Por exemplo, no tetraedro, por cada vértice partem três arestas; um pedaço de tripa com furo tem apenas duas extremidades, então, será necessário passar pelo furo outro pedaço de tripa. Teremos assim quatro extremidades, porém apenas três serão utilizadas. É interessante furar todos os pedaços de tripa de mico, mesmo aqueles pelos quais não serão passados outros pedaços, pois na montagem final, as tripas furadas se acomodam melhor. Para o octaedro, as quatro extremidades serão utilizadas. No caso do Icosaedro, em cujos vértices partem cinco arestas, dado um pedaço de tripa inicial, pelo buraco deste, deverão passar outros dois pedaços, para que tenhamos seis extremidades, sendo que cinco delas serão utilizadas. Observando-se esse fato, é fácil notar que será necessário uma quantidade razoável de tripa de mico só para montar os três sólidos platônicos de faces triangulares, tetraedro, octaedro e icosaedro. Para o caso dos sólidos de faces não triangulares, a configuração das tripas de mico segue sistema parecido, sendo necessário, entretanto, considerar também as diagonais para a triangulação das faces desses. As Atividades Embora tenhamos nos focado em tarefas investigativas, as atividades que propomos também contemplam outros cenários, como exercícios e problemas. Isso porque, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), articular os diferentes tipos de tarefa pode contribuir para promover o desenvolvimento matemático dos alunos com diferentes níveis de desempenho. Em todas as atividades que sugerimos, isso é, tanto naquelas com maior caráter investigativo quanto nas com menor, recomendamos que sejam seguidas, com as devidas adaptações necessárias, as três fases que habitualmente são desenvolvidas numa atividade investigativa: (i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p.25) Claramente, caberá ao professor avaliar de que maneira deverá administrar o tempo disponível com essas três fases. Por exemplo, a fase de discussão de resultados pode demandar uma boa parte da aula e é possível que não seja interessante fazer com que todos 4

5 os alunos exponham seus resultados aos colegas. Além disso, dentre as quatro atividades que propomos, algumas delas se favorecem mais de uma determinada fase e outras de outra. Os alunos devem, preferencialmente, trabalhar em pequenos grupos, pois a atividade em grupo valoriza a troca de experiências e de idéias entre os alunos o que promove atitudes como o respeito ao modo de pensar dos colegas. Nesse sentido, a atividade pode contribuir para a formação ética dos alunos. Tal abordagem é contemplada nos PCNs quando os mesmos tratam dos Temas Transversais e o ensino de Matemática. É importante ressaltar o papel do professor durante o processo de investigação dos alunos. Ele deve desempenhar um papel mais de retaguarda, procurando compreender como o trabalho dos alunos vai se processando e prestando apoio quando necessário (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006). Em todas as atividades o aluno é estimulado a anotar o seu raciocínio, suas conclusões, isso porque a anotação por escrito ajuda o aluno a organizar melhor suas idéias e pode ser utilizada como instrumento de avaliação, a propósito, essa é uma das questões mais difíceis de ser trabalhada quando se realiza uma atividade investigativa. Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), o relatório, produzido a partir das anotações, a observação do professor e as exposições orais são bons instrumentos para se avaliar o aluno nesse tipo de atividade. A primeira atividade proposta tem como objetivo fazer com que os alunos saibam identificar dois tipos básicos de objetos tridimensionais: os corpos redondos e poliedros. Os primeiros serão identificados como aqueles que, quando soltos numa rampa, podem rolam em alguma posição, os segundos aqueles que nunca rolam, independentemente da posição que sejam colocados numa rampa. Para isso, os alunos, divididos em pequenos grupos, receberão objetos tridimensionais, isto é, tanto corpos redondos como poliedros. Tendo os alunos divididos os objetos tridimensionais em dois grupos, as atividades se seguirão focadas apenas nos poliedros. O professor deverá questionar os alunos sobre os critérios utilizados para a separação e estimular o debate entre os pares. Atividade 1 5

6 1. Você já deve ter visto alguns dos objetos que recebeu. Eles são chamados de modo geral como objetos tridimensionais. Estamos interessados em classificá-los em dois grandes grupos. Observando-os, mexendo um pouco neles e discutindo com seus colegas, procure criar um critério que divida esses objetos tridimensionais em dois grupos. Não se esqueça de justificar a sua escolha e anotar as suas idéias no papel! 2. Você saberia citar objetos do seu dia-a-dia semelhante a esses objetos tridimensionais que recebeu? Com os mesmos grupos da atividade anterior, os alunos montarão alguns poliedros utilizando palito de churrasco e tripa de mico e tendo como referência outros prémontados, que serão levados pelo professor para servirem de modelo. Os alunos deverão também tentar representá-los em seus cadernos e deduzir, a partir de informações obtidas com o manuseio dos poliedros montados, a fórmula de Euler para poliedros. Esse processo investigativo é muito importante para que o aprendizado seja, de fato, significativo para o aluno. Atividade 2 1. Você recebeu três poliedros que são chamados de: pirâmide de base triangular (ou tetraedro), pirâmide de base quadrada e octaedro. Usando os palitos de churrasco e as tripas de mico, reproduza tais poliedros usando esses materiais. 2. As varetas de churrasco representam as arestas do poliedro, as tripas de mico, os vértices e as partes planas são chamadas faces. De modo geral, o encontro de duas faces é chamado de aresta e o encontro de arestas é chamado vértice. Com base nessas informações, copie a tabela a seguir e complete-a observando os poliedros que você montou. Poliedro Vértices Faces Arestas Pirâmide de Base Triangular Pirâmide de Base Quadrada Octaedro 6

7 3. Você seria capaz de desenhar em seu caderno a representação dos poliedros que montou? 4. Desafio: Observe atentamente o número de vértices, faces e arestas de cada poliedro. Será que é possível encontrar uma relação numérica entre eles que seja válida para qualquer poliedro? Faça tentativas somando ou subtraindo valores, discuta com seus colegas e tente encontrar uma solução. Para a seguinte atividade procuramos trabalhar com conteúdos de outras disciplinas. O vírus da gripe possui sua cápsula em formato icosaédrico, através da atividade é interessante comentar com os alunos alguns aspectos sobre o vírus e também tratar a vertente histórica do assunto. Questões sobre a Gripe A (H1N1) também podem ser levantas. Atividade 3 O vírus da gripe (Influenza virus) é muito comum no nosso dia-a-dia. Normalmente ninguém se preocupa seriamente por estar gripado. Não existem remédios para combater o vírus, os remédios que compramos para combater a gripe na verdade só servem para amenizar os sintomas como: febre, dor de garganta, tosse etc. Essa despreocupação com o vírus nem sempre foi assim. Na época da chegada dos portugueses ao Brasil, muitos índios morreram de gripe, pois até então eles nunca haviam tido contato com o vírus. Muitos outros morreram por conta de outras doenças trazidas pelos exploradores. Os vírus, em geral, possuem uma cápsula que os recobre, no caso do vírus da gripe essa cápsula tem formato de um icosaedro. Icosaedro: A cápsula que recobre o vírus da gripe tem esse formato. 1. O prefixo ico significa vinte e o sufixo edro faces. Ou seja, o icosaedro é um poliedro de 20 faces. Sabendo-se ainda que ele possui 12 vértices, quantas são suas 7

8 arestas? Você é capaz de determinar esse número sem contar diretamente no poliedro? 2. Utilizando como modelo o icosaedro apresentado, monte agora, com os mesmos materiais da atividade anterior, o seu icosaedro. Atenção: o icosaedro possui 20 faces triangulares e, em cada vértice do icosaedro devem correr 5 faces triangulares. Divida a tarefa com os seus colegas de grupo. 3. Faça a contagem do número de arestas do icosaedro e veja se a resposta condiz com a sua previsão feita na pergunta número um. Finalmente, a última atividade do mini-curso é quase que uma simples aplicação da Relação de Euler descoberta pelos alunos na atividade número dois. Entretanto, servirá também para que os alunos conheçam outros poliedros que não os estudados anteriormente. Atividade 4 Copie a tabela a seguir em seu caderno e complete-a com os dados que faltam. Esquema do Poliedro Nome Vértices Faces Arestas Cubo ou Hexaedro 8 6 Dodecaedro Prisma de Base Triangular 6 9 Pirâmide de Base Pentagonal 6 6 8

9 Considerações Finais Procuramos nessa proposta de mini-curso além de proporcionar um contato com um conjunto de atividades de investigação geométrica e apresentar técnicas de construção de sólidos geométricos com varetas, também, num sentido mais geral, disponibilizar um material de base para que outras atividades dessa natureza sejam elaboradas. Desse modo, esperamos que essa proposta motive e sirva de subsídios para outras ações do professor, contribuindo, assim para possíveis melhoria do ensino de geometria na educação básica. Referências ABRANTES, Paulo. Investigações em Geometria na Sala de Aula. In: VELOSO, Eduardo; PONTE, João Pedro da; ABRANTES, Paulo. Ensino da Geometria no Virar do Milênio. Lisboa: Defcul, BRASIL. Secretaria de Ensino Fundamental: Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática/Secretaria de Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, LAMONATO, Maiza; PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion. Investigações Geométricas nas Aulas de Matemática e as Aprendizagens que Ocorrem. In: VII REUNIÃO DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA DO CONE SUL, 2006, Águas de Lindóia-SP. Anais da VII Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul, Águas de Lindóia: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, p PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélio. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, p. 9