MATERIAL MANIPULÁVEL PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS COMPLEXOS: O GEOPLEXO

Transcrição

1 MATERIAL MANIPULÁVEL PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS COMPLEXOS: O GEOPLEXO Alexandre Adriano Bernardi UTFPR Pato Branco aabernardi@gmail.com Fredy Maglorio Sobrado Suárez UTFPR Pato Branco fredy@utfpr.edu.br Janecler Aparecida Amorin Colombo UTFPR Pato Branco janecler@utfpr.edu.br Resumo: O GeoPlexo é um material manipulável desenvolvido como ferramenta para o processo de ensino e aprendizagem dos Números Complexos e outros conteúdos relacionados, tais como a trigonometria. Trata-se de uma base de resolução dentro de um domínio físico pré-determinado, composto de peças fixas e móveis. Além de descrever o material manipulável, este trabalho propõe sua utilização na resolução de uma sequência de atividades baseada na representação geométrica para a compreensão dos conceitos matemáticos fundamentais de um Número Complexo, tais como o afixo, o argumento, o módulo, inclusive suas representações algébricas e exponenciais. Com isso, espera-se mostrar que este material manipulável pode ser um recurso interessante à disposição dos professores de matemática para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem dos Números Complexos. Palavras-chave: Ensino. Material Manipulável. Números Complexos. GeoPlexo. Introdução Os Números Complexos, além de se configurarem como um conjunto de ferramentas fundamentais dentro da própria matemática, como no estudo das variáveis complexas, álgebra linear complexa ou na sua aplicação em geometria, como mostra Neves (2014a), também são de extrema necessidade em diversas áreas do conhecimento, como nas engenharias, sendo muito utilizado em eletromagnetismo, controle e circuitos elétricos, como aborda Costa (2007). Apesar de sua importância, as

2 pesquisas mostram que o tratamento dos Números Complexos, quando existe, é essencialmente algébrico sem relação com outros conteúdos. Os estudos também evidenciam grandes dificuldades em seu aprendizado. Para embasar nossa proposta precisamos primeiramente definir materiais manipuláveis. Uma das definições mais conhecidas, citada em (SOUSA; OLIVEIRA, 1993), é a de Reys, que define materiais manipuláveis como "objetos ou coisas que o aluno é capaz de sentir, tocar, manipular e movimentar. Podem ser objetos reais que tem aplicação no dia-a-dia ou podem ser objetos que são usados para representar uma ideia". De acordo com Lorenzato (2006), quando um material apresenta aplicabilidade para modelar um grande número de ideias matemáticas, ele pode ser considerado um bom material didático. Este autor também cita e elenca alguns critérios definidos por Reys, usados como parâmetros para selecionar bons materiais manipuláveis: 1. os materiais devem proporcionar uma verdadeira personificação do conceito matemático ou das ideias a serem exploradas; 2. os materiais devem representar claramente o conceito matemático; 3. os materiais devem ser motivadores; 4. os materiais, se possível, devem ser apropriados para usar quer em diferentes anos de escolaridade, quer em diferentes níveis de formação de conceitos; 5. os materiais devem proporcionar uma base para a abstração; 6. os materiais devem proporcionar manipulação individual. A dinâmica de trabalho proposta no minicurso consiste em apresentar o material manipulável desenvolvido na dissertação de mestrado do primeiro autor; discutir os aspectos do material desenvolvido que possibilitam caracterizá-lo como um bom material manipulável; resolver a sequência de problemas de duas maneiras, uma baseada nas práticas pedagógicas utilizadas atualmente pela maioria dos professores do Ensino Médio quando ensinam estes conteúdos, a qual denominaremos de tradicional, e outra com o uso do GeoPlexo. Será enfatizado o cálculo das n-ésimas raízes de um Número Complexo e a potenciação de Números Complexos, motivados pelo fato deste conteúdo representar um ponto de dificuldade para a maioria dos alunos. O objetivo deste trabalho é deste modo, apresentar o Geoplexo como uma possibilidade para o ensino dos Números Complexos e mostrar que este material manipulável poderá ser mais um recurso à disposição dos professores de matemática, auxiliando-os no processo de ensino e aprendizagem deste conteúdo.

3 Descrição do GeoPlexo O GeoPlexo é composto de 10 peças, sendo 3 peças fixas e 7 peças móveis. As peças fixas, formadas pela base, base-transferidor e pela moldura formam a base de trabalho, como podemos ver na figura 1. Figura 1 - Base do Geoplexo As peças móveis, formadas pela régua, haste (2 unidades), triângulo equilátero, quadrado, pentágono regular e hexágono regular possuem funções bem definidas e serão escolhidas de acordo com a necessidade. A régua, em especial, será utilizada para a tomada de valores, e está representada a seguir. Figura 2 - Régua A haste, que possui o formato de um losango, além de ser utilizada para a representação geométrica dos números complexos, também será usada para o cálculo das raízes quadradas de um complexo. O triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono regular e o hexágono regular, serão utilizados para encontrar, respectivamente, as raízes cúbicas, quartas, quintas e sextas de um número complexo.

4 Figura 3 Peças móveis Exemplo: Encontre as raízes quadradas do número. Método Tradicional: Dado um número complexo na forma trigonométrica, tal que, chamamos de raíz n-ésima de a qualquer número complexo, tal que, que verifica a relação, com. Os valores de são dados por: [ ( ) ( )] Primeiramente devemos transformar número complexo, que está na forma algébrica, para a forma trigonométrica. Para tanto, precisamos de e de, que são respectivamente, o argumento e o módulo de. Lembrando que, sendo, temos, logo: por outro lado:

5 Visualizando o complexo no plano de Argand-Gauss: Figura 4 Representação Geométrica de z ( Lembrando que, ) Então, como a forma trigonométrica de é, temos: A seguir, podemos utilizar a segunda fórmula de Moivre. Neste caso, como estamos procurando as raízes quadradas, que juntamente com teremos: [ ( ) ( )], onde ao substuirmos os valores dos seno e cosseno correspondente teremos (forma algébrica). Analogamente: [ ( ) ( )] * ( ) ( )+, onde ao substuirmos os valores dos seno e cosseno correspondente teremos (forma algébrica). Portanto, as raízes quadradas de, são

6 e. Usando o GeoPlexo: Ainda faz-se necessário conhecer o argumento e o módulo de. Portanto, de maneira análoga ao que foi feito anteriormente, temos e. De posse do módulo e do argumento e como queremos encontrar as raízes quadradas de, temos: e, que são o módulo e o argumento da primeira raiz. Ainda, como, a peça móvel será a haste (se, a peça móvel seria o triângulo equilátero, seria quadrado e assim sucessivamente). Agora basta posicionar a haste no e observar o valor do módulo. Em seguida posicione a régua na posição vertical e alinhe exatamente com o valor 2 da haste. Neste momento é importante garantir que a régua esteja perpendicular ao eixo real(horizontal) para garantir uma melhor precisão na tomada de valores. Então, o valor da projeção horizontal(intersecção da régua com o eixo real) é a parte real da raiz complexa, no caso e o valor na própria régua(intersecção com o eixo da haste) é a parte imaginária, que neste caso é, como podemos verificar nas figuras abaixo: Figura 5 Posicionamento da haste e leitura da primeira raiz

7 Então, e fazendo teremos:. A segunda raiz quadrada está na outra extremidade da haste módulo de valor 2, bastando fazer a leitura dos valores, como mostra a figura:, também no Figura 6 Leitura da segunda raiz Logo, e fazendo teremos:. Portanto, as raízes quadradas de são e. Sequência de Atividades: 01) Escreva a forma algébrica do número complexo que possui módulo igual a 5 e argumento igual a 02) Escreva a forma algébrica do número complexo que possui módulo igual a 6 e argumento igual a 03) Sabendo que o argumento da primeira raiz quarta de um número complexo z, ou seja, quando k = 0, é igual a, encontre os argumentos das outras 3 raízes. 04) Dado o número complexo, encontre a forma algébrica de 05) Represente no plano complexo o número e escreva suas formas trigonométrica e algébrica. 06) Encontre as raízes cúbicas do número.

8 07) Encontre as raízes quartas do número 08) Encontre as raízes cúbicas do número 09) Escreva o conjunto solução da equação, dado que. Considerações Compartilhando do mesmo esforço que visa facilitar o processo de ensino e aprendizagem dos Números Complexos com a alternativa do uso de materiais manipuláveis, esperamos apresentar e popularizar o uso do GeoPlexo em sala de aula pelos professores de Matemática. Acreditamos que o GeoPlexo possa ser considerado como mais uma ferramenta à disposição do professor de matemática para o ensino dos Complexos e que venha a contribuir com a aprendizagem dos alunos. Referências CAON, F. Números Complexos: Inter-Relação entre Conteúdos e Aplicações - Dissertação. Ponta Grossa - PR: [s.n.], COSTA, R. F. da. A Matemática e os Circuitos Elétricos de Corrente Contínua - Dissertação. Porto Alegre - RS: [s.n.], Números Complexos - Dissertação. Palmas - TO: [s.n.], LORENZATO, S. O laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. Campinas: Autores Associados, NEVES, R. C. Aplicações de Números Complexos em Geometria. Rio de Janeiro: [s.n.], SOUSA, G. C. de; OLIVEIRA, J. D. S. de. O uso de materiais manipuláveis e jogos no ensino de matemática Disponível em: <