XII Encontro Gaúcho de Educação Matemática Inovar a prática valorizando o Professor Porto Alegre, RS 10 a 12 de setembro de 2015

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1 Inovar a prática valorizando o Professor GEOETRIA DO TÁXI: QUANDO A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ULTRAPASSA A IDEIA DE COMPRIMENTO DE UM SEGMENTO DE RETA EUCLIDIANO Msc. Helenara Machado de Souza Centro Universitátio Franciscano - UNIFRA helenara25@gmail.com Dr. José Carlos Pinto Leivas Centro Universitátio Franciscano - UNIFRA leivasjc@unifra.br Resumo: O minicurso tem por objetivo realizar atividades relativas à Geometria do Taxi envolvendo professores de Matemática de Educação Básica, alunos de Licenciatura em Matemática e interessados pelo tema. Essa Geometria, ainda pouco explorada, pode ser uma forma de estimular o aluno do Ensino Médio a aplicar função modular em problemas de urbanização de cidades. Para atingir tal objetivo, as atividades serão realizadas utilizando como instrumento pedagógico/tecnológico o software de Geometria Dinâmica GeoGebra. Elas fizeram parte da dissertação de mestrado, concluída, da primeira autora, realizada sob a orientação do segundo autor. Espera-se que os participantes deste vejam uma oportunidade de explorar um software na aquisição de novos conhecimentos sobre Geometria. Palavras-chave: Geometria do Taxi; GeoGebra; Educação básica. Introdução A busca por metodologias que aproximem os conteúdos abordados em sala de aula da realidade do aluno vêm sendo cada vez mais presentes em estudos realizados sobre o ensino de Matemática, Ribeiro (2012), Kallef (2010), como, por exemplo, conceitos de novas geometrias, principalmente no que se refere à Educação Básica. Uma possibilidade que tem muito a contribuir para a uma aprendizagem mais significativa de conceitos de Geometria é a combinação de situações contextualizadas e a utilização de instrumentos tecnológicos, como os softwares de Geometria Dinâmica. Nesse sentido, oficinas ou minicursos, oferecidos para a comunidade em eventos, possibilitam a divulgação de pesquisas recentes de forma ampla e permitindo que um número maior de educadores matemáticos tenha o acesso a esse conhecimento. Assim,

2 elaboramos o presente minicurso intitulado Geometria do Taxi: quando a distância entre dois pontos ultrapassa a ideia de comprimento de um segmento de reta euclidiano. 1. Contexto e justificativa As atividades aqui descritas fazem parte da pesquisa elaborada pela primeira autora, a qual resultou em sua dissertação de mestrado em Ensino de Matemática, apresentada e aprovada em Março de Após levantamento realizado em documentos que regem o funcionamento do Ensino Médio se verificou que o ensino de uma geometria não euclidiana, como a Geometria do Taxi, ainda é pouco abordado em tal nível. Se, por um lado, em cursos de Mestrado e de Doutorado é crescente o interesse por metodologias que têm por objetivo a abordagem de uma geometria não euclidiana para a educação básica, com a realização de pesquisas, por outro, em cursos de formação de professores de Matemática, alguns temas como o proposto para a investigação na dissertação ainda são pouco abordados. Em sua tese de doutorado, entre outros tópicos de Geometria estudados nos cursos de licenciatura em Matemática, Leivas (2009, p. 46) constatou que, das oito universidades pesquisadas no Rio Grande do Sul, em apenas dois projetos aparecem itens que contemplam minimamente Geometrias Não Euclidianas. O autor compreende esse termo para aquelas geometrias que não são as de Euclides, como a topológica, por exemplo. Tal fato nos fez refletir sobre a importância de propor atividades visando à formação continuada de professores de Matemática, de alunos de graduação e pósgraduação e daqueles que têm interesse por Geometria. Segundo Ribeiro (2012, p.93): as pesquisas brasileiras em Educação Matemática que exploram o ensino de geometrias não euclidianas, que por sinal têm crescido em números nestes últimos anos, e que apresentam estudos de caso, apontam que conceitos destas geometrias estão ao alcance de diversos públicos. Foram focos de estudos de caso professores de Matemática, estudantes de licenciatura em Ciências e em Matemática, estudantes de Engenharia, estudantes da educação básica (dos Ensinos Fundamental II e Médio) e professores universitários vinculados a formação inicial e continuada de professores. A escolha pela abordagem da Geometria do Táxi se deveu ao fato de que esta se faz presente no cotidiano e que, desta forma, possibilita associar conceitos matemáticos, estudados em sala de aula, com situações reais, o que acreditamos dar mais significado à aprendizagem. Segundo Kallef (2010, p. 12):

3 são vários os motivos que levam os educadores matemáticos a proporem o ensino da Geometria do Táxi (GT) nas escolas. Nessa direção, ela pode ser apresentada com a intenção de se integrar a Matemática ao cotidiano do aluno e para a formação do cidadão, pois se apresenta em todos os lugares, não podendo, portanto, deixar de ser encontrada no espaço das salas de aula e até das ruas. Assim sendo, a GT modela mais fielmente uma geografia urbana do que a própria GE (Geometria Euclidiana). No que segue apresentamos alguns pressupostos sobre a Geometria do Taxi. 2. A origem da Geometria do Taxi Desenvolvida pelo professor russo Hermann Menkowski ( ), a Geometria do Táxi, considerada como sendo uma geometria não euclidiana, teve origem na necessidade de se responder questões presentes em situações cotidianas, para as quais, até então, a Geometria Euclidiana não respondia. A Geometria Euclidiana define distância entre dois pontos como sendo a medida do segmento de reta que os une. Mas, no que esta geometria se aplica quando os pontos em questão representam duas residências em um bairro de uma cidade, por exemplo? Como determinar a distância percorrida para ir de uma destas residências até a outra, quando elas não se encontram em linha reta. Por exemplo, se forem dois pontos diagonalmente opostos em uma quadra urbanizada? p.21): Consideramos as definições de distância e métrica apresentadas por Leivas (2003, Dado um conjunto não vazio M, consideremos a função d: MXM R + (x,y) d(x,y). Dizemos que a função d é uma métrica sobre M se as seguintes condições forem satisfeitas, x, y, z M. (M 1) d(x,y) = 0 x = y. (M 2) d(x,y) = d(y,x). (M 3) d(x,y) d(x,z) + d(z,y) Nestas condições a função é chamada de métrica ou função distância e cada imagem d(x,y) recebe o nome de distância de x a y, enquanto que o par (M,d) é denominado espaço métrico. Cada elemento de um espaço métrico é denominado ponto, seja ele um ponto mesmo, ou um número, ou ainda uma função ou um vetor.[...] Seja R² o plano cartesiano. Define-se em R² três métricas, como segue, onde X = (x 1,y 1) e Y = (x 2,y 2) são pontos do R²., chamada métrica euclidiana;, chamada métrica dos catetos;, chamada métrica do máximo. A segunda métrica definida vai caracterizar a chamada Geometria do Taxi e, por envolver a função modular, pode ser um bom incentivo ao estudo modular dessa função, a qual apresenta

4 algumas dificuldades de compreensão, especialmente aos estudantes que ingressam nos cursos de Cálculo nas universidades. Apesar de ter sido desenvolvida por Hermann, esta geometria só recebeu a denominação de Geometria do Táxi quando da publicação do livro Você vai gostar de Geometria, escrito por Karl Menger, no ano de Atividades para o minicurso As atividades descritas a seguir serão realizadas com auxílio do software GeoGebra para que, dessa forma, os participantes possam usufruir das contribuições que este tipo de ferramenta possibilita, tais como: propor e testar diversas conjecturas; validar os resultados obtidos e, ainda, realizar as correções que possam vir a ser necessárias, sem que seja necessário retornar ao ponto inicial da atividade. Atividade 1. Representa o ponto P = (0, -1) na grade, bem como os pontos A (4, -1); B (0, - 5); C (-4, -1); D (0, 3); E (1,2); F (2, 1); G (0, 3). a) Calcule a distância, na Geometria do Taxi, entre os pares de pontos (A,B); (B, C); (C, D); (D, A). O que você conclui sobre estes valores? b) Calcule a distância na Geometria do Taxi do ponto P aos pontos A, B, C, D, E, F e G. O que você conclui sobre estes valores? c) O que você pode dizer sobre a posição entre os pontos A, G, F, E e D? d) O que você poderia dizer sobre o polígono formado a partir dos pontos representados? e) Na Geometria Euclidiana como você denomina esta figura geométrica no plano? Represente no GeoGebra o lugar geométrico que você identificou utilizando as duas geometrias. Figura 1 - Imagem referente à questão 1. Fonte: própria

5 Atividade 2. Imagina que no ponto C (4,1) está situado no centro de uma praça e que os pontos A (4,-1), B(9,2), D(3,1), E(0,4), F(4,4) e G(-1,-1) representam árvores. Sabendo que toda árvore, que estiver a um raio de no máximo 80m com relação ao centro dessa praça, deverá ser cortada. Verifica o que vai ocorrer com cada planta (Cada unidade de medida representa 20m). Obs. Esperamos que a imagem a ser construída pelos alunos no software seja como na representação feita na figura 2. Figura 2 - Imagem referente à questão 2. Fonte: própria A partir dessa atividade pretendemos promover uma reflexão e questionar se o conceito matemático utilizado para solucionar tal questão, no caso a concepção de distância, conforme a Geometria Euclidiana pode ser aplicada de forma simples em situações que descrevem o deslocamento realizado em centros urbanos planejados. Na sequência, apresentaremos as demais atividades, ressaltando as diferenças entre uma e outra geometria. Atividade 3. Pedro recebeu uma cartela, como a apresentada na figura 3. Ele deveria recortar as figuras, colá-las aleatoriamente em um plano, que represente uma cidade ideal organizada em quadras, e depois traçar os seguintes trajetos necessários: a) para ir da casa até a Escola; b) para ir da Escola até o Museu; c) para ir do Museu até a Biblioteca;

6 d) para ir da Igreja até o Hospital; e) qual desses trajetos é o mais curto? Apresenta uma solução possível de ser encontrada por Pedro, com seus respectivos cálculos. Figura 3 - Imagem referente à questão 3. Fonte: própria Atividade 4. De segunda a sexta-feira realizamos uma atividade em que a Matemática se faz presente e nem sempre nos damos conta disso, ou seja, o trajeto percorrido para ir de casa até a escola. É possível representá-lo geometricamente por um único segmento de reta unindo os dois locais? De que forma? Qual geometria mais favorece para representarmos esse percurso? De que forma o software GeoGebra auxilia a responder essas perguntas? Na figura 4 ilustramos uma possibilidade de trajeto possível para ir de uma residência até a escola, obtida no GeoGebra.

7 Figura 4 - Trajeto fictício casa/escola Fonte: própria A partir dessas informações, realizar as tarefas a seguir. a) Escolha uma imagem que representa um trajeto, na pasta participante.b) transporta a imagem escolhida para o software Geogebra. c) marca os pontos em que precisas mudar de direção. d) determina, por meio da Geometria do Táxi, a medida do percurso realizado. Atividade 5. A questão a seguir, apresentada na prova de Matemática do ENEM/2013, representa uma situação real e é um exemplo de situação-problema que poderia ser abordada por meio da Geometria do Táxi, fazendo uso de ferramentas de Geometria Dinâmica. Figura 5 - Questão do ENEM/2013 Fonte: prova do ENEM 2013.

8 4. Considerações Finais Vemos na possibilidade de conciliar o ensino de uma geometria no plano, diferente da Euclidiana, no caso a Geometria do Táxi, com o uso de um software de Geometria Dinâmica. Como essa conciliação pode contribuir para, aos interessados por tal tema, uma oportunidade de vivenciar uma situação que muito se aproxima do cotidiano, adaptada para ser realizada no ambiente escolar. Acreditamos que esta estratégia favorece uma aprendizagem mais significativa de Geometria. Esperamos que, com as atividades propostas, os participantes sintam-se desafiados a interagirem, a formularem hipóteses e conjecturas, testá-las, validá-las ou não. 5. Referências LEIVAS, J. C. P. Existem bolas quadradas? Educação Matemática em Revista - RS, v. 5, p , LEIVAS, J. C. P. Imaginação, intuição e visualização: a riqueza de possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de matemática. 294p. Dissertação (Doutorado em Educação) - Universidade Federal do Paraná, Curitiba, KALEFF, A. M. M. R. Geometrias não euclidianas na educação básica: utopia ou possibilidade. X Encontro Nacional de Educação Matemática: Salvador BA RIBEIRO, R. D. G. O ensino das geometrias não - euclidianas: um olhar sob a perspectiva da divulgação cientifica. Dissertação de Mestrado Profissionalizante em Educação Matemática, Faculdade de Educação da Universidade de São Paulo, 2012.