X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 ENSINO DE TRANSFORMAÇÕES NO PLANO APLICANDO A TEORIA DE VAN HIELE Neide da Fonseca Parracho Sant Anna Colégio Pedro II - Rio de Janeiro Resumo: Este mini-curso, voltado para os anos finais do Ensino Fundamental, é constituído de atividades desenvolvidas com o objetivo de facilitar a elevação dos níveis de van Hiele dos alunos. Mesmo em alunos que apresentam um bom desempenho escolar é possível identificar dificuldades quando se concentra a atenção no processo dedutivo e se exige que o aluno explicite uma linha de argumentação, demonstração ou prova. A Teoria de van Hiele explica esse problema através da hierarquia dos níveis. Nesta proposta de ensino de Geometria, há uma inversão na ordem em que de um modo geral os conteúdos são apresentados nos livros didáticos. Antecipamos o trabalho com os quadriláteros antes de desenvolvermos o tópico de triângulos, incluindo a congruência. O objetivo desta inversão é propiciar a elevação dos níveis de raciocínio dos alunos por meio do trabalho de classificação de quadriláteros, o estudo de suas propriedades e a relação entre elas, chegando à inclusão de classe. A partir daí, se desenvolve o estudo da congruência das figuras planas. Palavras-chave: Congruência; Isometrias; Teoria de Van Hiele. INTRODUÇÃO A metodologia aqui empregada se baseia na Teoria de van Hiele. Este modelo de van Hiele (1959, 1986) para o pensamento em Geometria foi criado por Pierre van Hiele e sua esposa Dina van Hiele-Geoldof, tendo por motivação as dificuldades apresentadas por seus alunos do curso secundário na Holanda. Segundo van Hiele, cada nível é caracterizado por relações entre os objetos de estudo e linguagens próprias. Conseqüentemente, não pode haver compreensão quando o curso é dado num nível mais elevado do que o atingido pelo aluno. O modelo de van Hiele sugere que os alunos progridem segundo uma seqüência de níveis de compreensão de conceitos, enquanto eles aprendem geometria. O progresso de um nível para o seguinte se dá através da vivência de atividades adequadas, e passa por cinco fases de aprendizagem. Portanto, o progresso de níveis depende mais da aprendizagem adequada do que da idade ou maturação. 1

2 Desenvolvemos aqui a aplicação desses princípios ao ensino da Geometria Plana, aplicando os resultados obtidos por Nasser (1989, 1992, 1993). Os Níveis de van Hiele para o Desenvolvimento do Raciocínio em Geometria Níveis de van Hiele Características Exemplos Básico: Reconhecimento Identificação, comparação e nomenclatura de figuras geométricas, com base em aparência global. Classificação de quadriláteros (recortes) em grupos de quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos e trapézios. Nível 1: Análise Análise das figuras em termos de seus componentes, reconhecimento de suas propriedades e uso dessas propriedades para resolver problemas. Descrição do quadrado através de suas propriedades: 4 lados, 4 ângulos retos, lados iguais, lados opostos paralelos. Nível 2: Síntese ou Abstração Percepção da necessidade de uma definição precisa, e de que uma propriedade pode decorrer de outra; Argumentação lógica informal e ordenação de classes de figuras geométricas. Descrição do quadrado pelas propriedades mínimas: 4 lados iguais e 4 ângulos retos. O retângulo é um paralelogramo, pois também possui os lados opostos paralelos. Nível 3: Dedução Domínio do processo dedutivo e de demonstrações; reconhecimento de condições necessárias e suficientes. Demonstração de propriedades dos triângulos e quadriláteros usando a congruência de triângulos. 2

3 Nível 4: Rigor Estabelecimento de teoremas em diversos sistemas e comparação dos mesmos. Estabelecimento e demonstração de teoremas de uma Geometria finita. OBJETIVOS A descrição acima evidencia o claro objetivo geral do trabalho: Introduzir o estudo de geometria seguindo uma nova metodologia, a da teoria de van Hiele. Este objetivo se decompõe em objetivos específicos, quais sejam, os de tornar o aluno apto a: Observar semelhanças e diferenças entre pares de figuras e sólidos; Identificar propriedades características dos diferentes tipos de quadriláteros; Observar que alguns grupos de quadriláteros têm propriedades em comum; Concluir que há propriedades mínimas para descrever diferentes tipos de quadriláteros; Identificar as propriedades características de cada isometria; Reconhecer figuras ou objetos obtidos através das isometrias; Construir o conceito de congruência, através das isometrias; Chegar aos casos de congruência de triângulos através de construções com régua e compasso; Reconhecer casos de congruência de triângulos; METODOLOGIA 3

4 Para elevação do nível de raciocínio em geometria desenvolvemos a aplicação das atividades com quadriláteros na 1ª parte deste mini-curso. A seguir são estudadas as transformações de Reflexão, Translação e Rotação, usadas para introduzir o conceito de congruência. A congruência de triângulos é explorada através da construção de triângulos, permitindo aos alunos concluir os casos de congruência por si mesmos. Inicialmente a geometria é introduzida de uma forma natural, lembrando que ela está constantemente presente em nossa vida: na natureza, nos objetos que usamos nas Artes, nas brincadeiras infantis, etc. Partimos dos sólidos Geométricos porque vivemos em estruturas tridimensionais. É natural para o aluno reconhecer nos sólidos, gradativamente, os elementos que serão objetos de seu estudo em Geometria Plana. A introdução ao estudo de geometria, como mencionado anteriormente, foi baseado em Projeto Fundão (1982). Para tentar eliminar a discrepância entre o nível de raciocínio atingido pelo aluno e o nível adotado no ensino das noções de congruência e semelhança de figuras planas, propomos que este tópico seja ensinado no terceiro nível de van Hiele. Neste nível o aluno reconhece as figuras geométricas por meio de suas propriedades, e as relaciona, sendo, portanto, capaz de estabelecer inclusões de classes, de objetos geométricos. A seguir desenvolvemos atividades para propiciar o progresso dos alunos a este nível. Nesta proposta, utilizamos as isometrias no plano (reflexão, transformação e rotação) para trabalhar a congruência. Desta maneira, o aluno percebe a congruência de duas figuras quando uma é obtida de outra pela aplicação de uma isometria (transformação que preserva forma e tamanho). Outro aspecto importante desta proposta é uma inversão na ordem em que os conceitos são tradicionalmente apresentados nos livros didáticos: o tópico de quadriláteros, tratado em geral após o estudo completo dos triângulos, incluindo congruência, foi antecipado. Isto para propiciar a elevação dos níveis de raciocínio dos alunos por meio do trabalho de classificação de quadriláteros, o estudo de suas propriedades e a relação entre elas, chegando à inclusão de classes. O desenvolvimento do raciocínio lógico-geométrico, através da identificação das propriedades mínimas necessárias para definir uma figura geométrica, possibilita ao aluno, mais tarde, 4

5 verificar objetivamente as condições mínimas que garantem a congruência de triângulos (casos de congruência). ATIVIDADES Um conjunto de atividades para compor a prática discente na aprendizagem segundo a abordagem proposta será apresentado detalhadamente ao longo do minicurso. A organização dessas atividades e os aspectos inovadores envolvidos serão também discutidos ao longo do mini-curso. Dividimos o conjunto de atividades em duas partes. A primeira parte trata de quadriláteros. Serão entregues fichas a serem desenvolvidas em duplas, a fim de que o aluno possa observar semelhanças e diferenças entre pares de figuras e sólidos; identificar propriedades características dos diferentes tipos de quadriláteros; observar que alguns grupos de quadriláteros têm propriedades em comum; concluir que há propriedades mínimas para descrever diferentes tipos de quadriláteros. As duas primeiras atividades desta parte têm como objetivo diferenciar figura geométrica plana de sólido geométrico, bem como, observar as semelhanças e as diferenças entre os pares de figuras e de sólidos. Para desenvolver estas atividades, cada aluno, mesmo trabalhando em dupla, recebe fichas onde estão desenhados figuras e sólidos, acompanhados de uma folha de registro. Para desenvolver a terceira atividade o aluno recebe uma ficha onde estão desenhados 24 quadriláteros, dentre eles quadrados, retângulos, paralelogramos, losangos, trapézios e quadriláteros quaisquer. Os alunos, trabalhando individualmente ou em duplas, deverão separar os quadriláteros em grupos e colar em folhas avulsas a serem recolhidas. Após a verificação do professor, o aluno deve colar as figuras em seu caderno, cada grupo em uma página. Os alunos que souberem podem dar nome aos grupos de quadriláteros; entretanto, não há necessidade de insistir nisto no momento. A atividade seguinte pode ser denominada Listando Propriedades. Nesta atividade o aluno deverá ser capaz de identificar propriedades características dos diferentes tipos de quadriláteros. O professor utiliza 5 cartazes, um para cada tipo de quadrilátero classificado na atividade anterior: quadrados, retângulos, losangos, 5

6 paralelogramos e trapézios. Na parte superior do cartaz, cola quadriláteros do tipo correspondente, em diversas posições e tamanhos. Logo abaixo, deve abrir fendas no cartaz, onde serão encaixadas tiras de cartolina previamente preparadas: com os nomes dos grupos de quadriláteros e com as propriedades dos quadriláteros, em número suficiente para os cinco cartazes: 4 lados (5 tiras deste tipo); 4 ângulos (5); 4 ângulos retos (2); 4 lados congruentes (2); lados opostos congruentes (4); lados opostos paralelos (4); um par de lados opostos paralelos (1) e ângulos opostos congruentes (4). Deverá preparar tiras em branco para completar na hora da atividade. A aplicação dessa atividade dar-se-á interagindo professor e aluno, de tal forma que os alunos irão nomeando os quadriláteros. Depois que o nome surgir, encaixar a tira com o nome nas fendas já preparadas. Paulatinamente o processo se repete com os demais tipos de quadrilátero. Por sua vez, cada aluno deve anotar na página de seu caderno onde foram coladas as figuras de cada grupo (atividade anterior) as propriedades correspondentes. A próxima atividade foi denominada Inclusão de Classes. Nesta atividade o aluno deverá observar que alguns tipos de quadriláteros têm propriedades em comum. Colocar os cinco cartazes prontos, com as propriedades, um do lado do outro, no quadro e pedir à turma para observar suas propriedades. Dando continuidade a esta parte das atividades os alunos são levados a concluir que há propriedades míninas para descrever os diferentes tipos de quadriláteros. São sugeridas atividades que podem ser conduzidas sob a forma de jogo do tipo: Quem eu sou? com o objetivo de fixar o estudo dos quadriláteros e suas respectivas propriedades. A segunda parte das atividades envolve as isometrias no plano (reflexão, translação e rotação) para trabalhar com a congruência de figuras. Desta maneira, o aluno, percebe a congruência de duas figuras quando uma é obtida de outra pela aplicação de uma isometria (transformação que preserva forma e tamanho). Por outro lado, a congruência de triângulos é explorada através da construção de triângulos, permitindo aos alunos concluir os casos de congruência por si mesmos. Apresentamos atividades com o objetivo de conceituar eixo de simetria; reconhecer eixos de simetria de figuras e letras; conceituar a transformação de reflexão suas propriedades; conceituar a transformação de translação e suas propriedades; conceituar a transformação de rotação e suas propriedades. A partir dessas atividades apresentamos outras envolvendo 6

7 congruência de figuras e finalmente a construção de triângulos, culminando com os casos de congruências a partir dessa construção. Ressaltamos que as atividades propostas apresentam uma abordagem intuitiva, usando símbolos e imagens familiares aos alunos. REFERÊNCIAS NASSER, L. Are the van Hiele Levels Applicable to Transformation Geometry? Atas da 13ª Conferência do PME, 1989, Vol.3, p NASSER, L., VAN HIELE, P. based experiment on the teaching of congruence. Proceedings of PME- 16, New Hampshire, USA, 1992, vol. 3, p.187. NASSER, L. A Teoria de van Hiele para o Ensino de Geometria. Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática no Rio de Janeiro, Projeto Fundão- IM- UFRJ, 1993, p PROJETO FUNDÃO: Introdução ao Estudo de Geometria Plana. IM-UFRJ, Rio de Janeiro, VAN HIELE, P. La Penseé de l Enfant et la Geometrie. Bulletin de l Enseignement Public 38 e Année, nº. 198, VAN HIELE, P. M. Structure and Insight. Academic Press Orlando, FL, USA,

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