UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS ESPERANÇA MATEMÁTICA. Camila Macedo Lima

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS ESPERANÇA MATEMÁTICA Camila Macedo Lima Ilhéus, Bahia 2003

2 ESPERANÇA MATEMÁTICA Monografia apresentada à Disciplina Seminário em Matemática do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas DCET, da Universidade Estadual de Santa Cruz UESC, como um dos prérequisitos para obtenção do grau de Bacharelado em Matemática. Ilhéus, Bahia 2003

3 Camila Macedo Lima ESPERANÇA MATEMÁTICA Monografia apresentada, julgada e aprovada pelo Corpo Docente do Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Estadual de Santa Cruz como parte dos requisitos de conclusão do curso de Bacharelado em Matemática. Irene Maurício Cazorla, Dra. Orientadora Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana, Msc. Cleber Guigioli Carrasco, Msc. Ilhéus, Bahia 2003

4 A Milena Mendes (minha amiga), que por vezes no silêncio me mostrou todo apoio, admiração, amor, estímulo e a força de caminharmos juntas foram as armas desta longa e difícil etapa da minha vida e principalmente pela compreensão da minha ausência.

5 AGRADECIMENTOS De forma especial, agradeço a professora Dra. Irene Maurício Cazorla, pela orientação, pelos ensinamentos, convivência e amizade. A Professora Eurivalda Santana Msc, agradeço carinhosamente, pelo apoio constante, incentivo e amizade durante esse período. Ao Professor Dr. Humberto Bortolossi pelo apoio e colaboração na arrumação do trabalho. Agradeço ainda de uma maneira muito especial a meu namorado(andré) pelo carinho, pela compreensão e atenção nesta etapa, na qual colaborou na digitação e na implantação das figuras para o texto. Agradeço a DEUS por tudo!

6 RESUMO A presente monografia trata do estudo da esperança matemática, suas propriedades e aplicações. Foram trabalhadas as principais variáveis aleatórias, tanto discretas quanto contínuas, fazendo-se uma revisão das principais definições e conceitos da teoria de probabilidades, bem como suas aplicações nos fenômenos e experimentos aleatórios dos diversos campos da atividade humana.

7 ABSTRACT

8 Índice 1 Introdução 3 2 Probabilidades Conceitos NoçõesdeTeoriadosConjuntos Definições de Probabilidades Esperança Matemática Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas Principais Modelos Discretos ModeloUniformeDiscreto ModeloBernoulli ModeloBinomial Modelo Geométrico ModeloPoisson Principais Modelos Contínuos Modelo Uniforme Contínuo ModeloExponencial ModeloNormal Bibliografia 62

9 5.4 ApêndiceA... 63

10 3 1 Introdução A Estatística pode ser considerada como a linguagem da ciência uma vez que as diferentes ferramentas, desenvolvidas por esta área do conhecimento, subsidiam a tomada de decisões em condições de incerteza. Isto porque em muitos dos problemas enfrentados pela ciência - a validade das hipóteses formuladas acerca dos fenômenos - não podem ser verificados em todos os casos (população), devendo-se recorrer ao estudo de uma parte da população (amostra), e às vezes de pequenas amostras. Todavia, ao se analisar o fenômeno estudando apenas uma amostra enfrenta-se um grande desafio, a validade das inferências decorrentes dessa parte da população. Nesse contexto, a teoria de probabilidades auxilia a formação de amostras aleatórias, e através delas épossível se medir a probabilidade de tomar a decisão correta ou não. Além disso, os modelos probabilísticos desenvolvidos ajudam a estudar diversos fenômenos aleatórios presentes na natureza e na sociedade, permitindo a previsão do seu comportamento, onde o homem não tem outro instrumento na tomada de decisão, a não ser ocálculo de probabilidades. A esperança matemática é, nesse contexto, crucial uma vez que éoparâmetro mais importante de uma distribuição de probabilidades, pois junto com a variância matemática, caracterizam plenamente essas distribuições. Por essa razão seu estudo édevitalim- portância. A esperança matemática não é nada mais que a média aritmética de uma variável aleatória - fenômeno ou experimento aleatório, conceito amplamente conhecido na análise exploratória de dados, somente que este é calculado para os dados da amostra, enquanto a esperança matemática é calculada nos modelos probabilísticos que se ajustam a esses conjuntos de dados.

11 4 2 Probabilidades Neste capítulo, se formaliza os conceitos básicos da teoria de probabilidades. A teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que estuda, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. 2.1 Conceitos Definição (Fenômenos Aleatórios): São situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com certeza. Ex: Condições Climáticas. Definição (Experimentos Aleatórios): São os experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes. Ex: O experimento de lançar uma moeda. Definição ( Experimentos Determinísticos): São os experimentos que quando repetidos em condições semelhantes conduz ao mesmo resultado. Ex.: Aquecer a água a 100 C. Definição (Espaço Amostral): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno ou experimento aleatório. Os elementos do espaço amostral são chamados de eventos elementares. E os subconjuntos do espaço amostral são denominados eventos. Oespaço amostral pela letra omega(ω). Exemplo No lançamento de um dado, o espaço amostral é o conjunto : Ω = {1, 2, 3, 4,,5, 6}. No exemplo acima o espaço amostral é um conjunto finito. Exemplo Considerando C(cara) e K(coroa), lança-se uma moeda e observa-se a primeira ocorrência de coroa (K).

12 5 Oespaço amostral é o conjunto: Ω = {K,CK,CCK,CCCK,C...K,...}. Esse éum exemplo de experimento aleatório cujo espaço amostral não éfinito. Definição (Espaço amostral discreto): quando os resultados do experimento denotam uma qualidade ou são resultados de uma contagem, o espaço amostral édito discreto, isto é, suscetível de enumeração (finita ou infinita), nesse caso, cada possível resultado é chamado de evento elementar. Exemplo Uma moeda élançada duas vezes sobre uma superfície plana. Em cada um dos dois lançamentos pode ocorrer cara (C) ou coroa (K). Oespaço amostral é o conjunto : Ω = {CC,CK,KC,KK}. Definição (Espaço amostral contínuo): quando os resultados do experimento decorrem de uma mensuração, isto é, os possíveis resultados não são enumeráveis, o espaço amostral é chamado de contínuo. Exemplo Escolhe-se uma lâmpada do processo de fabricação e observa-se o tempo até ela queimar. Pode-se verificar que esse tempo varia de lâmpada para lâmpada. Oespaço amostral é o conjunto de todos números reais não negativos. Ou seja: Ω = {x : x R e 0 x M}, onde M éumnúmero suficientemente grande. Para resolver problemas, deve-se descrever todos os possíveis resultados do experimento e calcular o seu número. Ou seja, explicitar qual éoespaço amostral e calcular o número de elementos contidos nele. 2.2 Noções de Teoria dos Conjuntos Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral Ω: A união de dois eventos A e B denotada por A B:

13 6 A B Ω Figura 1: União A B: implica na ocorrência de pelo menos um dos eventos. A intersecção do evento A com B, denotada por A B: A B Ω Figura 2: Interseção A B: implica na ocorrência simultânea de A e B. Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se A B = : A B Ω Figura 3: Eventos mutuamente exclusivos: quando a interseção deles é o evento impossível. A e B são complementares se sua união éoespaço amostral e sua interseção éo conjunto vazio. O complementar de A é denotado por A C :

14 7 A C A Ω Figura 4: Complemento de A(A C ):ocorre quando não ocorre A. Definição Para uma reunião enumerável de eventos: O evento i=1 A i é o evento que ocorre quando pelo menos um dos eventos A i,parai =1, 2,... ocorre. Definição Para uma intersecção enumerável de eventos: O evento i=1 A i éo evento que ocorre quando todos os eventos A i,parai =1, 2,... ocorrerem Propriedades de Operações entre Eventos Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral Ω, tem-se: a) (A B) C =(A C) (B C); b) (A B) C =(A C) (B C); c) (A B) C = A C B C ; d) (A B) C = A C B C ; Demonstração: Para demonstrar as igualdades acima é preciso mostrar que todo elemento pertencente ao lado esquerdo pertence ao lado direito e vice-versa. a) Sejaω (A B) C então ω (A B) eω C. Daí ocorre que ω A e ω C ou ω B e ω C, ou seja, ω (A C) ouω (B C). Isso implica que ω (A C) (B C). b) Sejaω (A B) C então ω (A B) ouω C. Daí ocorre que ω A ou ω C e ω B ou ω C, ou seja, ω (A C) eω (B C). Isso implica que ω (A C) (B C). c) Sejaω (A B) C,então ω/ (A B) e portanto ω/ A e ω/ B, que por sua vez implica que ω A C e ω B C,ousejaω (A C B C ). d) Sejaω (A B) C,então ω/ (A B) e portanto ω/ A ou ω/ B, que por sua vez implica que ω A C ou ω B C,ousejaω (A C B C ).

15 8 Podemos calcular a probabilidade da união de eventos através da seguinte propriedade: Definição (Regradaadição de probabilidades): Dá-se a regra da adição como método para achar a probabilidade de ocorrência de um ou de outro evento (ou de ambos) na realização de um experimento. Sejam A e B eventos de Ω então: P (A B) =P (A)+P (B) P (A B) Como consequência da regra da adição obtem-se a seguinte relação: P (A) =1 P (A C ) Demonstração: Para provar essa igualdade, aplica-se a regra da adição, onde substituise B por A C. Temos então: P (A A C )=P (A)+P (A C ) P (A A C ) P (A A C )=P (A)+P (A C ) p( ) P (A A C )=P (A)+P (A C ) 0 1=P (A)+P (A C ) P (A) =1 P (A C ) Exemplo A probabilidade de um evento A ocorrer éde0,2 edea B ocorrer é de 0,7. Sabendo que os eventos são mutuamente exclusivos, calcule a P (B). Solução: Se que P (A B) =0,7, P (A) =0,2 equepordefinição P (A B) =0,poisA e B são mutuamente exclusivos, aplicando-se a fórmula da regra da adição, tem-se: P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) 0,7 = 0,2+P (B) 0 P (B) = 0,7 0,2 P (B) = 0,5. Em muitas situações, uma subsequência de eventos aleatórios pode ser separado em

16 9 etapas. A informação do que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas probabilidade de ocorrência das etapas sucessivas. Nestes casos, ganha-se informação e pode-se recalcular as probabilidades de interesse, essas probabilidade recebem o nome de Probabilidade Condicional, cuja definição apresenta-se a seguir. Definição (Probabilidade Condicional): Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P (A B) e dada por: P (A B) = P (A B), P (B) > 0. P (B) A probabilidade condicional de um evento A dado a ocorrência do evento B pode ser visualizada pelo diagrama abaixo. A B Ω Figura 5: Probabilidade Condicional de A dado que B ocorreu Exemplo Considere os dados da tabela abaixo: Curso \ Sexo M F Total Matemática Física Estatística Computação Total Determine a probabilidade de escolher ao acaso um estudante do sexo masculino, sabendo que ele é do curso de Estatística. Solução: P (M Est.) = P (M Est.) P (Est.) = = =0, 3.

17 10 Da definição de probabilidade Condicional, se deduz a Regra da multiplicação do Produto de Probabilidades: Sejam A e B eventos de Ω. Então, P (A B) =P (A B) P (B), com P (B) > 0. Definição (Independência de Eventos): Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Istoé, P (A B) =P (A), P(B) > 0, ou ainda a seguinte forma equivalente: P (A B) =P (A) P (B) Logo, dois eventos são independentes se a probabilidade da interseção é igual ao produto de suas probabilidades isoladas, ou ainda, se a probabilidade conjunta é produto das probabilidades marginais. Exemplo :SeP (A B) =0, 8; P (A) =0, 5eP (B) =x, determine o valor de x quando A e B forem independentes. Solução: Aplicando a fórmula de independência de eventos: P (A B) =P (A)P (B) então, substituindo na fórmula da regra da adição de probabilidades: P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) 0.8 = 0.5+x (0.5x) 0.8 = 0.5+x 0.5x 0.5 = x 0.5x = x = 0.6. Logo, P (B) =0, 6

18 Variáveis Aleatórias Definição (Variável Aleatória): É qualquer função de número real, definida no espaço amostral associado a um experimento aleatório. Apesar da terminologia variável aleatória, é uma função cujo domínio éoespaço amostral (Ω) e contradomínio formado pelos números reais. Observa-se que a variável aleatória é uma função matemática, todavia seu domínio é formado pelo espaço amostral (Ω) associado ao experimento ou fenômeno aleatório, que depende dos elementos que compõem a amostra ou experimento. Geralmente, quando o espaço amostral é formado por eventos que denotam qualidade, avariável aleatória tem um papel importante, pois transforma os eventos em números, facilitando o tratamento matemático destes. Exemplo : Lançamento de 3 moedas, onde a variável aleatória X: n de caras (C) obtidasnastrês moedas Ω X: Ω IR CCC, CCK CKC, CKK KCC, KCK KKC, KKK IR Figura 6: Variável aleatória - espaço amostral discreto. Já quando o espaço amostral écontínuo, via de regra, a variável aleatória éaprópria identidade. Exemplo : Tempo de vida de uma lâmpada escolhida aleatoriamente de uma linha de produção. X: Ω IR Ω: IR IR 0 M 0 M Figura 7: Variável aleatória - espaço amostral contínuo.

19 12 Observações Importantes: 1)Nas aplicações, é conveniente trabalhar com números e não com eventos, daí, o uso da variável aleatória. 2)Uma variável aleatória X será discreta se o número de valores possíveis de X (seu contradomínio) for finito ou infinito numerável. caso seu contradomínio seja um intervalo ou uma coleção de intervalos, ela será umavariável contínua. 3)A diferença de uma variável aleatória de uma função matemática, é que seu domínio é formado pelo espaço amostral, que depende das leis de probabilidade para sua formação, já isso não acontece como, por exemplo, na função X 2 : R R. 2.3 Definições de Probabilidades Probabilidade Laplaciana Definição (Probabilidade Laplaciana): Éarazão entre o número de elementos do evento (A) sobre o número total de elementos do espaço amostral. Laplace referia-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compõe A) comoos casos favoráveis. Os elementos do espaço amostral Ω eram chamados de casos possíveis. probabilidade = n de casos favoráveis n de casos possíveis Suponha que os experimentos aleatórios tenham as seguintes características: a)existe um número finito n de eventos elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares éoespaço amostral Ω. b)os eventos elementares são igualmente prováveis. c)todo evento A é uma união de m eventos elementares, onde m n. Então: P (A) = #(A) #(Ω) = m n.1 Conseqüências da Definição 1) Para todo evento A, 0 P (A) 1; 2) P (Ω) = 1; 1 Osímbolo # indica a cardinalidade do conjunto.

20 13 3) P ( ) = 0. Isso vale porque #( ) =0; 4) Se A B = então P (A B) =P (A)+P (B) Exemplo Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras? Solução: Indicando C como cara e K como coroa, o espaço amostral é dado por: Ω={KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC} onde, #(Ω) = n casos possíveis = 8. Se A indica o evento obter duas caras, então A = {CCK, CKC, KCC} Assim, #(A) =n casos favoráveis = 3. Portanto, pela definição tem-se que: P (A) = #(A) #(Ω) = 3 8 =0, 375. Logo a probabilidade de obter duas caras é de 0,375. Observa-se que isto é verdadeiro somente se os eventos são equiprováveis, isto é, se a P (C) =P (K) = 1, caso contrário isto é falso Probabilidade Frequentista Definição (Probabilidade Frequentista): Repete-se o experimento n vezes e anota-se quantas vezes ocorre o evento A associado a esse experimento. A probabilidade neste caso é dada por: P (A) = n(a) n onde, n(a) éonúmero de vezes que ocorre o evento A. Exemplo Considere a tabela abaixo e calcule a probabilidade de uma pessoa ser sorteada e ser do sexo masculino?

21 14 Sexo Alunos M 3743 F 3537 Total 7280 Solução: Aplicando a definição de Probabilidade Frequentista, tem-se que: P (M) = n(m) n = =0, 514. Logo a probabilidade de ser sorteada uma pessoa do sexo masculino é de 0, Probabilidade Axiomática Todavia, as duas definições anteriores de probabilidades apresentam suas inconstâncias. Assim, em 1833, Kolmogorov definiu a função de probabilidade em uma classe de eventos do espaço amostral que satisfaz três axiomas. Todas as operações definidas entre os eventos conduzem a novos eventos que pertencem a essa classe. Definição (Probabilidade Axiomática): de eventos de Ω que satisfaz os seguintes axiomas: É uma função definida numa classe F a) P (A) 0paratodoA F ; b) Se (A n ) n 1 é uma sequência de eventos de F,quesão mutuamente exclusivos, então: ( ) P A n = P (A n ); c) P (Ω) = 1. n=1 n=1 Se o espaço amostral Ω é enumerável, pode-se definir a probabilidade na classe de todos os subconjuntos de Ω que é denotado por P (Ω). Neste caso, o espaço amostral pode ser representado como sendo: Ω = {ω 1,ω 2,...}. Associando a cada ω n, n =1, 2,..., um número P (ω n ), tal que P (ω n ) 0e P (ω n )=1. n=1

22 15 Onde P (ω n )é denominado de probabilidade do evento simples ω n,n=1, 2,... Definição : Seja Ω um espaço amostral enumerável e seja A um subconjunto de Ω. A probabilidade de A é definida da seguinte forma: P (A) = P (ω n ) n:ω A Sendo que a probabilidade definida dessa maneira, satisfaz os axiomas da definição de probabilidade de Kolmogorov Funções de Probabilidade Definição (Função Discreta de Probabilidade): Se X uma variável aleatória discreta e x 1,x 2,x 3,..., seus diferentes valores a função que atribui a cada valor da variável aleatória X, uma probabilidade é denominada de função discreta de probabilidade ou simplesmente função de probabilidade. Anotação a ser utilizada é: P (X = x i )=p(x i ), ı= 1, 2, 3...) Ou ainda, X = x i x 1 x 2 x 3... P (X = x i ) p 1 p 2 p 3... Uma função de probabilidade satisfaz: 0 p i 1e i p i =1 As variáveis aleatórias são completamente caracterizadas pela função de probabilidade e uma parte importante da estatística é justamente obter, para uma dada variável de interesse, a função de probabilidade que melhor represente seu comportamento na população. Exemplo Descreva o comportamento da variável X= número de caras em dois lançamentos dessa moeda, considerando que cada evento é equiprovável. Solução: Seja X= número de caras em dois lançamentos de uma moeda, logo o espaço amostral associado a este experimento é: Ω={CC,CK,KC,KK}

23 16 Segue que X pode assumir os valores 0,1 ou 2. Para atribuir probabilidades a cada um desses valores, é necessário fazer alguma suposição a respeito da probabilidade de ocorrência de cara ou coroa. Admitindo que a moeda éhonesta, istoéoseventossão equiprováveis, então, as probabilidades de cada face serão iguais: P (C) =P (K) = 1. 2 Para deduzir a função de probabilidade de X, observe que: Para X = 0, ocorre nos eventos: KK, isso implica que a probabilidade P (X =0)= 1. 4 Para X = 1, ocorre nos eventos: CK,KC, isso implica que a probabilidade P (X = 1) = 2 = Para X = 2, ocorre nos eventos: CC, isso implica que a probabilidade P (X =2)= 1. 4 Logo, as probabilidades associadas aos valores de X são: X = x p x 1 4 Portanto, essa é a função de probabilidade para a variável aleatória (X): número de carasemdoislançamentos dessa moeda. Observa-se que caso a moeda não seja honesta, a função de probabilidade será diferente. Definição (Função Acumulada de Probabilidade): A função acumulada de probabilidade ou função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é definida, para qualquer número real x, pelaseguinteexpressão: F (x) =P (X x). Exemplo :Uma população de 1000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e após um mês passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de cinco doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. os resultados completos estão na tabela a seguir. Doses freq

24 17 Supondo que uma criança dessa população é sorteada ao acaso qual será a probabilidade dela ter recebido duas doses? Solução: A probabilidade pode ser estimada através da frequência de ocorrência, dada na tabela, então temos que a probabilidade de uma criança ter recebido duas doses édada por: P (ter recebido 2 doses) = 288 =0, Logo, a probabilidade de uma criança ter recebido 2 doses é igual a 0,288. Calculando para as outras doses, analogamente, tem-se a seguinte função de probabilidade da variável aleatória: Numero de Doses p i 0, 245 0, 288 0, 256 0, 145 0, 066 Exemplo Considerando o exemplo acima. Suponha agora que desejamos calcular a probabilidade da criança ter recebido até duas doses. Neste caso, é preciso obter a função de distribuição no ponto dois, ou seja, tem-se que calcular a probabilidade acumulada de ocorrência de valores menores ou iguais a dois. Solução: Pela definição de probabilidade acumulada, tem-se: F (2) = P (X 2) = P (X =1)+P (X =2)=0, 533. Note que, tendo em vista que a variável só assume valores inteiros, esse valor fica inalterado no intervalo [2, 3). Isto é, F (2, 1); F (2, 45); ou F (2, 99) têm todos o mesmo valor acima. Por essa razão: F (x) =P (X x) =0, 533 para 2 x<3.

25 18 Os valores completos da função de distribuição são os seguintes: 0, se x<1; 0, 245, se 1 x<2; 0, 533, se 2 x<3; f(t) = 0, 789, se 3 x<4; 0, 934, se 4 x<5; 1, se x 5 A figura 8 ilustra essa função F (x) x Figura 8: Função de Distribuição - doses de vacina. Definição (Função Contínua de Probabilidade): Uma função f(x) éuma função contínua de probabilidade ou função de densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X, se satisfaz duas condições: i)f(x) 0, para todo x (, ); ii)a área definida por f(x) é igual a 1. Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, pode-se caracterizar a condição ii) através de: Observações: f(x)dx =1. Para calcular probabilidades em um intervalo [a, b], onde a b, então P (a X

26 19 b) = b a f(x)dx; a integral, indica que a probabilidade de X estar entre a e b está definidapelaaárea sob a função f definida pelo intervalo [a, b]. Por essa forma de atribuir probabilidades no caso contínuo, tem-se área zero para qualquer valor individual, isto é, P (X = k) = 0 para qualquer k. Portanto, em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero, ou seja, P (X = x 0 )= x 0 x 0 f(x)dx =0. Conseqüentemente, as probabilidades calculadas sobre os intervalos [a, b], [a, b), (a, b] e(a, b) são as mesmas, para quaisquer valores de aeb,ousejap (a x b) = P (a x<b)=p (a <x b) =P (a <x<b) Exemplo : SejaX uma variável aleatória contínua, com a seguinte função densidade de probabilidade: { 2x, para 0 <x<1; f(x) = 0, para quaisquer outros valores; Verifique se essa função é uma função densidade de probabilidade e calcule a P ( 1 < 4 x< 3). 4 Solução: i) Para f(x) ser uma função de densidade, esta deve cumprir as condições da definição. De fato, Podemos observar que f(x) 0, isso prova a primeira condição. ii)verificando a segunda condição: 0 d(x)+ 1 2xd(x)+ 0 1 f(x)dx = 1. d(x) = 1. Logo, { 2x, para 0 <x<1; f(x) = 0, para quaisquer outros valores; é uma função densidade de probabilidade. Seu gráfico será:

27 20 f (x) x Figura 9: Função de densidade de probabilidade de f(x) Calculando F (x) temos que: Para x<0, F (x) = x 0 d(x) =0. Para 0 x<1, F (x) = 0 0 d(x)+ x 2xd(x) 0 =x2. Para x 1, F (x) = 0 0 d(x)+ 1 2xd(x)+ 0 d(x) = Cujo gráfico será: f (x) x Figura 10: Função Repartição Nota-se que o gráfico de F(x) no caso de variável aleatória discreta éconstituído por segmentos de retas horizontais, tipo degraus, e no caso de variável aleatória contínua, ele écontínuo para todo x.

28 21 Determinar a P ( 1 4 <x< 3 4 ). Solução: ( ) 1 P 4 <X<3 4 ( ) 1 P 4 <X<3 4 ( ) 1 P 4 <X<3 4 = x dx = 2x ( ) 2 3 = 4 ( ) 2 1 = Logo a probabilidade P ( 1 <X< 3)é igual a Exemplo : Num teste educacional com crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por: f(t) = 1 (t 4), 40 se 8 t<10; 3, 20 se 10 t 15; 0, caso contrário. Verifique se f(t) é uma função densidade e calcule a probabilidade para P (9 <T 12). Solução: Ográfico da função densidade é apresentado a seguir, observando que a função f(t) se anula quando t<8 ou t > 15.

29 22 f(t) 3/20 1/ t Figura 11: Função densidade de f(t) verificando se f(t) é uma função densidade de probabilidade: i)f(t) deve ser positiva f(t) = 1 (t 4) ésempre 0 40 f(t) = 3 20 ésempre 0 Logoafunção f(t) 0satisfazaprimeiracondição. ii) f(t)dt =1. 8 f(t)dt (t 4)dt dt ( 1 40 t )dt + ( t 2 80 t ) f(t)dt = 3 dt +0 = t = ( ) = 4 4 =1. ( ) 15 = 20 Logo, f(t) é uma função densidade de probabilidade. Para determinar a P (9 <T 12), Deve-se calcular a integral sob f(t) nointervalo(9, 12] da figura abaixo:

30 23 f(t) 3/20 1/ t Figura 12: Função densidade de f(t) Neste caso, a integral deve ser dividida em duas partes, pois a função f(t) é diferente nos intervalos (9, 10) e [10, 12]. Então: P (9 <T 12) = = = = ( t 2 f(t)dt f(t)dt t 10 = = 7 16 = 0, f(t)dt 12 (t 4)dt + 10 ) t dt

31 24 3 Esperança Matemática Neste capítulo será apresentado o tópico principal da monografia que éadefinição de Esperança Matemática ou valor esperado de uma variável aleatória, um dos conceitos mais relevantes da Teoria das Probabilidades. A esperança matemática de uma variável aleatória é usualmente referida como uma medida de posição da distribuição dessa variável, e será calculada para diversas variáveis aleatórias discretas e contínuas e sua aplicabilidade será vistanoscapítulos seguintes. 3.1 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas Seja o espaço amostral Ω, cujos pontos amostrais são denotados por ω e uma probabilidade P definida em Ω. Definição (Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Discretas): A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X, definida em um espaço amostral Ω no qual está definida uma probabilidade P é dada por: E(X) = X(ω) P (ω) ω Ω desde que X(ω) P (ω) <. ω Ω A expressão da esperança por meio da distribuição de probabilidade X será mostrada no próximo lema. Lema :A esperança matemática de uma variável aleatória discreta X que assume

32 25 os valores x i, com respectivas probabilidades P [X = x i ], para i =1, 2,... é dada por: E(X) = i=1 x i P (X = x i ) Prova: Partindo da definição para mostrar o lema, denotando por ω j, para j = 1, 2,..., comoasérie X(ω) P (ω) é absolutamente convergente, a ordem das parcelas pode ser ω Ω modificada obtendo-se a mesma soma. E(X) = E(X) = E(X) = E(X) = E(X) = X(ω j ) P (ω j ) j=1 X(ω j ) P (ω j ) i=1 j:x(ω j )=x i x i P (ω j ) i=1 j:x(ω j )=x i x i P (ω j ) i=1 j:x(ω j )=x i x i P (X = x i ). i=1 Exemplo : Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por um método cujo tempo de recuperação (em dias) é modelado pela variável aleatória X. Determine a Esperança Matemática da variável X da função discreta de probabilidade abaixo: X p i 0, 3 0, 2 0, 4 0, 1 Solução: A partir da definição tem-se que: E(X) = x i P (X = x i )= 5 0, , , , 1=11, 5 i=1 Espera-se que o tempo médio de recuperação da cirurgia dentária seja de 11,5 dias.

33 Propriedades da Esperança Matemática Seja X e Y variáveis aleatórias definidas em um espaço amostral Ω e C um número real, então cx, X ± Y e XY definidas em Ω também são variáveis aleatórias. A Esperança Matemática, que muitas vezes é referida simplesmente por esperança, tem a propriedade da linearidade que será verificada através das seguintes propriedades que serão demonstradas para o caso das variáveis aleatórias discretas. i) A esperança de uma constante éaprópria constante: E(c) = c. Prova: E(c) = ω Ω cp(x i )=c ω Ω P (x i )=c. ii) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua esperança fica multiplicada por essa constante: E(cX) = ce(x). Prova: E(cX) = ω Ω cx i P (x i )=c ω Ω x i P (x i )=c = ce(x). iii) A esperança da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é igual a soma ou diferença das esperanças: E(X ± Y )=E(X) ± E(Y ). Prova: E(X ± Y ) = E(X ± Y ) = x x E(X ± Y ) = E(X ± Y ) = x x (x ± y)p (x, y) y xp(x, y) ± yp(x, y) y x y ( ) x P (x, y) ± ( ) y P (x, y) y y x xp(x) ± yp(y) y E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ). Esse resultado tem ampla aplicação e também éválido para mais de duas variáveis. iii) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a esperança fica somada ou subtraída por essa constante: E(X ± c) =E(X) ± c.

34 27 Prova: (X ± c) =E(X) ± E(c) =E(X) ± c. iv) Este resultado pode ser facilmente estendido para a soma de um número inteiro n de variáveis aleatórias, isto éseexistemasesperanças de X 1,X 2,...X n então existe a esperança de X 1 + X X n e tem-se: E(X 1 + X X n )=E(X 1 )+E(X 2 ) E(X n ). v) A esperança do produto de duas variáveis aleatórias Com distribuição conjunta P (x, y), será o produto das esperanças, sempre que as variáveis aleatórias forem independentes: E(XY ) =E(X)E(Y ). Prova: E(XY ) = xyp(x, y) x y E(XY ) = xyp(x) P (y) x y ( )( ) E(XY ) = xp(x) yp(y) x y E(XY ) = E(X)E(Y ). Esse resultado afirma que a independência de X e Y implica na esperança do produto XY ser igual ao produto da esperança de X pela esperança de Y. Entretanto, se a esperança do produto de duas variáveis é o produto das esperanças, não necessariamente é verdade que X e Y são independentes. Exemplo : Uma loteria vende 100 bilhetes. O preço de cada bilhete é R$ 1, 20 e o bilhete sorteado paga um prêmio de R$ 100, 00. Você compra um bilhete. Qual a esperança de seu ganho?. Solução: Seja X avariável aleatória que indica o eu ganho. E portanto X assume o valor R$ 1, 20 com probabilidade 0,99 e R$ 98, 80 com probabilidade 0,01. Temos para a esperança de X: E(X) =1, 20 0, , 80 0, 01 = 2, 176. Observa-se que para o caso discreto a esperança matemática coincide com o conceito

35 28 de média aritmética para dados discretos onde a probabilidade substitui a frequência relativa de ocorrência dos eventos. 3.2 Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas Definição (Esperança Matemática de Variáveis Aleatórias Contínuas): A esperança de uma variável aleatória X, com densidade de probabilidade f(x) é dada por: E(X) = xf(x)dx. Exemplo Calcular a esperança da variável aleatória X cuja função de densidade de probabilidade é dada por: Solução: 2x, para 0 x 0, 5 f(x) = 2x + 4, para 0, 5 x 2; 3 3 0, no complementar. Aplicando a fórmula da esperança para variáveis aleatórias contínuas, tem-se que: 0,5 2 ( 2x E(X) = x 2xdx + x + 4 ) dx 0 0,5 3 3 ( = 2 x3 0,5 + 2 ) x x , ,5 = ( 4 1 ) = = 0, 8333.

36 29 4 Principais Modelos Discretos Neste capítulo apresenta-se os principais modelos probabilísticos utilizados para descrever vários fenômenos ou situações encontrados na natureza ou ainda em experimentos aleatórios. Esses modelos são expressos por uma família de distribuições de probabilidade que dependem de um ou mais parâmetros. Será estudado a Esperança Matemática esua aplicabilidade em todos os modelos discretos apresentados. 4.1 Modelo Uniforme Discreto A seguir apresenta-se o modelo mais simples, que é aquele que atribui igual probabilidade a todos possíveis valores da variável. Definição (Modelo Uniforme Discreto): Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por x 1,x 2,..., x n,então X segue o modelo Uniforme Discreto com parâmetros (1,n) se atribui a mesma probabilidade 1 a cada um desses n n valores, isto é, sua função de probabilidade é dada por: P (X = x i )= 1 n, i =1, 2,.., n. Ográfico da função densidade para n =10é dado por:

37 30 P (X= x ) x Figura 13: Modelo uniforme discreto no intervalo [1, 10]. Exemplo : Um usuário de transporte coletivo chega pontualmente às oito horas para pegar o ônibus. Devido ao trânsito caótico, a demora pode ser qualquer tempo entre 1 e 20 minutos (admita que o relógio pule de minuto em minuto). Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de demorar mais de 10 minutos? b) Qual a probabilidade da demora não chegar a 5 minutos? c) Qual a probabilidade da demora ficar entre 5 e 10 minutos inclusive? Solução: Dado que a demora pode ser entre 1 a 20 minutos, tem-se que a probabilidade de demorar um minuto é P (1 min) = 1,então: 20 a) Probabilidade de demorar mais de 10 minutos: P (10 min) = P (11 min)+p (12 min) P (20 min) = = 10( 1 20 ) = 1 2 = 0, 5.

38 31 b)probabilidade da demora não chegar a 5 minutos: P (x <5 min) = P (1 min)+p (2 min)+p (3 min)+p (4 min) = = 4( 1 20 ) = 4 20 = 1 5 = 0, 2. c)probabilidade da demora ficar entre 5 e 10 minutos inclusive: P (5 min x 10 min) = P (5 min)+p (6 min)+p (7 min)+ + P (8 min)+p (9 min)+p (10 min) = = 6( 1 20 ) = 6 20 = 3 10 = 0, Aplicação da Esperança Matemática A partir da definição de Esperança Matemática vista no Capitulo 3, calcular-se-a Esperança Matemática para o Modelo Uniforme Discreto. Lema : SejaY uma variável aleatória com Modelo Uniforme Discreto, assumindo valores entre 1 en. Aplicando a definição de Esperança Matemática e utilizando a expressão conhecida para a soma de uma progressão aritmética, tem-se que: Prova: E(Y )= n +1 2

39 32 De fato, E(Y ) = E(Y ) = n i=1 n i=1 E(Y ) = 1 n n E(Y ) = E(Y ) = i=1 y i P (Y = y i ) 1 y i n n i=1 n y i n(n+1) 2 n E(Y ) = n Exemplo : Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Milena tem 5 bilhetes consecutivos numerados de 21 até 25 e Artur tem outros 5 bilhetes com os números 1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Calcule a Esperança Matemática. y i Solução: A primeira impressão parece que com números espalhados é a melhor maneira de ganhar o sorteio ou se tem mais chance. Entretanto, assumindo a honestidade da rifa, todososnúmeros tem a mesma probabilidade de ocorrência, com 1 para cada um. 100 Seja X a variável aleatória o número sorteado, que por sua vez segue o Modelo Uniforme Discreto e, portanto, Milena e Artur com 5 bilhetes tem a mesma probabilidade de ganhar a rifa. Pode-se verificar a afirmação acima calculando: P (Milena ganhar) = P (X = 21) + P (X = 22) + P (x = 23) + P (x = 24) + P (x = 25) = = 5 =0,

40 33 e calculando: P (Artur ganhar) = P (X =1)+P (X = 11) + P (x = 29) + P (x = 68) + P (x = 93) = = 5 =0, Logo, pode-se observar que a maior ou menor probabilidade de ganhar depende de quantos bilhetes se tem e não da particular escolha do número. Calculando a Esperança, tem-se que: E(x) = (n +1) 2 E(x) = E(x) = Logo a Esperança Matemática E(X) = 50, 5. =50, Modelo Bernoulli O Modelo Bernoulli é adequado quando ocorrem situações em que a variável de interesse assumem somente dois valores, são experimentos que têm alternativas dicotômicas e podem ser representadas por respostas do tipo sucesso e fracasso. Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli edão origem ao modelo a seguir. Definição (Modelo Bernoulli): Uma variável X segue o Modelo Bernoulli se atribui 0 ou 1, àocorrência de fracasso (F ) ou sucesso (S) respectivamente, com p representando a probabilidade de sucesso e1 p a probabilidade de fracasso, onde 0 p 1. Neste caso, sua função discreta de probabilidade é dada por : X = x 0 1 P [X = x] 1 p p ou, P (X = x) =p x (1 p) (1 x),x=0, 1. Exemplo : Uma urna tem 30 bolas brancas (B) e20verdes(v ). Considerando como sucesso o sorteio da bola verde e fracasso caso contrário. Calcule a probabilidade de ter-se sucesso no primeiro sorteio.

41 34 Solução: Seguindo a definição do modelo Bernoulli,tem-se que: P (fracasso) = P (B) = P (sucesso) = P (V )= =0, 6. =0, 4. Tem-se então que: X = x 0 1 P [X = x] Aplicação da Esperança Da definição de Esperança Matemática vista no Capitulo 3, definir-se-a Esperança Matemática para o Modelo Bernoulli. Lema :SejaX uma variável aleatória com Distribuição de Bernoulli com parâmetro p. AEsperança Matemática para o Modelo Bernoulli é dada por: E(X) =p. Prova: De fato, tem-se que: 2 E(X) = x i P (X = x i ) E(X) = i=1 2 i=1 x i P (X = x i ) E(X = 0 P (X =0)+1 P (X =1) E(X) = 0 (p 0 (1 p) (1 0) )+1 (p 1 (1 p) (1 1) ) E(X) = 0 (1 p)+1 (p) E(X) = p Exemplo : Considerando os dados do Exemplo 4.2.1, tem-se que a Esperança Matemática é dada por: E(X) =p = probabilidade de obtermos sucesso = 0, 4.

42 35 Exemplo : Lança-se um dado, onde queremos verificar a ocorrência da face 5. Qual a Esperança de obtermos sucesso?. Solução: Supondo que o dado é honesto, tem-se que a probabilidade de ocorrência da face 5 é igual a P (x =5)= 1, onde ter-se-a sucesso. E a probabilidade da não ocorrência da face 6 5é igual a P (x 5)= 5, onde ter-se-a fracasso. Então: 6 X = x i 0 1 P (X = x i ) 1 p p Logo ter-se-a que E(X) =p = 1 6. X = x i 0 1 P (X = x i ) Modelo Binomial A repetição de n ensaios independentes de Bernoulli, todos com a mesma probabilidade p de sucesso em cada ensaio, dá origem a mais importante variável aleatória discreta, denominada Modelo Binomial. Definição Seja X onúmero de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p. X segue uma Distribuição Binomial com parâmetros n e p se sua função de probabilidade é dada por: ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k, k k =0, 1, 2,..n. ( ) n com representando o coeficiente binomial calculado por: k n! k!(n k)! A notação: X B(n, p), é utilizada para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p. Observa-se que as probabilidades são completamente caracterizadas pela informação dos parâmetros.

43 36 Exemplo : Uma moeda élançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? Solução: Supondo que a moeda não é viciada e sabendo que a probabilidade de sair cara é igual a 1,então pode-se aplicar a fórmula de distribuição da probabilidade Binomial para 2 k =8: ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k ( ) 20 P (k =8) = (0.5) 8 (0.5) ! = 8!(20 8)! = (125970) (0, 5) 20 = 0, Logo a probabilidade de saírem 8 caras é igual a 0, Aplicação da Esperança A seguir se determina à Esperança de E(X) do Modelo Binomial com parâmetros nep,apartirdadefinição dada no capítulo 3. Lema Para uma variável aleatória X com distribuição Binomial de parâmetros n e p, tem-se que a Esperança MatemáticaparaoModeloBinomialé dada por: E(X) =np. Prova:

44 37 E(X) = n i=1 x i P (X = x i ) ( ) n n E(X) = k p k (1 p) n k k=0 k n ( ) n! E(X) = k p k (1 p) n k (n k)! k! k=0 n ( ) n! E(X) = k p k (1 p) n k k (k 1)! (n k)! k=0 n n! E(X) = (k 1)! (n k)! pk (1 p) n k k=0 n n (n 1)! E(X) = (k 1)! (n k)! ppk 1 (1 p) n k k=0 ( n ) (n 1)! E(X) = np (k 1)! (n k)! pk 1 (1 p) n k k=0 Fazendoj = k 1er = n 1, teremos: ( n ) r! E(X) = np j! (n (j + 1))! pk 1 (1 p) n k k=0 ( n ) r! E(X) = np j! (r j)! pk 1 (1 p) n k k=0 E(X) = np(p +(1 p)) n E(X) = np. Exemplo : Na linha de produção de uma fábrica, em condições normais de funcionamento cada uma das peças pode ser considerada como produzida independentemente das demais. Se retira uma amostra de n peças da linha de produção e se p denota a fração de peças defeituosas que são produzidas, então X, onúmero de peças defeituosas na amostra, é uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p.para n = 5ep = 0.1, calcule a probabilidade: a) de uma peça defeituosa; b) de duas peças defeituosas; c) de pelo menos uma peça defeituosa;

45 38 d) a esperança matemática. Solução: Neste exemplo observa-se uma sequência de cinco ensaios de Bernoulli com probabilidade p = 0.1. A partir desses dados pode-se aplicar a fórmula para calcular os ítens a, b e c, então: a)p (X =1): P (X = k) = P (X =1) = ( ) n p k (1 p) n k k ( ) 5 p 1 (1 0.1) ! = 1!(5 1)! (0.1)1 (0.9) 4 = 5 (0.1) (0.6561) = b)p (X =2): P (X = k) = P (X =2) = ( ) n p k (1 p) n k k ( ) 5 p 2 (1 0.1) ! = 2!(5 2)! (0.1)2 (0.9) 3 = 10 (0.01) (0.729) =

46 39 c)p (X 1): P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k k P (X 1) = 1 P (X =0) ( ) 5 = 1 p 0 (1 0.1) ! = 1 0!(5 0)! (0.1)0 (0.9) 5 = ( ) = d) E(X) =n p =5 0.1 = 0.5. Isto significa que espera-se encontrar em média, meia peça defeituosa para cada cinco peças ou uma para cada dez. 4.4 Modelo Geométrico Para definir o Modelo Geométrico deve-se considerar uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Designando sucesso por (S) e fracasso por (F ). Pode-se representar o Modelo Geométrico como o número de ensaios de Bernoulli que precedem o primeiro sucesso. Definição (Modelo Geométrico): Uma variável aleatória X tem distribuição Geométrica de parâmetro p se sua função de probabilidade tem a forma: P (X = k) =p (1 p) k, 0 p 1 ek=0, 1, 2... A notação: X G(p), indica que a variável aleatória X segue o modelo Geométrico com parâmetro p. Exemplo : Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle de qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 éa probabilidade da peça ser defeituosa, estude o comportamento da variável X, quantidade

47 40 de peças boas produzidas antes da 1 a defeituosa e determine a probabilidade de encontrar peça defeituosa na segunda peça observada. Solução: Admitindo que cada peça tem a mesma probabilidade de ser defeituosa, independente da qualidade das demais, e denotando como sucesso a ocorrência de peça defeituosa, podese aplicar o Modelo Geométrico, poisavariável em questão : quantidade de peças boas produzidas antes da 1 a defeituosa, é exatamente o quanto se espera até aocorrência do primeiro sucesso. Estudando o comportamento da variável X, tem-se: P (X = k) =0, 01 (0, 99) k, k =0, 1, 2,.. A figura 14 ilustra o comportamento desta variável aleatória: P(Q = k) K Figura 14: Modelo Geométrico (p = 0, 01). Observando o gráfico pode-se perceber que a probabilidade vai diminuindo quando k assume valores muito grandes. Então pode-se concluir que com o comportamento da variável X, époucoprovável que a produção seja interrompida se não aparecer uma peça defeituosa logo nas primeiras inspeções.

48 41 Calculando a probabilidade de encontrar uma peça defeituosa na segunda peça examinada: P (X = k) = p (1 p) k P (X =1) = (0, 01) 1 (0, 99) 1 = 0, 01 (0, 99) = 0, Exemplo : A probabilidade de encontrar o sinal de trânsito aberto numa esquina é Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local cinco vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? Solução: Pode-se analisar como sendo sucesso aocorrência de encontrar o sinal o aberto, para que isso aconteça necessariamente após ter passado pelo local cinco vezes, então tería-se quatro tentativas que precedem o primeiro sucesso. Assim pode-se aplicar a fórmula de probabilidade do modelo geométrico, para k = 4(fracasso) e p =0, 20. P (X = k) = p (1 p) k P (X =4) = (0, 20) (1 0, 20) 4 = (0, 20) (0, 8) 4 = 0, Aplicação da Esperança A seguir apresenta-se a Esperança de Matemática para o Modelo Geométrico. Lema : Para uma variável aleatória X com distribuição geométrica de parâmetro p, aesperança Matemática é dada por: Prova: E(X) = 1 p p Usando a definição de Esperança, tem-se:

49 42 n E(X) = x i P (X = x i ) E(X) = E(X) = p i=1 j=0 j=1 E(X) = p (1 p) j (1 p) j p j (1 p) j j (1 p) j 1 j=1 Calculando o somatório que éobtidodasérie geométrica, cuja soma vale para todo número real x no intervalo (0, 1), tem-se que: i=1 i (x) i 1 = 1 (1 x) 2. Então para x =1 p, temos: j=1 j (1 p) j 1 = 1 (1 (1 p)) = 1 2 (1 (2 (1 p)) + p 2 ) = 1 p 2 Substituindo no somatório: E(X) = p (1 p) 1 p 2 p (1 p) E(X) = p 2 E(X) = 1 p p Exemplo : Qual a probabilidade de que um dado deva ser lançado 15 vezes para que na 15 a vez ocorra a face 6 pela primeira vez? Determine a Esperança matemática. Solução: Supondo que o dado éhonesto,então a probabilidade da face 6 é igual a 1,quepor 6 sua vez é igual a probabilidade de cada face. Sendo sucesso aocorrência da face 6 na

50 43 15 a vez, tem-se então como fracasso 14 lançamentos que precedem o primeiro sucesso. Aplicando a fórmula da probabilidade para o modelo geométrico, tem-se que: P (X = k) = p (1 p) k P (X = 14) = 1 6 (1 1 6 )14 = 0, 166 (0, 833) 14 = 0, E(X) = 1 p p E(X) = E(X) = Modelo Poisson O modelo de Poisson tem grande importância tanto teórica como aplicada, esse modelo tem sido muito utilizado em experimentos físicos e biológicos. Definição (Modelo Poisson): Uma variável aleatória Xtem distribuição de Poisson com parâmetro λ>0 se sua função de probabilidade é dada por: P (X = k) = e λ λ k, k =0, 1, 2,..., k! onde o parâmetro λ sendo usualmente referido como a taxa de ocorrência. Temos assim uma família de distribuições de Poisson dependendo do parâmetro λ. Usaremos a notação X P (λ) para indicar que a variável X segue o modelo Poisson com parâmetro λ. Exemplo : A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Supondo que o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrência éde 5 emissões a cada minuto. Calcule a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto. Solução:

51 44 Seja X avariável número de partículas alfa emitidas por minuto, eλ =5então: XP(5), a probabilidade de haver mais de duas emissõesemumminutoé dada por: P (X >2) = k=3 = 1 P (X = k) 2 k=0 P (X = k) 2 e 5 5 k = 1 k! k=0 ( ) e = 1 + e e ! 1! 2! = 1 (e 5 +5 e 5 +12, 5 e 5 ) = 1 [e 5 (18, 5)] = 1 [(0, 00673) (18, 5)] = 1 0, 1246 = 0, Logo, P (X > 2) = 0, 873. modelo Poisson P (5). A figura 15 ilustra a função discreta de probabilidade do P (X = k) k Figura 15: Modelo Poisson (λ = 5). Se o intervalo de tempo é alterado, a variável aleatória mantém a mesma distribuição de Poisson, mais com valor do parâmetro ajustado de forma conveniente.

52 Aplicação da Esperança A seguir defini-se a Esperança MatemáticadoModeloPoisson. Lema :SejaX uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro λ, aesperança Matemática é dada por: E(X) =λ Prova: Da definição de Esperança tem-se que: Fazendo j = k 1: E(X) = E(X) = n i=1 k=0 E(X) = e λ x i P (X = x i ) k e λ λ k k! k=1 e λk k 1! E(X) = λe λ E(X) = λ j=0 λ j j! Exemplo : Numa linha adutora de água, de 60 km de extensão, ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?. Solução:

53 46 Tem-se que X vazamentos por Km, isto implica que λ =1, 5 vazamentos por cada 3 Kms. P (pelo menos 3) = 1 P (X =0)+P (x =1)+P (x =2) ( ) e 1,5 1, 5 0 = 1 + e 1,5 1, e 1,5 1, 5 2 0! 1! 2! = 1 (e 1,5 +1, 5e 1,5 +1, 125 e 5 ) = 1 [e 1,5 (1 + 1, 5+1, 125)] = 1 (0.2231) (3, 625) = 1 0, 8087 = 0, 191.

54 47 5 Principais Modelos Contínuos Neste capítulo apresenta-se os modelos probabilísticos descritos por variáveis aleatórias que possuem uma função de densidade de probabilidade, que segundo definição, éuma função positiva e com integral igual a 1 os quais dependem de um ou mais parâmetros. Esses modelos constituem uma família de distribuições de probabilidade. 5.1 Modelo Uniforme Contínuo Inicia-se essa seção apresentando um dos modelos mais simples de variáveis aleatórias contínuas. Definição (Modelo Uniforme Contínuo): Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a, b], a<b, se sua função densidade de probabilidade é dada por: 1, se a x b; f(x) = b a 0, caso contrário. Utiliza-se a notação X U[a, b] para indicar que X segue o modelo Uniforme Contínuo no intervalo considerado.

55 48 f (x) 1/(b-a) 0 a b x Figura 16: Função de Densidade de probabilidade do Modelo Uniforme Contínuo. Como no caso discreto o Modelo Uniforme Contínuo pressupõe que os valores possíveis para a variável aleatória tem a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo :Umpontoé escolhido ao acaso no intervalo [0, 2]. Qual a probabilidade dequeestejaentre1e1,5? Solução: Utilizando a fórmula para encontrar a função de densidade de probabilidade, no intervalo [0, 2]. Tem-se que: 1, se 0 x 2; f(x) = 2 0, caso contrário. Portanto, essa é a função densidade de probabilidade. Então pode-se calcular a probabilidade P (1 x 1, 5), sabendo que : P (a X b) = 1,5 b 1 P (1 X 1, 5) = 1 2 dx = 1 2 x 1,5 1 a = 1, = 0, 25. f(x)dx. Logo,

56 Aplicação da Esperança Encontrando a Esperança Matemática do Modelo Uniforme Contínuo. Lema : SejaX uma variável aleatória com distribuição Uniforme Contínuo no intervalo [a, b], a Esperança Matemática é dada por: Prova: E(X) = b + a 2 Da definição de Esperança Matemática de uma variável aleatória contínua, tem-se que: E(X) = E(X) = E(X) = b a ( 1 xf(x) dx 1 x b a dx ) x 2 b b a 2 a E(X) = b2 a 2 2(b a) E(X) = b + a 2 Exemplo : Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento de um vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixadas a priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo a 1 metro das extremidades, bem como a esperança matemática. Solução: Sendo a variável aleatória X = distância correspondente ao vazamento. Vamos admitir igual probabilidade de ocorrência em todos os pontos, tem-se então que X U[0, 6]