UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ UECE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO PG COMP MESTRADO ACADÊMICO EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO MACC

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ UECE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO PG COMP MESTRADO ACADÊMICO EM CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO MACC HITALO JOSEFERSON BATISTA NASCIMENTO MODELAGEM MARKOVIANA PARA ANÁLISE DE TRÁFEGO E DIMENSIONAMENTO DE TERMINAIS DE ATENDIMENTOS: UM SISTEMA APLICADO AO COMPLEXO INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM CE Fortaleza - Ceará 01

2 HITALO JOSEFERSON BATISTA NASCIMENTO MODELAGEM MARKOVIANA PARA ANÁLISE DE TRÁFEGO E DIMENSIONAMENTO DE TERMINAIS DE ATENDIMENTOS: UM SISTEMA APLICADO AO COMPLEXO INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM CE Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Ciências da Computação, da Universidade Estadual do Ceará, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências da Computação. Orientador Prof. Dr. Gerardo Valdísio Rodrigues Viana. Fortaleza - Ceará 01

3 HITALO JOSEFERSON BATISTA NASCIMENTO MODELAGEM MARKOVIANA PARA ANÁLISE DE TRÁFEGO E DIMENSIONAMENTO DE TERMINAIS DE ATENDIMENTOS: UM SISTEMA APLICADO AO COMPLEXO INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM CE Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Ciências da Computação, da Universidade Estadual do Ceará, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ciências da Computação. Aprovada em: / /. Banca Examinadora: Prof. Dr. Gerardo Valdísio Rodrigues Viana (Orientador) Universidade Estadual do Ceará - UECE Prof. Dr. Antonio Clécio Fontelles Thomaz (Co-Orientador) Universidade Estadual do Ceará - UECE Profa. Dra. Silvia Maria de Freitas Universidade Federal do Ceará UFC Prof. Dr. Erasmo da Silva Pitombeira Universidade Federal do Ceará - UFC

4 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação Universidade Estadual do Ceará Biblioteca Central Prof. Antônio Martins Filho Bibliotecária Responsável Leila Sátiro CRB-3 / 544 N44m Nascimento, Hitalo Joseferson Batista. Modelagem markoviana para análise de tráfigo e dimensionamento de terminais de atendimento: um sistema aplicado ao complexo industrial e portuário do Pecém CE / Hitalo Joseferson Batista Nascimento. 01. CD-ROM : 83f. il. (algumas color.) ; 4 ¾ pol. CD-ROM contendo o arquivo no formato PDF do trabalho acadêmico, acondicionado em caixa de DVD Slin (19 x 14 cm x 7 mm). Dissertação (mestrado) Universidade Estadual do Ceará, Centro de Ciências e Tecnologia, Curso de Mestrado Acadêmico em Ciências da Computação, Fortaleza, 01. Área de Concentração: Sistemas de Computação. Orientação: Prof. Dr. Gerardo Valpídio Rodrigues Viana. Co-orientação: Prof. Dr. Antônio Clécio Fontelles Thomaz. 1. Teoria das filas.. Probabilidade. 3. Otimização. I. Título. CDD: 001.6

5 AGRADECIMENTOS Agradeço em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada, aos meus pais Maria Batista da Silva e José Nascimento da Silva, aos meus irmãos Douglas e Handrezza, à minha tia Francisca da Silva Gois e a todos meus amigos pelo apoio nos momentos de dificuldade. Agradeço à minha namorada Edineuda Teixeira por seu carinho, companheirismo e compreensão pelos momentos que me ausentei pela necessidade de dedicação aos estudos. Aos meus orientadores, professor Antonio Clécio Fontelles Thomaz e Gerardo Valdísio Rodrigues Viana, por acreditarem em mim e por estarem sempre presentes, guiandome na realização deste trabalho. A todos os professores do Mestrado Acadêmico em Ciências da Computação da Universidade Estadual do Ceará, em especial os professores Gustavo Augusto Lima de Campos e Jorge Luiz de Castro Silva, com os quais tive a oportunidade e imensa honra de aprender bastante. Agradeço também a todos os professores do Departamento de Estatística e Matemática Aplicada da Universidade Federal do Ceará, especialmente aos professores André Luis Shiguemoto, Silvia Maria de Freitas e João Maurício Araújo Mota, por me apoiarem na realização do mestrado. Agradeço à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento Pessoal de Nível Superior), pelo apoio aos meus estudos, por intermédio da bolsa concedida, auxiliando-me a dedicar-me exclusivamente e com comprometimento ao curso. Por fim, agradeço à Ceará Portos por receber com disposição a mim e aos meus orientadores e por fornecer os dados necessários à realização desta pesquisa.

6 "As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus" (Johannes Kepler)

7 RESUMO Entre os estudos da Matemática Aplicada, a teoria das filas surge como um de seus importantes ramos. Utilizada pela primeira vez no estudo do congestionamento em centrais telefônicas, pelo matemático dinamarquês A. K. Erlang; essa teoria possui inúmeras aplicações práticas em diversas áreas. Na Computação, por exemplo, pode ser usada para analisar a quantidade de requisições que uma determinada unidade central de processamento (UCP) recebe em um dado período; na Engenharia de Tráfego, uma das aplicações possíveis é a otimização dos ciclos de semáforos. O objetivo principal deste trabalho é propor uma metodologia que possa otimizar terminais de atendimentos, no que se refere à análise de tráfego e dimensionamento de instalações físicas, utilizando a teoria das filas como fundamentação matemática. Para aplicação desta pesquisa foi desenvolvido um estudo de caso aplicado ao complexo industrial e terminal portuário do Pecém-CE, no qual foram analisados, por meio de distribuições de probabilidade, os dados referentes à chegada, atendimento e espera de navios ao longo do ano de 011, sendo utilizados modelos matemáticos e estatísticos, como os modelos de regressão para indicar o dimensionamento ótimo de berços para horizontes de dez, quinze e vinte anos, objetivando a melhora do atendimento no referido terminal e, ao mesmo tempo, minimizar os custos com a espera de navios. Também foi desenvolvido um software intitulado Otimize, que permite auxiliar o gestor na tomada de decisões, baseado nos modelos descritos acima. Dessa forma, espera-se por meio desta pesquisa explorar a teoria das filas e mostrar a sua eficiência na resolução de problemas associados aos congestionamentos e dimensionamentos de estruturas, garantindo assim a otimalidade na tomadas de decisões. Palavras-Chaves: Teoria das Filas, Probabilidade, Otimização.

8 ABSTRACT Among the studies of Applied Mathematics, queuing theory emerges as one of its major branches. First used in the study of congestion in telephone, by Danish mathematician A. K. Erlang, this theory has many practical applications in various fields. In computing, for example, can be used to analyze the amount of requests that a particular central processing unit (CPU) receives in a given period, the Traffic Engineering, one of the applications is the optimization of traffic lights cycles. The main objective of this work is to propose a methodology that can optimize terminal care, with regard to traffic analysis and design of physical facilities, using the queuing theory and mathematical foundation. For the purposes of this research we developed a case study applied to complex industrial and port terminal Pecém-CE, which were analyzed by means of probability distributions, data arriving, call waiting and ships throughout the year 011, and used mathematical and statistical models, such as regression models to indicate the optimum design of cribs horizons of ten, fifteen and twenty years, aiming at improving care in that terminal and at the same time minimizing the cost of waiting ship. Also we developed a software called "Optimize" which allows assist the manager in making decisions based on the models described above. Thus, it is expected through this research to explore the queuing theory and show their efficiency in solving problems associated with congestion and dimensioning of structures, thus ensuring optimality in decision making. Key Words: Queuing Theory, Probability, Optimization.

9 SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS LISTA DE SÍGLAS... 1 LISTA DE FIGURAS LISTA DE QUADROS E TABELAS LISTA DE EQUAÇÕES INTRODUÇÃO Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Motivação Metodologia Trabalhos Relacionados Estrutura do Documento FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Teoria das Filas Sistemas de Atendimento Processos de Chegadas Distribuição do Tempo de Atendimento Canais de Serviços Capacidade do Sistema Etapas do Serviço Disciplina da Fila Modelos de Filas Modelos de Filas Markovianos... 5 Modelo M/M/ Modelo M/M/C Modelos de Filas Não-Markovianos... 7 Modelo M/G/ Modelo G/M/ Distribuições de Probabilidade e Testes Estatísticos Função Geradora de Momentos Distribuição Binomial... 9

10 ..3. Distribuição Geométrica Distribuição Poisson Distribuição Uniforme Distribuição Exponencial Distribuição Gama Distribuição Beta Distribuição Normal Distribuição t de Student Distribuição Qui-Quadrado Teste do Qui-Quadrado Shapiro Wilk O TERMINAL PORTUÁRIO DO PECÉM História e Aspectos Técnicos Histórico Missão e Objetivos Instalações Prédio da administração Órgãos Federais Órgãos Estaduais Portaria Principal Castelo d água e cisternas subterrâneas Ponte de acesso aos píeres Píer 1- Píer de Produtos siderúrgicos e carga geral Píer - Píer de graneis líquidos e gases liquefeitos Terminal de múltiplo uso (TMUT) Píer de rebocadores Quebra mar Ponte de acesso ap quebra-mar Movimentação APLICAÇÃO DO MODELO AO TERMINAL INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM CE Informações Iniciais Modelagem dos Dados Análise da Chegada de Navios... 53

11 Teste de Aderência Análise do tempo de atendimento Análise do tempos de espera DIMENSIONAMENTO DO TERMINAL INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM Informações Iniciais: Estimação da demanda de navios Dimensionamento do Sistema para 10 anos Dimensionamento do Sistema para 15 anos Dimensionamento do Sistema para 0 anos Software para Análise e Otimização de Sistemas de Filas CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS ANEXO A: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL ANEXO B: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT S ANEXO C: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO ANEXO D: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE FRUTAS ANEXO E: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE CALÇADOS ANEXO F: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE FERRO ANEXO G: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE ALGODÃO ANEXO H: VALORES TABELADOS PARA AS CONSTANTES DO TESTE DE SHAPIRO WILK ANEXO I: VALORES TABELADOS DE W PARA O TESTE DE SHAPIRO WILK ANEXO J: TELA INICIAL DO SOFTWARE OTIMIZE ANEXO L: TELA VISUALIZAÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA DO PROCESSO ANEXO M: TELA ANÁLISE DO PROCESSO CHEGADAS ANEXO N: TELA VISUALIZAÇÃO DOS DADOS DE ATENDIMENTO ANEXO O: TELA ANÁLISE DO PROCESSO DE ATENDIMENTO ANEXO P: TELA - OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA

12 LISTA DE SÍMBOLOS M C EK λ G ρ f X (.) F X (.) Г χ H 0: H 1: Taxa de chegada dada pelo modelo Poisson ou taxa de serviço dada pelo modelo exponencial; Número de servidores em paralelo; Taxa de serviço dada pelo modelo Erlang; Taxa média de chegadas; Distribuição de probabilidade Geral; Índice de congestionamento do sistema; Função densidade arbitrária; Função de distribuição arbitrária; Função Gama; Qui-Quadrado; Hipótese Nula; σ² Variância; Wq P 0: P n: P W: M X (t): I(x): Hipótese Alternativa; Tempo de espera; Probabilidade não haver usuários no sistema; Probabilidade de haver exatamente n usuários no sistema; Probabilidade de o cliente ter que esperar na fila; Função Geradora de Momentos; Indicador do X, variando em dado suporte;

13 LISTA DE SÍGLAS FIFO LIFO M/M/1 M/M/C M/G/1: G/M/1: F.G.M: TMUT: PHP: First in, First Out; Last in, First Out; Modelo fila Simples, com padrões de chegadas e atendimentos regidos pelas distribuições Poisson, e exponencial, possuindo apenas um servidor; Modelo fila com padrões de chegadas e atendimentos regidos pelas distribuições Poisson, e exponencial, possuindo múltiplos servidores um servidor; Modelo fila com padrões de chegadas regidos pelas distribuições Poisson, atendimento modelado por uma distribuição geral, possuindo apenas um servidor; Modelo fila com padrões de chegadas regidos por uma distribuição geral, atendimento modelado por uma distribuição exponencial, possuindo apenas um servidor; Função Geradora de Momentos; Terminal de Múltiplo Uso; Hypertext Preprocessor; APACHE: servidor HTTP server.

14 LISTA DE FIGURAS Figura.1: Sistema com apenas um canal...3 Figura.: Sistema multicanal com fila única...3 Figura.3 Sistema multicanal com várias Filas...3 Figura.4: Gráfico da função de probabilidade da distribuição Binomial...30 Figura.5: Gráfico da função de distribuição Binomial...30 Figura.6: Gráfico da função de probabilidade da distribuição Geométrica...31 Figura.7: Gráfico da função de distribuição da Geométrica...31 Figura.8: Gráfico da função de probabilidade da distribuição Poisson...3 Figura.9: Gráfico da função de distribuição modelo probabilístico Poisson...3 Figura.10: Gráfico da função densidade da distribuição Uniforme...33 Figura.11: Gráfico da função de distribuição da distribuição Uniforme...34 Figura.1: Gráfico da função densidade da distribuição Exponencial...35 Figura.13: Gráfico da função de distribuição acumulada da distribuição Exponencial...35 Figura.14: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da probabilidade da distribuição Gama...36 Figura.15: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da distribuição Beta para a = 1 e b = Figura.16: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da distribuição Beta para a = e b = Figura.17: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da distribuição Beta para a = 1 e b =...38 Figura.18: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da distribuição Beta para a = e b =...39 Figura.19: Gráfico da função densidade e função de distribuição acumulada da probabilidade da distribuição Normal...39 Figura.0: Gráfico da distribuição t de Student s...40 Figura.1: Gráfico da função densidade da distribuição Qui-Quadrado...41 Figura.: Gráfico da função de distribuição da distribuição acumulada da distribuição Qui- Quadrado...4 Figura 3.1: Inauguração do Terminal Portuário do Pecém. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01)...44

15 Figura 3.: Inauguração do Terminal Portuário do Pecém. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01)...45 Figura 3.3: Imagem de satélite da ponte de acesso aos Píeres do terminal portuário do Pecém. Fonte: Google Earth Mapping Service Figura 3.4: Imagem de satélite dos Píeres um e dois do terminal portuário do Pecém-CE. Fonte: Google Earth Mapping Service Figura 3.5: Imagem de satélite do Terminal de Múltiplo uso do Pecém-CE. Fonte: Google Earth Mapping Service Figura 3.6: Visão aérea do quebra mar. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Figura 4.1: Comparação entre as frequências relativas e as probabilidades de Poisson Figura 4.: Comparação entre as frequências relativas e as probabilidades de Poisson Figura 4.3: Comparação entre a frequência acumulada e Função de distribuição Figura 4.4: Comparação entre as frequências relativas e as probabilidades de Poisson Figura 5.1: Estimativa para demanda de navios Porto do Pecém-CE Figura 5.: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de dez anos Figura 5.3: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de quinze anos Figura 5.4: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de vinte anos....67

16 LISTA DE QUADROS E TABELAS Quadro.1: Símbolos e Definições de Modelos de Filas...5 Quadro.: Equações para o Modelo de Fila M/M/1...6 Quadro.3: Equações para o Modelo de Fila M/M/C...7 Quadro.4: Equações para o Modelo de Fila M/G/1...8 Quadro 3.1: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 3.: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 3.3: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 3.4: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 3.5: Detalhes Técnicos do Quebra Mar no Terminal Portuário do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 3.6: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quadro 4.1: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01)....5 Tabela 4.1: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE Tabela 4.: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE Tabela 4.3: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE Tabela 4.4: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE Tabela 5.1: Calculo dos desvios Quadro 5.1: Calculo da constante b Tabela 5.: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando o ano como variável independente....6 Tabela 5.3: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando a posição do ano como variável independente....6 Tabela 5.4: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando a variável independente com um ajuste por mediana Tabela 5.5: Estimativa para demanda de navios Porto do Pecém-CE. Para os próximos 0 anos....64

17 Quadro 5.1: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de dez anos Quadro 5.: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de quinze anos Quadro 5.3: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de vinte anos....67

18 LISTA DE EQUAÇÕES EQUAÇÃO 1 Probabilidade do servidor está ocupado (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO Probabilidade de não haver usuários no sistema (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 3 Probabilidade haver exatamente n usuários no sistema (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 4 Número médio de usuários no sistema (Incluindo os que estão na fila e os que estão sendo atendidos) - (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 5 Número médio de usuários na fila (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 6 Tempo médio gasto no sistema (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 7 Tempo médio gasto na fila (Modelo M/M/1)...6 EQUAÇÃO 8 Probabilidade de o Servidor Estar Ocupado (Modelo M/M/C)...7 EQUAÇÃO 9 Probabilidade de Não Haver Usuários no Sistema (Modelo M/M/C)..7 EQUAÇÃO 10 Probabilidade haver n usuários no sistema (Modelo M/M/C)...7 EQUAÇÃO 11 Probabilidade de um cliente ter que esperar na fila (Modelo M/M/C)...7 EQUAÇÃO 1 Esperança do tempo de espera no sistema (Modelo M/M/C)...7 EQUAÇÃO 13 Número médio de usuários no sistema (Incluindo os que estão na fila e os que estão sendo atendidos) - (Modelo M/G/1)...8 EQUAÇÃO 14 Número médio de clientes esperando na fila (Modelo M/G/1)...8 EQUAÇÃO 15 Tempo médio gasto na fila (Modelo M/G/1)...8 EQUAÇÃO 16 Tempo médio gasto no sistema (Modelo M/G/1)...8 EQUAÇÃO 17 Função geradora momentos para variáveis aleatórias discretas...8 EQUAÇÃO 18 Função geradora momentos para variáveis aleatórias contínuas...9 EQUAÇÃO 19 Função de probabilidade da Distribuição Binomial...9 EQUAÇÃO 0 Esperança da Distribuição Binomial...9 EQUAÇÃO 1 Variância da Distribuição Binomial...30 EQUAÇÃO Função de probabilidade da Distribuição Geométrica...31 EQUAÇÃO 3 Esperança da Distribuição Geométrica...31 EQUAÇÃO 4 Variância da Distribuição Geométrica...31 EQUAÇÃO 5 Função de probabilidade da Distribuição Poisson...3 EQUAÇÃO 6 Esperança da Distribuição Poisson...3 EQUAÇÃO 7 Variância da Distribuição Poisson...3 EQUAÇÃO 8 Função densidade de probabilidade da Distribuição Uniforme...3 EQUAÇÃO 9 Esperança da Distribuição Uniforme Contínua...33 EQUAÇÃO 30 Momento de ordem da Distribuição Uniforme Contínua...33

19 EQUAÇÃO 31 EQUAÇÃO 3 EQUAÇÃO 33 EQUAÇÃO 34 EQUAÇÃO 35 EQUAÇÃO 36 EQUAÇÃO 37 EQUAÇÃO 38 EQUAÇÃO 39 EQUAÇÃO 40 EQUAÇÃO 41 EQUAÇÃO 4 EQUAÇÃO 43 EQUAÇÃO 44 EQUAÇÃO 45 EQUAÇÃO 46 EQUAÇÃO 47 EQUAÇÃO 48 EQUAÇÃO 49 EQUAÇÃO 50 EQUAÇÃO 51 EQUAÇÃO 5 EQUAÇÃO 53 EQUAÇÃO 54 EQUAÇÃO 55 EQUAÇÃO 56 EQUAÇÃO 57 EQUAÇÃO 58 EQUAÇÃO 59 EQUAÇÃO 60 EQUAÇÃO 61 EQUAÇÃO 6 EQUAÇÃO 63 Variância da Distribuição Uniforme Contínua...33 Função de distribuição acumulada da Distribuição Uniforme Contínua...33 Função densidade de probabilidade da Distribuição Exponencial...34 Função de distribuição acumulada da Distribuição Exponencial...34 Função geradora de momento da Distribuição Exponencial...34 Esperança da Distribuição Exponencial...34 Variância da Distribuição Exponencial...35 Função densidade de probabilidade da Distribuição Gama...35 Função Gama...35 Função geradora de momento da Distribuição Gama...36 Esperança da Distribuição Gama...36 Variância da Distribuição Gama...36 Função densidade de probabilidade da Distribuição Beta...37 Função Beta Completa...37 R-éssimo momento da Distribuição Beta...37 Esperança da Distribuição Beta...37 Segundo momento da Distribuição Beta...37 Variância da Distribuição Beta...37 Função densidade de probabilidade da Distribuição Normal...39 Esperança da Distribuição Normal...39 Variância da Distribuição Normal...39 Função densidade de probabilidade da Distribuição t de Student s...40 Esperança da Distribuição t de Student s...40 Variância da Distribuição t de Student s...40 Função densidade de probabilidade da Distribuição Qui-Quadrado...41 Esperança da Distribuição Qui-Quadrado...41 Variância da Distribuição Qui-Quadrado...41 Qui-Quadrado...4 Teste de Shapiro Wilk...43 Constantes Shapiro Wilk...43 Função de distribuição para o modelo de filas M/M/C...58 Coeficiente de intersecção...60 Coeficiente angular...60

20 18 1. INTRODUÇÃO A economia brasileira consolidou-se como forte e competitiva; o país ocupa hoje a sexta posição na economia mundial (ITAMARATY, 01), participando de algumas organizações como o BRICS (Brasil, Rússia, China e Índia), MERCOSUL (Mercado comum do Sul) e UNASUL (União das nações sul-americanas). Com o desenvolvimento econômico, é de se esperar que haja uma maior demanda pelos serviços relacionados ao transporte de cargas, fluxo de transportes e serviços de atendimento. Consequentemente, frente a essa demanda, torna-se fundamental ao nosso país o desenvolvimento de estudos que possam otimizar a qualidade desses serviços. Um exemplo claro é o das exportações que estão intimamente ligadas aos portos, haja vista que aproximadamente 95% das mercadorias comercializadas pelo Brasil são transportadas por navios (ADMINISTRADORES.COM, 011), demonstrando a importância que os portos brasileiros estejam funcionando adequadamente. Utilizou-se complexo industrial e terminal portuário do Pecém-CE para aplicação desta pesquisa, onde foi feita uma análise operacional relacionada ao fluxo de navios, a qual possibilitou o desenvolvimento de uma metodologia para o dimensionamento ótimo dos berços para os próximos 0 anos. 1.. Objetivos Objetivo Geral Demonstrar a eficiência da teoria das filas na otimização de sistemas de atendimentos, que incluem o fluxo de tráfego, escalonamento e prestação de serviços, como pedágios, portos, servidores web, entre outros Objetivos Específicos Avaliar as condições atuais de atendimento no terminal portuário do Pecém em relação à chegada, atendimento e espera de navios; Propor uma metodologia para dimensionamento do porto Pecém-CE;

21 19 Desenvolver um software que possa servir como uma ferramenta computacional para gestão e análise de sistemas de filas; Avaliar se a teoria das filas é adequada para modelar o problema Motivação Desenvolver uma metodologia que possa atender a necessidade de otimizar sistemas de atendimento, dado um número crescente de requisições por esses serviços. Um exemplo a ser citado é a internet, que devido ao aumento da capacidade de processamento dos computadores pessoais e o surgimento de novas aplicações multimídias, tende a receber uma maior quantidade de tráfego (GTA/UFRJ, 01) Metodologia Para aplicação dessa pesquisa foram realizados os seguintes procedimentos: Análise do comportamento da chegada dos navios por meio de distribuição de Poisson, sendo aplicado o teste Qui-Quadrado para comprovar que as chegadas seguem tal distribuição; Análise do tempo de atendimento utilizando a distribuição de probabilidade Exponencial; Análise do tempo de espera empregando o software derive 1 ; Aplicação do modelo de regressão linear simples para prevê a chegada de navios para os próximos 0 anos; Comparar o custo anual de espera de navios, com o somatório dos custos de ampliação e de espera de navios, para verificar se o dimensionamento é economicamente viável. Desenvolver a ferramenta computacional para otimização de sistemas de atendimentos. 1 Software obtido em:

22 Trabalhos Relacionados: Uma metodologia para o dimensionamento de frota de rebocadores em terminais portuários: uma aplicação ao porto do Rio Grande (SCHEIN, 010). Nesse trabalho, a autora propõe uma metodologia baseada em teoria das filas para prevê o número ideal de rebocadores indicados ao porto do rio grande, para os anos de 011 a 015, utilizando o modelo de fila M/M/C. A autora conclui que para o período de 010 a 015, o tamanho da frota indicado para a situação em análise é de três rebocadores. O modelo também é aplicado aos anos de 010 e 015 individualmente, encontrando um número ótimo de três rebocadores para ambos os anos. Teoria das filas e da simulação aplicada ao embarque de minério de ferro e manganês no terminal marítimo de Ponta da Madeira (CAMELO, et al, 010). Esse trabalho propõe a utilização da teoria das filas e da simulação computacional para analisar o desempenho do terminal marítimo Ponta da Madeira. A teoria das filas é utilizada pelos autores para estudar as características de atendimentos aos navios que atracam nos píeres I e III, enquanto que a técnica de simulação é utilizada para estimar os benefícios da construção do píer IV, aumentando a capacidade do terminal em 100 milhões de toneladas. Application of queuing theory to the container terminal at Alexandria seaport (El- Naggar, 010). Neste trabalho a teoria das filas é utilizada para otimizar o terminal de contêineres do porto de Alexandria, Egito. Foi utilizado o modelo de Fila M / EK / C para modelagem do sistema, considerando os dados de 007 e 008, onde foi detectado que a taxa média de chegadas é de 5.68 navios por dia. Após a comparação entre os custos de ampliação, o autor conclui são necessários 33 berços para minimizar os custos com espera de navios.

23 Estrutura do Documento Os capítulos deste trabalho estão dispostos da seguinte maneira: O segundo capítulo trata da fundamentação teórica, incluindo, os tipos de filas, suas características, equações e modelos. Além disso, também são apresentados alguns modelos probabilísticos discretos e contínuos, bem como os testes Qui-Quadrado e Shapiro-Wilk. O terceiro capítulo faz uma apresentação geral do terminal portuário do Pecém-CE, incluindo, dados históricos e técnicos. No quarto capítulo é feita a apresentação do problema a ser modelado, além da análise dos dados e aplicação dos modelos de filas para detectar o nível de congestionamento, que dará base para a discussão do quinto capítulo, no qual é proposto o dimensionamento dos berços do porto do Pecém-CE para os próximos 0 anos. No fim do capítulo cinco é apresentada a ferramenta computacional para análise de sistemas de atendimento. O capítulo seis apresenta as conclusões e trabalhos futuros, enquanto que no último capítulo são apresentadas as referências que compõem este trabalho.

24 . FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.1. Teoria das Filas As filas estão presentes em nosso cotidiano: em bancos, supermercados, pedágios e até mesmo na internet. Basicamente, um sistema de filas pode ser entendido com clientes que chegam a uma determinada central de atendimento, sendo atendidos por um ou mais servidores. O fenômeno em questão é objeto de estudo da teoria das filas, ramo da matemática aplicada, que através de modelos probabilísticos e estocásticos modela a formação e o comportamento de filas, a fim de permitir o dimensionamento adequado de equipamento e estruturas Sistemas de Atendimento Na literatura é comum considerar como sendo seis os componentes básicos que formam uma fila, são eles: Processos de Chegadas O processo de chegadas normalmente segue um comportamento estocástico, sendo necessário se definir a distribuição de probabilidade que modela tal fenômeno. Também é necessário considerar o comportamento dos clientes que chegam ao sistema, uma vez os mesmos podem chegar em grupos ou isoladamente, podendo ingressar no sistema e decidirem continuar independente do tamanho da fila, mas também podem em algum momento ficar impacientes, desistindo de esperar. Também há a possibilidade do cliente não ingressar na fila por ser a mesma muito longa (SWARUP, CUPTA, MOHAN, 1977). Por fim, também temos que considerar o padrão de chegada, se este não muda com tempo será chamado de estacionário, senão será transitório Distribuição do Tempo de Atendimento Caracteriza-se pelo padrão de serviço em que se observam os clientes em atendimentos e os que aguardam para serem atendidos.

25 3 De modo análogo ao processo de chegada, usa-se uma distribuição de probabilidade para modelar o tempo de atendimento Canais de Serviços Corresponde ao número de servidores que atendem os clientes ou processos, podendo conter apenas um canal, como na figura.1 ou múltiplos canais, sendo que esse último pode ser do tipo multicanal com fila única, representado na figura. e multicanal com várias filas, representado na figura.3. Figura.1: Sistema com apenas um canal Fonte: COSTA (005) Figura.: Sistema multicanal com fila única Fonte: COSTA (005) Figura.3: Sistema multicanal com Várias Filas. Fonte: COSTA (005)

26 Capacidade do Sistema Refere-se ao número máximo de clientes no sistema, incluindo os que estão sendo atendidos e os que aguardam para serem atendidos. Em processos de filas em que há algum tipo de limitação em relação ao espaço na fila, um novo cliente só poderá ingressar no sistema quando outro for atendido, liberando espaço no sistema de atendimento Etapas do Serviço Um sistema de fila pode conter uma etapa de serviço, como no caso de um pedágio, ou pode conter varias etapas, onde será necessário passar por cada uma delas para sair do sistema de atendimento Disciplina da Fila Modo em que os clientes são escolhidos após a fila ser formada, a disciplina de fila mais comum é a FIFO (First In, First Out), em que o primeiro cliente a chegar é o primeiro a sair, outra disciplina é chamado Lifo (Last In, First Out), em que o último a chegar é o primeiro a sair. Também existem os casos em que há prioridade, onde um processo pode ser interrompido para que outro com maior prioridade seja atendido. Ainda referindo-se a esta última disciplina, pode ocorrer que um processo com maior prioridade passe a frente dos outros processos, mas tenha que esperar o processo em atendimento, para ser atendido..1.. Modelos de Filas É comum utilizar a notação, (a/b/c): (d/e) para classificar um modelo de filas, onde o primeiro e o segundo símbolos denotam o tipo de distribuição dos tempos de chegadas e do tempo de atendimento respectivamente. O terceiro símbolo indica o número de servidores, enquanto que o quarto e o quinto símbolos, representam a capacidade do sistema e a disciplina da fila, respectivamente (SWARUP, CUPTA, MOHAN, 1977). Na tabela.1 encontram-se os símbolos mais frequentes e suas respectivas definições:

27 5 Símbolo M E K C G λ Definição Taxa de chegada dada pelo modelo Poisson ou taxa de serviço dada pelo modelo exponencial; Taxa de serviço dada pela distribuição Erlang Número de Servidores em Paralelo Distribuição Geral Taxa Média de Chegadas µ Taxa de Serviço ρ Taxa de Congestionamento Quadro.1: Símbolos e Definições de Modelos de Filas Modelos de Filas Markovianos Nestes modelos os tempos entre as chegadas sucessivas são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com uma distribuição Poisson com parâmetro λ, onde esse parâmetro é denominado taxa de chegada (DANTAS; RODRIGUES, 1977). O tempo de atendimento é modelado segundo uma distribuição Exponencial com parâmetro µ, sendo independente do processo de chegada. Modelo M/M/1 Trata-se do modelo básico em teoria das filas, com as seguintes características: As chegadas seguem uma distribuição de probabilidade Poisson; O tempo de atendimento é regido por uma distribuição de probabilidade Exponencial; Possui apenas um servidor; De capacidade Infinita; Disciplina fila FIFO. Na tabela. são exibas as principais equações para esse modelo.

28 6 Explicação Probabilidade de o servidor estar ocupado Fórmulas ρ = λ (1) α Probabilidade não haver usuários no sistema: P λ 0 = 1 = (1 ρ) () α λ Probabilidade de haver exatamente n usuários no sistema P (3) n = P0 α n Número médio de usuários no sistema (Incluindo os que estão na fila e os que estão sendo atendidos). Número médio de usuários na fila Tempo médio gasto no sistema λ E( n) = α λ (4) α E( N ) = α( α λ) (5) 1 E( V ) = ( α λ) (6) Tempo médio gasto na fila λ E( W ) = (7) α( α λ) Quadro.: Equações para o Modelo de Fila M/M/1 Modelo M/M/C Esse modelo é uma generalização do modelo MM1, com as seguintes características: As chegadas seguem uma distribuição de probabilidade Poisson; O tempo de atendimento é regido por uma distribuição de probabilidade exponencial; Possui C unidades de atendimentos em paralelo. De capacidade Infinita; Disciplina fila FIFO; Condição de Estabilidade: ρ < 1 isto é λ < cµ. Na tabela.3 são exibas as principais equações para esse modelo.

29 7 Explicação Probabilidade de o servidor estar ocupado. Fórmulas λ ρ = (8) µ C Probabilidade de não haver usuários no sistema. Probabilidade de haver n usuários no sistema. 1 P0 = c 1 j c ( c ) ( c ) ρ + ρ j! c!(1 ρ) j= 0 n ( cρ) Pn = P0, n = 1,,..., c 1 n! n c ρ c Pn = P0, n = c, c + 1,... c! (9) (10) Probabilidade de um cliente ter que esperar na fila. P W c ( cρ) = P0 c!(1 ρ) (11) Esperança do tempo de espera no sistema. c-1 j c (cρ) (cρ) c +. (ρc) j=0 j! c!(1-ρ) 1 E[ wq] = * (1) µ (1-ρ) c!c -1 Quadro.3: Equações para o Modelo de Fila M/M/C.1... Modelos de Filas Não-Markovianos Os modelos de filas em que o processo de chegadas ou atendimento não seguem necessariamente uma distribuição Exponencial são chamados de modelos não-markovianos. Abaixo são descritos os modelos M/G/1 e G/M/1, onde G represente uma distribuição geral. Modelo M/G/1 Modelo de fila no qual o processo de chegadas segue uma distribuição Poisson com taxa λ. O tempo de serviço pode ser modelado por distribuição geral, com taxa igual a 1 µ. Os seguintes resultados são válidos para esse tipo de fila (SWARUP, CUPTA, MOHAN, 1977).

30 8 Explicação Número médio de usuários no sistema (Incluindo os que estão na fila e os que estão sendo atendidos). Número médio de clientes esperando na fila Fórmulas λ σ + ρ E( n) = + ρ, para ρ < 1 (1 ρ) (13) λ σ + ρ E( m) E( m) ρ = (1 ρ) (14) Tempo médio gasto na fila Tempo médio gasto no sistema 1 E( w) E( m) λ σ + = ρ λ λ(1 ρ) 1 λ σ + ρ 1 E( v) E( w) + = + µ λ(1 ρ ) µ (15) (16) Quadro.4: Equações para o Modelo de Fila M/G/1 Modelo G/M/1 Nesse tipo de modelo, o processo de chegada é modelado por variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, de acordo com as funções de distribuição acumulada e densidade, dadas por: Fx (.) e f x(.), respectivamente, onde o tempo médio entre as chegadas é dado por: 1 λ e o tempo médio de atendimento é: 1 µ (ADAN; RESING, 00)... Distribuições de Probabilidade e Testes Estatísticos..1. Função Geradora de Momentos f ( x ), então: Seja X uma variável aleatória absolutamente contínua com densidade de probabilidade A função geradora momentos (F.G.M.) de X é definida por: Para variáveis aleatórias discretas: tx M ( ) i X t = e p( X = xi ). (DANTAS, 000) (17) x= 1

31 9 Para variáveis aleatórias contínuas: tx tx M ( t) E( t ) e f ( x) dx. X = = R X (DANTAS, 000) (18) Propriedades: M X (0) = 1; d M X (0) = E ( X ); dt d d M (0) (0) ( ). X M X Var X dt = dt... Distribuição Binomial Se considerarmos n ensaios de Bernoulli, em que X represente o número total de sucessos obtidos, diremos que X~B (n ; p), cuja distribuição de probabilidade é dada por: ( x ) n x n x P( X = x) = p.(1 p) I( x), 0 p 1 (0. ) (19) Esperança: n n n n x n x xn! x n x n! x n x E( X ) = x p.(1 p) = p.(1 p) = p.(1 p) = x= 0 x x= 0 x!( n x)! x= 0 ( x 1)!( n x)! fazendo k = x - 1, obtemos: = n 1 n 1 ( n 1)! k n k 1 n 1 k n k 1 n 1 np p.(1 p) = np p.(1 p) = np( p + (1 p) = np. k = 0 k!( n k 1)! k = 0 k (0) Variância: Vamos obter a função geradora de momentos da distribuição Binomial e calcular o segundo momento.

32 30 n n tx tx n x n x tx n t x n x t n M X ( t) = E( e ) = e p.(1 p) = e ( pe ).(1 p) = ( pe + (1 p)). x= 0 x x= 0 x Obtendo a segunda derivada da expressão acima, chega-se: d M t n t t n 1 t X t n n pe p p e n pe p = pe ( ) ( 1)( (1 )) ( ) ( (1 )). dt Fazendo t = 0, obtemos: E( X ) = n( n 1) p + np, daí vem que: Var( X ) = E( X ) ( E( X )) = n( n 1) p + np n p = np(1 p). (1) Gráficos: A seguir são exibidos os gráficos da função de probabilidade e distribuição. Figura.4: Gráfico da função de probabilidade, para n = 0 e p = 0,5; 0,5 e 0,75. Figura.5: Gráfico da função de distribuição, para n = 0 e p = 0,5; 0,5 e 0,75.

33 Distribuição Geométrica Considere infinitos ensaios de Bernoulli em que são admitidos apenas dois resultados (Sucesso e Fracasso). Uma variável aleatória segue modelo Geométrico se sua distribuição de probabilidade é dada por: x P( X = x) = (1 p). p I( x), () (0, ) onde X indica o número de falhas até a ocorrência do primeiro sucesso. Esperança: E(X) = 1 P P 1 P Variância: Var(x) = P (3) (4) Gráficos: A seguir são exibidos os gráficos da função de probabilidade e distribuição. Gráfico da função de probabilidade, para n = 0 e p = 0,5; 0,5 e 0,75. Figura.6 Gráfico da função de probabilidade, para n = 0 e p = 0,5; 0,5 e 0,75. Figura.7 Gráfico da função de distribuição, para n = 0 e p = 0,5; 0,5 e 0,75.

34 3..4. Distribuição Poisson Uma variável aleatória X segue uma distribuição Poisson de parâmetro λ, para λ > 0, se sua função de probabilidade for dada por: λ x e λ P( X = x) = I( x) (5) x! (0, ) Esperança: E(X) = λ (6) Variância: Var(x) = λ (7) Gráficos: Figura.8 Gráfico da função de probabilidade, para λ = 0,5; 1,0 e 1,5. Figura.9 Gráfico da função de distribuição, para λ = 0,5; 1,0 e 1, Distribuição Uniforme Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme se sua densidade de probabilidade é dada por: 1 f X ( x) = I ( x) (8) b a ( a, b)

35 33 Esperança: a 1 a + b E( X ) = x. dx = (9) b a a Variância: E(X ) é dado por: b 1 a + ab + b x. dx = (30) a b a 3 Var(x) = E(X ) [E(X)] = ( b a) Var( X ) = (31) 1 Função de distribuição: x 1 x a FX ( x) = P( X x) = dt = (3) b a b a a 0, se x < a ( x a) FX ( x) = P( X x) =, se a x b b a 1, se x b Gráficos: Figura.10 Gráfico da função densidade da distribuição uniforme.

36 34 Figura.11 Gráfico da função de distribuição da distribuição uniforme...6. Distribuição Exponencial É uma distribuição de probabilidade onde sua função densidade probabilidade é dada por: µ x f X ( x) = µ. e I( x). (33) (0, ) Função de distribuição: x y x F ( x) = e µ dy = 1 e µ. (34) X 0 µ Esperança: Vamos calcular a esperança através da função geradora de momentos. tx tx µ x ( α t ) x µ X ( ) = ( ) = µ = µ =. (35) µ t 0 0 M t E e e e dx e dx Derivando x em relação a t, encontramos: µ M ' X ( t) = ( µ t), em seguida fazemos t =0, temos: 1 E( X ) =. (36) µ

37 35 Variância: µ Para obter a variância calculamos a segunda derivada de e fazemos t = 0, como µ t Var(x) = E(X ) [E(X)] 1, então: Var( x) =. (37) µ Gráficos: Figura.1 Gráfico da função densidade de probabilidade, para α = 0,5; 1,0 e 1,5. Figura.13 Gráfico da função de distribuição, para α = 0,5; 1,0 e 1, Distribuição Gama Em teoria da Probabilidade e Estatística a distribuição Gama faz parte de uma família de distribuições contínuas. Notação: X ~ Gama( α; β ), sendo sua densidade de probabilidade é dada por: α β α 1 βx fx ( x) = x e I ( x), (38) Γ ( α) (0, ) onde Г representa a função gama dada por: α 1 ( ) x e x dx. (39) Γ α = 0

38 36 Função Geradora de Momentos da Distribuição Gama: α α α tx tx β α 1 β x β tx α 1 β x β α 1 ( tx β x) M X ( t) E( e ) e x e dx e x e dx x e dx Γ( α) Γ( α) Γ( α) = = = = = = α α β α 1 ( β t) x β Γ( α) β x e dx = = α Γ( α) Γ( α) ( β t) β t 0 α. (40) Esperança: Derivando a equação (40) e fazendo t = 0, encontramos: α E( X ) = (41) β Variância: Derivando pela segunda vez e fazendo t = 0, encontramos o segundo momento, a partir do qual se obtém a variância da distribuição. Var( X ) α + α α α = = (4) β β β Gráficos: A seguir são exibidos os gráficos da densidade e distribuição acumulada para vários valores de α e β. Figura.14: Gráfico da função densidade e acumulada para α = 1,, 3, 4 e β =.

39 Distribuição Beta Dizemos que uma variável aleatória absolutamente contínua x possui distribuição Beta com parâmetros a e b > 0, se sua função densidade de probabilidade é dada por: 1 a 1 b 1 f X ( x) = x (1 x) I( x), (43) β ( a, b) (0,1) em que β ( a, b) é a função beta completa, dada por: β (, ) a b a b = x (1 x) dx. (44) 0 Esperança: O momento de ordem r é dado por: 1 1 r 1 r a 1 b 1 1 a+ r 1 b 1 E( X ) = x x (1 x) dx = x (1 x) dx = β ( a, b) β ( a, b) = 0 0 Γ ( a + b) Γ ( a + r) Γ( b) Γ ( a + b) Γ ( a + r) =. (45) Γ( a) Γ( b) Γ ( r + a + b) Γ( a) Γ ( r + a + b) Fazendo r igual a 1, obtemos: Γ ( a + b) Γ ( a + 1) Γ ( a + b) aγ( a) a = E( X ) = (46) Γ( a) Γ ( a + b + 1) Γ ( a) ( a + b) Γ ( a + b) a + b Variância: Para obtermos a variância vamos determinar o momento de ordem, isto é: Γ ( a + b) Γ ( a + ) Γ ( a + b) ( a + 1) Γ ( a + 1) E( X ) = = = Γ( a) Γ ( a + b + ) Γ ( a) ( a + b + 1) Γ ( a + b + 1) Γ ( a + b) ( a + 1) aγ( a) = = Γ ( a) ( a + b + 1)( a + b) Γ ( a + b) a( a + 1) ( a + b)( a + b + 1). (47) a( a + 1) a ab ( a + b)( a + b + 1) ( a + b) ( a + b) ( a + b + 1) Var( X ) = =. (48)

40 38 Gráficos: A seguir são exibidos os gráficos da densidade e da função de distribuição para a = 1 e b = 1, a = e b = 1, a = 1 e b = e a = e b =. Para a = 1 e b = 1: f ( x) = I( x). X (0,1) Figura.15: Gráfico da densidade e função de distribuição para a = 1 e b = 1. Para a = e b = 1: f ( x) = x I( x). X (0,1) Figura.16: Gráfico da densidade e função de distribuição para a = e b = 1. Para a = 1 e b = : f ( x) = (1 x) I( x). X (0,1) Figura.17: Gráfico da densidade e função de distribuição para a = 1 e b =.

41 39 Para a = e b = : f ( x) = 6 x(1 x) I( x). X (0,1) Figura.18: Gráfico da densidade e função de distribuição para a = e b =...9. Distribuição Normal Uma variável aleatória absolutamente contínua possui uma distribuição Normal com parâmetros µ e σ se sua função densidade de probabilidade é da por: 1 ( x µ ) f X ( x) = exp I ( x), denotada por: πσ σ (0, ) X ~ N ( µ ; σ ). (49) Esperança: E(X) = µ. (50) Variância: Var(x) = σ. (51) Gráficos: Figura.19: Gráfico da densidade e função de distribuição para µ = 0 e σ =0,3; σ =0,5; σ =0,1 e σ =0,.

42 Distribuição t de Student Essa distribuição foi desenvolvida pelo Matemático, Químico e Estatístico Britânico William Sealy Gosset, que utilizou o pseudónimo Student, pois a cervejaria onde trabalhava não permitia a publicação de trabalhos (Ação Local Estatística Aplicada, 011). Trata-se de uma distribuição contínua de probabilidade, com função densidade de probabilidade dada por: k + 1 k + 1 Γ t f X ( x) = 1 I ( x) k k kπ Γ (, ) (5) equação (39). Onde parâmetro k é denominado graus de liberdade e Γ é a função gama, conforme Esperança: E(X) = 0, se k > 1 e indefinida caso contrário. (53) Variância: Var(x) = k / (k ), se k> e indefinida caso contrário. (54) Gráfico: A seguir é exibido o gráfico da distribuição t para diversos valores de graus liberdade. Também é feita uma comparação com a distribuição normal. Figura.0: Gráfico da distribuição t para graus de liberdade 1, 3, 8 e 30 Fonte: (Quick-R).

43 41 No ANEXO D são listados valores para a distribuição t, considerando k graus de liberdade, que são definidos como o número de valores amostrais que podem variar depois que certas restrições tiverem sido impostas aos dados amostrais (TRIOLA, 008) Distribuição Qui-Quadrado Em probabilidade e estatística a distribuição Qui-Quadrado ou χ, é uma caso particular da distribuição Gama, em que β = 1/ e α = k/, resultando em: k x 1 1 f X ( x) = x e I ( x) k k Γ (0, ) (55) onde parâmetro k é denominado graus de liberdade e Γ é a função gama, conforme equação (39). Esperança: E( X ) α = = β k (56) α Variância: Var( X ) = = k β (57) Gráficos: A seguir são exibidos os gráficos da função de probabilidade e distribuição. Densidade de probabilidade, para diversos graus de liberdade. Figura.1: Gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição Qui-Quadrado.

44 4 Função de distribuição, para diversos graus de liberdade. Figura.: Gráfico da função de distribuição da distribuição Qui-Quadrado...1. Teste do Qui-Quadrado É um teste de hipóteses não paramétrico, isto é, não é dependente de parâmetros populacionais, como média e desvio padrão, em que se analisa a dispersão entre os valores observados e valores esperados de um conjunto de dados. Procedimentos para desenvolvimento do teste: Definir a Hipótese (H 0 ): independência entre as variáveis; Definir a Hipótese (H 1 ): Não independência entre as variáveis; Definir um nível de significância α aceitável. Medir o grau de discordância entre as frequências observadas e as frequências esperadas, utilizando o somatório abaixo. χ i = K ( foi fei ) (58) f i= 1 ei Onde: f oi : representa as frequências observadas; f ei : representa as frequências esperadas; k: Número de classes ou Intervalos. Determinar a região crítica, isto é: o valor tabelado; Comparar o valor calculado com o valor tabelado, se χ calculado > χ tabelado, rejeita-se H 0, caso contrário se aceita H 0. O valor crítico ou

45 43 tabelado é denotado por: χ g.l, α, n 1 χ g.l ou α,( L 1).( C 1) χ α, n 1 p g.l, onde n representa o número de classes e p representa o número de parâmetros da distribuição que se quer estimar (FREITAS, 008). O ANEXO C contém a tabela do Qui-Quadrado, onde são obtidos os valores utilizados no procedimento acima Shapiro Wilk É um teste de hipóteses não paramétrico, isto é, não é dependente de parâmetros populacionais, como média e desvio padrão, publicado em 1965 por Samuel Shapiro e Martin Wilk. O teste consiste em encontrar a estatística W (PORTAL ACTION, 01), dada por: W = n i= 1 b ( x x) ( i) (59) Em que x (i) são os valores da amostra ordenados e b é uma constante dada por: b n/ a ( x x ) se n é par n i+ 1 ( n i+ 1) ( i) i= 1 = ( n+ 1)/ an i+ 1 x( n i+ 1) x( i) i= 1 ( se n é ímpar (60) onde a n-i+1 são constantes obtidas no ANEXO D. Para realizar o teste, procedemos da seguinte maneira: Construir o teste de hipótese; H 0 = Os dados seguem uma distribuição normal; H 1 = Os dados não seguem uma distribuição normal. Estabelecer o nível de significância; Ordenar as n observações; Calcular a estatística W; Tomar a decisão: se W > maior que o tabelado (ANEXO E), então, se aceita H 0 com nível de significância α, caso contrário, rejeita-se H 1.

46 44 3. O TERMINAL PORTUÁRIO DO PECÉM 3.1. História e Aspectos Técnicos Histórico A história do terminal portuário do Pecém teve início no ano de 1995 quando, por solicitação do Governo do Estado do Ceará, iniciaram-se pelo Grupamento de Navios Hidroceanográficos da Marinha do Brasil os levantamentos ecobatimétricos (medição das profundidades submersas) da costa do Estado do Ceará, na região do acidente geográfico denominado de Ponta do Pecém - CE, no município de São Gonçalo do Amarante, a cerca de 60 km da capital do estado, Fortaleza. (CEARÁ PORTOS, 01). A figura 3.1 mostra a inauguração do terminal, onde os convidados aguardam o navio antes do início da cerimônia. O Complexo Industrial e Portuário do Pecém surgiu como elemento capaz de fundamentar e atender as demandas empresariais, visando atender indústrias de base voltadas para as atividades de siderurgia, refino de petróleo, petroquímica e de geração de energia elétrica (CEARÁ PORTOS, 01). Figura 3.1: Inauguração do Terminal Portuário do Pecém. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Missão e Objetivos Incrementar o transporte intermodal de cargas na região, pela oferta de infraestrutura, de programas, de sistemas e de parcerias que resultem em desenvolvimento socioeconômico para a população do Estado do Ceará, em observância à Legislação Ambiental vigente, promovendo a melhoria contínua da qualidade ambiental no Terminal Portuário do Pecém (CEARÁ PORTOS, 01). O terminal tem ainda como missão, propiciar operações portuárias

47 45 eficientes, tornando-o altamente competitivo com acessos rodoviários e ferroviários livres e independentes dos confinamentos provocados pelos centros urbanos, viabilizando a operação de atividades portuárias e industriais integradas, imprescindíveis ao desenvolvimento de um complexo com características de Porto Industrial Instalações: O complexo industrial e portuário do Pecém é constituído dos seguintes prédios, descritos a saber: Prédio da administração: Local onde funciona a companhia de integração portuária do Ceará (CEARÁPORTOS), empresa responsável pela administração do terminal. Trata-se de um prédio construído em três pavimentos com área total em torno de 1.300m², como mostra a figura 3.. Figura 3.: Prédio da Administração. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Órgãos Federais: Instalações onde funcionam os órgãos da administração pública federal: Ministério da Fazenda - Secretaria da Receita Federal. Ministério da Agricultura. Ministério da Justiça - Polícia Federal. Ministério do Meio - Ambiente - Ibama. Ministério da Saúde - Vigilância Sanitária. Ministério da Marinha - Capitania dos Portos Órgãos Estaduais: Instalações onde funcionam os órgãos da administração pública estadual: Secretaria da Fazenda. Secretaria da Agricultura.

48 Portaria Principal Trata-se de uma a área coberta totalmente por estrutura espacial de alumínio com extensão de 1.84,31 m², dos quais, 134,13 m² fazem parte do prédio da portaria. Somente é possível a entrada e saída de veículos através da portaria, que possui três faixas de rolamento, de cada lado do prédio (lado direito para entrada e lado esquerdo para saída). Nenhum outro acesso está disponível, exceto através da via férrea, que se localiza juntos aos armazéns 1 e e da ponte de acesso aos "piers" Castelo d'água e cisternas subterrâneas Possui capacidade útil para armazenar 150 m³ de água, sendo armazenadas em duas câmaras laterais de 75 m³ cada. O acesso ao topo do castelo é feito através de escadas metálicas pela parte interna do mesmo, sendo abastecido através de água potável armazenada em duas cisternas subterrâneas com capacidade de 600 m³ cada Ponte de acesso aos píeres Liga as instalações em terra aos píeres um, dois e ao Terminal de Múltiplo Uso (TMUT), necessária devido a distâncias destes da costa, pois a concepção do terminal é de buscar águas profundas preservando as condições ambientais. A figura 3.3 mostra a vista aérea da ponte. Comprimento até o Pier 1 Comprimento até o Pier Característica Comprimento até o TMUT - Largura da faixa de rolamento Passeio para pedestre Suporte para tubulação Suporte para correia transportadora Canaleta de serviço para cabos elétricos e Cabos óticos de comunicação, sob o passeio para pedestre. Dimensão 1.789,33 m.14,61 m 7,0 m 1,30 m 6,75 m 6,0 m Quadro 3.1: Detalhes Técnicos - Ponte de Acesso Aos Píeres. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01). 1,10 m x 0,7 1,10 m x 0,7 m

49 47 Figura 3.3: Imagem de Satélite da Ponte de Acesso aos Píeres do Terminal Portuário do Pecém. Fonte: Google Earth Mapping Service Píer 1- Píer de Produtos siderúrgicos e carga geral Comprimento Largura Característica Berços de atracação m 45 m Carga máxima admissível 10 tf / m² Berço Interno Berço Externo Calado Berço Interno Calado Berço Externo Instalações complementares Dimensão 16 cabeços de 100 tf 16 cabeços de 150 tf 14,0 m 15,0 m Abastecimento de água e sistema de combate a incêndios. Quadro 3.: Detalhes Técnicos - Píer 1. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Píer - Píer de graneis líquidos e gases liquefeitos Atende prioritariamente os produtos derivados de petróleo (gasolina, diesel, querosene de aviação, óleo combustível, G.L.P., etc.), álcool anidro e hidratado e o óleo bruto a ser importado pela refinaria de petróleo. A figura 3.4 mostra a imagem aérea dos píeres um e dois.

50 48 Característica Comprimento 450 m Largura 3 m Berços de atracação 0 Dimensão berço externo Berço interno Cabeços de amarração Até TPB TPB Carga nominal de 150 tf. Quadro 3.3: Detalhes Técnicos - Píer. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01). Figura 3.4 Imagem de Satélite dos Píeres Um e Dois do Terminal Portuário do Pecém-CE. Fonte: Google Earth Mapping Service Terminal de múltiplo uso (TMUT) O Terminal de múltiplo uso (TMUT) dispõe de dois berços, que atendem aos navios porta-container, como mostra a figura 3.5. O objetivo é atender a crescente demanda de movimentação de contêineres e carga geral, consolidando a vocação do terminal como porto concentrador de cargas e continuar se mantendo o maior exportador de frutas e calçados do país (CEDE, 01).

51 49 Figura 3.5 Imagem de Satélite do Terminal de Múltiplo Uso do Pecém-CE. Fonte: Google Earth Mapping Service Píer de rebocadores Junto à ponte de acesso do píer, foi construído um píer para os rebocadores que deverão auxiliar os navios nas manobras de atracação, tanto no píer 1 quanto no píer. Característica Comprimento Plataforma de operação Berços de atracação 0 Capacidade dos rebocadores Dimensão 6,55 m 60,0 m x 1,5 m Até 50 tf de bollard pull Quadro 3.4: Detalhes Técnicos: Píer de rebocadores. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Quebra mar Tem como finalidade criar uma baía artificial de águas paradas, onde se situam os piers de atracação. Esse tipo de quebra-mar possui, em geral, uma forma trapezoidal com uma parte central construída de argila e pedras fragmentadas de tamanhos variados e nas laterais inclinadas, pedras de grandes dimensões, com o objetivo de absorver a energia das ondas (CEARÁ PORTOS, 01). A figura 3.6 mostra a visão aérea do quebra mar e o quadro 3.5 os detalhes técnicos.

52 50 Figura 3.6: Visão Aérea do Quebra Mar. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01). Característica Dimensão Forma Trapezoidal Comprimento m na forma de "L" Volume de Pedras.416,85 m³ Largura da base na cota média 80,00 m Profundidade da parte submersa Variando de 14,00 m a 18,0 m Largura no topo 18,0 m na cota da berma (6 m) 5,0 m na cota da crista (8 m) Quadro 3.5: Detalhes Técnicos do Quebra Mar no Terminal Portuário do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01) Ponte de acesso ao quebra-mar No alinhamento do Píer 1, em sentido contrário, foi construída uma ponte que dá acesso ao quebra-mar. As dimensões dessa ponte são: Característica Comprimento Largura Dimensão 6,15 m 7,15 m Quadro 3.6: : Detalhes Técnicos Ponte de Acesso ao Quebra Mar. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01)

53 Movimentação A localização estratégica do terminal portuário do Pecém-CE com menor tempo entre o Brasil, os Estados Unidos e a Europa, tem impulsionado as importações brasileiras (Portal Brasil, 01). Com,84 milhões de toneladas de mercadorias transportadas de janeiro a setembro de 01, o Porto do Pecém registrou aumento de 19% na movimentação em comparação com o mesmo período do ano anterior (011), quando foram movimentadas,38 milhões (Governo do Estado do Ceará, 01). As exportações com destaque foram o minério de ferro, com 17 mil toneladas movimentadas e as frutas, que contribuíram com 105 mil toneladas, sendo a exportação dessa última liderada pelo respectivo porto, a SECEX - Secretaria de Comercio Exterior do Ministério do Desenvolvimento Indústria e Comércio. Já nas importações os combustíveis minerais registraram participação com 676 mil toneladas, seguindo-se os cimentos não pulverizados com 461 mil e os produtos siderúrgicos com 413 mil toneladas. O porto lidera a movimentação de cimentos não pulverizados, com 37%, seguido pelos portos de Santarém com 1% e Cabedelo com 13%. Nos produtos siderúrgicos o Porto do Pecém-CE está na segunda posição com 18% entre todos os portos brasileiros (Governo do Estado do Cará, 01). O anexo D mostra o ranking dos portos brasileiros na exportação de frutas, enquanto que os anexos E, F e G, exibem os rankings dos portos em relação às exportações de calçados e as importações de ferro e algodão.

54 5 4. APLICAÇÃO DO MODELO AO TERMINAL INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM CE Informações Iniciais Para aplicação dessa pesquisa foi feita uma visita ao complexo industrial e portuário do Pecém-CE, onde foram obtidos os dados referentes a movimentação de navios (Entrada de Navios) de janeiro a dezembro de 011, período no qual chegaram 505 navios, como mostra detalhadamente o quadro 4.1, que também contém as chegadas anuais referentes aos períodos de 006 a 011, úteis mais tarde para se estimar a chegada de navios para os próximos anos. Ano Mês Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Total Média Mensal Quadro 4.1: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Fonte: (CEARÁ PORTOS, 01). A análise dos dados e aplicação da pesquisa é desenvolvida em cinco partes: Análise das entradas de navios pela distribuição probabilidade de Poisson; Análise do tempo de atendimento por meio da distribuição de probabilidade Exponencial; Análise do tempo na fila utilizando modelos matemáticos de filas. Dimensionamento de berços para os próximos 0 anos. Desenvolvimento de uma ferramenta computacional para análise e otimização de sistemas de filas.

55 Modelagem dos Dados A seguir são aplicados os modelos descritos no capítulo dois para análise da chegada de navios no terminal portuário do Pecém-CE Análise da Chegada de Navios A Tabela 4.1 contém as quantidades de navios que chegaram ao porto do Pecém-CE durante todo o ano de 011, além disso, também estão incluídas na tabela as frequências acumuladas, sendo as mesmas comparadas com o modelo probabilístico Poisson, apresentado λ x e λ do capítulo, que tem função de probabilidade dada por: P( X = x) = I( X ), conforme a x! (0, ) equação (5). Chegadas Frequência Simples Número de Navios Frequência Relativa Frequência Relativa Acumulada Probabilidades de Poisson Frequência Acumulada Teórica , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , λ 1,3836 Tabela 4.1: Dados da chegada de navios no porto do Pecém-CE, de Janeiro a Dezembro de 011. O valor de λ representa a média diária de chegadas de navios, obtido pela razão entre total de navios (505) e a quantidade de dias do ano (365), ou seja em média chegaram 1,3836 navios por dia no Terminal Portuário do Pecém-CE. A Figura 4.1 exibe a comparação entre os valores da frequência relativa e as probabilidades da distribuição Poisson, enquanto que a Figura 4. exibe Comparação entre os valores da frequência relativa acumulada e as probabilidades acumuladas da distribuição em questão. Pelos gráficos abaixo é possível perceber que há uma boa aproximação entre os dados reais e os fornecidos pelo modelo probabilístico de Poisson, entretanto para comprovar que de

56 54 fato as chegadas de navios podem ser modeladas por tal distribuição, desenvolve-se a seguir o teste de aderência Qui-Quadrado, apresentado no Capítulo. Figura 4.1: Comparação entre os valores da frequência relativa e as probabilidades da distribuição Poisson. Figura 4.: Comparação entre os valores da frequência relativa acumulada e as probabilidades acumuladas da distribuição Poisson Teste de Aderência Para desenvolvimento desse teste, foram consideradas as hipóteses abaixo, com um nível de significância α = 0,05.

57 55 H 0 = Os dados seguem uma distribuição de Poisson com média igual a 1,3836; H 1 = Os dados não seguem uma distribuição de Poisson com média igual a 1,3836. A tabela 4. contém os dados necessários ao desenvolvimento do teste. Quantidade de Navios Frequência Observada Observadas Probabilidades de Poisson Frequência Esperada ( foi fei ) f , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7879 4, Tabela 4.: Teste de Aderência Para as Chegadas de Navios ao Porto do Pecém-CE. ei Utilizando a tabela do anexo C, sendo o valor crítico obtido por: x α,k-1-p, onde k representa o número de classes e p o número de parâmetros da distribuição estudada, encontra-se o valor tabelado de 11,07. Como esse valor é maior que o valor calculado, isto é: maior que 4, podemos-se afirmar com 95% de confiança que os dados seguem uma distribuição Poisson, com média 1, Análise do tempo de atendimento A tabela 4.3 contém a distribuição dos tempos de atendimento dos navios que chegaram ao porto do Pecém durante o ano de 011, além disso, também estão incluídas as frequências acumuladas, que são comparadas com a função de distribuição acumulada do modelo probabilístico Exponencial, apresentado do capítulo, que possui a seguinte forma: x y x FX ( x) = µ e µ dy = 1 e µ, conforme a equação (34). 0

58 56 Limite Inferior Limite Superior Frequência Simples Ponto Médio fi x pmi Frequência Relativa Frequência Acum. F X (x) da distribuição Exponencial 0 0, ,5 5 0, , , , , , , , ,5 60 1,5 75 0, , , ,5 56 1, , , , ,5 39,5 87,75 0, , , ,5 3 3, , , , ,5 30 3,5 97,5 0, , , , ,75 56,5 0, , , ,5 1 4,5 89,5 0, , , , ,75 4,75 0, , , ,5 7 5,5 36,75 0, , , ,5 6 5,75 11,5 0, , , ,5 3 6,5 18,75 0, , , , ,75 6,75 0, , , , ,75 7,75 0, , , ,5 1 8,5 8,5 0, , , , ,75 8,75 0, , , ,5 1 9,5 9,5 0, ,9777 0, , ,75 9,75 0, , , ,5 10,5 0,5 0, , , ,5 1 11,75 3,5 0, , , ,5 1,5 4,5 0, , , ,5 1 13,5 13,5 0, , , , ,75 16,75 0, , , , ,75 17,75 0, , , ,5 1 19,5 19,5 0, , , ,5 1 0,5 0,5 0, , , ,5 1,5,5 0, , , ,5 1 8,5 8,5 0, , , Σ ,8 1067,5 1, Tabela 4.3: Dados do atendimento de navios no porto do Pecém-CE, de Janeiro a Dezembro de 011. A figura 4.3 exibe a comparação entre os valores da frequência relativa acumulada e os da Função de repartição do modelo probabilístico Exponencial, sendo possível perceber que há uma boa aproximação entre os dados reais e os fornecidos pelo modelo. O tempo médio de atendimento dos navios para o ano de 011 é de E(X) =,11 dias, o que conduz uma a seguinte função densidade de probabilidade: 0, * x f ( X ) =. e I( x) = 0, * e I( x), onde µ=1/e(x). x µ x µ (0, ) (0, )

59 57 Figura 4.3: Comparação entre os valores da frequência relativa acumulada e os da Função de repartição da distribuição Exponencial. Congestionamento Com os valores calculados de λ e µ podemos obter o fator de utilização do porto do Pecém-CE, através da relação abaixo, apresentada no capítulo, equação (8). λ ρ = = 0, ou 48,61%. µ C O valor acima indica que o índice congestionamento do porto do Pecém-CE é de 48,61%. Esse valor parece ser razoável, contudo na prática existem restrições que fazem com que muitas vezes, um navio não possa ser atendido imediatamente, entre essas as mais importantes estão ligadas a equipamentos de manuseio de carga, como guindastes e sugadoras (NOVAES, 1975). Para encontrar o verdadeiro valor de ρ é necessário analisar os tempos de espera Análise dos tempos de espera A tabela 4.3 contém a distribuição dos tempos de espera dos navios que chegaram ao porto do Pecém-CE durante o ano de 011, além disso, também estão incluídas os valores referentes a frequência relativa acumulada, que são comparados com diversos valores de ρ, obtidos a partir da função de distribuição para o modelo de filas M/M/C, dado por:

60 58-1 c-1 j c (cρ) (cρ) c +. (ρc) j=0 j! c!(1-ρ) F WQ(wq)=1- exp[-µc(1-ρ)wq]. (1-ρ)c! Fonte: (NOVAES, 1975). (61) Pelo confronto dos dados reais (Frequência relativa Acumulada) e os valores ρ, percebe-se que o verdadeiro valor do congestionamento é de 86%. Essa análise também pode ser feita analisando-se a figura 4.4. Tabela 4.4: Dados históricos das chegadas de navios no porto do Pecém-CE. Figura 4.4: Comparação entre os valores da frequência relativa acumulada e os diversos Valores do nível de congestionamento ρ.

61 59 5. DIMENSIONAMENTO DO TERMINAL INDUSTRIAL E PORTUÁRIO DO PECÉM 5.1. Informações Iniciais Nessa etapa, deseja-se encontrar o número ótimo de berços para os horizontes de dez, quinze e vinte anos que minimize o custo total, representado pelo o somatório dos custos de ampliação e espera de navios no porto em questão. Para aplicação dessa metodologia é preciso considerar as seguintes informações: Será admitido um custo padrão de R$ ,00 (Cinquenta Milhões de Reais) a uma taxa de juros de 8% a.a. para construção de cada berço adicional. Esse valor foi baseado na proposta de ampliação do porto de Itaqui no Estado do Maranhão, que acrescentará mais um berço ao porto a um custo de 49,3 milhões de reais (Governo do Estado do Maranhão, 01); Utilizar um modelo de regressão linear simples para estudar a chegada dos navios nos horizontes de dez, quinze e vinte anos; Considerar como U$ 5 mil o custo operacional de um navio parado (VALOR ECONÔMICO, 01); Determinar o custo anual com a espera de navios, determinando-se para isso o tempo médio de espera (em dias/navios) utilizando a equação (1) apresentada no capítulo, que tem a seguinte forma: c-1 j c (cρ) (cρ) c +. (ρc) j=0 j! c!(1-ρ) 1 E[ wq] = * µ (1-ρ) c!c -1 Comparar o custo anual de espera de navios, com o somatório dos custos de ampliação e de espera de navios, para verificar se o dimensionamento é economicamente viável.

62 Estimação da demanda de navios Para estimar a demanda de navios, se utiliza os dados do quadro 4.1, onde se aplica um modelo de regressão linear simples, que tem a seguinte forma: y = a + bx, onde a é o coeficiente de intersecção e b o coeficiente angular. Os valores de a e b são dados por: a y b x = ou n a = x x xy ( ). (6) n x x b = n x ( x) x y x xy. (63) Antes do desenvolvimento do modelo de regressão, é feita uma verificação para testar se os dados provêm realmente de uma distribuição normal. Utiliza-se o teste de Shapiro-Wilk para tal verificação. Teste de Shapiro-Wilk Para desenvolvimento desse teste, foram consideradas as hipóteses abaixo, com um nível de significância α = 0,05. H 0 = Os dados seguem uma distribuição normal; H 1 = Os dados não seguem uma distribuição normal. dada por: Como apresentado no capítulo, o teste de Shapiro-Wilk é baseado na estatística W, W = n i= 1 b ( x x) ( i).

63 61 xi Navios ( x x) x , x , x , x , x , x , ( xi x) 18619,33333 i= 1 Tabela 5.1: Cálculo dos desvios. i n-i+1 a n-i+1 x (n-i+1) x (i) a n-i+1 (x (n-i+1) -x (i) ) 1 6 0, , , , , ,9375 Σ 130,654 Quadro 5.1: Cálculo da constante b. Dos valores acima, tem-se W = 0,916413, como esse valor é maior que o W(0,05; 10) e p-valaue = 0,486 > α = 0,05, pode-se afirmar com nível de significância de 0,05 que a amostra realmente provém de uma população normal. O teste de Shapiro-Wilk pode ser feito de maneira muito simples no software R, utilizando o seguinte comando: shapiro.test(x), onde x representa o vetor que contém os dados a serem testados. Desenvolvimento do modelo de regressão Foram aplicadas três formas distintas para desenvolvimento do modelo de regressão, são elas: o uso do ano como variável independe; a posição do ano na década como variável independente e o ano como variável independente obtido pelo ajuste da mediana. Considerando o ano como variável independe:

64 6 Tabela 5.: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando o ano como variável independente. Da tabela 5., se obtém os valores de a e b, abaixo: a = x x xy ( ) = ,5619 e n x x b = n x ( x) x y x xy = 7, à estimativa. Temos então a equação: Y = ,5619+7, *x, onde x é o ano referente Considerando a posição do ano na década como variável independente: Tabela 5.3: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando a posição do ano como variável independente. Da tabela 5.3, se obtém os valores de a e b, abaixo: a = x x xy ( ) = 347, e n x x b = n x ( x) x y x xy = 7, ano na década. Temos então a equação: Y = 347, , *x, onde x é a posição do

65 63 Considerando a variável independente com um ajuste por mediana: Tabela 5.4: Aplicação do modelo de regressão linear simples, considerando a variável independente com um ajuste por mediana. Nesse caso temos o somatório de X igual a zero, isso faz com que os valores de a e b sejam simplificados, conduzindo aos seguintes resultados: y xy a = = 445, e b n x = = 13, Temos então a equação: Y = *x, onde x também representa a posição do ano na década, sendo a estimativa feita considerado os valores ímpares. Estimativa utilizando Software Excel A estimativa para demanda de navios também pode ser feita facilmente no software Excel, adicionando-se uma linha de tendência ao gráfico. A figura 5.1 exibe o gráfico para esta estimativa, onde o coeficiente de determinação R = 73,39%. Esse valor mede o quando a variável y pode ser explicada pela variável x, isto é: 73,39% da variável y e explicada pela variável x. Figura 5.1: Estimativa para demanda de navios Porto do Pecém-CE.

66 64 Com o desenvolvimento do modelo de regressão, pode-se agora fazer estimações para chegadas de navios. A tabela 5.5 exibe a quantidade de navios que se espera para os próximos 0 anos, enquanto que na tabela 5.6 encontram-se as chegadas médias para os anos de 01, 06 e 031. Ano Quantidade de navios Tabela 5.5: Estimativa para demanda de navios Porto do Pecém-CE. Para os próximos 0 anos 5.3. Dimensionamento do Sistema para 10 anos Para o ano de 01, caso o porto do Pecém-CE continue a operar com seis berços o custo anual com a espera de navios será de R$ ,37. O modelo indica que o número ótimo de berços para esse período é sete, conforme apresentado no quadro 5.1 e na figura 5.. Observe que ao adicionar um berço o custo anual de espera diminui para R$ ,53, o que representa uma economia de R$ ,84. O modelo também indica que caso sejam adicionados dois berços ainda assim haveria economia, mas de apenas R$ ,0. Para obtenção dos dados abaixo, considerou-se uma média de chegadas de,17 navios por dia, obtido pela razão entre 795 (Quantidade esperada de navios para o ano de 01) e 365 (número de dias que compõem um ano), além disso, foi utilizada a equação (1) para determinar o tempo médio de espera no sistema (em dias), como mencionado no início deste capítulo.

67 65 Quantidade de Berços Custo anual com ampliação Custo anual com espera de navios Custo Total ECONOMIA 6 R$ 0,00 R$ ,37 R$ ,37-7 R$ ,00 R$ ,53 R$ ,53 R$ ,84 8 R$ ,00 R$ ,35 R$ ,35 R$ ,0 9 R$ ,00 R$ ,4 R$ ,4-10 R$ ,00 R$ ,1 R$ ,1-11 R$ ,00 R$ ,39 R$ ,39-1 R$ ,00 R$ ,68 R$ ,68-13 R$ ,00 R$ ,86 R$ ,86-14 R$ ,00 R$ ,67 R$ ,67-15 R$ ,00 R$ ,67 R$ ,67 - Quadro 5.1: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de dez anos. Figura 5.: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de dez anos Dimensionamento do Sistema para 15 anos Em 06, o custo anual com a espera de navios será de R$ ,93 caso o porto do Pecém-CE continue a operar com seis berços. O modelo indica que serão necessários nove berços para o período em questão, conforme apresentado no quadro 5. e na figura 5.3, o que conduz a um custo de R$ ,10, com economia de R$ ,84. Alternativamente poder-se-ia construir

68 66 sete, oito ou dez berços, o que levaria a resultados satisfatórios, porém com economias inferiores ao ótimo. Considerou-se uma média de chegadas de,56 navios por dia, obtido pela razão entre 935 (Quantidade esperada de navios para o ano de 01) e 365 (número de dias que compõem um ano), além disso, foi utilizada a equação (1) para determinar o tempo médio de espera no sistema (em dias). Quantidade de Berços Custo anual com ampliação Custo anual com espera de navios Custo Total ECONOMIA 6 R$ 0,00 R$ ,93 R$ ,93-7 R$ ,33 R$ ,04 R$ ,37 R$ ,56 8 R$ ,67 R$ ,46 R$ ,1 R$ ,81 9 R$ ,00 R$ ,10 R$ ,10 R$ ,84 10 R$ ,33 R$ ,89 R$ , R$ ,71 11 R$ ,67 R$ ,1 R$ ,79-1 R$ ,00 R$ ,10 R$ ,10-13 R$ ,33 R$ ,18 R$ ,51-14 R$ ,67 R$ ,16 R$ ,8-15 R$ ,00 R$ ,1 R$ ,1 - Quadro 5.: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de quinze anos. Figura 5.3: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de quinze anos.

69 Dimensionamento do Sistema para 0 anos Para 031, caso o porto do Pecém-CE continue a operar com seis berços o custo anual com a espera de navios será de R$ R$ ,38. O modelo indica que serão necessários dez berços para o período em questão, conforme apresentado no quadro 5.3 e na figura 5.4, o que conduz a um custo de R$ ,3, com economia de R$ ,07. Considerou-se uma média de chegadas de,94 navios por dia, obtido pela razão entre 935 (Quantidade esperada de navios para o ano de 01) e 365 (número de dias que compõem um ano), além disso, foi utilizada a equação (1) para determinar o tempo médio de espera no sistema (em dias). Quantidade de Berços Custo anual com ampliação Custo anual com espera de navios Custo Total ECONOMIA 6 - R$ ,38 R$ ,38-7 R$ ,00 R$ ,53 R$ ,53 R$ ,85 8 R$ ,00 R$ ,14 R$ ,14 R$ ,4 9 R$ ,00 R$ ,94 R$ ,94 R$ ,45 10 R$ ,00 R$ ,3 R$ ,3 R$ ,07 11 R$ ,00 R$ ,9 R$ ,9 R$ ,46 1 R$ ,00 R$ ,35 R$ ,35 R$ ,04 13 R$ ,00 R$ ,47 R$ ,47 R$ ,91 14 R$ ,00 R$ ,11 R$ ,11 R$ ,8 15 R$ ,00 R$ ,01 R$ ,01 R$ ,37 Quadro 5.3: Dimensionamento do terminal portuário do Pecém-CE para o período de vinte anos. Figura 5.4: Comparação entre os custos com espera de navios e ampliação para o período de vinte anos.

70 Software para Análise e Otimização de Sistemas de Filas Durante essa pesquisa foi desenvolvido um software para análise de sistemas de atendimento, no que se refere ao fluxo de tráfego, escalonamento e prestação de serviços. Trata-se de uma solução computacional capaz de analisar os comportamentos de chegada, atendimento e espera de processos, além de otimizar o sistema, através do dimensionamento adequado, auxiliando o analista na tomada ótima de decisão baseado nos modelos matemáticos descritos neste trabalho. A ferramenta computacional foi desenvolvida no sistema operacional Linux, utilizando a linguagem de programação PHP, o servidor APACHE e o banco de dados MYSQL. Os motivos pelos quais foi escolhido o desenvolvimento web incluem: Portabilidade: O aplicativo pode ser acessado de qualquer lugar; A ferramenta é totalmente utilizável em navegadores, evitando instalação na máquina; Pode ser utilizado independente do sistema operacional; Custo reduzido. O aplicativo reconhece o tipo de arquivo CSV, que após ser carregado habilitará as opções de análise e otimização do sistema, que incluem as seguintes funcionalidades: Análise de solicitações a um determinado servidor; Análise do tempo de atendimento; Análise do tempo de espera; Otimização do sistema. Os anexos J ao M exibem as telas de funcionalidade do software (Tela inicial, Visualização dos dados de entrada e atendimento, análise dos processos de chegadas e atendimento e otimização do sistema). O software encontra-se em atualização, com o objetivo de torna-lo mais interativo e dinâmico. Além disso, foram iniciadas as etapas para pedido de patente junto a INPI Instituto Nacional de Propriedade Industrial por meio do NIT Núcleo de Inovação Tecnológica da Universidade Estadual do Ceará.

71 69 6. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS Este trabalho propôs a utilização da teoria das filas como ferramenta matemática para otimização de sistemas de atendimento, utilizando como estudo caso, o complexo industrial e portuário do Pecém-CE, no que se refere ao dimensionamento de berços para os horizontes de dez, quinze e vinte anos. Inicialmente foi estudado o comportamento da chegada de navios, sendo aplicado o teste do Qui-Quadrado para validar a hipótese de que os dados realmente podem ser modelados por uma distribuição Poisson, em seguida foram analisados os tempos de atendimento e espera, através dos quais foi verificado que o nível de congestionamento do terminal portuário Pecém-CE é aproximadamente 86%. O modelo M/M/C, mostrou-se bastante eficiente na modelagem do problema, levando a um ajuste razoável à situação real, sendo que em alguns casos houveram reduções de custos superiores a 19%. Para o ano de 01 a quantidade ótima é de sete berços, o que conduz a uma economia em de R$ ,84 por ano. Em quinze anos (06) a capacidade ótima é de nove berços, com economia de R$ ,84, enquanto que em 031 o modelo indica uma quantidade ótima de dez berços, minimizando os custos com espera de navios em R$ ,07. Além da parte teórica foi desenvolvido um software para análise e otimização de sistemas de filas. Trata-se um aplicativo web, facilitando a utilização, independente de local ou plataforma. A principal limitação do trabalho se refere à falta de informação consistente, em relação aos custos de construção de novos berços e aos custos com as espera de navios, nesse último caso seria interessante que tivéssemos dados históricos, permitindo estimativas mais para precisas. Para trabalhos futuros pretende-se fazer uso de técnicas com teoria do caos, modelos lineares generalizados e redes Bayesianas, para efeito de comparação e como teorias integradas, de forma a proporcionar uma modelagem mais eficiente

72 70 7. REFERÊNCIAS [1] AÇÃO LOCAL DE ESTATÍSTICA APLICADA. Nome de Datas em Estatística. Disponível em: < Acesso em: 31 de maio de 011. [] ADAN, Ivo; RESING, Jacques. Queueing Theory. Department of Mathematics and Computing Science Eindhoven University of Technology, Eindhoven, The Netherlands. 00. Disponível em < [3] ADMINISTRADORES.COM. Portos brasileiros - Comércio Exterior. Disponível em: < Acesso em: 31 de maio de 011. [4] CAMELO, Gustavo Rossa et al. Teoria das filas e da simulação aplicada ao embarque de minério de ferro e manganês no terminal marítimo de ponta da madeira. In: ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO, 30., 010, São Carlos. Anais. São Carlos: ABEPRO, 010. p Disponível em: < Acesso em: 13 de julho de 011. [5] COSTA, Luciano Cajado. Teoria das Filas. Universidade Federal do Maranhão UFMA, 005. Disponível em < [6] DANTAS, Carlos A.B.; RODRIGUES, Flávio R. Tópicos de Processos Estocásticos. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, [7] DANTAS, Carlos A.B. Probabilidade: Um curso Introdutório. ª ed. Editora da Universidade de São Paulo, 000. [8] El-Naggar, M. E, Jacques. Application of queuing theory to the container terminal at Alexandria seaport. Civil Engineering Department, Faculty of Engineering, Alexandria University, Alexandria, Egypt Disponível em: < [9] FREITAS, Paulo J.F. Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas com Aplicações em Arena. ª ed. Florianópolis: Visual Books, 008. [10] ITAMARATY - Ministério das Relações Exteriores. Brasil ultrapassa o Reino Unido e já é a sexta economia do planeta. Disponível em: < Acesso em 6 de maio de 01. [11] CEARÁ PORTOS - Complexo Industrial e Portuário do Pecém - Histórico. Disponível em: < Acessado em: 01 de Setembro de 01. [1] CEARÁ PORTOS. Portos brasileiros. Exportadores temem prejuízo no Pecém. Disponível em: < Acessado em: 3 de Março 01.

73 71 [13] CEDE - Conselho Estadual de Desenvolvimento Econômico. Inauguração do TMUT. Disponível em: < 5-de-agosto>. Acessado em: 16 de outubro 01. [14] CODERN Companhia Docas do Rio Grande do Norte. Construção do berço 4 e retroárea do porto de Natal/RN. Disponível em: < Acessado em: 01 de 31 Outubro de 01. [15] Governo do Estado do Ceará. Movimentação no porto do Pecém cresce 19%. Disponível em: < Acessado em: 17 de outubro 01. [16] Grupo de Teleinformática e Automação. Diferenciação de Serviços na Internet. Disponível em: < >. Acessado em: 7 de Novembro 01. [17] NOVAES, A.G.N, Pesquisa Operacional e Transportes: Modelos Probabilísticos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, E. da Universidade de São Paulo, [18] QUICK R. Probability Plots for Teaching and Demonstration. Disponível em: < > Acessado em: 7 de Novembro 01. [19] SCHEIN, Diana. Uma metodologia para o dimensionamento de frota de rebocadores em terminais portuários: uma aplicação ao porto do rio grande. Rio Grande do Sul, 010. Disponível em: < Acesso em 0 de julho de 011. [0] SWARUP, Kant; GUPTA, P.K; MOHAN, Man. Operations Research. New Delhi, India, [1] TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística; Tradução: Vera Regina Lima de Farias e Flores, Revisão Técnica: Ana Maria Lima de Farias. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 008. [] PORTAL ACTION. Taste de Shapiro-Wilk. Disponível em: < Acessado em: 7 de Novembro 01. [3] PORTAL BRASIL. Porto do Pecém-CE. Disponível em: < Acessado em: 7 de Novembro 01. [4] VALOR ECONÔMICO. Portuários vão paralisar as atividades por 4 horas em Fevereiro. Disponível em: < Acessado em: 7 de Novembro 01.

74 ANEXO A: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. 7

75 ANEXO B: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT S. 73

76 ANEXO C: TABELA DA DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO. 74

77 75 ANEXO D: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE FRUTAS. Fonte: Secex - Secretaria de Comercio Exterior do Ministério do Desenvolvimento Indústria e Comércio.

78 76 ANEXO E: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE CALÇADOS. Fonte: Secex - Secretaria de Comercio Exterior do Ministério do Desenvolvimento Indústria e Comércio.

79 77 ANEXO F: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE FERRO. Fonte: Secex - Secretaria de Comercio Exterior do Ministério do Desenvolvimento Indústria e Comércio.

80 78 ANEXO G: RANK DOS PORTOS BRASILEIROS EM EXPORTAÇÕES DE ALGODÃO. Fonte: Secex - Secretaria de Comercio Exterior do Ministério do Desenvolvimento Indústria e Comércio.

81 ANEXO H: VALORES TABELADOS PARA AS CONSTANTES DO TESTE DE SHAPIRO WILK. 79

82 ANEXO I: VALORES TABELADOS DE W PARA O TESTE DE SHAPIRO WILK. 80

83 81 ANEXO J: TELA INICIAL DO SOFTWARE OTIMIZE. ANEXO L: TELA VISUALIZAÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA DO PROCESSO.

84 8 ANEXO M: TELA ANÁLISE DO PROCESSO CHEGADAS. ANEXO N: TELA VISUALIZAÇÃO DOS DADOS DE ATENDIMENTO.

85 83 ANEXO O: TELA ANÁLISE DO PROCESSO DE ATENDIMENTO. ANEXO P: TELA - OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA.