APLICAÇÃO DA TEORIA DAS FILAS NO SISTEMA DE ATENDIMENTO DE UMA EMPRESA DO RAMO ALIMENTÍCIO

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1 APLICAÇÃO DA TEORIA DAS FILAS NO SISTEMA DE ATENDIMENTO DE UMA EMPRESA DO RAMO ALIMENTÍCIO Ana Victoria da Costa Almeida / UEPA) Kelvin Cravo Custódio / UEPA) Jessyca Farias Freitas / UEPA) Pablo Ruan Silva Sales (pablo / UEPA) Igor de Azevedo Corrêa / UEPA) Resumo: A teoria de filas tem um papel fundamental nas questões operacionais da empresa, é através das informações obtidas que a mesma consegue manter clientes e colaboradores satisfeitos. O presente artigo mostra o estudo de caso da aplicação da teoria das filas em uma empresa do ramo alimentício, localizada na cidade de Ananindeua- PA. O objetivo é analisar se o dimensionamento do sistema está balanceado, considerando o modelo M/M/2 que possui uma disciplina de ordem FIFO, com utilização do software Excel. Os resultados mostraram que o sistema de atendimento é estável e que a taxa de ocupação ficou em torno de 48% no período de pouco movimento, podendo realizar a alocação de um atendente para outro setor. Porém, no horário de pico com taxa de ocupação de 77% o sistema encontra-se bem dimensionado. Palavras- Chave: Teoria das Filas; Dimensionamento; Indústria alimentícia. 1. Introdução A insatisfação de esperar em uma fila tornou-se comum no cotidiano de muitas pessoas. Observa-se a formação de filas em supermercados, bancos, lojas, entre outros. Um sistema de fila é toda composição que abrange o processo de chegada e atendimento dos clientes no sistema. Simplificadamente, a fila é causada quando a procura pelo serviço, em média, é maior do que a capacidade do sistema de atender a esta procura. Analisando a continuidade do tempo, pode-se verificar que as empresas estão gradativamente tornando-se mais competitivas no mercado, igualmente com o surgimento de clientes cada vez mais exigentes e participativos no contexto das mesmas. Portanto, entendese que o objetivo de aplicar estudos voltados a teoria das filas, é de otimizar o desempenho de um sistema, reduzindo seus custos operacionais, para melhorar o serviço prestado, maximizar o lucro e obter êxito na satisfação dos clientes. Segundo Fogliatti e Mattos (2007) a teoria das filas consiste em analisar sistemas ou processos que resultam na espera, objetivando definir e avaliar quantidades que transpareçam a produtividade e operacionalidade desses processos. Onde os estudos dessas quantidades, conhecidas também como medidas de desempenho, são importantes nas tomadas de decisão da operação do sistema no seu estado atual. Assim, o estudo da teoria das filas é fundamental para o gerenciamento e administração dos modelos produtivos. Mediante os fatos supracitados, o objetivo deste trabalho foi analisar o sistema de atendimento aos clientes de uma empresa do ramo alimentício, com intenção de avaliar o tempo de espera do atendimento e o dimensionamento das instalações e postos de atendimento necessários para o funcionamento balanceado do sistema.

2 2. Referencial Teórico 2.1. Teoria de Filas A Teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas matemáticas. Onde se estuda as relações entre as demandas e os atrasos sofridos pelo usuário do sistema, para avaliação das medidas de desempenho dessa relação em função da disposição deste sistema (ARENALES et al. 2007). Pode-se dizer que a teoria de filas é um método analítico que estuda as filas com o uso de ferramentas matemáticas, que tenta avaliar o processo produtivo, através do estudo do número de clientes na fila, do tempo de espera, da ociosidade do sistema, entre outros. Para complementar Fogliatti e Mattos (2007) afirmam que o estudo das filas é uma previsão do comportamento das mesmas com o propósito de regular a infra-estrutura e o número de equipamentos, insumos e recursos tecnológicos necessários para evitar problemas por falta de recursos nesta fila de forma a manter os clientes satisfeitos. FIGURA 1- Funcionamento de um sistema de fila. Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2010) Processo de chegada Para estudar o processo de chegadas deve ser feito levantamento estatístico para obter os dados referentes às chegadas, após isso é possível descobrir se as chegadas podem ser caracterizadas por uma distribuição de probabilidades (Andrade, 2009). Fatores que devem ser levados em consideração para validar a analise: É ideal que não chegue mais de um cliente ao mesmo tempo, se isto ocorrer é chamado de chegada em lote; Os clientes que já estão no sistema não podem afetar o processo de chegada dos outros, a não ser que quando o mesmo chega ao sistema por algum motivo este desista de entrar na fila, ou no caso de ser um sistema de população finita, como nos cinemas onde os ingressos são vendidos mediante disponibilidade de assentos na sala. (Arenales et al., 2007). As principais variáveis referentes ao processo de chegada são: λ Ritmo médio de chegada IC Intervalo médio entre chegadas (IC=1/λ)

3 2.3. Processo de atendimento Segundo Andrade (2009) é definido como o tempo para realização de um serviço e leva em consideração fatores como: clientes; O tempo em que o sistema vai atuar, ou seja, a ocupabilidade do serviço; A disposição de postos de serviço que o sistema irá oferecer para atender seus As principais variáveis referentes ao processo de atendimento são: 2.4. Disciplina da fila TA Tempo médio de atendimento c Capacidade de Atendimento NA Número médio de clientes que estão sendo atendidos μ - Ritmo médio de atendimento de cada cliente Segundo Arenales et al.(2007) de modo geral, a disciplina da fila é a sequencia em que os clientes são atendidos e pode ser separada em alguns tipos, tais quais: Ordem de chegada FIFO: First In First Out, o primeiro que chega é o primeiro que sai; Ordem inversa de chegada LIFO: Last In First Out, o último que chega é o primeiro que sai; definida. Ordem aleatória SIRO: Service in Random Order. Não possui uma ordem São variáveis referentes à fila: 2.5. Sistemas estáveis TF Tempo médio de permanência na fila NF Número médio de clientes na fila Prado (2009) afirma que a Teoria das Filas, para ser aplicada, tanto no fluxo de chegada (λ), quanto no processo de atendimento (μ), deverão ser constantes no tempo, e é importante que o ritmo de chegada médio seja menor que a capacidade de atendimento média, se o caso estudado não disponibilizar de tais características deverão ser usadas simulações por computador. Em sistemas estáveis temos que: λ > µ, se acontecer o inverso haverá um aumento infinito da fila. Taxa de utilização de uma fila única para apenas um servidor: = λ/µ; Taxa de utilização de uma fila única com n servidores: = λ/n*µ;

4 < 1. TS Tempo médio de permanência no sistema NS Número médio de clientes no sistema TFS Tempo fora do sistema 2.6. Organização das filas (M/M/c) Segundo Hillier e Lieberman (2010) um exemplo de filas com m servidores é aquele que tem uma taxa de chegada com distribuição de Poisson e tempo de atendimento gerido por uma distribuição exponencial negativa. Onde o parâmetro λ é a taxa média de clientes que chegaram para serem atendidos e μ o ritmo médio de atendimento. Essa situação é considerada como um processo Markoviano e pode ser representado como um sistema M/M/c. Quando um cliente chega e não há interferência na chegada de algum outro cliente. Desta forma, o cliente que chega no tempo tn+1 não é influenciado pelo cliente do tempo tn Tratamento dos dados Para o desenvolvimento do estudo de filas é necessário levantamento de dados estatísticos para calcular a taxa de chegada média e o ritmo de atendimento médio de clientes em um intervalo de tempo. Para validar os dados e calcular os parâmetros de tomada de decisão do processo deve-se verificar a distribuição teórica de probabilidade mais adequada aos dados reais. A distribuição teórica de probabilidade é o fenômeno em que as variáveis se manifestam de forma eventual e de modo a formar um padrão particular. Há ainda a necessidade de utilizar um teste de aderência, o qual poderá confirmar se a distribuição observada se ajusta a uma distribuição teórica. O teste do Chi-quadrado (χ2) poderá ser utilizado como uma prova dada esta situação. Sendo usado para elementos nominais e ordinais e aplicado a amostras de tamanho pequeno (<30). O teste tem por base a soma dos desvios entre as frequências observadas (Fo) e as frequências esperadas (Fe) de cada classe do fenômeno para definir o valor calculado e são descritas na Equação 1 (MARTINS, 2009). Fonte: Adaptado de Souza (2012) Tendo em posse o valor de Chi-quadrado calculado (χ2 cal ), o mesmo é comparado com o valor do Chi-quadrado tabelado (χ2 tab ), observado na tabela de distribuição teórica. Tendo previamente o pesquisador do problema estimado o nível de significando a ser utilizado. Em sequência admiti-se um número de graus de liberdade dado através da Equação 2. (2) Fonte: Adaptado de Souza (2012) (1)

5 Na equação supracitada k é o número de classe da distribuição de probabilidade observada da amostra coletada, n significa o número de parâmetros adotado no problema, no presente caso o parâmetro médio, e, tendo sido previamente definido pela organização (MARTINS, 2009). Em seguida com a identificação dos valores do Chi-quadrado calculado (χ2 cal ) e tabelado (χ2 tab ) emite-se a hipótese nula (H 0 ): a distribuição observada se ajusta a uma dada distribuição teórica. Ou, a hipótese alternativa (H 1 ): a distribuição não se ajusta. Caso χ deve-se aceitar a hipótese nula (MARTINS, 2009). 3. Método de Pesquisa A teoria de filas que o presente trabalho trata ocorreu em um estabelecimento comercial de venda de açaí, frango assado, entre outros produtos alimentícios, e fica localizado em Ananindeua no estado do Pará, onde dispõe de dois atendentes (caixas). Realizou-se visita técnica no local para acompanhamento e o levantamento do tempo de chegada e atendimento dos clientes na fila que se forma no estabelecimento para pagamento dos consumidores. Para realizar o estudo primeiramente foi realizado um levantamento bibliográfico, em seguida foram coletados, tratados e analisados os dados originais, por conseguinte foi feita a descrição do sistema, o qual apresentou uma disciplina de ordem FIFO. Posteriormente foi feita a modelagem analítica do sistema, e constatou-se que o modelo do mesmo foi M/M/2. Na sequencia realizou-se a análise dos resultados dos parâmetros calculados para posterior conclusão do estudo. 4. Resultados A aplicação do estudo de teoria das filas se deu neste estabelecimento em função da empresa ter problemas relacionados ao tempo de atendimento de seus clientes e a alocação de funcionários. Foram coletados dados relacionados ao tempo de chegada e ao tempo de atendimento. A coleta foi realizada durante 60 minutos, sendo observada uma única fila para dois atendentes, o que caracterizou o modelo M/M/2, na disciplina de ordem FIFO Chegada dos Clientes Os dados obtidos estão relacionados ao tempo de chegada dos clientes na fila do estabelecimento, estes dados foram divididos em intervalos de 1 minuto, desta forma foi possível obter a frequência observada, frequência relativa observada e a frequência observada acumulada. Nº de chegadas Freq. Freq. Rel. Freq. em 1 Minuto Observada (Oi) Observ. Observ Ac ,18 0, ,32 0, ,22 0, ,12 0, ,08 0, ,05 0, ,03 1,00 TOTAL 60 1,00 FIGURA 1- Frequências observadas no período de chegada. Fonte: Autores (2014). A seguir procedeu-se o cálculo da frequência relativa calculada, frequência calculada acumulada, frequência calculada (Ei) e por fim para o teste do Chi-quadrado, para verificar se

6 Frequência Relativa o número de chegadas por minuto segue uma distribuição de Poisson com taxa de 1,88, ao 5% de significância. Nº de chegadas em 1 minuto Freq. Rel. Calc. Freq. Calc. Ac. Freq. Calc (Ei) (Oi-Ei)²/Ei 0 0,15 0,15 9,13 0,39 1 0,29 0,44 17,19 0,19 2 0,27 0,71 16,18 0,63 3 0,17 0,88 10,16 0,98 4 0,08 0,96 4,78 0,01 5 0,03 0,99 1,80 0,80 6 0,01 1,00 0,57 3,64 Total 1,00 59,80 6,63 FIGURA 2- Frequência calculada no período de chegada. Fonte: Autores (2014). Através dos dados relacionados com a frequência calculada no período de chegada, observados na tabela 2, pode-se plotar um gráfico para a distribuição de Poisson com taxa de 1,88 clientes por minuto. 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 Distribuição do Números de Chegadas Número de Chegadas em 1 Minuto Freq. Rel. Calc. Freq. Rel. Observ. FIGURA 3- Aderência Gráfica. Fonte: Autores (2014) Teste não paramétricos para a distribuição de Poisson. Para a realização do teste faz- se necessário a utilização de duas hipóteses H o e H 1, para verificar se o tempo de chegada dos clientes na fila segue a Distribuição de Poisson, com taxa de 1,88, com 5% de significância. H 0 = como a variável que segue a distribuição de Poisson com taxa de 1,88 clientes por minuto, com 5% de significância. H 1 = como a variável que não segue a distribuição de Poisson com taxa de 1,88 clientes por minuto, com 5% de significância. Caso x²tab> x²cal, deve-se aceitar H 0, aos 5% de significância e grau de liberdade igual a 5. Como x²tab> x²cal pode-se inferir que aceita-se H 0, logo a variável tempo de chegada do cliente na fila segue a distribuição de Poisson com taxa de 1,88, ao 5% e significância. Chi-Quadrado Valor X²cal 6,63 X²tab 11,07 FIGURA 4- Teste Paramétrico para distribuição de Poisson. Fonte: Autores (2014)

7 4.2. Atendimento de clientes. Os tempos de atendimento foram coletados durante 60 minutos nos caixas 1 e 2 do estabelecimento, sendo atendidos 113 clientes, 57 clientes no caixa 1 e 56 clientes no caixa 2. A frequência observada (Oi) e a frequência relativa observada por caixa no intervalo de tempo de atendimento estudado são apresentados na Figura 5. Freq. Observada( Oi) Freq.Relativa Obs. Tempo(minuto) Caixa 1 Caixa 2 Caixa 1 Caixa 2 0-0, ,32 0,39 0,26-0, ,23 0,38 0,52-0, ,05 0,09 0,78-1, ,16 0,07 1,04-1, ,11 0,04 1,30-1, ,11 0,02 1,56-1, ,02 0,02 1,82-2, ,00 0,00 2,08-2, ,00 0,00 2,34-2, ,00 0,00 2,60-2, ,02 0,00 Total ,00 1,00 0,66 0,42 FIGURA 5- Frequências observadas para o atendimento. Fonte: Autores (2014) Com os dados da frequência relativa observada foi feito o cálculo da frequência calculada (Ei), frequência relativa calculada e para o teste do Chi-quadrado, mostrados na Figura 6, para desta forma verificar se o tempo de atendimento segue uma distribuição Exponencial com taxa média de 1,96 clientes por minuto, aos 5% de significância. Tempo(minutos) Freq. Calculada ( Ei) Freq.Relativa Cal. (OI-EI)^2/EI Caixa 1 Caixa 2 Caixa 1 Caixa 2 Caixa 1 Caixa 2 0-0,26 18,42 26,17 0,33 0,46 0,01 0,67 0,26-0,52 12,41 14,05 0,22 0,25 0,03 3,44 0,52-0,78 8,37 7,54 0,15 0,13 3,44 0,86 0,78-1,04 5,64 4,05 0,10 0,07 2,00 0,00 1,04-1,30 3,80 2,17 0,07 0,04 1,27 0,01 1,30-1,56 2,56 1,17 0,05 0,02 4,61 0,02 1,56-1,82 1,73 0,63 0,03 0,01 0,31 0,22 1,82-2,08 1,16 0,34 0,02 0,01 1,16 0,34 2,08-2,34 0,78 0,18 0,01 0,00 0,78 0,18 2,34-2,60 0,53 0,10 0,01 0,00 0,53 0,10 2,60-2,86 0,36 0,05 0,01 0,00 1,16 0,05 Total 55,76 56,44 1,00 1,00 15,31 5,89 FIGURA 6- Frequências calculadas e teste do Chi- quadrado. Fonte: Autores (2014) Em uma primeira análise pode-se perceber de uma forma geral, uma tendência da curva da frequência relativa observada a se conformar seguindo uma Distribuição Exponencial com taxa média de 1,96 clientes por minuto conforme mostra as Figuras 7 e 8.

8 Freq. Relativa Cx 1 0,40 0,30 0,20 0,10 0, FIGURA 7- Aderência Gráfica para o atendente 1. Fonte: Autores (2014). Freq. Relativa Cx2 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, Freq Rel Observada Freq Rel Calculada FIGURA 8- Aderência Gráfica para o atendente 2 Fonte: Autores (2014) Teste para a distribuição Exponencial. O teste será feito de tal forma que o tempo de atendimento dos caixas 1 e 2 sejam iguais e exponencialmente distribuídos sobre uma média de 0,54, que equivale as médias dos tempos de atendimento nos caixas 1 e 2, como mostrado na Figura 9. FIGURA 9- Tempo de atendimento (TA). Fonte: Autores(2014). Nos teste realizado considera-se: TA. Cx 1 TA. Cx 2 TAm 0,66 0,42 0,54 H 0 = como a variável que segue a distribuição exponencial com tempo de atendimento médio de 0,54 minutos, com 5% de significância. H 1 = como a variável que não segue a distribuição exponencial com tempo de atendimento médio de 0,54 minutos, com 5% de significância. Caso x²tab> x²cal, deve-se aceitar H 0, aos 5% de significância e grau de liberdade 9. Caixa 1 Caixa 2 X²cal 15,31 5,89 X²tab 16,919 16,919 FIGURA 10- Teste Paramétrico para distribuição exponencial. Fonte: Autores (2014).

9 No estudo encontrou-se x²tab> x²cal, para os dois caixas do estabelecimento, logo deve-se aceitar a hipótese nula, H Parâmetros Calculados. É de notória importância o cálculo dos parâmetros, para que com os resultados obtidos verifique-se a situação usual do sistema. Esta análise tem como finalidade tomar decisões mais precisas em relação ao sistema de atendimento da empresa Situação usual do sistema. Calculando os parâmetros para a situação usual com c=2, µ= 1,96 e = 1,88, pode-se encontrar os seguintes resultados mostrados na Figura 11. Paraêmetros Fórmula Resultado r 0,96 Po(Probabilidade do Sist. Vazio) 35% NF(nº medio de clientes na fila aguardando atendimento). 1,17 NS(nº de clientes do sistema) 2,13 TF(Tempo medio de permanencia na fila) 0,62 TS(Tempo medio de permanencia do cliente no sistema). 1,13 0,48 FIGURA 11- Parâmetros para a situação usual do sistema. Fontes: Autores (2014). Observa-se a probabilidade do sistema estar vazio(po) é de 35%, tempo médio de permanência do cliente na fila de 0,62 minutos, tempo médio de permanência do cliente no sistema igual a 1,13 minutos e taxa de ocupação(ρ) de 48%. No momento em que foram coletados os dados o sistema encontrava-se ocioso, no citado momento poder-se-ia diminuir a quantidade de atendentes para que o sistema ficasse bem dimensionado Situação de Projeção para dias de pico. Fazendo uma projeção para os dias de picos e calculando os parâmetros para esta mesma situação com c=2, µ= 1,96 e = 3, pode-se encontrar os seguintes resultados mostrados na figura 12. Neste caso verifica-se que o sistema tem a probabilidade de 13% de estar vazio, tempo médio de permanência do cliente na fila de 5,47 minutos, tempo médio de permanência do cliente no sistema igual a 5,98 minutos e taxa de ocupação equivalente a 77%. No horário de pico o sistema encontra-se bem dimensionado, não havendo necessidade de diminuição de atendentes, visto que o sistema não apresenta ociosidade.

10 Paraêmetros Fórmula Resultado r 1,53 0,77 Po(Probabilidade do Sist. Vazio) 13% NF(nº medio de clientes na fila aguardando atendimento). 16,41 NS(nº de clientes do sistema) 17,94 TF(Tempo medio de permanencia na fila) 5,47 TS(Tempo medio de permanencia do cliente no sistema). 5,98 FIGURA 12 - Parâmetros para a situação de projeção para dias de pico. Fonte: Autores (2014) 5. Conclusões O estudo de teoria de filas é importante para as empresas manterem seus sistemas sem congestionamento e melhorar a satisfação de seus clientes. O sistema estudado possui um modelo de fila M/M/2. O estudo mostrou que o sistema de atendimento é estável onde em situações usuais o ritmo de atendimento (µ), equivalente a 1,96, ter sido maior que o ritmo de chegada (λ), equivalente a 1,88. A taxa de ocupação (ρ) ficou em 0,48. Na situação usual do sistema, o mesmo encontrava-se ocioso necessitando assim, da alocação de um atendente para outro setor. Porém, no horário de pico com taxa de ocupação (ρ) de 0,77, com dois atendentes o sistema encontra-se bem dimensionado. O estudo desenvolvido na empresa do ramo alimentício exemplifica como a pesquisa operacional pode atuar, trazendo vários benefícios para a instituição entre eles, melhoria no espaço, aumento da satisfação de clientes, alocação de funcionários, entre outros. Referências ANDRADE, E. L.Introdução à Pesquisa Operacional. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, ARENALES, M.; ARMENTANO, V.; MORABITO, R.; YANASSE, H. Pesquisa operacional. 1. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007 FOGLIATTI, M. & MATTOS, N. Teoria de filas. Ed. Interciência, HILLIER, F. S. & LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa Operacional. 9ª Edição. São Paulo: McGraw- Hill, MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada 3 ed. São Paulo: Atlas, PRADO, D. Teoria das Filas e da Simulação.4. ed. Minas Gerais: INDG, SOUZA, M. B. D.Avaliação do serviço de atentimento ao cliente no check-in de uma empresa aérea. Dissertação (TCC em Engenharia de Produção) Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel, Centro universitário fundação Santo CEUFA, Santo André, 2012.

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