Análise Dinâmica Computacional de Mecanismos de 4 Barras

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1 Universidade Federal de São João Del-ei MG 6 a 8 de maio de ssociação rasileira de Métodos Computacionais em Engenharia nálise Dinâmica Computacional de Mecanismos de 4 arras Osvaldo Prado de ezende ; Carlos Sergio Pivetta ; oberto Grechi ; Mário Luis Campos ; José Geraldo Trani randão ; CETEC - Faculdade de Tecnologia de São José dos Campos, São José dos Campos, SP CEP: osvaldo.rezende@etep.edu.br UNESP - Universidade Estadual Paulista, v. riberto Pereira da Cunha, 333 airro Pedregulho, 56-4, Guaratinguetá SP carlos.pivetta@etep.edu.br, roberto.grechi@etep.edu.br, mario.campos@etep.edu.br, brandao@feg.unesp.br esumo. Os sistemas articulados, tais como um mecanismo de 4 barras, têm sido objeto de estudos e publicações científicas, principalmente relacionadas à análise cinemática envolvendo posição, velocidade e aceleração. análise dinâmica dos mecanismos de 4 barras é menos freqüente do que a análise cinemática visto que geralmente requer maior embasamento sobre o assunto. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma revisão da dinâmica de um mecanismo planar de 4 barras e ilustrar algumas simulações que permitavaliar a potência necessária de um motor acionador no elo de entrada, em função de diferentes carregamentos e determinar os esforços cíclicos presentes em cada uma das juntas do sistema em estudo. análise dinâmica é obtida por meio de cálculo das raízes de um sistema linear matricial 99 de cada posição do mecanismo. O procedimento de solução é realizado de forma repetitiva considerando desde a posição inicial do elo de entrada até completar um ciclo do mecanismo, de à 36 graus, com incremento de grau. Os recursos computacionais basicamente são, além do PC, a planilha Ecel e o programa Matlab, utilizado para resolver os sistemas matriciais. análise dos resultados obtidos permitiu avaliar a influência da inércia dos elos em movimento e também das cargas atuantes no motor acionador para cada posição do mecanismo, desta forma, permitindo determinar o torque para acionamento do motor e as reações nas juntas do mecanismo. Palavras chaves: NÁLISE DINÂMIC DE MECNISMOS, DINÂMIC EM MECNISMOS DE 4 S, EÇÕES NS JUNTS DE MECNISMOS DE 4 S.

2 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC INTODUÇÃO análise dinâmica computacional de mecanismos de 4 barras desenvolvida neste trabalho refere-se ao cálculo das forças de reação nas articulações e do esforço no elo motor considerando diferentes carregamentos com base nos dados obtidos pela análise cinemática. São determinados os esforços cíclicos presentes em cada uma das juntas do sistema em estudo e feitas simulações. análise dinâmica é obtida por meio de cálculo das raízes de um sistema linear matricial 99 de cada posição do mecanismo. O procedimento de solução é realizado de forma repetitiva considerando um ciclo completo do mecanismo, de a 36 graus, com incremento de grau no ângulo de posição do elo de entrada. Os objetivos deste trabalho são os de apresentar uma pequena revisão teórica da análise cinemática e dinâmica de um mecanismo plano de 4 barras utilizando metodologias computacionais de relativa facilidade de implementação, além disto, visa ilustrar os resultados de simulações realizadas. MTEIIS E MÉTODOS análise cinemática geralmente é realizada assumindo-se que as barras sejam corpos rígidos ideais, sendo ignorados o atrito e os efeitos de folgas eistentes nas uniões por pinos, sem considerar a massa dos elementos, visando simplificação. O estudo cinemático neste trabalho é realizado por meio do procedimento desenvolvido por Pivetta et al (9) baseado na análise de posição de Uicker, Pennock & Shigle (3) e na análise cinemática de Mansour & Osman (97). análise dinâmica deste trabalho é feita de acordo com Norton (999) a partir dos resultados da análise cinemática e é obtida por meio de cálculo das raízes de um sistema linear do tipo X = de cada posição desejada do mecanismo. Figura ilustra um sistema de barras articuladas cos denominações comumente utilizadas na análise cinemática de mecanismos de 4 barras. s Figuras.a) e.b) ilustram o aspecto geral do mecanismo e as representações das variáveis dimensionais e de posição (UICKE, PENNOCK & SHIGLEY, 3). (a) (b) Figura - Mecanismo de 4 barras (UICKE, PENNOCK & SHIGLEY, 3). análise cinemática pode ser feita por métodos gráficos, analíticos, equações diferenciais, métodos vetoriais e matriciais etc. velocidade e a aceleração de um ponto de interesse do mecanismo pode ser determinada utilizando-se as Eq. e, respectivamente (UICKE, PENNOCK & SHIGLEY, 3). v P P = lim t t ()

3 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC v a P P = lim t t () Norton (999) utiliza o procedimento de análise cinemática a partir de equações vetoriais, considerando como referência o ângulo de posição θ da barra de entrada e os comprimentos nominais das barras denominados pelas variáveis,, 3 e 4, ilustradas na Fig..b). Mabie & einholtz (987) publicaram um programa em FOTN para análise cinemática de mecanismo de 4 barras para o ponto e as barras 3 e 4. Mansour e Osman (97) apresentaram um método iterativo para análise de posição, velocidade e de aceleração de mecanismos de 4 barras dos tipos manivela-balancim e manivelas-duplas. partir de pequenos incrementos aplicados no ângulo θ causando uma perturbação de proimidade da posição anterior calculara posição do ponto P da barra intermediária. Este método usa a diferenciação parcial das equações de posição e de velocidade e equações das circunferências com centros em com raio 3 e em com raio 4, epansão de série de Talor e o método iterativo de Newton-aphson estabelecendo um erro máimo nas iterações. Uicker, Pennock & Shigle (3) usaram uma abordagem geométrica para a determinação das posições do ponto de interesse P conforme ilustrado na Fig..b. barra imaginária S de ligação entre os pontos e é usada como recurso geométrico. Conhecidos os comprimentos,, 3, 4, 5 e os ângulos θ e α, os valores de S e os ângulos θ 3, θ 4, β, γ, φ são calculados por meio das Eq. 3, 4, 5, 6 e 7. S = ( + cos θ ) / (3) β = cos - [ ( + S - ) / ( S )] (4) φ = cos - [ ( 3 + S - 4 ) / ( 3 S )] (5) λ= cos - [ ( 4 + S - 3 ) / ( 4 S )] (6) γ = ± cos - [ ( S ) / ( 3 4 )] (7) Os sinais + ou - dos valores de γ e de φ sempre serão um par positivo e negativo de valores, pois são arcos cossenos, e são respectivamente, para configurações de mecanismo de 4 barras aberta ou fechada, conforme ilustrado na Fig.. Figura..a) apresenta um mecanismo de configuração aberta e a Fig..b) ilustra um mecanismo de configuração fechada. θ θ θ 4 θ O (a) O (b) θ 3 3 θ 4 4 Figura Configurações de mecanismo de 4 barras:.a) berta;.b) Fechada. Quando os ângulos de posição θ da barra de entrada forem entre θ 8º os valores de θ 3 e θ 4 deverão ser determinados pelas Eq. 8 e 9. Quando os ângulos de posição θ da barra de entrada forem entre 8º θ 36º as Eq. e deverão ser utilizadas. θ 3 = φ - β (8) θ 4 = 8º - λ - β (9)

4 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC θ 3 = φ + β () θ 4 = 8º - λ + β () s posições dos pontos, e P em relação ao ponto O de referência podem ser determinadas facilmente, tal como o caso do ponto P (um ponto qualquer no elo 3), por eemplo, pelas Eq. e 3, sendo 5 a distância entre os pontos P e, visto na Fig..a). P = cos θ + 5 cos ( θ 3 + α) () P = sen θ + 5 sen ( θ 3 + α) (3) o se aplicar uma mínima variação θ no ângulo θ, o deslocamento de todos os pontos do mecanismo durará um tempo mínimo t. Quanto menor for o deslocamento angular θ do ângulo θ, menor será o tempo t, o qual tenderá a zero. o se observar as Eq. e, pode-se verificar que, quando o tempo t tende à zero, as velocidades e as acelerações médias tenderão aos valores das respectivas instantâneas. Quanto menor for o valor de t, as velocidades e as acelerações nas direções e e as resultantes terão valores mais precisos. Figura 3 ilustra uma trajetória genérica de um ponto P saindo da posição inicial P i-, passando por P i e chegando na posição final P i+ (PIVETT et al, 9). Figura 3 Ilustração de uma trajetória genérica do ponto P (PIVETT et al, 9). s velocidades e as acelerações médias do ponto P nas direções e e suas respectivas resultantes, no intervalo da trajetória, podem ser calculadas utilizando-se as Eq. e ao substituir P pelos deslocamentos relativos S nas direções e. O valor de t é determinado pela Eq. 4, obtido em segundos ao se utilizar θ em graus e ω em rad/s (PIVETT et al, 9). t = π θ º / ( 36º ω ) (4) s velocidades angulares ω 3 e ω 4 ou as acelerações angulares α 3 e α 4 também poderão ser obtidas de forma análoga substituindo-se P pelos deslocamentos angulares θ de θ 3 e θ 4 ou pelas variações de velocidades angulares ω de ω 3 e ω 4, respectivamente. o se eecutar os cálculos dinâmicos são considerados os coeficientes inerciais de translação e de rotação dos elos, 3 e 4, no qual o elo permanece fio. Figura 4 ilustra o mecanismo de 4 barras com convenções e variáveis utilizadas na análise dinâmica, as respectivas localizações dos centros de massa e os carregamentos.

5 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC Figura 5 ilustra o diagrama de corpo livre de cada elo de um mecanismo genérico de 4 barras indicando a localização dos centros de massa CM de cada elo e as respectivas nomenclaturas dos carregamentos atuantes. F P β FP 3 P CM3 β P CM 3 θ 3 4 CM 4 CM β 3 CM4 CM β θ 3 β 4 θ 4 Τ 4 θ Τ O Figura 4 - Localização dos centros de massa e carregamentos no mecanismo. F P P a 3 P CM 3 3 F 34 T 3 34 CM 4 a 3 CM F 3 F 3 3 F 43 4 a Τ 4 O F 4 F F F 4 O Figura 5 Diagrama de corpo livre de cada elo do mecanismo. Equações da dinâmica do movimento são utilizadas considerando-se carregamentos tais como, o torque T 4 atuando no elo 4 e uma força F P aplicada no ponto P situado no elo 3. São calculadas as forças de reação nas juntas fias O e, nas móveis e e o torque motor necessário T no elo para movimentar o mecanismo de forma que o elo de entrada gire numa velocidade angular ω. s equações do movimento são derivadas a partir do sistema de referência não girante O XYZ co origem na junta fia O.

6 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC s variáveis CM, CM3 e CM4 referem-se às posições (distancias) do centro de massa, respectivamente, dos elos, 3 e 4, com relação às respectivas juntas. posição do ponto de aplicação de cada uma das forças é definida em relação ao sistema de referência não girante com origem no centro de massa de cada elo. notação F ij representa a ação do elo i sobre o elo j e a posição do ponto de aplicação te mesma notação. s acelerações absolutas dos centros de massa dos elos, 3 e 4 são indicadas por a, a 3 e a 4, respectivamente. Figura 6 ilustra o conjunto de equações do movimento de cada elo agrupado numa equação matricial linear do tipo X=, o qual é obtido pelas equações da dinâmica da translação para as componentes das forças na direção e e da rotação em torno do centro de massa para a componente z. matriz [99] é formada pelos coeficientes das incógnitas da matriz X [9]. matriz [9] é formada pelas componentes e das forças inerciais, momentos inerciais, componentes da força de carregamento Fp, as componentes z dos momentos inerciais e o torque de carregamento T F F F F F F F F T = I CM 3 α 3 I I CM 4 CM P F F F 4 4 α 4 4 α T 4 P P P + 4 P F P Figura 6 Conjunto de equações matriciais X=. s componentes nas direções e da posição ij do ponto de aplicação da força F ij são representadas com os subscritos e. s variáveis m i e I CMi representa massa e o momento de inércia com relação ao centro de massa de cada elo. s componentes e dos vetores posição ij da matriz, são determinadas considerando-se as posições dos centros de massa e das juntas e conhecidas. Figura 7 ilustra os diagramas que auiliam na determinação das reações e suas respectivas componentes, 3, 3, 43, 34 e 4. s Eq. 5 até 6 foram deduzidas e são utilizadas para determinar os valores correspondentes. CM - β 3 CM CM 4 - β 4 4 θ β 3 θ 3 θ 4 O Figura 7 Diagrama dos vetores posição dos elos, 3 e 4. cos( θ + ) (5) = CM β ( ) = CM sen θ + β (6) = cos( θ ) cos θ + β ) (7) 3 CM (

7 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC 3 = sen( θ ) CM sen( θ + β ) (8) cos( θ + 3) (9) 3 = CM 3 3 β ( ) 3 = CM 3sen θ 3 + β3 43 = 3cos( θ 3) CM 3cos( θ3 + β3) 43 = 3sen( θ 3) CM 3sen( θ3 + β3) 4 CM4cos( θ4 β4 ) 4 CM4sen( θ4 β4) 34 4cos( θ4) CM4cos( θ4 β4 34 4sen( θ4) CM4sen( θ4 β4 () () () = (3) = (4) = ) (5) = ) (6) s acelerações absolutas dos centros de massa dos elos e suas componentes são obtidas a partir das Eq. e, analogamente, utilizando-se os recursos geométricos e matemáticos mencionados para a análise cinemática. s componentes e do vetor posição P do ponto P da matriz são determinadas pelas Eq. 7 e 8, respectivamente, cuja localização pode ser vista na Fig. 4. s componentes e da força de carregamento F P da matriz, com relação ao centro de massa do elo 3 são determinadas pelas Eq. 9 e 3, respectivamente. O ângulo entre o segmento e a direção do vetor posição P, ilustrados na Fig. 4, é representado por β P. direção do vetor força de carregamento F P, representada pelo ângulo β FP, é definida pelo ângulo entre a direção do eio e sua respectiva direção, sendo ilustrada na Fig. 4. P = P cos( θ 3 + β P ) (7) P = P sen( θ 3 + β P ) (8) F = cos( β FP ) (9) P F P F = sen( β ) FP (3) P F P ESULTDOS O mecanismo da Tab. 3-6 do livro de Norton (4) é utilizado para a aplicação dos procedimentos e simulações, descritos neste trabalho, para a análise e comparação de resultados. Os dados geométricos utilizados cos respectivas dimensões do mecanismo, os coeficientes inerciais e os carregamentos são fornecidos na Tab.. velocidade angular da barra de entrada é ω =,566 rad/s constante ( rpm). Utilizando-se o mesmo eemplo de Norton (4), porém considerando-se os coeficientes inerciais, as entradas cinemáticas e os carregamentos, são definidos e apresentados nas Tab. e, respectivamente. Tabela - Dados geométricos e coeficientes inerciais e carregamentos. Elos 3 4 Comprimento [mm] = 457,3 = 5,4 3 = 44,44 4 = 34,79 aio de posição [mm] --- CM = 85,34 CM3 = 3,9 CM4 =,87 Massa [kg] --- m =,55 m 3 =,5 m 4 =,5 Momento de Inércia [kg m ] --- IC M =,57 IC M3 =, IC M4 =,455 Ângulo de posição [grau] --- β = 6,664 β 3 = 5,494 β 4 =,4 Carregamentos Ponto P F P = N P = 74,64 mm β P = 65,449º β FP = 35º Ponto 4 T 4 = Nm

8 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC Norton (4) não considerou esforços eternos, somente os efeitos das forças de inércia que causam forças reativas nos pinos. Os resultados das forças nas juntas O (elo ) e (elo 4) nas direções e para a posição θ =3º da barra de entrada são ilustrados na Fig. 9, calculados com Mathad e TKSolver. Os valores correspondentes à cinemática do mecanismo para θ =3º foram calculados pelo método apresentado neste trabalho e são apresentados na Tab.. Os resultados das Tab. e Tab. foram utilizados na matriz da Fig. 6 e as componentes e das reações dinâmicas nas juntas e o valor do torque de acionamento T necessário para movimentar o mecanismo foram determinadas e são apresentados na Tab. 3. Tabela esultados obtidos na análise cinemática. Elos 3 4 Ângulo de posição [grau] θ = θ = 3 θ 3 = 34,88 θ 4 = 87,95 Velocidade angular [rad/s] ω = ω =,566 ω 3 = -4,95 ω 4 = -,569 celeração angular [rad/s ] α = α = α 3 = 56,633 α 4 = 37,949 Tabela 3 esultados das forças na direção e e T obtidos na análise dinâmica. Juntas O F = Força na direção [N] -57, 53,3 7,,4 F = Força na direção [N] -78,9 73, 64,75 67,83 T = Torque necessário [Nm] -3, Os resultados das forças nas juntas O (elo ) e (elo 4) nas direções e para a posição θ =3º da barra de entrada são ilustrados na Tab. 4. Tabela 4 esultados das forças na direção e e T fornecidos por Norton (4). Juntas O F = Força na direção [N] -55,8 5, 5,6, F = Força na direção [N] -78, 7, 63,9 67, T = Torque necessário [Nm] -3, Os carregamentos no mecanismo considerados nas simulações são: uma carga F P no ponto P e um torque T 4 na barra 4, compreendendo eventuais atritos ou trabalhos realizados pelo elo 4, atribuindo-se um valor contrário e proporcional à velocidade angular da barra 4, de acordo com os dados apresentados na Tab. 5 Tabela 5 Dados de carregamentos para a simulação. Carregamentos Ponto P F P = N P = 74,64 mm β P = 65,449º β FP = 35º Ponto 4 T 4 = - 5ω 4 Nm Figura 8 ilustra as reações nas juntas O e o torque T necessário para o mecanismo movimentar. Figura 8.a) ilustra as forças nas juntas O (elo ) e (elo 4) nas direções e para os ângulo θ variando de º até 36º com incrementos de º, sem considerar os carregamentos F P no ponto P e sem T 4 na junta. Figura 8.b) apresenta os resultados de simulação do torque T necessário para permitir o funcionamento do mecanismo sem carregamentos e com carregamentos de acordo co Tab. 5. Figura 9 ilustra a simulação apresentada por Norton (4) realizada sem carregamento F P e T 4 das forças nas juntas O (elo ) e (elo 4) nas direções e para θ variando de º até 36º com incrementos de 3º calculados com Mathad e TKSolver.

9 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC Figura 8.a) refere-se aos resultados deste trabalho e permite verificar que os valores calculados são próimos dos valores fornecidos por Norton (4) ilustrados na Fig. 9. F em F em O F em O com T 4 com T 4 e F P com F P F,F [N] F em T [Nm] θ [º] sem θ [º] carregamento (a) (b) Figura 8 8.a) - Forças reativas nas direções e nas juntas O e sem carregamentos e 8.b) Torque T necessário para algumas condições de carregamentos. Figura 9 - Forças reativas nas direções e nas juntas O e (NOTON, 4). o se aplicar os carregamentos mencionados na Tab. 5, podem-se obter os resultados de reações nas direções e nas juntas O,, e. Figura apresenta os resultados respectivos. s Figuras.a) e.b) apresentam os resultados das reações nas juntas,, O e nas direções e respectivamente. O = O F [N] F [N] θ [º] θ [º] (a) (b) Figura Forças reativas nas direções e nas juntas O,, e com carregamentos T 4 e F P para cada posição do elo de entrada: - a) Direção e b) Direção. DISCUSSÃO s tabelas e gráficos apresentados neste trabalho mostraram os resultados das simulações feitas utilizando-se um mecanismo já conhecido pelas literaturas (NOTON,

10 Universidade Federal de São João Del-ei MG MEC 4). comparação entre os resultados conhecidos e os obtidos neste trabalho (Tab. 3 e 4 e Fig. 8.a) e 9), sem considerar os carregamentos eternos, permite observar que há pequenas variações entre os valores comparados. s diferenças são, provavelmente, devido a arredondamentos feitos nas dimensões das barras, nos ângulos de referências ou nos procedimentos computacionais utilizados, tal como a solução da matriz X =. Pode-se observar pela Fig. 8.b) que o torque T necessário para o funcionamento do mecanismo é cíclico e se apresenta com módulos e sentidos variáveis. Este fato, ao eistir, poderá requerer cuidados na eecução do projeto do sistema mecânico de forma que se faças compensações necessárias para não causar bloqueios, reversões ou vibrações. Estas compensações podem ser feitas, por eemplo, ao se utilizar recursos de controle eletrônico do torque motor ou ao se rever as posições dos centros de massa de cada elo, o que poderá permitir a minimização das variações, e se necessário poderá proporcionar uma equalização nos esforços reativos nas juntas. CONCLUSÕES Os resultados obtidos neste trabalho demonstraram que os procedimentos de análise dinâmica, ao se utilizar recursos computacionais relativamente simples, permitiravaliar com maiores detalhes as condições dinâmicas do sistema mecânico. É possível realizar estudos mais precisos e detalhados de acordo cos necessidades específicas. s teorias da dinâmica das máquinas foraplicadas de forma precisa, consistente e confiável. gradecimentos Os autores agradece ETEP - Faculdade de Tecnologia de São José dos Campos, a UNESP - Universidade Estadual Paulista e ao CE SP Conselho egional de Engenharia rquitetura e gronomia do Estado de São Paulo que proporcionaram condições para a realização deste trabalho, o que objetivou o aperfeiçoamento da Engenharia no rasil. ILIOGFI Mabie, H. H., einholtz, C. F., 987, Mechanisms and Dnamics of Machiner, Ed. John Wile & Sons, a Ed., 644p. Mansour, W. M., Osman, M. O. M., 97, Proimit Perturbation Method for Linkage Kinematics, Ed. SME - UEC, 7p. Norton,. L., 999, Design of Machiner n Introduction to the Snthesis and nalsis of Mechanisms and Machines, Ed. McGraw-Hill Co, a Ed., 88p. Norton,. L., 4, Projeto de Máquinas, Ed. ookman Co, a Ed., 93p. Pivetta, C. S., ezende, O. P., Grechi,., Campos, M. L., randão, J. G. T., 9, nálise Cinemática de Mecanismos de 4 barras com bordagem Geométrica e Computacional, IX Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial (CONEMI). [CD-OM] Uicker Jr, J. J.; Pennock, G..; Shigle, J. E., 3; Theor of Machines and Mechanisms, d. Oiford Universit Press, 3a Ed., 734p. DIEITOS UTOIS Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no trabalho.