Modelagem Matemática. Modelagem Matemática. Rodney C. Bassanezi

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1 Modelagem Matemática Modelagem Matemática Rodney C. Bassanezi

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3 SUMÁRIO I. Uma Introdução à Biomatemática Introdução Primeiros modelos de dinâmica populacional Modelo Malthusiano Modelos Subjetivos de Crescimento Populacional Modelo Estocástico de Pielou Modelos Variacionais Fuzzy (veja[1]) Modelo fuzzy do tipo Malthusiano (variação fuzzy) Sistemas Dinâmicos p-fuzzy: Fuzziness demográfica Sistemas dinâmicos fuzzy Modelos de Interação entre espécies Modelo de Lotka - Volterra Modelo Geral de Kolmogorov Modelo de Holling-Tanner Modelo do tipo Lotka-Volterra: vespa broca Modelo de Nicholson - Bailey (1935)[11] Modelos p-fuzzy para Interação de Espécies

4 Parte I. Uma Introdução à Biomatemática 4

5 0.1. Introdução A Biomatemática é uma interface entre a Biologia e a Matemática, caracterizada por uma grande extensão de contato que experimenta atualmente um processo de aprofundamento acelerado. Deste processo de mão dupla, tanto questões básicas de Biologia tem sido resolvidas, como novas linhas de pesquisa em Matemática emergiram e adquirem vida própria. Além disso, é importante notar a emergência de novas áreas em Matemática Aplicada tais como algoritmos genéticos, redes neurais, algoritmos sociobiológicos, lógica fuzzy etc, que poderíamos designar de Matemática Biológica, já que, em muitos casos, devem os seus conceitos básicos à Biologia Teórica. A Biomatemática contemporânea pode ser classificada em três ramos distintos quanto aos métodos e abordagem: a tradicional interface oferecida por problemas biofísicos e biomecânicos, a mais recente dedicada à análise genômica e uma terceira que denominaremos de Dinâmica de Populações. A maior ênfase do programa deste minicurso será dirigida à Dinâmica de Populações que, no seu sentido mais amplo engloba o estudo de populações de moléculas, células, microorganismos, organismos superiores, enfermidades e sociedades humanas. A síntese e o fundamento desta vasta linha de pesquisa procedem de uma variedade de modelos matemáticos descritos por equações variacionais: equações diferenciais ordinárias e parciais, contínuas e discretas e equações variacionais que contemplam a subjetividade de parâmetros e variáveis de estado (equações fuzzy). O emprego de matemática na formulação de leis biológicas está ainda em sua fase inicial se comparado com o desenvolvimento e uso nas ciências Físicas, porém nos últimos anos, juntamente com a evolução do setor computacional, tem se mostrado uma ferramenta indispensável nas pesquisas de ponta de várias áreas. Os modelos práticos que envolvem interrelações de um grande número de variáveis são formulados através de sistemas de equações com numerosos parâmetros. Nestes casos, um tratamento analítico é geralmente impossível e os métodos qualitativos de de resoluções devem ser empregados o que favorece as resoluções computacionais. E, quanto mais complexo ou realista for o modelo, mais difícil será mostrar estatisticamente que ele descreve a realidade! Os modelos realistas tendem a empregar também equações estocásticas em suas formulações muito mais complexas e dependentes de métodos computacionais sofisticados. Uma outra alternativa, mais recente e talvez mais prática e simples, é empregar modelos variacionais fuzzy, onde as variáveis e/ou os parâmetros são considerados como conjuntos que exibem o 5

6 grau de pertinência de seus elementos e portanto, a subjetividade vem embutida no próprio conceito de variável de estado ou dos parâmetros. De qualquer forma, os modelos determinísticos, embora não descrevam corretamente a realidade, podem ser abalizadores de muitos modelos estocásticos ou fuzzy Quando se trabalha com uma amostra grande de indivíduos, pode-se dizer que o processo segue uma trajetória determinística que representa a solução média dos caso isolados. Nos modelos fuzzy, a solução é um conjunto fuzzy de soluções determinísticas que, quando defuzzificado, representa a média das soluções. Ainda, das soluções determinísticas que compõem a solução fuzzy, a que tem maior grau de pertinência ou confiabilidade é a solução da média inicial denominada "preferida [1] Primeiros modelos de dinâmica populacional itbpf in2.8202in0inmultidao 243x300.bmp Uma pista para o entendimento da dinâmica populacional é considerar que as populações interagem para persistirem, e para tal necessitam aumentar. A proposta de utilização da matemática para descrever o crescimento de uma população humana começou com o economista inglês T. R. Malthus (An Essay on the Principle of Population ). Seu modelo assume que o crescimento de uma população é proporcional à população em cada instante, e desta forma a população humana deveria crescer sem nenhuma inibição. O modelo de Malthus propõe um crescimento de vida otimisada, sem fome, guerra, epidemia ou qualquer catástrofe, onde todos os indivíduos são idênticos, com o mesmo comportamento. O objetivo principal da introdução deste modelo foi o de chocar a opinião pública da época uma vez que estabelecia um crescimento em progressão geométrica para a população enquanto que a alimentação crescia em progressão aritmétrica. O modelo de Malthus se baseia numa equação diferencial muito simples mesmo para época em que foi formulado. A previsão da população mundial, segundo o modelo malthusiano, atingia numeros astronômicos em pouco tempo o que tornaria a Terra um planeta superlotado e inabitável. Também as previsões drásticas em relação à alimentação estavam erradas pois não se supunha o grande salto que ocorreu na produção mundial de alimentos entre os anos de 1950 a 1998, quando passou de 247 quilos per capita para 312 quilos (Veja n o 39, set/99, pp.86-89). De qualquer forma, a humanidade que levou milhares de anos para atingir o primeiro bilhão de pessoas, em menos de dois séculos conta com mais de 6 bilhões. 6

7 A modelagem matemática para descrever o crescimento populacional evoluiu, passando por várias modificações após Malthus - Um dos modelos mais importante e conhecido é do sociólogo belga P. F. Verhulst (1838) que supõe que toda população é predisposta a sofrer inibições naturais em seu crescimento, devendo tender a um valor limite constante quando o tempo cresce. É um modelo de crescimento mais significativo, do ponto de vista biológico. Os modelo de Malthus e Verhurst foram formulados para tempo contínuo, onde se supõe que os indivíduos se reproduzem a todo instante, o que na realidade poucas populações biológicas satisfazem. Os modelos discretos podem ser considerado mais realísticos, neste caso, uma vez que contemplam a reprodução dos indivíduos sazonalmente - tais modelos, em Ecologia, foram introduzidos somente a partir de 1975 pelo ecólogo austríaco Robert M. May [13] que observou a complexa dinâmica do modelo logístico discreto sob a luz da teoria do caos, mostrando que uma equação de aparente ingenuidade pode ter solução sem comportamento previsível [13] [?] [?]. As formulações estocásticas dos modelos determinísticos de Malthus e Verhurst só apareceram a partir de 1924 (Yule), sendo usados posteriormente por Bailey (1964) e Pielou (1977). Na década de 40, Leslie ( ), modelou o crescimento populacional compartimentalizando a população por idade e estudando o fluxo entre os compartimentos através da álgebra matricial. Os modelos matemáticos de interação entre espécies foram independentemente formulados, através de equações diferenciais na década de 20 por Lotka [2] e Volterra [3]. Seus famosos modelos de competição e predação têm servido de parâmetros para uma infinidade de outros modelos, embora possam ser considerados extremamente simplistas para atenderem à complexidade inerente à natureza dos seres vivos. Por outro lado, as tentativas de se medir o fator competição na Natureza, utilizando os métodos clássicos, não produziram resultados satisfatórios. A própria subjetividade, advinda de termos como competição e complexidade, sugere o uso de novas ferramentas matemáticas. Alguns trabalhos recentes, usando a Teoria Fuzzy, são dedicados às medidas dessas variáveis subjetivas ([4] e [15]). 7

8 Modelo Malthusiano Seja P o número de indivíduos em uma população animal ou vegetal. Este número é dependente do tempo e assim podemos escrever P = P (t) (0.2.1) Na realidade, P (t) assume somente valores inteiros sendo pois uma função discreta de t. Entretanto, quando o número de indivíduos é suficientemente grande, P (t) pode ser aproximado por uma função contínua, variando continuamente no tempo. Admitimos, neste modelo, que a proporção de indivíduos reprodutores permanece constante durante o crescimento da população. Admitimos também que as taxas de fertilidade n e de mortalidade m sejam constantes. Estas hipóteses são realísticas em uma população grande que varia em condições ideais, isto é, quando todos os fatores inibidores do crescimento estão ausentes (a espécie tem recursos ilimitados e não interage com competidores ou predadores). Temos que α = n m (coeficiente de natalidade menos o de mortalidade) é a taxa de crescimento específico da população P (t), aqui considerada constante. Assim, P (t + 1) P (t) P (t) = n m = α. (0.2.2) Esta formulação matemática indica que a variação relativa da população é constante ou, em outras palavras, que a variação da população é proporcional à própria população em cada período de tempo. O modelo discreto (tempo discreto) de Malthus é dado por P (t + 1) P (t) = αp (t). (0.2.1) Considerando dada a população inicial P (0) = P 0, a solução de (0.4.5) é obtida por recorrência da expressão: ou seja, { P t+1 = (1 + α)p t P (0) = P 0 (0.2.2) P t = (α + 1) t P 0 (cf. parágrafo 2.4) (0.2.3) Assim, dados dois censos P 0 e P t, a taxa de crescimento demográfico em t anos é obtida de 8

9 (0.2.3), fazendo (α + 1) t = P t /P 0 α = t Pt P 0 1 (0.2.4) Por exemplo, se a população do Brasil de 1940 era P 0 = e, dez anos depois, P 10 = , então a taxa de crescimento populacional média (relativa), entre 1940 e 1950 foi de: ou, aproximadamente, 2,3% ao ano α = 10 1 = 1, = 0, Se consideramos as populações entre os censos de 1940 e 1991 quando a população era de habitantes, α é dada por α = 51 1 = 0, , o que nos permite afirmar que a população brasileira cresceu a uma taxa média de, aproximadamente, 2,5% ao ano nestes 51 anos. Lembrando que P t = (1 + α) t P 0 pode ser escrito na forma exponencial P t = P 0 e ln(1+α)t (0.2.5) Podemos comparar a solução do Modelo de Malthus discreto (0.2.2) com a solução do o modelo contínuo correspondente, considerando que dp = lim P (t + t) P (t) t 0 t e que P (t + t) P (t) = βp (t) t (modelo discreto). Assim, podemos escrever o modelo contínuo por: cuja solução é dada por dp = βp (t) (0.2.6) P (0) = P 0 P (t) = P 0 e βt Portanto, os modelos discreto (com taxa α) e contínuo (com taxa β) fornecem a mesma solução quando β = ln(1 + α). itbpf in2.0911in0inf ig1.jpg F ig1 Modelo malthusiano 9

10 Se considerarmos o modelo Malthusiano para projetar a população brasileira, teremos α = 0, para o modelo discreto e β = 0, 0249 para o contínuo. A equação P (t) = 41, 236e 0,0249t (0.2.7) fornece a população (em milhões de habitantes) em cada ano t. O modelo malthusiano discreto, por ser bem simples, é frequentemente utilizado para se fazer previsões a curto prazo, sendo corrigido depois de cada censo. Exercício A tabela 1 fornece os censos demográficos do Brasil de 1940 a 1991: Taxas de Períodos População Crescimento Crescimento Distribuição Etária (%) (% a.a.) Absoluto e mais ,6 55,0 2,4 2, ,9 55,5 2,6 3, ,2 54,3 2,5 2, ,6 54,3 3,1 2, ,8 57,2 4,0 1, ,0 60,2 4,8 Tabela 1 (Fonte: FIBGE.): Censos Demográficos do Brasil de 1940 a NEPO/UNICAMP Complete a tabela com novos dados e estude uma projeção da população brasileira. Observamos que as taxas de crescimento (% a.a.) entre dois censos consecutivos da tabela 1 são obtidas via modelo de Malthus. 10

11 Modelo Logístico contínuo (Verhurst) Se observamos os valores entre censos consecutivos de uma determinada população verificamos que as taxas de crescimento relativo tendem a diminuir com o tempo. O primeiro modelo que atende à variação da taxa de crescimento (ou razão intrínseca do crescimento populacional) foi formulado pelo matemático belga Pierre F. Verhurst em O Modelo de Verhurst supõe que uma população, vivendo num determinado meio, deverá crescer até um limite máximo sustentável, isto é, ela tende a se estabilizar. Desta forma, a equação incorpora a queda de crescimento da população que deve estar sujeita a um fator inibidor de proporcionalidade. Este modelo teve um impacto maior quando, no início do século XX, os pesquisadores americanos R. Pearl e L. Reed utilizaram-no para projetar a demografia americana (veja [21], pp ). O modelo de Verhurst é, essencialmente, o modelo de Malthus modificado, considerando a taxa de crescimento relativa β(p ) decrescente em relação à população P, em cada instante. Assim ( P P com β(p ) = r P dp = β(p )P (0.2.8) ), r > 0 e P sendo o valor limite da população ou capacidade suporte. Desta forma β(p ) tende a zero quando P P. Explicitando β(p ) na equação (0.2.8), e supondo que P (0) = P 0 seja dado, temos o modelo clássico de Verhurst ou modelo logístico: ) dp (1 = rp PP P (0) = P 0, r > 0 (0.2.9) Observamos que P (t) 0 e P (t) P são soluções da equação diferencial dada em (0.2.9). A solução analítica de (0.2.9) é obtida por integração após a separação das variáveis, isto é, dp P (1 P/P ) = Usando a técnica das frações parciais para resolver a integral do 1 ō membro, obtemos ( dp 1 P (1 P/P ) = P + r; 1/P ) dp = ln P ln 1 P/P 1 P P 11

12 Logo, ln P (t) 1 P (t)/p = rt + c Usando a condição inicial P (0) = P 0, podemos determinar o valor da constante de integração c: Portanto ou seja, Explicitando P (t), temos P 0 c = ln 1 P 0 = ln P 0 P P P P 0 ( ) ln P (t)p = rt + ln P 0 P P P (t) P P 0 ln P (P P 0 ) P 0 (P P ) = rt P P P = P 0 e rt P P 0 P (t) = P ( P P 0 1)e rt + 1 = P P 0 (0.2.10) (P P 0 )e rt + P 0 A curva P (t) é denominada logística (fig. 6.3) e, de sua expressão (0.2.10), podemos observar que a) Se P 0 < P então P 0 < P (t) < P e P (t) tende a P, crescendo. Neste caso a equação (0.2.9) mostra claramente que dp > 0; b) Se P 0 > P então P (t) tende a P, decrescendo (verifique que, neste caso, dp < 0); c) Da equação (0.2.9) temos que dp = rp r P 2 P ou seja, dp, como função de P, é uma parábola com concavidade voltada para baixo (veja fig. 6.2) e cujas raízes P = 0 e P = P são os pontos de equilíbrio ou soluções de equilíbrio da equação diferencial (0.2.9), pois dp = 0 nestes pontos. d) Como r > 0, temos que dp é crescente se 0 < P (t) < P e decrescente se 2 12

13 P 2 < P (t) < P. O valor máximo de dp, relativamente a P, é atingido quando P = P, isto é, quando a população for igual à metade da população limite. 2 e) Se considerarmos em (0.2.10), P (t) = P 2, podemos determinar o instante t m em que a população atinge a máxima variação: e portanto P 2 = P 0 P (P P 0 )e rt + P 0 e rt = P P 0 P 0 t m = 1 r ln P P 0 P 0, (0.2.11) considerando que P 0 < P 2. Assim, para t = t m temos: i) P (t m ) = P /2 (0.2.12) dp ii) t=t m = r P ( 1 P ) /2 = r 2 P 4 P > 0 (0.2.13) d 2 P iii) 2 t=t m = r dp 2r P dp P = r dp ( 1 2 P ) P = 0 P = P 2 Logo t = t m é um ponto de inflexão de P (t). Desta forma,.se P 0 = P t m = 0 2.Se P 2 < P 0 < P a curva não tem ponto de inflexão itbpf in2.4639in0inf ig2.jpg F ig2 (a)variação de P(t) (b) Curva logística Exercício Use os dados da tabela1 e determine um modelo logístico de projeção da população brasileira. Sugestões: 1) Para estimar o valor de P use o método de Ford-Walford, ou seja, considere um ajuste da função P n+1 = f(p n ) e resolva o sistema { P n+1 = f(p n ) P n+1 = P n = P 13

14 2) A expressão da curva logística é P (t) = P ( P P 0 1)e rt + 1 = P be rt + 1 e uma estimação dos parâmetros r e b pode ser feita, por meio de um ajuste linear z(t), com a seguinte mudança de variáveis z = ln ( P ) P 1 P P ou seja, Logo, ( ) 1 be z = ln rt be rt +1 z = rt ln b [ ] 1 = ln b ert : Projeto 1 Modelo Logístico discreto O Modelo de Verhurst pode ser formulado também através de uma equação de diferenças [?]. Seja P n a população no instante n. Então, o crescimento absoluto de P n é dado por P n+ n P n = (α βp n )P n n (0.2.14) Considerando P 0 dado, podemos obter P n em função de P 0 através da fórmula de recorrência P n+ n = (α n + 1)P n [1 P 0 dado ] β α n + 1 P n A equação (0.2.15) pode ser dada na forma normalizada por N n+1 = rn n (1 N n ) (0.2.15) N 0 = P 0 P (0.2.16) β onde N n = α n + 1 P n e (α n + 1) = r. P é obtido de (0.2.14), considerando que, quando n é muito grande, P n+ n P n = P (valor de estabilidade ou valor máximo sustentável), e portanto P = α n β. 14

15 Quando os valores de n são diferentes para cada n (como os da tabela 6.1), o cálculo dos parâmetros e de P podem ser efetuados ajustando a expressão por uma parábola P n+ n P n n f(p n ) = ap n bp 2 n Faça um ajuste de f(p n ) = ap n bp 2 n com os dados dos censos demográficos de população brasileira (Tabela 6.1). Estime os valores dos parâmetros dos modelos (0.2.15) e (0.2.16) e compare as projeções dadas por estes modelos com o modelo contínuo (??). -Determine P considerando a intersecção da parábola f(p n ) com a reta P n+ n = P n e estime o valor da população brasileira no ano Uma das limitações do modelo de Verhurst consiste no fato que o ponto de inflexão (ou de crescimento máximo) da curva está sempre localizado no ponto P m = P 2, o que nem sempre acontece na maioria das variáveis relacionadas a fenômenos com tendência assintótica. Montroll em 1971 propôs um modelo geral para traduzir o crescimento assintótico de uma variável, levando em conta que o posicionamento da variação máxima pode ser qualquer valor entre P 0 e P. Modelo de Richard (1959) Seja P o valor limite finito de uma população P = P (t) e λ a sua taxa de crescimento relativa quando P é pequeno O modelo de Montroll é dado pela equação diferencial não linear dp = λp [ ( ) α ] P 1, λ > 0 e α > 0 (0.2.17) P O valor do parâmetro α é o indicador da posição do ponto de inflexão da curva. Quando α = 1, a equação (0.2.17) é simplesmente o modelo de Verhurst (0.2.9). Para determinar a posição do ponto de inflexão da curva P m, onde o crescimento é máximo, é suficiente considerar a equação d2 P = 0, uma vez que dp > 0 pois 2 15

16 0 < P < P. d 2 P = λ dp ( 1 P ) α αλ P ( ) α 1 P dp 2 P P P = λ dp [ ( ) α ( ) α ] P P 1 α P P Logo, e portanto, d 2 P 2 = 0 ( P P ) α = 1 α + 1 P ( ) 1 1 α = P α + 1 ( ) 1/α 1 P m = P (0.2.18) 1 + α Assim, dado P, o valor de P m depende somente do parâmetro α: α = 3 P m = 0, 6299P α = 2 P m = 0, 5773P α = 1 P m = 0, 5P (modelo de Verhurst) α = 0, 5 P m = 0, 4444P α = 0, 25 P m = 0, 4096P O objetivo principal deste modelo geral é propor diferentes formas possíveis de decrescimento das taxas de variação. Podemos considerar estas taxas como sendo dadas pela expressão [ ( ) α ] P r = f(p, α) = λ 1 P (0.2.19) itbpf in2.2174in0inf ig3.jpg fig.3 Taxa de crescimento do modelo de Richard Observamos de (0.2.18) que quando α > 0 decresce, o ponto de inflexão P m também decresce e tende a um valor positivo igual a P e = 0, 3678P. De fato, tomando α 0, por valores positivos (α 0 + ), temos lim P m = P lim α 0 + α 0 + ( 1 ) 1/α 1 + α 16

17 Do Cálculo Diferencial, sabemos que se F (x) é uma função contínua no intervalo (a, b) então Usando este fato, podemos escrever ln [ lim α 0 + F ( lim g(x)) = lim F (g(x)), x a + x a + ( ) ] [ 1/α ( ) ] 1/α 1 1 ln(1 + α) = lim ln = lim 1 + α α α α 0 + α Aplicando a regra de L Hopital, vem lim α 0 + ln(1 + α) α 1 = lim α α = 1 Logo, ( ) 1 1 α lim = e 1 = 1 α α e = 0, 3678 Veremos no próximo parágrafo que P m = 1 e P corresponde ao famoso modelo de Gompertz de Por outro lado, quando α cresce, o ponto P m tende ao próprio valor P Isto decorre do fato que ( ) 1/α 1 lim = 1 (verifique!) α α Os pontos de estabilidade do modelo geral de Montroll são obtidos considerando dp = 0 na equação , isto é, [ ( ) α ] P λp 1 = 0 P = 0 ou P = P P Um esboço das soluções da equação (0.2.17) é dado na figura 6.6 itbpf in3.2742in0inf ig4.jpg F ig.4 Soluções do modelo de Richard com distintos α Salientamos outra vez mais que a validação de um modelo matemático consiste na verificação de quanto os dados reais estão próximos daqueles estimados pelo modelo. Desta forma, a aceitação de um modelo depende, essencialmente, do usuário é ele que vai estabelecer o grau desejado de proximidade. Entretanto, o mod- 17

18 elador, na busca de um melhor grau de aproximação, não pode perder de vista o significado intrínsico das variáveis e parâmetros utilizados no modelo e que devem sempre traduzir ou explicar o fenômeno analisado. Em outras palavras, muitas vezes um ajuste ótimo de dados experimentais pode causar erros de projeções futuras Uma curva ajustada aos dados reais não é necessariamente um modelo da situação estudada, ela simplesmente fornece informações que podem ser usadas na elaboração do modelo! Um modelo clássico frequentemente utilizado na área das ciências biológicas é o modelo de Gompertz, onde o fator de desaceleração do crescimento de P não é dado na forma de uma potência de P, como em (0.2.19). Modelo de Gompertz (1825) O modelo de Gompertz utiliza uma taxa de inibição da variável de estado proporcional ao logarítimo desta variável Isto significa que a taxa de crescimento é grande no início do processo, mudando rapidadamente para um crescimento mais lento. É um modelo bastante adequado para traduzir crescimentos celulares (plantas, bactérias, tumores etc), sendo que, no início, todas as células são meristemáticas, perdendo esta propriedade num intervalo de tempo relativamente pequeno. O modelo de Gompertz é dado pelo problema de Cauchy (equação diferencial com condição inicial): dx = ax bx ln x = x(a b ln x) x(0) = x 0 com a > 0 e b > 0 (0.2.20) A taxa de crescimento r(x) = a b ln x > 0 decresce com x e o valor de estabilidade de x é obtido considerando-se r(x) = 0, isto é, dx = 0 (a b ln x) = 0 x = e a/b, com x > 0 Observamos que quando x é muito pequeno, r(x) é muito grande pois lim r(x) = + x 0 + Agora, como 0 = a b ln x, podemos tomar a = b ln x na equação (0.2.20) e 0( ) Este fenômeno é característico das reações enzimáticas (veja [11] - pg 109) onde os valores de x(t) só podem ser observados a partir de algum valor x 0 > 0. 18

19 reescrevê-la como ( x e neste caso, r(x) = ln x dx = bx ln x b ln x = bx ln ( x x ) b. ) ( x = x ln x ) b (0.2.21) A solução de (0.2.20) é obtida considerando-se a mudança de variável z = ln x: dz = 1 dx x = a bz Integrando, dz a bz = 1 ln a bz = t + c b Para t = 0, obtemos c = 1 b ln a b ln x 0. Portanto, ln a bz = bt + ln a b ln x 0, a bz = (a b ln x 0 )e bt z(t) = 1 b [a (a b ln x 0)e bt ] Voltando à variável x = e z, obtemos ( x(t) = e a a ) ] b. exp [ b ln x 0 e bt, ou (0.2.22) x(t) = x ( x0 x ) e bt (0.2.23) A curva x(t) tem um ponto de inflexão quando t = t m = 1 b ln ( a b ln x 0 ) (0.2.24) e x(t m ) = 1 e x = 1 e e a b = e a b b (0.2.25) Os modelos de Gompertz são bastante usados também no estudo da evolução de tumores sólidos. Neste caso, é assumido que a taxa de crescimento diminui quando a massa tumoral aumenta pois as células centrais não recebem nutrientes e oxigênio suficientes para sua multiplicação ([22]). Além das formulações e , os seguintes modelos são também versões 19

20 equivalentes do modelo de Gompertz a) dx = λxe αt (0.2.26) dx b) = γx dγ (0.2.27) = αγ Projeto 2 Considere os dados da Tabela 1 (população brasileira). (i) Faça o ajuste linear dos valores das taxas de variação r i = x i+1 x i (t i+1 t i )x i relacionados com ln x i ; (ii) Determine x = e a/b onde a e b são os coeficientes da reta ajustada em (i); (iii) Determine o valor de t m, sabendo-se que x(t m ) = x e ; (iv) Calcule o valor de x 0, usando (i) e (ii), e escreva o modelo de Gompertz da dinâmica populacional na forma (v) Construa o gráfico da curva x(t). ( ) e bt x0 x(t) = x x Levando em conta que o crescimento de y é inibido e assintótico (e portanto, a taxa de variação de y é decrescente e tende a zero quando y y ), podemos construir modelos particulares que tenham as características de crescimento assintótico. Existe um grande número destes modelos, onde a diferença essencial está na posição do ponto de inflexão. Citaremos alguns exemplos e o leitor interessado em seus detalhes pode consultar [23]: Modelo de Smith (1963) Modelo de Blumberg (1968) dp = λ ln P P, λ > 0 (0.2.28) ] γ dp [1 = rp α PP 20

21 Para este modelo o ponto de inflexão é dado por P m = α α + γ P A solução dste modelo é denominada hiperlogística. Modelo de Turner - Blumenstein - Sebaugh (1969) dp [ ( 1+β(1 γ) P = rp 1 Neste caso, o ponto de inflexão é dado por P m = P ) β ] γ com γ < β [ 1 βγ ] 1 β P 1 + β Modelo de Ayala - Ehrenfeld - Gilpin (1973) Projeto 3 dp = P (λ ap + be P ); a > 0, b > 0 e λ > 0 (0.2.29) Analise o modelo alternativo de Smith (0.2.28), comparando-o com os modelos de Verhurst e Gompertz. - Estude o modelo de Turner. Modelo geral Em termos de dinâmica populacional, os modelos apresentados através das E.D.O. (modelos contínuos), representam o desenvolvimento de populações isoladas e sem migrações. A forma geral destes modelos é uma equação autônoma do tipo dp = r(p )P (0.2.30) onde r(p ) é denominada taxa de crescimento densidade-dependente. Nos modelos que supõem estabilidade das populações tem-se que r(p ) 0 quando P P. As soluções analíticas de (0.2.30) são obtidas por integração das formas diferenciais com variáveis separadas. 21

22 Em relação aos modelos da forma (0.2.30) ainda é suposto que dp = 0, P =0 isto é, não se admite geração expontânea, e portanto, todo organismo deve ter pais (Axioma de Parenthood). Quando (0.2.30) é escrita na forma dp = rp g(r)p 2, (0.2.31) g(r) é o termo de competição inter-específica e indica que a inibição é proporcional à taxa de encontros entre pares de indivíduos da população. Os indivíduos podem competir por alimentos, espaço, ou outros recursos limitados. Quando r(p ) em (0.2.30) é da forma r(p ) = a 1 + a 2 P + a 3 P 2, com a 2 > 0 e a 3 < 0 obtemos o chamado efeito Allee e neste caso, temos que a taxa de reprodução é máxima em densidades intermediárias (veja [10], pag. 215). Os modelos de crescimento populacional da forma (0.2.30) são, na melhor das hipóteses, aproximações grosseiras da realidade e frequentemente são usados como instrumentos para verificação das tendências dos dados observados. Os modelos mais realistas exigem um alto grau de sofisticação matemática, como as equações diferenciais parciais, quando se quer considerar a dinâmica dependente da idade, fecundidade, taxas de mortalidade variáveis, habitat etc. ou as equações diferenciais não homogêneas, quando se considera os parâmetros variando com o tempo (modelos mesoscópicos). Entretanto, os modelos mais sofisticados são, invariavelmente, aperfeiçoamentos dos modelos simples e cujas limitações não devem ser ignoradas. A evolução de modelos é, de fato, a característica mais importante do processo de modelagem, em qualquer nível de pesquisa ou de ensino-aprendizagem. Modelos Mesoscópicos Se examinarmos mais atentamente o crescimento de certas populações ou mesmo de um indivíduo, verificamos que pode existir comportamentos diferentes em relação ao tamanho limite P, pré estimado. Ocorre que o crescimento de uma população pode insinuar uma tendência de estabilidade assintótica local, vindo a mudar seu comportamento em decorrência de algum acontecimento abiótico ou não. Um exemplo simples desta situação é observado quando se tem a curva de tendência da altura de um indivíduo em relação 22

23 à sua idade Existe uma desaceleração no crescimento, seguido de um estirão na puberdade (entre 10 e 12 anos para mulheres e 11 e 13 anos para homens). Também, o crescimento populacional na Terra é um caso típico deste processo, onde os valores pré-estimados de P estão ligados a acontecimentos históricos. Assim, P antes do advento das ferramentas (até aproximadamente anos atrás); P com a Revolução Agrícola (entre e anos atrás) P com a Revolução Industrial. Modelos que traduzem estes fenômenos devem levar em consideração, outros pontos de equilíbrio além de P = 0 e P = P (fixo). itbpf in2.6351in0inf ig5.jpg F ig5 Crescimento populacional da Terra Outro exemplo de mudança de tendência de estabilidade é dado pelos valores da população americana onde o valor estimado para a população limite era 197,273 milhões de habitantes. Com o advento da 2 a Guerra Mundial e a forte migração para os Estados Unidos houve um aumento da taxa de crescimento populacional e foi necessário reavaliar uma nova tendência de crescimento e de estabilidade. Uma primeira tentativa para modelar a dinâmica da população, quando a capacidade suporte é alterada, é considerar um modelo logístico em cada período. Se quizermos um modelo dado por uma única expressão podemos levar em consideração que a taxa r(p ) deve ter a forma de um polinômio de 3 o grau e portanto dp = r(p )P será um polinômio do 4 o grau. Uma maneira mais simples para esta nova modelagem pode ser realisada, considerando uma forma generalizada do modelo logístico P (t) = onde f(t) representa rt do modelo clássico. P P 0 (P P 0 )e f(t) + P 0 (0.2.32) A expressão para f(t), obtida da equação anterior, é dada por: f(t) = ln [ ] P0 (P P ) P (P P 0 ) (0.2.33) 23

24 Aplicação: Dinâmica Populacional de molusco O estudo populacional do Donax gemmula (um pequeno molusco, comum nas praias do sul do Brasil), formulado através de modelos determinísticos mesoscópicos, deve considerar o efeito das tempestades, na forma de parâmetros variáveis sazonalmente, como um dos fatores abióticos responsáveis pela inibição da espécie (veja em [5]). Considerando P = P (t) a densidade populacional do molusco, um modelo do tipo logístico poderia dar globalmente a tendência demográfica da espécie. Entretanto, se levarmos em consideração os fatores abióticos que influenciam na tendência macroscópica da dinâmica populacional, o modelo pode ser formulado pela equação (0.2.34) [ dp = R(t) 1 P ] P [d(t) + βf(t)]p k P (t 0 ) = P 0, t em meses onde, R(t), f(t) e d(t) são funções periódicas, de mesmo período w > 0; R(t): taxa de recrutamento; f(t): medida da intensidade de tempestades; d(t): taxa de mortalidade fisiológica; k: capacidade suporte do meio; β: constante de proporcionalidade da mortalidade abiótica (0.2.34) Os parâmetros do modelo (0.2.34) foram obtidos através de simulações numéricas ([6]), usando dados experimentais colhidos por Paes no litoral do Rio Grande do Sul em R(t) = r 1 + r ( 2 1 cos πt ), r 1 = 0, 3 e r 2 = 0, 2; 2 6 [ ( )] π(t 3) d(t) = 0, 2 0, , 1225 sen ; 6 ( πt f(t) = 1, , 5279 cos 6 + π ) 12 β = 0, 003, obtido empiricamente; k = 650, obtido do ajuste de dados; P 0 = 122, observado por Paes. 24

25 Um agrupamento dos parâmetros em (0.2.34) fornece a equação simplificada dp = α(t)p γ(t)p 2 P (t 0 ) = P 0 > 0 (0.2.35) A solução de (0.2.35) converge assintoticamente para uma solução de equilíbrio P (t) periódica ([6]). Exercício Analise o crescimento de uma variável P (t) através da figura dada pela equação autônoma dp = P f(p ) itbpf 3.096in1.8498in0inf ig6.jpg F ig6 Crescimento de uma população P Quantos pontos de equilíbrio temos neste caso? Dê uma expressão analítica para f(p ). Mostre que uma composição de 2 modelos assintóticos simples pode fornecer um modelo para esta situação. Projeto 4- Estude o crescimento populacional mundial ( Tabela 2). Ano População Tabela 2- População mundial (em bilhões de pessoas) A previsão da Fnuap é que em 2050 a população mundial será de 8,9 bilhões Determine qual o modelo que foi utilizado para prever o nascimento do bebê de número 6 bilhões. Use o modelo logístico para prever o nascimento do bebê 7 bilhões. 25

26 J. Cohen, diretor do Laboratório de Populações da Universidade Rochefeller, acredita que se não houver grandes mudanças no comportamento de consumo, a Terra pode suportar uma população de 10 bilhões de pessoas. Utilize este dado para melhorar seu modelo. Com uma mudança nos hábitos de consumo, os demógrafos acreditam que nosso planeta pode comportar até 20 bilhões. Formule um modelo bilogístico com este novo P. Dê uma explicação para a afirmação: Em 1960 a população européia era o dobro da africana. Em 2050 haverá três vezes mais africanos que europeus (Veja, 39, set/99). Os países mais populosos do mundo são (% do total): China - 21,2%, Índia - 16,7%, EUA - 4,6%, Indonésia - 3,5%. O Brasil tem 2,8% da população mundial. Faça uma previsão da população destes países para o ano 2050, usando o modelo logístico formulado anteriormente para a população mundial Modelos Subjetivos de Crescimento Populacional O processo de crescimento populacional é geralmente estocástico e, num dado instante, este crescimento não é necessariamente proporcional à população presente (conforme foi observado experimentalmente com leveduras). Apresentaremos, como ilustração deste fato, o modelo clássico de Pielou que mostra a importância da solução determinística como uma aproximação da solução média estocástica e o modelo malthusiano fuzzy onde se considera a variável de estado como um conjunto subjetivo Modelo Estocástico de Pielou O modelo de Pielou estocástico determina o processo evolutivo de uma população através das distribuições de probabilidades relacionadas por equações diferenciais. Para a formulação do modelo devemos fazer algumas considerações ([16]): (a) A probabilidade de que, num pequeno intervalo de tempo t, um indivíduo reproduza exatamente uma vez é igual a p(p + 1, t) = αp t + h 1 ( t) (0.3.1) onde h 1 ( t) é um infinitésimo de ordem menor que t, isto é, lim h 1( t) t = 0. 26

27 Denotaremos esta propriedade por h 1 (σ t). (b) A probabilidade de que um indivíduo reproduza mais de uma vez num intervalo de tempo t é muito pequena h 2 (σ t). (c) A reprodução em intervalos de tempo disjuntos é um evento independente, isto é, se I 1 I 2 = φ então a reprodução no intervalo de tempo I 2 independe de já ter reproduzido ou não no intervalo I 1. Seja p(p ; t) a probabilidade de uma população do tamanho P reproduzir apenas um indivíduo no intervalo de tempo (t, t + t). Observamos que, para que este evento ocorra é necessário que apenas um indivíduo da população reproduza e (P 1) indivíduos não reproduzam. Desta forma, existem P possibilidades para o nascimento de um único indíviduo e (P 1) possibilidades para o nascimento de qualquer quantidade. Logo, podemos escrever p(p ; t) = P [α t + h 1 (σ t)].[1 (α t + h 1 (σ t)] P 1 (0.3.2) Considerando a expansão binomial do 2 ō termo (binômio de Newton) e agrupando os elementos de ordem inferior a t, obtemos p(p ; t) = αp t + H(σ t) Por outro lado, temos que p(p ; t+ t) é a probabilidade de se ter menos que (P 1) elementos num instante t, acrescida da probabilidade de se ter dois ou mais elementos no intervalo (t, t + t), isto é, ou p(p ; t + t) = p(p ; t)(1 αp t) + p(p 1; t)α(p 1) t + H 1 (σ t) p(p ; t + t) p(p ; t) t = α(p 1)p(P 1; t) αp p(p ; t) + H 1(σ t) t Passando ao limite quando t 0, obtemos a equação diferencial dp(p ; t) = α[(p 1)p(P 1; t) P p(p ; t)] (0.3.3) Suponhamos que para t = 0 tenhamos P = P 0 (população inicial). Uma equação para P 0 deve ser análoga à equação (0.3.3) sujeita à observação: Pode-se ter P 0 indivíduos num instante t + t somente quando se tem P 0 no instante t e nenhum 27

28 nascimento no intervalo de tempo (t, t + t). Logo, ou p(p 0 ; t + t) = p(p 0 ; t)(1 αp 0 t) + H 2 (σ t) p(p 0 ; t + t) p(p 0 ; t) t Agora, considerando o limite com t 0, obtemos dp(p 0 ; t) = αp 0 p(p 0 ; t) + H 2(σ t t = αp 0 p(p 0 ; t) (0.3.4) As equações diferenciais (0.3.3) e (0.3.4) determinam as distribuições de probabilidades {p(p ; t)} P P0, P = P 0 + 1, P 0 + 2,..., P 0 + n, e portanto, o processo evolutivo de uma população, dada inicialmente por p(p 0 ; 0)). Se a população inicial P 0 for conhecida precisamente, isto é se p(p 0, 0) = 1, então a avaliação de p(p 0 ; t) é obtida da equação (0.3.4), através da solução do problema de valor inicial ou seja, p(p 0 ; t) = e αp 0t. dp(p 0 ;t) = αp 0 p(p 0 ; t) p(p 0, 0) = 1 (0.3.5) A evolução da população a partir de P 0, isto é, a obtenção de p(p 0 + n; t) é feita passo a passo, considerando-se a equação (0.3.3) dp(p 0 + 1; t) = α[p 0 p(p 0 ; t) (P 0 + 1)p(P 0 + 1; t)] Substituindo a expressão de p(p 0 ; t), obtida anteriormente de (0.3.5), vem dp(p 0 + 1; t) = αp 0 e αp 0t α(p 0 + 1)p(P 0 + 1; t)] (0.3.6) que é uma equação linear não-homogênia - Sua solução geral é dada pela soma de uma solução particular com a solução da equação homogênea correspondente: Temos que: p(p 0 + 1; t) = e α(p 0+1)t é a solução da equação homogênea associada a (0.3.6) e 28

29 é uma solução particular de (0.3.6). Então, p(p 0 + 1; t) = P 0 e αp 0t é a solução geral de (0.3.6). p(p 0 + 1; t) = [ke αt + P 0 ]e αp 0t Agora, como p(p 0 + 1; t) = 1 então p(p 0 + 1; 0) = 0 e portanto, k = P 0. Logo, p(p 0 + 1; t) = P 0 e αp 0t [ 1 e αt] Continuando o processo, obtemos de maneira análoga que p(p 0 + 2; t) = P 0(P 0 1) e αp0t (1 e αt ) 2 2 Donde, podemos conjecturar 1 que a probabilidade de se ter P 0 + n elementos no instante t é dada por p(p 0 + n; t) = P 0(P 0 + 1)...(P 0 + n 1) e αp0t (1 e αt ) n n! Considerando uma população geral P = P 0 + n, obtemos a expressão do modelo de Pielou estocástico: p(p ; t) = (P 1)! (P P 0 )!(P 0 1)! e αp 0t (1 e αt ) (P P 0) (0.3.7) Como a função densidade de probabilidade é dada por (0.3.7), podemos determinar seu valor esperado E(P ) (média populacional), isto é, P (t) = E(P ) = P p(p ; t) = P 0 e αt (0.3.8) P =0 Portanto, neste caso, o modelo determinístico (modelo de Malthus) expressa o estado médio obtido no processo estocástico. Observamos que este resultado, válido para o crescimento malthusiano, pode ser ou não verdadeiro em casos mais gerais A razão entre o desvio padrão D(P ) e E(P ) : 1 A demostração desta conjectura está bem clara no livro de Maki - Thompson [16] 29

30 CV (P ) = D(P ) E(P ), dá o coeficiente de variação de P. Temos que Logo D(P ) = P 0 e 2αt P 0 e αt = P 0 e αt (1 e αt ) 1/2 ( ) 1 e αt 1/2 CV (P ) = e portanto, CV (P ) 1 quando t. P0 P 0 Isto mostra que o erro de aproximação entre os modelos determinístico e estocástico varia inversamente com P 0,à medida que o tempo passa. Portanto, quanto maior a população inicial P 0, melhor será a aproximação entre a solução determinística e a solução estocástica Modelos Variacionais Fuzzy (veja[1]) Conforme a complexidade de um sistema aumenta, nossa habilidade de fazer afirmações precisas e significativas sobre seu comportamento diminui, até um limiar em que a precisão e relevância tornam-se praticamente características mutuamente exclusivas. Princípio da Incompatibilidade - Zadeh Os modelos estocásticos, como o de Pielou, são frequentemente utilizados para analisar variações sujeitas às distribuições de dados estatísticos. Entretanto, se pretendemos modelar alguma população onde seus elementos são heterogêneos relativamente a alguma característica, devemos considerar o comportamento desta característica no processo evolutivo. Por exemplo, se temos uma população de fumantes num instante t 0, sujeita a alguma taxa de mortalidade, podemos querer saber como estará composta esta população no futuro. Se considerarmos que cada indivíduo desta população é simplesmente fumante ou não-fumante o problema pode ser resolvido com um modelo determinístico, tomando separadamente ambas as populações - Por outro lado, se temos inicialmente uma distribuição de probabilidades 30

31 dos fumantes desta população, podemos usar um modelo estocástico para estudar a evolução desta distribuição inicial. Agora, se a característica de ser fumante depender da quantidade de cigarros que se fuma diariamente, qualidade dos cigarros, intermitência do ato de fumar etc., devemos caracterizar também o grau de ser fumante. Neste caso, cada indivíduo pertence à população de fumantes com um grau específico de pertinência : Se não fumar, seu grau de pertinência é zero- se fumar 3 carteiras diárias podemos dizer que é uma fumante de grau 1. No caso de se estudar a dinâmica de uma população, muitas vezes as informações que temos sobre os parâmetros e variáveis são parciais ou não temos certeza, nem mesmo, das condições iniciais. A população de predadores de uma determinada espécie pode ser considerada como um subconjunto fuzzy, se associarmos a cada predador seu grau de predação. Uma população de presas é composta de elementos cada qual com um grau distinto de ser presa, um jovem por exemplo é menos predado que um velho e doente. Os modelos variacionais fuzzy podem comportar vários tipos de subjetividades (fuzziness), dependendo da escolha da variável de estado e dos parâmetros dos modelos. Temos uma fuzziness demográfica quando a variável de estado é um subconjunto fuzzy, e fuzziness ambiental quando somente os parâmetros são considerados subconjuntos fuzzy. Em geral ambos os tipos de fuzziness estão presentes nos fenômenos biológicos. Os modelos formulados através de equações variacionais com fuzziness demográfica geralmente têm um tratamento matemático muito complexo a não ser que nos restrinjamos aos modelos lineares. As equações variacionais fuzzy têm sido estudadas por meio de distintos métodos. Os primeiros trabalhos na direção de contemplar subjetividades não aleatórias em sistemas dinâmicos [[?], [?]] utilizavam a derivada de Hukuhara. Este método não teve muito sucesso por conta da instabilidade das soluções pois proporciona o aumento do diâmetro das soluções. Um segundo método, bastante simples, é dado pelos sistemas dinâmicos p-fuzzy (puramente fuzzy) que são alimentados por um sistema de regras intuitivas ou fornecidas por especialistas. Um especialista pode fornecer informações que proporcionam associações de entrada e saída linguísticas e os sistemas fuzzy podem produzir estimativas de sistemas complexos sem a ajuda de modelos matemáticos. Um outro método ainda mais interessante, pelo menos pela sua aparente simplicidade, é aquele que faz uso do princípio de extensão de Zadeh. O método consiste basicamente em considerar um sistema fuzzy associado a um sistema determinístico com parâmetros e/ou condições iniciais fuzzy [[?], [?]]. Neste caso, obtemos 31

32 como solução uma família de curvas determinísticas sendo que, para cada possível valor do parâmetro e/ou condição inicial, a curva tem um grau de pertinência ao subconjunto fuzzy das soluções. Estes graus de pertinência são os mesmos de suas condições iniciais, ou seja, cada solução mantem o mesmo grau de pertinência do início [[?]]. Salientamos que os processos fuzzy adotados nos casos citados, para se estudar sistemas variacionais, são quase sempre provenientes ou derivados de sistemas determinísticos. Considerando-se que a habilidade das atividades humanas está sempre ligada à velocidade de operações, isto exige uma aproximação de dados e informações sensoriais, codificados por meio de termos imprecisos ou vagos. A manipulação de incertezas é uma atividade característica do ser humano, desenvolvida através de gerações. A etnomatemática não é muito mais que uma base de regras usada para entender ou resolver certas situações e não necessita de fundamentação matemática para mostrar que funciona. A troca da precisão pela velocidade é muitas vezes um fator decisivo na luta pela sobrevivência e, nos sistemas complexos, a precisão matemática perde sua força conforme o princípio de incompatibilidade de Zadeh. Entretanto, não queremos fazer uma apologia da imprecisão em detrimento da exatitude fornecida pela matemática clássica, simplesmente queremos mostrar ferramentas alternativas para modelar o raciocínio natural dos homens quando relacionado com o processo de mudanças de variáveis de estado. Em resumo podemos dizer que existem pelo menos três maneiras distintas de incorporar graus de subjetividade em sistemas dinâmicos fuzzy: 1. Usando a variação como sendo dada pela derivada de Hokuhara; 2. Usando uma base de regras e obtendo-se um sistema p-fuzzy; 3. Usando o Princípio de Extensão de Zadeh. Todos estes métodos são provenientes de estruturas que tem características baseadas na teoria fuzzy na qual o conceito de conjunto fuzzy é fundamental. Um subconjunto fuzzy A de um conjunto U é caracterizado por uma função µ A : U [0, 1], chamada grau de pertinência, onde µ A (x) atribui o grau com que o elemento x pertence ao subconjunto fuzzy A. µ A (x) indica o grau com que o elemento x de U está em concordância com o conceito que caracteriza os elementos de A. Observamos que se A for um subconjunto clássico de U, então os únicos valores de µ A (x) são um ou zero, dependendo se o elemento x está ou não em A. 32

33 Modelo fuzzy do tipo Malthusiano (variação fuzzy) Um modelo fuzzy do tipo malthusiano consiste de uma equação gerada pela hipótese de crescimento populacional proporcional à população em cada instante, considerando a variável de estado P como sendo um conjunto fuzzy em cada instante (cada indivíduo pode mudar seu grau de pertinência ao conjunto considerado com o tempo -Por exemplo, no conjunto dos predadores, a predação de cada indivíduo depende de sua idade). Seja P A (t) a função grau de pertinência do subconjunto fuzzy A para cada valor de t. Podemos subentender o subconjunto fuzzy A como sendo a própria função P A. Por simplicidade, denotamos o subconjunto fuzzy P A por P. Definimos o α-nível de um subconjunto fuzzy P,como sendo o subconjunto dos números reais, dado por: [P ] α = {x IR : P (x) α} se 0 < α 1 Quando os α-níveis de P forem intervalos fechados, colocaremos [P (t)] α = [P α 1 (t), P α 2 (t)] para cada t 0. O modelo fuzzy do tipo malthusiano é dado pela equação P (t) = ap (t) P 0 = P A (0) onde, P 0 é um conjunto fuzzy e a 0 (0.4.1) A solução desta equação (veja [8]) é obtida da solução do sistema de equações determinísticas de seus α-níveis: para cada α (0, 1]. dp α 1 dp α 2 = ap α 1 (t), P α 1 (0) = P α 01 = ap α 2 (t), P α 2 (0) = P α 02 (0.4.2) 33

34 Para cada α, a solução existe e é dada por { P1 α (t) = P01e α at (0.4.3) P2 α (t) = P02e α at onde [P01, α P02] α = [P (0)] α. itbpf in2.1845in0inf ig8.jpgitbpf 3.563in2.1897in0inf ig7.jpg F ig7 Solução de um modelo fuzzy-malthusiano com variação a decrescente Se [P (0)] 1 tiver somente um ponto, isto é, P 01 = P 02 = P 0 então [P (t)] 1 se comporta como a solução do modelo determinístico de Malthus: [P (t)] 1 = P 0 e at. A solução do modelo (0.4.1) quando a < 0, é obtida do sistema de α níveis dado por: dp α 1 = ap α 2 (t), P α 1 (0) = P α 01 dp α 2 = ap α 1 (t), P α 2 (0) = P α Sistemas Dinâmicos p-fuzzy: Fuzziness demográfica (0.4.4) Neste parágrafo vamos desenvolver exemplos de sistemas dinâmicos baseados em relacionamento e controle de regras cujo objetivo principal é considerar a incerteza nas próprias variáveis de estado, o que caracteriza a fuzziness demográfica. As soluções obtidas dos sistemas p-fuzzy são aparentemente mais grosseiras e menos exatas que as determinísticas mas muito mais realísticas pois englobam toda a subjetividade descrita por um especialista do fenômeno estudado. Evidentemente, quanto mais informações se tem, mais próximas da realidade serão as soluções. Os exemplos estudados aqui são específicos de dinâmica de populações. Claro que as técnicas da lógica fuzzy que são utilizadas aqui podem ser aplicadas a outras situações, como por exemplo, em epidemiologia ou mesmo em sistemas dinâmicos mais gerais. Controlador fuzzy e os sistemas dinâmicos Os controladores fuzzy são baseados em regras e por causa disto têm muitas vantagens sobre os modelos determinísticos. Vamos citar algumas:-o usuário compreende mais facilmente o significado de uma regra de inferência; Todas as infor- 34

35 mações contidas em uma regra foi testada ou pode ser induzida sem muitas dificuldades; O controlador agrega as informações contidas no conjunto de regras e fornece uma saída média usando expressões simples; O processamento das informações (cada regra é processada individualmente) é computacionalmente muito rápido, com resultados que podem ser testados manualmente e, se uma informação não for muito correta isto não influi substancialmente no resultado devido à robustez destes controladores ([[?]]). Para nossas aplicações vamos usar o controlador de Mamdani que consiste basicamente de três estágios: Uma entrada (fuzzificador), um processador (composto de uma base de regras e um método de inferência) e uma saída (defuzzificador). Como defuzzificador usamos o centro de massa embora qualquer outro não cause grandes alterações. itbpf 3.442in2.6143in0inmini11.jpg F ig8 Controlador de Mamdani Sistemas p-fuzzy Um controlador fuzzy proporciona ao usuário uma tomada de decisão cada vez que é acionado. Se realimentarmos o controlador, compondo cada saída com a próxima entrada obtemos um sistema iterativo equivalente a um sistema dinâmico discreto tradicional. Um sistema p-fuzzy em R n é um sistema dinâmico discreto, onde, a variação xk { x k+1 = x k + xk x 0 R n (0.4.5) é obtida por meio de um controlador fuzzy. Dependendo da situação estudada as variações podem depender também do tempo ou da posição de interação k. A arquitetura de um sistema p-fuzzy pode ser visualizada na Figura 9: itbpf in2.1949in0inmini12.jpg Fig 9 -Arquitetura de um sistema p-fuzzy A seguir daremos um exemplo de aplicação desta técnica de modelagem com um modelo simples do tipo malthusiano. 35