Seja o código de Hamming Binário C com m = 4. Pede-se:

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1 IE 56 A - Códigos de Bloco, espectro de peso. - Seja o código de Hamming Binário C com m = 4. Pede-se: a) Matriz H b) dmin e todas palavras-código com peso igual à dmin. c) Liste a coluna dos líderes de cosets do arranjo padrão ótimo com correspondentes síndromes. d) Código perfeito, quase-perfeito? Justifique.. - Repetir para o código de bloco ternário cuja matriz de paridade H tenha como suas colunas todas as m-uplas diferentes da coluna toda zero. Pede-se para m = :.3 - Repetir para o código de Hamming ternário com m =. Pede-se:.4 - Repetir para o código de Hamming binário com paridade nos bits e m = 3, pede-se:.5 - Seja o código binário C dado por sua matriz geradora G: G = Pede-se: a) Espectro de pesos do código C b) Pnd: probabilidade de erro não detetável do código C para canal BSC com p= - c) Espectro de pesos do código dual C usando as identidades de MacWillians

2 IE 56 A - Codigos ciclicos, polinomios gerador e de paridade. - ado o vetor-código X pertencente ao código cíclico binário C, pede-se: a) Todos deslocamentos cíclicos de X. b) etermine o restante dos vetores de C. c) Polinômio gerador g i () de C. Liste todos polinômios-código X(d) = a(d)g (d) e correspondentes polinômios a(). Associar vetores X e polinomios X(). Obs.: C : (7,4) d) h (d): polinômio cheque de paridade de C. e) Seja C o código cíclico gerado por g ()=h (), liste polinômios códigos: W()=b().g () ; polinômios b() ; vetores-códigos W. f) Verifique se os polinômios X ()= e X 3 ()= pertencem à C. g) W ()= Є C? ; W ()= Є C? h) Sub-espaços vetoriais associados a C e C são ortogonais? Justifique.. - ado o vetor-código X = pertencente a um código cíclico ternário C : (9,), pede-se: a) eslocamentos cíclicos de X. b) Vetores restantes de C. c) g (): Gerador de C e todos X()=()=a()g (). Associar X e X(). d) h (): polinômio de paridade de C e) Seja C : código cíclico gerado por g ()=h (). etermine 3 vetores-código de C e respectivos deslocamentos cíclicos (diferentes!)

3 IE 56 f) X ()= ; X 3 ()= pertencem à C? g) W= Є C? ; W ()= Є C? h) Sub-espaços vetoriais associados a C e C são ortogonais? Justifique.

4 IE 56 A - Códigos cíclicos: matrizes geradora e de paridade, código dual codificação do código sistemático.. - ado o polinômio gerador de um código cíclico binário C :(7,4), g ()=+ + 3, pede-se: a) Matriz geradora G b) Polinômio gerador g () e matriz geradora c) Para o código na forma sistemática, liste: a e x = a. G do código sistemático d) Polinômio cheque de paridade h (). Seja g () h () o polinômio gerador do código cíclico C, determine sua matriz geradora G G C e) G. T G =? Sub-ESP ortogonais? f) Polinômio gerador g 3 () e matriz geradora G 3 do código C 3 dual de C g) Obter a matriz G a partir da matriz G 3. Códigos C e C 3 são o mesmo código? Equivalentes? Justifique. h) Obter G. T G 3. Sub espaços ortogonais? i) Matrizes de paridade H e H 3 do código C e seu dual C 3 j) dmin (C)=?, dmin (C3)=? ê uma combinação de colunas da correspondente matriz de paridade e palavra código associada de peso = dmin.. - Idem para o polinômio gerador de um código cíclico ternário C :(9,), g ()= Código sistemático C gerado por g ()=+ + 3, pede-se: a) esenhar seu codificador b) Utilizando o circuito do codificador de C, codificar o vetor-mensagem m=

5 IE 56 A3 - Códigos Convolucionais: codificação 3. - esenhar um codificador para o código convolucional: C :(,,) e um para o código sistemático C :(3,,), pede-se: a) Parâmetros: (n, k, m), R taxa do código, comprimento da memória K, número de estados? b) Seqüências geradoras das saídas c) Matrizes geradoras G e G d) Para µ =, obter as saídas por inspeção, e pela equação de codificação = µ.g 3. - Repetir o problema 3. para dois códigos convolucionais não sistemáticos: C :(3,,) com K =K = e C (3,,) com K = e K =

6 IE 56 A4 - Códigos Convolucionais: representação polinomial; d free e T(x,y,z) 4. - adas as matrizes polinomiais geradoras dos códigos C e C : ( ) = [ +, + ] G + G + ( ) Pede-se: = + + a) Codificadores para C e C; parâmetros n, k, m, R e K para ambos códigos b) ados µ = e m =, determine v() = µ() G () e w() = m().g () para v() Є C e w() e C c) iagrama de estados e diagrama de treliça para C e d free (C ) d) iagrama de estados para C e d free (C ) e) iagrama de estados aumentado para x, y, z e espectro de pesos T(x, y, z) para C f) iagrama de estados aumentado para x e espectro de pesos T(x) para C

7 IE 56 A5 - Códigos catrastróficos e não catrastóficos; decodificação por máxima verossimilhança(algoritmo de Viberbi) 5. - Verificar se são catastróficos os códigos gerados por: a) G ( ) = [ +, + + ] + b) G ( ) = + + c) G ( ) = [ + + ] 3 d) iagrama de estados para código C 3 ; loop todo zero? ; d free (C 3 ) =? e) Para códigos C3 codificar µ =...(seqüência toda ). Em decodificação por máxima verossimilhança qual seria a sequência decodificada û? Probabilidade de erro do esquema com o código C 3? 5. - Seja o código convolucional C gerado por: G + ( ) = + a) Catastrófico? b) iagrama de estados? d free =? ada a tabela com métricas aproximadas (ver tabela no exemplo do livro do Lin & Costello) e usando o algoritmo de Viterbi decodificar r MC =(I I, I, I I, I I I ) e r BSC =(,,, ). eterminar v:caminho de máxima verossimilhança para os dois casos e métricas MC correspondentes.

8 IE 56 A6 - ecodificação por máxima verossimilhança para seqüência semi-infinita, d free pelo algoritmo Viterbi; limitantes superiores na probabilidade de erro Supor o codificador caracterizado pela matriz G = [+, ++ ]. Após um BSC, suponha a seqüência recebida: r=... e obtenha a seqüência decodificada û pelo algoritmo de Viterbi supondo que o comprimento ح do registro de decodificação de blocos de BITS de informação seja:, =ح (a 8 =ح (b 6. - Obter d free pelo algoritmo de Viterbi para os códigos gerados por: G +[+, ++ ] e G ()=[+, + ]. O que acontece no caso do código C e por quê? Supor o código C gerado por G =[+, ++ ] e um canal BSC com p= -3, pede-se: a) Limitante superior na probabilidade de erro de evento, P e (E); b) Limitante superior na probabilidade de erro de bit, P b (E). úvidas, comentários, sugestões: borelli@dt.fee.unicamp.br