UFSM-CTISM. Comunicação de Dados Aula-17

Transcrição

1 UFSM-CTISM Comunicação de Dados Aula-17 Professor: Andrei Piccinini Legg Santa Maria, 2012

2 Definição: Um código de Hamming adiciona um bloco de paridade a um bloco de dados, de forma a que, caso ocorram erros de transmissão, seja possível detectar ou corrigir erros do bloco transmitido. palavra código dados paridade c n o bits transmitidos d n o bits de dados p n o bits de paridade A implementação do codificador e do decodificador é muito simples, como se vai ver em seguida.

3 Ideia De todas as possíveis palavras de código, considerar como válidas apenas algumas. Exemplo: 000, A distância mínima entre as palavras de código é de 3 bits (distância de Hamming). Se um bit for corrompido, o receptor detecta uma palavra de código inválida e pode recuperar o original escolhendo a palavra de código válida mais próxima.

4 Algebra Linear e Aritmética Modulo 2 Aritmética modulo 2: Adição = XOR Produto = AND Algebra linear: Seja A uma matriz n m e x um vector de dimensão m. null(a), o espaço nulo de A, é o espaço gerado pelos vectores x que verificam Ax = 0. rank(a) é o n o de linhas/colunas linearmente independentes. Temos que rank(null(a)) + rank(a) = m. Exemplo: H = [ rank(h) = 2; null(h) = 000,111, rank(null(h)) = 1; rank(h) + rank(null(h)) = = 3. ]

5 Código de Hamming Um código de Hamming (c,d) é formado da seguinte maneira: Constroi-se uma matriz H cujas colunas são formadas por todos os vetores não nulos de dimensão p = c d. O código de Hamming consiste no espaço nulo da matriz H, i.e., as palavras de código verificam Hc = 0. Exemplo: Código (3,1) -> 1 bit dados + 2 bits redundância [ ] H = O espaço nulo de H é composto pelos vetores [000] e [111] (Verifique!)

6 Detecção de erros Como as palavras de código pertencem ao espaço nulo de H, é muito simples verificar se houve erro de transmissão: Basta verificar se a palavra recebida r pertence ao espaço nulo! Se Hr = 0, então r pertence ao espaço nulo OK! Se Hr 0, então r não pertence a null(h) ERRO! Exemplo: Se c = 000 e r = 000, Hr = [00] sem erros Se c = 000 e r = 001, Hr = [11] erros detectados Se c = 000 e r = 101, Hr = [10] erros detectados Se c = 000 e r = 111, Hr = [00] sem erros Note que se existirem 3 erros é recebida uma palavra válida e não são detectados erros (não há milagres!)

7 Correção de erros Detecta-se um erro quando Hr 0. Como se pode saber qual o erro que ocorreu? Suponhamos que ocorreu um erro na posição i. Usando um vector e i = [ ] para representar a posição onde ocorre o erro, temos que r = c + e i. Então, Hr = H(c + e i ) = Hc + He i = He i. Mas He i corresponde à i-ésima coluna de H. Portanto, calculando Hr e procurando em H, obtemos a posição i onde ocorreu o erro. Para o corrigir, basta invertê-lo.

8 Como escolher o número de bits de paridade? O número de colunas de H é igual a 2 p 1, que deve ser compatível com a dimensão do vector r. Então d + p = 2 p 1 Regra de Hamming d + p+1 2 p Se a igualdade se verificar, diz-se que é um código perfeito. Os códigos de Hamming designam-se pelo par (c,d) Exemplos: p d c código (7,4) (15,11) (31,26)

9 Exemplo: Código de Hamming (7,4) Palavras de código: Codificação: Pesquisar na tabela a palavra de código cujos 4 primeiros bits são os dos dados que se pretendem codificar. Adicionar a paridade correspondente Fonte Cod. Canal Decod. Hr = [100]

10 Exemplo: Código de Hamming (7,4) Palavras de código: Codificação: Pesquisar na tabela a palavra de código cujos 4 primeiros bits são os dos dados que se pretendem codificar. Adicionar a paridade correspondente. H =

11 Desempenho dos códigos de Hamming O Taxa de transmissão é: R = d c = 2p p 1 2 p 1 Aumentando o tamanho das palavras de código, é possível fazer R 1. No entanto, a probabilidade de erro na decodificação também converge para 1: A probabilidade de a decodificação ser correta corresponde a haver até um erro numa palavra de comprimento c. Num canal binário simétrico com probabilidade de erro p e a probabilidade de decodificação correta de um código (c, d), é dada por: (1 p e ) c + cp e (1 p e ) c 1 cujo limite é zero quando c.

12 Desempenho dos códigos de Hamming Distância minima de uma código de Hamming pode ser determinado através da matriz H ou com uma analise das palavras código. Calculando a distância minima através da matriz H: A distancia mínima do código será determinada pelo numero mínimo de colunas da matriz H que devem ser somadas para se obter o vetor nulo. Exemplo: H = A distancia mínima para o código cuja matriz H foi dada acima é 3, porque são necessaria a soma de no mínimo 3 colunas para obtermos o vetor nulo.

13 Desempenho dos códigos de Hamming Distância minima de uma código de Hamming pode ser determinado através da matriz H ou com uma analise das palavras código. Calculando a distância minima através das palavras código: A distancia mínima do código será determinada pela menos distancia entre duas palavras código lembrando que o vetor nulo sempre corresponde a uma palavra código. Exemplo: Se calcularmos as distâncias entre todas as palavras código o menor valor obtido corresponde a distância minima para o código. Nesse exemplo igual a 3.

14 Desempenho dos códigos de Hamming capacidade de detecção o número de erros que podem ser detectados utilizando um código de Hamming dependerá da distancia minima (d MIN ) do código utilizado. e o número máximo de erros detectados será dado por: capacidade de correção d MIN = e d + 1 e d = d MIN 1 o número de erros que podem ser corrigidos utilizando um código de Hamming também dependerá da distancia minima (d MIN ) do código utilizado. e o número máximo de erros corrigidos será dado por: d MIN = 2e c + 1 e c = d MIN 1 2