Aproximação Unidimensional para Condução de Calor em Superfícies Estendidas

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1 Aproximação Unidimensional para Condução de Calor em Superfícies Estendidas Disciplina: DEM/FEB/UNESP/Bauru

2 Aproximação Unidimensional de um Problema Bidimensional Balanço energético: h,t dq conv q x dq x E s q x dq x dq x =dq conv Ė =q e x dq conv q x dx dq x = d dx k A sr dt dx dq conv =h P dx T T q x x dx x k e A sr constantes k A sr d 2 T dx 2 =h P T T d 2 T dx 2 h P k A sr T T =0

3 Condicionando a E.D.O. para homogeneizar a equação: =T T d dx = dt dx d 2 dx = d 2 T 2 dx 2 d 2 T dx 2 h P k A sr T T =0 d 2 dx 2 m2 =0 ou ' ' m 2 =0 d 2 dx 2 h P k A sr =0 m 2 sendo que: m= h P k A sr

4 Solução da E.D.O. ' ' m 2 =0 sendo a solução geral: =A exp b x As derivadas ficam: { '= A b exp b x ' '= A b 2 exp b x e na EDO: A b 2 exp b x m 2 A exp b x =0 b 2 m 2 =0 ou b=±m A solução final é resultado da combinação linear das raízes obtidas: =C 1 exp m x C 2 exp m x Uma solução equivalente em termos de funções hiperbólicas: =C 1 ' senh m x C 2 ' cosh m x

5 Aplicação de Condição de Contorno na parede x=0 T x=0 =T b 0 =T b T = b 0 =C 1 exp m 0 C 2 exp m 0 b =C 1 C 2 (Condição I) 0 = C 1 senh m L C 2 cosh m L x '=L x A outra solução é utilizada uma orientação : = C 1 senh[m L x ] C 2 cosh[m L x ] x ' x ' x=0 T x=0 =T b 0 =T b T = b b = C 1 senh m L C 2 cosh m L x (Condição II) x '

6 A condição na outra ponta Condições típicas na outra face: Aleta muito longa Aleta sem troca de calor na ponta (adiabática) Aleta engastada a outra parede Aleta com convecção na ponta

7 Aleta muito Longa x T =T x =T T =0 x =C 1 exp C 2 exp =0 C 1 =0 =0 Usando este resultado associado à Condição I : b =C 1 C 2 =C 2 C 2 = b Assim, a solução para o perfil de temperaturas na aleta é: x = b exp m x ou T x T = T b T exp m x ou ainda: x b = T x T T b T =exp m x

8 Calor Dissipado em uma Aleta muito Longa O fluxo de calor na aleta respeita a igualdade: Calor que entra pela base por = q dis = Condução ' x k A sr dt dx Calor que é dissipado por Convecção x L x=0= 0 h P T T Utilizando o Calor que entra pela base por Condução : q dis = k A sr ' x=0 sendo que ' x = m b exp m x Assim: q dis = k A sr m b =k A sr h P k A b = h P k A sr b sr dx

9 Aleta com ponta adiabática x=l T ' L =0 ' L =0 usando x = C 1 senh[m L x ] C 2 cosh[m L x ] ' x = m { C 1 cosh[m L x ] C 2 senh[m L x ]} Assim ' L = m [ C 1 cosh 0 C 2 senh 0 ]= m C 1 C 1 =0 Utilizando a Condição II: b = C 2 cosh m L C 2 = A solução final fica: x b b cosh m L = T x T T b T = cosh[m L x ] cosh m L

10 Calor Dissipado numa Aleta com ponta adiabática Novamente o Calor que entra pela base por Condução é: q dis = k A sr ' x=0 sendo que ' x = m { b cosh m L senh[m L x ] } que substituída na equação acima: q dis =k A sr h P { b k A sr cosh m L senh m L } Rearranjada, esta equação fica: q dis = h P k A sr b senh m L cosh m L = h P k A sr b tanh m L

11 Aleta engastada em outra parede com temperatura conhecida x=l T L =T L L =T L T = L usando x=l = C 1 senh 0 C 2 cosh 0 C 2 = L Utilizando a Condição II: b = C 1 senh m L L cosh m L x b ou x b = T x T T b T C 1 = b L cosh m L senh m L = 1 L/ b cosh m L senh [m L x ] L cosh[m L x ] senh m L b = L/ b senh m x senh[m L x ] senh m L

12 Fluxo de Calor em Aleta Engastada Novamente o Calor que entra pela base por Condução é: q dis = k A sr ' x=0 { sendo ' x =m L/ b cosh m x cosh[m L x ] } b senh m L que substituída na equação acima: q dis = k A sr h P { L/ b cosh m L } k A sr senh m L Rearranjada, esta equação fica: q dis = h P k A sr b[ cosh m L L/ b senh m L ]

13 Aleta com Convecção na ponta x=l k T ' L =h T L T k ' L =h L k m C 1 =h C 2 C 1 = h m k C 2 Utilizando a Condição II: b = C 2 [ Assim x = T x T = b T b T h m k senh m L cosh m L ] b C 2 = h/ m k senh m L cosh m L h/ m k cosh [m L x ] senh[m L x ] h/ m k senh m L cosh m L

14 Calor Dissipado por Aleta com Convecção na ponta Novamente o Calor que entra pela base por Condução é: q dis = k A sr ' x=0 sendo ' x = m b { que substituída na equação acima: q dis =k A sr h P [ k A sr e rearranjada, esta equação fica: b[ q dis = h P k A sr h/ m k cosh [m L x ] sinh [m L x ] h/ m k senh m L cosh m L } h/ m k cosh m L sinh m L ] h/ m k senh m L cosh m L h cosh m L sinh m L ] m k h senh m L cosh m L m k

15 Aproximação Unidimensional para Condução de Calor em Superfícies Estendidas (continuação) Disciplina: DEM/FEB/UNESP/Bauru

16 Efetividade de Aletas Definição: É a relação entre o calor trocado pela superfície com a presença da aleta em relação ao valor sem a sua presença. = q com aleta q sem aleta Para o caso de uma aleta infinita: = h P k A sr b h A sr T s T b = h P k A sr h A sr = k P h A sr Assim sendo 1 - indicado 2

17 Eficiência de uma Aleta Definição: É a relação entre o calor trocado por uma aleta real e uma outra hipotética onde a temperatura é uniforme e igual à da base. = q real q ideal = q dis h A conv b e como A conv =P L as expressões para os casos anteriores fica: aleta infinita: = h P k A sr b h P L b ponta adiabática: = h P k A sr b tanh m L h P L b = k A sr h P 1 L = 1 m L = tanh m L m L

18 Resistência Térmica de uma Aleta Da definição de Resistência térmica: R ter = T q = b q dis Usando expressões para o fluxo de calor anteriormente calculadas: 1 aleta infinita: q dis = h P k A sr b R ter = h P k A sr ponta adiabática: q dis = h P k A sr b tanh m L 1 R ter = h P k A sr tanh m L 1 eficiência de uma aleta: q dis = h A conv b R ter = h A conv

19 Hipótese de Aleta Infinita A hipótese de aleta infinita depende é valida a partir da seção em que não há mais condução na direção normal à parede uma hipótese de teste é comparar o calor dissipado com uma aleta de ponta adiabática quando a diferença entre os dois fluxos de calor é menor que 1%, ela é considerada infinita q iso = h P k A sr b tanh m L q h P k A sr b 2,65 0,99 m L atanh 0,99 para que uma aleta se comporte como infinita: L 2,65 m

20 Trabalhando com aletas em paredes planas largas considere o caso que vai analisar a melhora na troca de calor por unidade de largura de uma parede plana supõe-se que a espessura tem tamanho desprezível em relação à sua largura, logo: m= h P k A sr = h 2 W t k W t e se W t tem-se m= 2 h k t q = h P k A sr b = h 2 W t k W t b e se W t tem-se: q W =q '= 2 h k t b

21 Comprimento Corrigido o comprimento corrigido é um artifício para se trabalhar com aletas que apresentam convecção como se fossem de ponta adiabática L c desta forma a área da ponta é convertida numa extensão do seu comprimento L c. o comprimento é corrigido de maneira a se obter a mesma área de troca para aleta: A sr =P L c L c = A sr P

22 Comprimento Corrigido em Geometrias L c = A sr P = D2 /4 D L c = D 4 t w L c = A sr P se W t tem-se: L c = W t 2 W t L c = L c = t 2 W t 2 W t

23 Aletas de Seção Transversal não Constante a solução da EDO utilizada não é válida pois área de seção reta não é constante a EDO, neste caso, é: d dx A sr d dx = h P x k ela deve ser resolvida dependendo das funções A(x) e P(x). soluções normalmente bastante complexas e, nestes casos especificamente, é usual se trabalhar com Gráficos de Rendimento.

24 Gráfico de Rendimento para Aletas Circunferenciais R 2c / R2c/R1 R Rendimento ( ) R 2c =R 2 t 2 L c = R 2c R Lc^{3/2} sqrt{h/(k h Lc t)} L c 3/2 k L c t

25 Gráficos para Aletas Triangulares e Parabólicas