Trigonometria e Números Complexos

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1 Universidade do Sul de Santa Catarina Trigonometria e Números Complexos Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 007

2 Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Rua João Pereira dos Santos, 303 Palhoça - SC Fone/fax: (48) e cursovirtual@unisul.br Site: Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêmico Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Fabian Martins de Castro Pró-Reitor Administrativo Marcus Vinícius Anátoles da Silva Ferreira Campus Sul Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Diretora adjunta: Alexandra Orsoni Campus Norte Diretor: Ailton Nazareno Soares Diretora adjunta: Cibele Schuelter Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora adjunta: Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Administração Renato André Luz Valmir Venício Inácio Bibliotecária Soraya Arruda Waltrick Cerimonial de Formatura Jackson Schuelter Wiggers Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Cátia Melissa S. Rodrigues (Auxiliar) Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Mauri Luiz Heerdt Mauro Faccioni Filho Michelle Denise Durieux Lopes Destri Moacir Heerdt Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Patrícia Pozza Raulino Jacó Brüning Rose Clér E. Beche Tade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância) Design Gráfico Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Vilson Martins Filho Gerência de Relacionamento com o Mercado Walter Félix Cardoso Júnior Logística de Encontros Presenciais Marcia Luz de Oliveira (Coordenadora) Aracelli Araldi Graciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. Pereira José Carlos Teixeira Letícia Cristina Barbosa Kênia Alexandra Costa Hermann Priscila Santos Alves Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Eduardo Kraus Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (Coordenador) Adriana Silveira Caroline Mendonça Dyego Rachadel Edison Rodrigo Valim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Josiane Conceição Leal Maria Eugênia Ferreira Celeghin Rachel Lopes C. Pinto Simone Andréa de Castilho Tatiane Silva Vinícius Maycot Serafim Produção Industrial e Suporte Arthur Emmanuel F. Silveira (Coordenador) Francisco Asp Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Secretaria de Ensino a Distância Karine Augusta Zanoni (Secretária de Ensino) Ana Luísa Mittelztatt Ana Paula Pereira Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina Sbardella Franciele da Silva Bruchado Grasiela Martins James Marcel Silva Ribeiro Lamuniê Souza Liana Pamplona Marcelo Pereira Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon Olavo Lajús Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins Equipe Didáticopedagógica Capacitação e Apoio Pedagógico à Tutoria Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Caroline Batista Enzo de Oliveira Moreira Patrícia Meneghel Vanessa Francine Corrêa Design Instrucional Daniela Erani Monteiro Will (Coordenadora) Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Dênia Falcão de Bittencourt Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Ligia Maria Soufen Tumolo Márcia Loch Viviane Bastos Viviani Poyer Núcleo de Avaliação da Aprendizagem Márcia Loch (Coordenadora) Cristina Klipp de Oliveira Silvana Denise Guimarães Pesquisa e Desenvolvimento Dênia Falcão de Bittencourt (Coordenadora) Núcleo de Acessibilidade Vanessa de Andrade Manuel

3 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância. Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual.

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5 Rosana Camilo da Rosa Eliane Darela Paulo Henrique Rufino Trigonometria e Números Complexos Livro didático Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes ª edição revista e atualizada Palhoça UnisulVirtual 007

6 Copyright UnisulVirtual 007 Nenhum a parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição. Edição -Livro Didático ProfessoresConteudistas Rosana Cam ilo da Rosa Eliane Darela Paulo Henrique Ru.no Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes ISBN Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagram ação Fernando Roberto Dias Zim m erm ann Revisão Ortográfica BB R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes.. ed. rev. e atual. Palhoça : UnisulVirtual, p. : il. ; 8 cm. Inclui bibliografia. ISBN Trigonometria.. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca U niversitária da U nisul

7 Sumário Apresentação Palavras dos professores Plano de estudo UNIDADE 1 Estudando a Trigonometria nos Triângulos UNIDADE Conceitos Básicos da Trigonometria UNIDADE 3 Estudando as Funções Trigonométricas UNIDADE 4 Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas UNIDADE 5 Números Complexos Para concluir o estudo Sobre os professores conteudistas Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação Referências Anexo

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9 Palavras dos professores Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura. É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentiválo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos. Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades. Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos. Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco. Profª. Eliane Darela, Msc. Prof. Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.

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11 Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos deste processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais). Carga Horária 60 horas 4 créditos. Ementa Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos.

12 Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivo(s) Geral A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade. Específicos Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Introduzir o conceito das funções circulares. Reduzir arco ao 1º quadrante. Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas. Resolver equações e inequações trigonométricas. Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo. Compreender o conceito de números complexos. Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. 1

13 Trigonometria e Números Complexos Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Conteúdo programático/objetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 5 Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais. Unidade - Conceitos Básicos da Trigonometria Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas. 13

14 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas. Unidade 5 - Números Complexos Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número. Agenda de atividades/ Cronograma Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina. 14

15 Trigonometria e Números Complexos Atividades Avaliação a Distância Avaliação Presencial Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal) 15

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17 UNIDADE 1 Estudando a Trigonometria nos Triângulos 1 Objetivos de aprendizagem Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Seções de estudo Seção 1 Seção Seção 3 Introdução à Trigonometria Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos

18 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto. A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia. Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades. SEÇÃO 1 Introdução à trigonometria O que é trigonometria? Tri = três gonos = ângulos metria = medição Logo, trigonometria significa medição de três ângulos. 18

19 Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º). O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.c a.c.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. Para compreender, acesse o site sugerido na seção saiba mais ao final desta unidade. Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.c a.c.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Unidade 1 19

20 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo: Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros; Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros; Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros. Figura 1.1: Representação da situação problema Na figura 1., tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados. 0

21 Trigonometria e Números Complexos Figura 1.: Representação da distância percorrida e da altura Temos: ABS ~ ACT ~ ADU Logo: BS AS constante). = CT DU AT = AU 30 = = = 0, 6 (valor Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α. Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados. Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal Temos: AB AS constante). = AC AD AT = AU 40 = = = 0, 8 (valor Unidade 1 1

22 Universidade do Sul de Santa Catarina Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α. Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal. Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal Temos: BS AB constante). = CT DU AC = AD 30 = = = 0, 75 (valor Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α. Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo.

23 Trigonometria e Números Complexos Generalizando, tem-se: Figura 1.5: Triângulo retângulo Na figura, 1.5 tem-se: O triângulo ABC é retângulo em A; O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a); Os lados b e c denominam-se catetos; O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α; O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. Você lembra do Teorema de Pitágoras? O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a =b +c Unidade 1 3

24 Universidade do Sul de Santa Catarina Desta forma, tem-se: cateto oposto b senβ = = hipotenusa a cateto adjacente c cos β = = hipotenusa a cateto oposto b tgβ = = cateto adjacente c De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática? Retrospectiva histórica Pitágoras viveu há.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 ac. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática. 4

25 Trigonometria e Números Complexos Figura 1.6 Pitágoras Fonte: Capturado em 09/04/006 Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas. O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia. Saiba mais Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, História da Matemática. Ângulos notáveis Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade. Unidade 1 5

26 Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela: 6

27 Trigonometria e Números Complexos Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º. Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos. Você sabia... Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan. Unidade 1 7

28 Universidade do Sul de Santa Catarina Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento. 1) Calcule o valor de x: Figura 1.7: Triângulo retângulo Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente. cateto oposto tg 55º = cateto adjacente x tg 55º = 3 x 1, 48 = 3 x = 4, 84cm ) Determine o valor de x: Figura 1.8: Triângulo retângulo 8

29 Trigonometria e Números Complexos Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x. sen 30º = x sen 30º = 16 1 x = 16 x = 16 x = 8cm cateto oposto hipotenusa 3) Encontre o valor de x: Figura 1.9: Triângulo retângulo Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x. cos 60º = 10 cos 60º = x 1 10 = x x = 0 cm cateto adjacente hipotenusa Unidade 1 9

30 Universidade do Sul de Santa Catarina E então? Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos? Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem). Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo: P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede,4 m. Modelo real Modelo matemático Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1 Solução: A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de,4 m, que corresponde a sombra do poste. 30

31 Trigonometria e Números Complexos tg 68º = tg 68º = x, 4 x, 475 =, 4 x = 5, 94 m Lembre-se: cateto oposto cateto adjacente A tg 68º=,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica. Resposta: A altura do poste é de 5,94 m. P) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará? Modelo real Modelo matemático Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P Solução: Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros. Unidade 1 31

32 Universidade do Sul de Santa Catarina sen 36º = x sen 36º = 80 x 0, 588 = 80 x = 47, 04 m cateto oposto hipotenusa Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros. P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 0º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.1: Modelo real e matemático do problema P3 Solução: A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.1 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 0º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros. 3 tg 0º = x tg 0º = 50 x 0, 364 = 50 x = 18, 0 m cateto oposto cateto adjacente

33 Trigonometria e Números Complexos Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,0 + 1,50 = 19,70 metros. Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros. Você sabia... Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais. Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática. Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco... Retrospectiva Histórica Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.c a.c.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica. Unidade 1 33

34 Universidade do Sul de Santa Catarina Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste. Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 17 a.c. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria. Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores. SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade. Você sabia... Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º. 34

35 Trigonometria e Números Complexos Lei dos senos Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio. Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 10º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo. Teorema Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a b c = = ^ ^ ^ sen A sen B sen C Unidade 1 35