Solução e Optimização de Modelos com Incertezas

Transcrição

1 Engenharia de Processos e Sistemas Solução e Optimização de Modelos com Incertezas Fernando Bernardo Mar 20 Modelação de incertezas Solução de modelos com parâmetros incertos: cálculo do valor esperado Técnicas de integração multidimensional Optimização e incertezas

2 Modelação, decisão e incertezas Dado o modelo x= f ( d, θ ) h( x, d, θ ) = 0 x variáveis de estado (previsões do modelo, incluindo índices de desempenho) d variáveis de entrada que são graus de liberdade (decisões) θ - parâmetros incertos Questões:. Como modelar as incertezas? Cenários? Distribuições de probabilidade? 2. Qual o valor esperado de x face a θ? E o valor para o pior cenário? Se θ seguir uma determinada distribuição de probabilidades, qual a correspondente distribuição para x? 3. E quanto às decisões d? Como devo decidir face às incertezas θ e tendo em consideração um dado objectivo relacionado com x? 2

3 Modelação, decisão e incertezas Dado o modelo x= f ( d, θ ) h( x, d, θ ) = 0 x um qq índice de desempenho de um processo ou sistema d tecnologias alternativas, dimensionamento, condições de operação θ - parâmetros físico-químicos, parâmetros da análise económica (custos, receitas, cenários futuros). Como trato quantitativamente os parâmetros incertos? Considero cenários discretos ou distribuições de probabilidade contínuas (uniformes, normais)? 2. Qual o valor esperado (média) do desempenho? E o valor para o pior cenário? 3. Como optimizo o processo ou sistema face a incertezas? Na fase de projecto, por exemplo, aplico factores de sobredimensionamento ou pondero a decisão de forma mais calculada? Decido face ao cenário médio ou face ao pior cenário possível? 3

4 Modelação das incertezas Dado o modelo x= f ( d, θ ) h( x, d, θ ) = 0 Vamos começar pela modelação prévia das incertezas.. Parâmetros incertos descritos por cenários discretos: { θ : p( θ ) w, i,, } Θ= = = i i i 2. Função de densidade de probabilidade (FDP) contínua (e.g. normal): Θ= { θ : θ ~ j( θ )} 4

5 Dado o modelo x= f ( d, θ ) h( x, d, θ ) = 0 Valor esperado de x face a Θ:. { θ : p( θ ) w, i,, } Θ= = = i i i Modelação das incertezas e valor esperado E ( x) w x ( d, θ ) Θ = i= i i i Cálculo trivial. Difícil é definir um conjunto de cenários representativo Θ= { θ : θ ~ j( θ )} 2. Difícil: E ( x) x( d, θ ) j( θ ) dθ Θ = Θ integral de dimensão n (n = nº de parâmetros incertos) j(θ) de formato variável e c/ ou s/ parâmetros correlacionados Aproxima-se o integral a partir de N pontos de integração, com pesos w i Várias técnicas de integração EΘ ( x) = x( d, θ ) j( θ ) dθ wi xi ( d, θi ) Θ i= 5

6 Exemplo para introduzir conceitos e ilustrar resultados Exemplo Sistema RPC (Reactor + Permutador de Calor) Reacção muito exotérmica, necessário arrefecer mistura reagente num permutador externo F 0 R C A C A0 T 0 V, T T F T T w2 A PC T 2 F w T w 6

7 Tabela 2.. Modelo matemático do sistema RPC. Balanço mássico à espécie A no reactor E F F ( x ) k exp C V = 0, C = C ( x 0 0 A R A A A0 A RT Balanço entálpico ao reactor F0c p ( T0 T ) F cp ( T T2 ) + ( H R ) F0 xa = 0 Equação de projecto do permutador de calor ( T Tw2 ) ( T2 Tw ) F cp ( T T2 ) = AU Tlm, Tlm = T Tw2 ln T T Balanço entálpico ao permutador de calor F cp ( T T2 ) = Fwc pw( Tw2 Tw ) 2 w Limites nas temperaturas (K) 3 T 389, 3 T2 389, 294 T w Restrições nas temperaturas no permutador T T2 0, Tw2 Tw 0 T T., T T. Restrição na conversão de A x 0.9 w2 2 w Função custo anual ($/ano) C = 69.2V A +.76F F Função lucro anual ($/ano) A P= 5000x A C Variáveis: V volume do reactor (m 3 ) A área de transferência de calor do permutador (m 2 ) F caudal da mistura reagente no permutador (kmol/h) F w caudal de água de arrefecimento (kg/s) x A conversão de A no reactor T temperatura do reactor (K) T 2 temperatura da mistura reagente após arrefecimento (K) T w2 temperatura de saída da água de arrefecimento (K) F 0 C A0 T 0 R w V, T C A T F T T w2 A PC T 2 F w T w 7

8 Tabela 2.2. Parâmetros do modelo RPC. C A0 Concentração de A na alimentação kmol/m 3 F 0 Caudal da alimentação (A puro) kmol/h T 0 Temperatura da alimentação 333 K T w Temperatura de entrada da água de arrefecimento 293 K k R Pré-exponencial de Arrhenius 2 h U Coeficiente global de transferência de calor no permutador 635 kj/(m 2.h.K) E/R Razão entre a energia de activação e a constante dos gases perfeitos K H R Entalpia da reacção kj/kmol c p Calor específico da mistura reagente 67.4 kj/(kmol.k) c pw Calor específico da água de arrefecimento 4.84 kj/(kg.k) F 0 R C A C A0 T 0 V, T T F T T w2 A PC T 2 F w T w 8

9 Simples Simulação Dados V, A, T0, F, Fw e Tw F 0 R C A Modelo: - Bal. mássico a A no reactor - Bal. entálpico ao reactor - Eq. projecto PC - Bal. entálpico ao PC Parâmetros: kr, U, Sistema NL de 4 eqs. C A0 V, T T T 0 F T A PC T 2 Resultados: T w2 F w T w Calcula-se os estados xa, T, T2 e Tw2 8xA, T, T2, Tw2< 9

10 Agora com parâmetros incertos Dados V, A, T0, F, Fw e Tw F 0 R C A k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) C A0 V, T T T 0 F T T w2 A PC T 2 F w T w Calcula-se os estados xa, T, T2 e Tw2. Modelo de cenários U (kj/(m 2.h.K) Probabilidade w i = {0.6,0.,0.,0.,0.} 5 = E( x ) w x ( d, θ ) A i Ai i i= k R (h - ) 0

11 Resultados wi xa THKL T2HKL Tw2HKL E( x ) = w x ( k, U ) = A i Ai Ri i i= U (kj/(m 2.h.K) Probabilidade w i = {0.6,0.,0.,0.,0.} k R (h - )

12 2. Modelo de distribuições contínuas de probabilidade kr e U seguem distribuições normais k R = 2 ± 20% (h ) µ = 2, σ =0.2*µ/3 U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) µ = 635, σ =0.2*µ/3 Para calcular valor esperado de xa é necessário calcular o integral: + + E( x ) x ( k, U ) j( k, U ) dk du = A A R R R Para n parâmetros incertos, o integral é de dimensão n. Difícil de estimar. 2

13 Técnicas de integração. Cubatura-produto A técnica de integração mais imediata consiste em aplicar uma fórmula de integração (e.g. quadratura de Gauss-Legendre) a cada uma das dimensões, obtendo-se uma fórmula denominada de cubatura-produto. Originalmente, os pontos de integração são conhecidos no espaço U = [0;] n (n=2: quadrado unitário; caso geral: n-cubo) 5 pontos em cada dimensão exactidão polinomial de grau 9 (em ordem a x j ) n = 2, N = 5 2 = 25 pontos x( u, u ) j( u, u ) du du 25 i= w x ( u, u ) j ( u, u ) i i i 2i i i 2i Para n parâmetro incertos tem-se 5 n pontos. Para n = 0, 5 0 ~ 0 7 pontos! Fórmulas do tipo produto tornam-se impraticáveis para n grande. 3

14 Técnicas de integração. Transformação para o espaço de interesse Para integrarmos na região de interesse temos de fazer a translação dos pontos padrão [0;] n para o espaço de interesse. Para cada dimensão: L U θ = θ + ( θ θ L ) u Truncando a distribuição normal a 3σ: L θ = µ 3σ U θ = µ + 3σ 3σ 4

15 Técnicas de integração. Transformação para o espaço de interesse n-cubo Espaço das incertezas UHkJêHm 2.h.KL Transformação: θ = θ L + ( θ U θ L ) u k R Hh - L 5

16 Cubatura-produto especializada Para distribuições normais, é possível construir uma cubatura-produto com menos pontos, a partir da quadratura de Gauss-Hermite, própria para integrais com função peso g(u) = exp( u 2 ). 2 x( u)exp( u ) du A FDP normal numa dimensão é: j ( θ µ ) ( θ ) = exp / 2 2 (2 π ) σ 2σ 2 É então necessária a transformação: u 2 ( θ µ ) = 2 2σ θ = µ + 2σ u Os n/ pontos de interesse, no espaço das incertezas 2 Pontos normalizados (de Gauss-Hermite) 6

17 Exemplo 2D 3 pontos de Gauss-Hermite em cada dimensão total de 3 2 pontos Transformação para o espaço de interesse UHkJêHm 2.h.KL Pontos numa dimensão: Pesos respectivos: 2,, , 0, 2 2 Os pesos em 2D obtêm-se por multiplicação Ponto ( 6 / 2;0 ) com peso / 6 2 / 3 Este 9 pontos representam bem o espaço probabilístico k R Hh - L 7

18 Valor esperado de xa 2000 UHkJêHm 2.h.KL E( x ) w x ( k, U ) = A i Ai Ri i i= 3 pontos em cada dimensão exactidão polinomial de grau 3 (em ordem a xa) k R Hh - L wi xa THKL T2HKL Tw2HKL

19 Transformação geral para dimensão n e contemplando eventuais correlações θ ( u) = µ + I Σ 2 / 2 Vector de médias Matriz de covariância: u I = Σ= S. C. S Para dimensão 2: 2 σ 0 ρ σ ρσσ 2 S=, C, e então: 0 σ = 2 2 ρ Σ= ρσσ 2 σ 2 9

20 Correlação positiva ρ = 0.6 S/ correlação 2000 UHkJêHm 2.h.KL UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L k R Hh - L 20

21 Cubaturas genuínas Até agora vimos fórmulas de integração do tipo cubatura-produto: - Gauss-Legendre, aplicável a qq dist. de probabilidades e com N = 5 n pontos - Gauss-Hermite, para dist. normais e N = 3 n As cubaturas genuínas são construídas de raiz para um espaço multidimensional. As cubaturas construídas para integrar no n-cubo (adequadas para qq dist. de prob.) só são úteis em pequenas regiões; podem construir-se fórmulas compostas dividindo-se o n-cubo em subdomínios (tópico aqui não tratado) Há cubaturas construídas para o integral T x( u)exp( u u) du, u R n / 2 Com a transformação θ ( u) = µ + I Σ u 2, podemos usá-las para estimar o valor esperado face a distribuições normais de dimensão n 2

22 Cubatura especializada SC5 Uma desta cubaturas especializadas (designada por SC5) tem apenas N = 2 n +2n pontos (válida para n >= 3, exactidão polinomial de grau 5) Para n=3 Espaço U - 0 Transformação para o espaço de interesse θ ( u) = µ + I Σ 2 / 2 u

23 Cubatura especializada SC5 Esta fórmula é competitiva para dimensões n até ~8-0. Para n=0, N = x 0 = 044 pontos. Para esta ordem de grandeza, as técnicas de amostragem começam a ser mais vantajosas (veremos isto mais adiante). Vejamos a aplicação da cubatura SC5 para n = 4 Dados V, A, T0, F, Fw e Tw F 0 R C A k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T 0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3 T w = 293 ± 5 K, σ =5 K/3 distribuições normais C A0 T 0 V, T T F T T w2 A PC T 2 F w T w Calcula-se os estados xa, T, T2 e Tw2 23

24 Resultados usando a fórmula SC5, N = x 4 = 24 pontos i kr U T0 Tw wi xa THKL T2HKL Tw2HKL pontos de integração pesos resultados 24 E( x ) w x ( k, U, T, T ) = A i Ai Ri i 0i wi i= 24

25 Comparação de resultados para dois cenários de incerteza k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) 9 E( x ) w x ( k, U ) = A i Ai Ri i i= k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T 0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3 T w = 293 ± 5 K, σ =5 K/3 24 E( x ) w x ( k, U, T, T ) = A i Ai Ri i 0i wi i= Então o valor esperado não se altera? A variabilidade é provavelmente maior, mas havendo simetria o valor esperado pode ser semelhante. É então necessário caracterizar melhor a variabilidade das saídas. 25

26 Cálculo do desvio padrão µ = E ( x) = x( θ ) j( θ ) dθ w x ( θ ) x Θ i i i Θ i= x = E ( x ) Θ x = [ x( ) x ] j( ) d wi ( xi ( i ) x ) Θ i= σ x wi ( xi ( θ i ) µ x ) i= 2 / 2 σ µ θ µ θ θ θ µ Podemos usar a mesma fórmula de integração 26

27 Nova comparação de resultados k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) xa T HKL média desvio padrão k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T 0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3 T w = 293 ± 5 K, σ =5 K/3 xa T HKL média desvio padrão O acréscimo de variabilidade tem mais impacto em T do que em xa. 27

28 Integração por amostragem Nas fórmulas até agora apresentadas, o nº de pontos cresce exponencialmente com a dimensão n. Cubatura especializada: apenas p/ dist. normais n SC5: N=2 n +2n GHP5: N=5 n Fórmula produto Gauss- Legendre: aplicável a qq integrando e logo qq dist. de prob. Se o nº de pontos excede , a integração por amostragem pode ser mais eficiente (menos pontos para exactidão equivalente) 28

29 Integração por amostragem Selecciona-se uma amostra de N pontos no espaço de integração e estima-se o integral simplesmente como: EΘ ( x) = x( θ ) j( θ ) dθ xi ( θi ) Θ i= 2000 UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L 29

30 Integração por amostragem 2 grandes grupos de técnicas Monte Carlo - Puramente aleatória (e.g. resultados c/ uma amostra de 00 pontos aleatórios variam muito de amostra para amostra) - Técnicas de redução da variância (a mais simples é fazer várias amostragens do mesmo tamanho e calcular os resultados médios) UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L Quasi-Monte Carlo: métodos baseados em teoria dos números (são deterministas) - Em particular, mostra-se que são eficientes amostras com pouca discrepância, ou seja, pontos distribuídos de forma tendencialmente homogénea no espaço de interesse. Mas não uma grelha uniforme! Um dos melhores métodos é baseado na sequência de números de Hammersley (Amostragem HSS, Hammersley Sequence Sampling) UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L 30

31 Integração por amostragem Podemos retirar amostras num domínio com distribuição uniforme UHkJêHm 2.h.KL distribuição normal UHkJêHm 2.h.KL distribuição normal c/ correlação Ou outro tipo qq de distribuição k R Hh - L 200 UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L k R Hh - L

32 Comparação da eficiência de várias técnicas 4 parâmetros incertos e normais k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T 0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3 T w = 293 ± 5 K, σ =5 K/3 Monte Carlo Hammersley Cubatura SC5 c/ apenas 24 pontos Grosso modo, a cubatura SC5 (dist. normal) é competitiva até n ~

33 Amostragem e distribuição de probabilidades à saída do modelo A amostragem pode ser mais pesada mas fornece naturalmente mais informação. Com os resultados à saída do modelo, podemos construir os respectivos histogramas (Hammersley com N=500): x A T T 2 T w2 33

34 Amostragem e distribuição de probabilidades à saída do modelo Com distribuições uniformes à entrada os resultados são naturalmente muito diferentes. k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T 0 = 333 ± 5 K, σ =5 K/3 T w = 293 ± 5 K, σ =5 K/3 distribuições normais distribuições uniformes x A x A 34

35 Resumo do que vimos até aqui Podemos modelar incertezas com cenários discretos ou distribuições de probabilidade { θ : p( θ ) w, i,, } Θ= = = i i i No segundo caso, o cálculo do valor esperado de uma variável de saída do modelo é um integral de dimensão n, que se pode estimar a partir de um conjunto discreto de N pontos de integração µ = E ( x) = x( θ ) j( θ ) dθ w x ( θ ) x Θ i i i Θ i= x = E ( x ) Θ x = [ x( ) x ] j( ) d wi ( xi ( i ) x ) Θ i= σ µ θ µ θ θ θ µ 35

36 Resumo do que vimos até aqui - 0 Existem várias técnicas de integração: cubaturaproduto, cubatura genuína, amostragem (aleatória ou baseada na teoria de números) 0 - Para distribuições normais, a cubatura especializada SC5 é muito competitiva, conseguindo-se boas estimativas com um número de pontos inferior a No caso geral de uma outra qq distribuição, e para n >~6, a integração por amostragem é provavelmente a melhor técnica. A amostragem de Hammersley produz amostras de baixa discrepância e muito mais eficientes do que a amostragem aleatória de Monte Carlo (boas estimativas do integral com poucos pontos) UHkJêHm 2.h.KL k R Hh - L 36

37 Questões iniciais Dado o modelo x= f ( d, θ ) h( x, d, θ ) = 0 x um qq índice de desempenho de um processo ou sistema d tecnologias alternativas, dimensionamento, condições de operação θ - parâmetros físico-químicos, parâmetros da análise económica (custos, receitas, cenários futuros). Como trato quantitativamente os parâmetros incertos? Considero cenários discretos ou distribuições de probabilidade contínuas (uniformes, normais)? 2. Qual o valor esperado (média) do desempenho? E o valor para o pior cenário? 3. Como optimizo o processo ou sistema face a incertezas? Na fase de projecto, por exemplo, aplico factores de sobredimensionamento ou pondero a decisão de forma mais calculada? Decido face ao cenário médio ou face ao pior cenário possível? Já respondemos à questão e parte da 2. Vejamos a análise do pior cenário. 37

38 Análise do pior cenário Dados V, A, T0, F, Fw e Tw F 0 R C A k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) C A0 V, T T T 0 F T T w2 A PC T 2 F w T w Calcula-se os estados xa, T, T2 e Tw2 Já calculámos o valor esperado de xa. Para averiguar qual o pior cenário, podemos olhar para o histograma de xa (com 500 pontos) xa (pior cenário) ~

39 Análise do pior cenário Mas não necessitamos de calcular o histograma. Podemos antes resolver o problema de optimização (para variáveis de projecto V e A fixas) min x A k, U R s. t. eqs. do modelo + restrições Limites nas temperaturas (K) Restrições nas temperaturas no permutador 3 T 389, 3 T2 389, 294 T w T T 0, T T 0 2 w2 w k R = 2 ± 20% (h ) U = 635 ± 30% (kj/(m 2.h.K)) T T., T T. w2 2 w F 0 C A0 T 0 R V, T C A T F T A PC T 2 V = 4.; A = 5.; F = 75.; Fw = 4200.; Da solução do problema de optimização, obtém-se xa,min = T w2 F w T w 39

40 Incertezas e optimização Finalmente, vamos aflorar a questão de como optimizar o sistema, atendendo a incertezas nos parâmetros do modelo. Consideramos o problema de projecto: determinar V e A, que maximizam o lucro P e atendendo à variabilidade em kr e U. P= 5000x A C F 0 R C A C= 69.2V A +.76F F w C A0 T 0 V, T T F T T 2 A PC max V, A, F, F w P s. t. eqs. do modelo + restrições T w2 F w T w x A 0.9 Mas xa e P variam consoante os valores dos parâmetros incertos kr e U 40

41 Há que definir um critério de decisão face a incertezas. Incertezas e optimização O mais simples de implementar é o critério de optimizar o valor esperado do desempenho (neste caso o lucro) Critérios baseados no pior cenário são mais difíceis de concretizar do ponto de vista do problema de optimização (e.g. optimizar V e A tal que o pior cenário seja ainda assim superior a um liminar mínimo) Formulação para optimização do valor esperado do desempenho: F 0 C A0 T 0 R V, T C A T max E ( P) V, A, F, F w Θ s. t. eqs. do modelo + restrições F T T w2 A T 2 PC F w T w x A 0.9 As eqs do modelo e restrições devem contemplar o espaço das incertezas. 4

42 Incertezas e optimização 2000 Já sabemos como calcular o valor esperado de P. Usando a cubatura-produto especializada com 9 pontos, tem-se UHkJêHm 2.h.KL i= i i w E( P) 5000 w x (69.2V A +.76F F ) As eqs. do modelo têm de se verificar para todos os cenários i (9 x 4 eqs) Quanto às restrições: têm tb. de se verificar nos 9 cenários i Se quisermos garantir que as restrições se verifiquem na totalidade do espaço das incertezas, devemos ainda adicionar os vértices do espaço das incertezas (truncado a 3σ) (e ainda assim não há garantia de viabilidade completa) k R Hh - L 42

43 Incertezas e optimização A formulação de optimização é então: Cenários i: 9 pontos de integração + 4 vértices ( w = 0 para os vértices) V, A, F, F A, i 9 i= i i w max 5000 w x (69.2V A +.76F F ) w s. t. eqs. do modelo indexadas em i x 0.88 Outras restrições, tb. indexadas em i i Relaxamos um pouco o limite inicial de 0.9, permitindo conversões menores para os cenários menos favoráveis Limites para os caudais: FN=75.; F.l=; F.lo=0.7; F.up=.3; FwN=4200; Fw.l=; Fw.lo=0.7; Fw.up=.3; F 0 C A0 T 0 R V, T C A T F T A T w2 43 T 2 PC F w T w

44 Incertezas e optimização A formulação de optimização é então: Cenários i: 9 pontos de integração + 4 vértices ( w = 0 para os vértices) i i w max 5000 w x (69.2V A +.76F F ) V, A, F, F A, i i= s. t. eqs. do modelo indexadas em i x w 0.88 Outras restrições, tb. indexadas em i i Estamos aqui a considerar uma política de controlo rígido: valores únicos (a optimizar) para caudais F e Fw, q têm de suportar toda a variabilidade. F 0 C A0 T 0 R V, T C A T De facto, se o sistema for devidamente controlado, os caudais F e Fw podem ser ajustados aos reais valores de kr e U. O pressuposto de controlo perfeito, admite que esse ajuste é óptimo. F T A T w2 44 T 2 PC F w T w

45 Incertezas e optimização A formulação de optimização c/ controlo perfeito é: Cenários i: 9 pontos de integração + 4 vértices ( w = 0 para os vértices) V, A, F, F i A, i 3 i= i i w max 5000 w x (69.2V A +.76F F ) wi s. t. eqs. do modelo indexadas em i x 0.88 Outras restrições, tb. indexadas em i i A única mas importante diferença são os caudais F 0 C A0 R V, T C A T indexados em i: F i e F wi T 0 F T T 2 Ou seja, admitimos que os caudais se ajustam a cada cenário de incerteza i T w2 A PC F w T w Em vez de dois graus de liberdade, temos 2 x 3 graus de liberdade! 45

46 Os resultados são, neste caso, drasticamente diferentes. Controlo rígido: Incertezas e optimização E(P) = -34 (NEGATIVO!) Volume = m 3 Area = m 2 Flow = kmol/h Floww = kg/s MeanxA = SigmaxA = O sistema não suporta tanta variabilidade sem ajustar os caudais F e Fw F 0 C A0 T 0 R V, T C A T F T T 2 Controlo perfeito: T w2 A PC F w T w E(P) = Volume = m 3 Area = 7.87 m 2 MeanxA = SigmaxA = Com o ajuste dos caudais, o sistema tem agora um desempenho muito melhor 46

47 Comparação com a solução determinista (ignorando incertezas) Solução determinista Incertezas e optimização P = 607 Volume = 3.6 m 3 Area = 5.2 m 2 xa = Solução considerando incertezas (controlo perfeito) F 0 C A0 T 0 R V, T C A T E(P) = Volume = m 3 Area = 7.87 m 2 MeanxA = SigmaxA = F T T w2 A PC F w T w Os níveis de sobredimensionamento para suportar as incertezas são calculados de forma racional. Esta é uma das principais vantagens do tratamento sistemático e quantitativo das incertezas. 47 T 2

48 Conclusões Questões de partida. Como trato quantitativamente os parâmetros incertos? Considero cenários discretos ou distribuições de probabilidade contínuas (uniformes, normais)? 2. Qual o valor esperado (média) do desempenho? E o valor para o pior cenário? 3. Como optimizo o processo ou sistema face a incertezas? Na fase de projecto, por exemplo, aplico factores de sobredimensionamento ou pondero a decisão de forma mais calculada? Decido face ao cenário médio ou face ao pior cenário possível? É possível modelar de forma racional as incertezas inerentes a um dado problema e/ou modelo Aplicando técnicas de integração e de optimização, pode analisar-se o impacto dessas incertezas nos desempenhos previstos e optimizar graus de liberdade de forma equilibrada. Em suma, se quantificarmos aquilo que não sabemos, podemos. avaliar o impacto dessa ignorância; 2. tomar decisões mais equilibradas; 3. identificar os subproblemas onde é mais crítica a aquisição de conhecimento adicional (conceito de valor da informação, não tratado nesta aula) 48