Capítulo 7 - Comparação de alternativas mutuamente excludentes, em situação de incerteza
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- Leonardo Gusmão Machado
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1 1 Capítulo 7 - Comparação de alternativas mutuamente excludentes, em situação de incerteza 7.1 Considerações Gerais. Como foi mostrado no capítulo 4, somente é possível comparar alternativas de mesmo horizonte, mas podemos deixar implícitas as alterações do modelo para igualar os horizontes mediante a escolha da variável de decisão adequada a cada modelo. Continuam válidas as considerações sobre o risco do capitulo 6, isto é, os fluxos de caixa são os resultantes de nossas respostas de eliminação, transferencia e mitigação dos riscos. Inicialmente devemos analisar a viabilidade de cada uma das alternativas, eliminando as inviáveis. Vamos usar o mesmo exemplo dos projetos A, B, e C, do Capítulo 4, introduzindo em cada um a avaliação da distribuição de probabilidade dos valores do fluxo de caixa, e sempre supondo os investimentos independentes das receitas. A k A Projeto A A 0 a =900 b =1000 c = 1100 Normal µ = 1000 σ =( ) / 6 = 33,33 A k a =750 b =900 c = 1050 Normal µ = 900 σ =( ) / 6 = 50,00 VAL A (0,15) = A 0 + A 1 / A 2 / 1, A 3 / 1,15 3 VAL A (0,15) é Normal de média µ = (1 / 1,15 + 1/ 1, / ) = 1054,90 Se os A k forem independentes, a variância será σ 2 = 33, ,00 2 (1 / 1, / 1, / ) = 8857,09 σ = 94,11 Probabilidade de ser viável z =(0-1054,90) / 94,11 = P(VAL A (0,15) > 0 ) = 1,00 Se os A k forem perfeitamente correlacionados, a variância será: σ 2 = 33, ,00 2 (1 / 1,15 + 1/ 1, / ) 2 = 14141,33 σ = 118,92 z =(0-1054,90) /118,92 = P(VAL A (0,15) > 0 ) = 1,00 O projeto A é certamente viável. B 0 Projeto B B k B 0 a =1000 b =1100 c = 1200 Normal µ = 1100 σ =( )/ 6 = 33, B k a =600 b =800 c = 1000 Normal µ = 800 σ =( ) / 6 = 66,67 VAL B (0,15) = B 0 + B 1 / B 2 / 1, B 3 / 1, B 4 / 1,15 4 VAL B (0,15) é Normal de média µ = 1183,98 Se os B k forem independentes, a variância será: σ 2 = 10387,23 σ = 101,92 z =(0-1183,98) / 101,92 = P(VAL B (0,15) > 0 ) = 1,00 Se os B k forem perfeitamente correlacionados, a variância será: σ 2 = 37337,89 σ = 193,23
2 2 z =(0-1183,98) / 192,23 = -6,16 P(VAL B (0,15) > 0 ) = 1,00 O projeto B é certamente viável. C k Projeto C C 0 a =810 b =900 c = 990 Normal µ = 900 σ =( ) / 6 = 30, C k a = 400 b = 500 c = 600 C 0 Normal µ = 500 σ =( ) / 6 = 33,33 VAL C (0,15) = C 0 + C 1 / C 2 / 1, C 5 / 1, C 6 / 1,15 6 VAL B (0,15) é Normal de média µ = 992,24 Se os C k forem independentes, a variância será: σ 2 = 3701,35 σ = 60,84 z =(0-992,24) / 60,84 = -16,31 P(VAL C( (0,15) > 0 ) = 1,00 Se os C k forem perfeitamente correlacionados, a variância será: σ 2 = 16813,68 σ = 129,67 z =(0-992,24) / 129,67 = -7,65 P(VAL C (0,15) > 0 ) = 1,00 O projeto C é certamente viável Modelo I ou de atividade permanente Neste caso devemos usar o BUE para poder deixar implícita a repetição. Como n (1+ i) i BUE(i) = VAL(i) n (1 + i) 1 temos: BUE A = Normal, µ = 1054,90*(1,15 3 *0,15)/ (1,15 3-1) = 462,02 Se os A k indep. σ 2 =8857,09((1,15 3 *0,15)/ (1,15 3-1)) 2 = 1698,92 Se os A k correl. σ 2 =14141,33((1,15 3 *0,15)/ (1,15 3-1)) 2 = 2712,77 BUE B = Normal, µ = 1183,98*(1,15 4 *0,15)/ (1,15 4-1) = 414,71 Se os B k indep. σ 2 =10387,23((1,15 4 *0,15)/ (1,15 4-1)) 2 = 1274,37 Se os B k correl. σ 2 =37337,89((1,15 4 *0,15)/ (1,15 4-1)) 2 = 4580,83 BUE C = Normal, µ = 992,24*(1,15 6 *0,15)/ (1,15 6-1) = 262,19 Se os C k indep. σ 2 =3701,35((1,15 6 *0,15)/ (1,15 6-1)) 2 = 258,44 Se os C k correl. σ 2 =16813,68((1,15 6 *0,15)/ (1,15 6-1)) 2 = 1173,99 Vamos usar a analise incremental, comparando inicialmente A e B Como A e B são independentes, temos: BUE A-B é Normal, µ = 462,02-414,71 = 47,31 Valores indep. σ 2 = 1698, ,37 = 2973,29 σ = 54,53 Valores correl. σ 2 = 2712, ,83 = 7293,60 σ = 85,40 z = (0-47,31) / 54,53 = - 0,87 Prob(BUE A > BUE B ) = 0,80 z = (0-47,31) / 85,40 = - 0,55 Prob(BUE A > BUE B ) = 0,71 Com probabilidade maior que 71%, A é melhor do que B. Comparamos agora A e C: BUE A-C é Normal, µ = 462,02-262,19 = 199,83 Valores indep. σ 2 = 1698, ,44 = 1957,37 σ = 44,24 Valores correl. σ 2 = 2712, ,99 = 3886,76 σ = 62,34 z = (0-199,83) / 44,24 = - 4,51 Prob(BUE A > BUE C ) = 1,00
3 3 z = (0-199,83) / 62,34 = - 3,21 Prob(BUE A > BUE C ) = 1,00 A é, com certeza, melhor do que C. Logo, se as atividades forem permanentes, dos três projetos A é o melhor. 7.3 Modelo II ou das atividades que terminam. Neste caso a variável de decisão conveniente é o valor atual. Vamos usar a analise incremental, comparando inicialmente A e B Como A e B são independentes, temos: VAL B-A é Normal, µ = 1183, ,90 =129,08 Valores indep. σ 2 = 10387, ,09 = 19244,32 σ = 138,72 z = (0-129,08) / 138,72 = - 0,93 Prob(VAL B > VAL A ) = 0,82 Valores correl. σ 2 = 37337, ,33 = 51479,22 σ = 226,89 z = (0-129,08) / 226,89 = - 0,57 Prob(VAL B > VAL A ) = 0,72 Com probabilidade maior que 72%, B é melhor do que A Comparamos agora B e C: VAL B-C é Normal, µ = 1183,98 992,24 = 191,74 Valores indep. σ 2 = 10387, ,35 = σ = 118,70 z = (0-191,74) / 118,70 = - 1,62 Prob(VAL B > VAL C ) = 0,94 Valores correl. σ 2 = 37337, ,68 =51191,57 σ = 226,26 z = (0-191,74) / 226,26 = - 0,85 Prob(VAL B > VAL C ) = 0,80 Com probabilidade maior que 80%, B é melhor do que C. Logo, se as atividades forem terminais, dos três projetos B é o melhor, Árvore de Decisão Árvore de decisão é um diagrama seqüencial que mostra as interações entre as decisões e os eventos aleatórios associados a elas, como são entendidos pelo tomador de decisão. As decisões são mutuamente exclusivas e os eventos associados são exaustivos, isto é, consideram todas as possibilidades, e, portanto, a soma das probabilidades em cada n a- leatório tem de ser igual a 1. Os nós da árvore envolvendo decisões são geralmente representados por um quadrado e os referentes a eventos aleatórios por um circulo. Entretanto, para facilitar o uso da planilha para desenhar a arvore e fazer os cálculos, indicaremos os nós de decisão em células com borda dupla e os nós aleatórios em células com borda simples. Os valores monetário serão colocados na célula imediatamente acima e em negrito; as probabilidades serão indicadas na célula imediatamente abaixo. Os resultados serão especificados no final dos ramos correspondentes. Vamos estudar o assunto através de um exemplo, adaptado de Magee (1964) Exemplo: Uma empresa deve decidir se constrói uma fábrica pequena (investimento =$1,3 milhões ) ou uma grande ( investimento = $3 milhões ), para produzir um novo produto com vida prevista de 10 anos. A procura possivelmente será alta nos 2 primeiros anos, mas depois, conforme a satisfação do consumidor, pode cair para um nível baixo (probabilidade = 0,10) ou manter-se alta (probabilidade = 0,60 ). Se a procura inicial for baixa ela se manterá baixa, isto é, fica excluída a possibilidade de procura baixa seguida de procura alta.
4 4 Se optar pela fábrica pequena a diretoria tem a opção de expandi-la após 2 anos, se a procura for alta no período inicial, com um investimento adicional de $2,2 milhões ) Com estas informações, a probabilidade da procura ser alta inicialmente é 70% ( ) e de se manter alta nos 8 anos seguintes é 85,7% ( 60 / 70). A fabrica grande, com alto volume de produção rende $ por ano; se o volume de produção for baixo rende apenas $ por ano. A fabrica pequena, com procura baixa, rende anualmente $ Se a procura for alta ela pode render $ por ano, mas a receita líquida cai para $ depois dos 2 anos iniciais, devido à concorrência. Se a fabrica for expandida para atender à procura alta, não será tão eficiente como a fabrica grande original, e rende $ por ano. Se a procura for baixa a receita líquida será de apenas $ por ano A taxa atrativa mínima é 10 % ao ano. A Figura mostra a árvore de decisão com os fluxos de caixa correspondentes a cada caminho. FabGrand Dec.1 FabPeq Dec.2 Expandir Não Exp. 1,00 1,00 3,00 1,00 0,10 3,00 0,10 0,10 3,00 0,45 0,70 1,30 2,20 0,45 0,05 1,30 2,20 0,45 0,30 1,30 2,20 0,45 0,40 1,30 2,20 0,40 0,40 1,30 2,20 Figura Arvore de decisão A figura mostra as probabilidades associadas a cada ramo, devendo-se notar que a soma das probabilidades dos ramos que saem de um nó aleatório tem de ser igual a 1. Também substituímos os fluxos de caixa pelo seu VAL(0,10) na data da decisão i- nicial.
5 5 0, , FabGrand 0, ,300 1, Dec1 0,857 Expandir FabPeq ,143 Dec2 0, ,857 Não Exp , ,300 1,000 Figura Árvore de decisão Probabilidades Percorrendo a árvore do fim para o começo, a cada nó de evento associamos um valor monetário esperado igual à soma dos valores esperados ( produto do valor pela probabilidade) de todos os nós a ele ligados. O valor monetário de cada nó de decisão corresponde ao mais favorável dos valores esperados dos nós a ele ligados. A Figura mostra o valor monetário esperado de cada nó.
6 ,857 0, FabGrand 0, ,300 1, Dec ,857 Expandir ,143 Dec , , Não Exp. FabPeq , ,300 1,000 Figura Árvore de decisão Valor monetário esperado Com a informação disponível a melhor decisão seria investir na fábrica grande (VME = $1,088 milhões, contra $0,954 da pequena ) Valor da informação perfeita Se tivesse certeza de que a procura seria alta, a administração optaria certamente pela fábrica grande; se soubesse que a procura a longo prazo seria baixa decidiria pela fabrica pequena. Procura Melhor Decisão VAL ( milhões) Prob. Estimada VAL x Prob. alta - alta fábrica grande $3,145 0,60 $1,887 alta baixa fábrica pequena $1,245 0,10 $0,125 baixa baixa fábrica pequena $1,158 0,30 $0,347 Total 1,00 $2,359 Valor da informação perfeita: $2,359 - $1,088 = $1,271 milhões, que é quanto aumentaria o lucro esperado se conhecêssemos o futuro Pesquisa de mercado. A empresa está estudando uma proposta de pesquisa de mercado, que poderia diminuir as incertezas, mas custa $ A administração tem confiança na pesquisa de mercado, embora a julgue conservadora, e estima que: se a procura for alta todo o tempo, a probabilidade da pesquisa ser favorável (alta - alta) é 70%.
7 7 se a procura for alta inicialmente e depois baixar, a pesquisa pode se enganar, e a probabilidade de indicar alta-alta é 50%. se a procura for baixa, a probabilidade da pesquisa indicar alta-alta é 5%. Destas estimativas podemos calcular as probabilidades: Procura Probabilidade Probabilidade pesquisa favorável Probabilidade pesquisa contrária Probabilidade de ocorrer com pesquisa favorável Probabilidade de ocorrer com pesquisa contrária Alta-alta 0,60 0, 70 0,30 0,866 0,350 Alta baixa 0,10 0,50 0,50 0,103 0,097 Baixa baixa 0,30 0,05 0,95 0,031 0,553 Somas 1,00 1,000 1,000 P(F)=P(F AA)P(AA)+P(F AB)P(AB)+P(F BB)P(BB) P(F) = 0,70*0,60+0,50*0,10+0,05*0,30 = 0,485 P(C)=P(C AA)P(AA)+P(C AB)P(AB)+P(C BB)P(BB) P(C) = 0,30*0,60+0,50*0,10+0,95*0,30 = 0,515 P(F AA) P(AA) P(AA F) = P(F AA) * P(AA) + P(F AB) P(AB) + P(F BB) P(BB) 0,70x0,60 0,420 P(AA F) = = = 0,866 0,70x0,60 + 0,50x0,10 + 0,05x0,30 0,485 0,50x0,10 P(AB F) = = 0,485 0,05x0,30 P(BB F) = = 0,485 0,050 = 0,103 0,485 0,015 = 0,031 0,485 0,30x0,60 0,50x0,10 + 0,95x0,30 P(AA C) = = 0,30x0,60 + 0,50x0,10 P(AB C) = = 0,515 0,050 0,515 = 0,097 0,180 0,515 P(BB C) = 1 P(AA C) P(AB C) = 0,553 P(A* F) = P(AA F) + P(AB F) = 0,969 P(B* F) = 0,031 P(A* C) = P(AA C) + P(AB C) = 0,447 P(B* C) = 0,553 P(*A A* F) = P(AA F) / P(A* F) = 0,866 / 0,969 = 0,894 P(*B A* F) = P(AB F) / P(A* F) = 0,103 / 0,969 = 0,106 P(*A A* C) = P(AA C) / P(A* C) = 0,350 / 0,447 = 0,783 = 0,350
8 8 As figuras a mostram a nova árvore de decisão, com a alternativa de contratar a pesquisa de mercado. FabGrand FabGrand PFavoravel Dec3 Expandir Dec4 FabPeq Não Exp Dec1 FazerPesq FabGrand PContrária Dec5 Expandir Dec6 FabPeq Não Exp FabPeq 1058 Figura Árvore de decisão com pesquisa de mercado.
9 ,894 0, FabGrand 0, ,031 1, PFavoravel 345 0,894 0,485 Expandir ,106 Dec , , Não Exp. FabPeq , ,031 1,000 Figura Árvore de decisão II- Pesquisa de mercado favorável FabGrand 0, ,553 1, Pcontrária 27 0,783 0,515 Expandir ,217 Dec , , Não Exp. FabPeq , ,553 1,000 Figura Árvore de decisão II Pesquisa de mercado contrária
10 Fabrica Grande 2466 PFavoravel ,485 Decisão 1 Fazer Pesquisa 943 Pcontrária 954 0,515 Fábrica Pequena Figura Árvore de decisão II Avaliação final A melhor decisão é fazer a pesquisa de mercado, que aumenta o valor monetário esperado de = 593 mil. Os fluxos de caixa foram considerados como certos, para não complicar o entendimento da árvore de decisão, mas podemos facilmente introduzir a incerteza deles através de uma simulação Monte-Carlo, já vista no Capítulo 6.
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