Equações diferenciais e o princípio do momento 1

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1 Equações diferenciais e o princípio do momento 1 Física I ( ) IFUSP O Princípio do Momento na forma diferencial As formas nas quais usamos o princípio do momento até agora, p = F res t e p f = p i + F res t são especialmente úteis quando conhecemos o momento em um certo instante, conhecemos as forças que agem no sistema (e portanto podemos calcular a força resultante) e queremos prever qual será o momento em um instante futuro. Já empregamos o Princípio do Momento nessa forma em várias situações, inclusive em cálculos repetitivos no computador para prever o movimento futuro. Porém, ao resolver problemas envolvendo objetos sem variação alguma de momento, como ocorreu nas discussões sobre força de tensão e no cálculo das constantes efetivas de molas ligadas em série ou em paralelo, vimos que, embora tivéssemos que incluir um t na equação quando aplicávamos o princípio do momento (veja o texto anterior sobre forças de contato), esse valor não tinha importância, desde que fosse diferente de zero. Há uma forma diferente de escrever o Princípio do Momento, mais adequada em determinadas situações, obtida quando dividimos a expressão anterior pelo intervalo de tempo t: p t = F res Se deixarmos t se tornar cada vez menor, a razão p/ t se torna a derivada temporal de p: p lim t 0 t = d p Derivada nada mais é que do que o nome dado a um tipo especial de limite: uma fração na qual tanto o numerador como o denominador tendem a zero, mas que converge, a medida que numerador e denominador se aproximam de zero, para um valor finito. Essa expressão é tão comum e tão importante que inventou-se uma notação especial para resumi-la: quando tomamos o limite, fazendo t 0, omitimos a menção explícita a ele mas trocamos o símbolo (uma variação pequena, mas finita) pela letra d (uma variação infinitesimal). Se você ainda não viu em seu curso de cálculo o conceito de derivada, pode obter uma introdução descompromissada no livro Uma introdução elementar ao cálculo diferencial e integral 2, disponível para download no moodle. A derivada de um vetor é um vetor: d p = dpx ; dp y ; dp z Já encontramos antes outras derivadas de vetores: a velocidade instantânea v = d r/ e a aceleração a = d v/. Como qualquer outro vetor, a derivada de um vetor tem tanto uma magnitude como uma orientação. Operacionalmente, para encontrar d p/ em um certo instante de tempo, aplicamos a definição, ou seja, calculamos o limite existente na definição de derivada. Isso significa, na prática, o seguinte procedimento: (a) 1 Texto elaborado pela equipe de física 1, apoiado, entre outros, nas seções 4.10, 4.12 e 4.15 do livro Matter and Interactions, R. Chabay e B. Sherwood. e no livro Uma introdução elementar ao cálculo diferencial e integral, C. E. I. Carneiro, C. P. C. Prado, S. R. A. Salinas, 2 a ed Uma introdução elementar ao cálculo diferencial e integral, 2 a C. E. I. Carneiro, C. P. C. Prado, S. R. A. Salinas, 2 a ed

2 Encontrar p em intervalos iguais de tempo antes e depois do instante de interesse (b) Encontrar p = p 3 p 1. (c) Dividir p por t = t 3 t 1 para obter p/ t (cuja orientação é a mesma de p). (d) Fazer t se aproximar de 0 fazendo t 1 e t 3 cada vez mais próximos de t 2. A medida que t 0, p/ t se aproxima de d p/. Por sorte é possível mostrar que há padrões que se repetem, nesses cálculos de limite, de forma que acaba sendo possível calcular a maioria deles aplicando um conjunto de regras de derivação, que você já deve estar aprendendo na disciplina de cálculo. Podemos agora escrever o Princípio do Momento na forma diferencial: d p = F res Ou seja, a taxa instantânea de variação do momento de um objeto é igual à força resultante agindo sobre o objeto. Na linguagem do cálculo, dizemos que a derivada do momento, com relação ao tempo, é igual à força resultante que age sobre ele. Essa forma do Princípio do Momento é especialmente útil quando sabemos algo sobre a taxa de variação do momento em um certo instante de tempo, mas falta informação sobre algumas das forças agindo no sistema. Conhecendo a taxa de variação do momento, podemos usar o Princípio do Momento nessa forma diferencial para deduzir a força resultante agindo no objeto, que é numericamente igual à taxa de variação do momento. Conhecendo a força resultante, podemos eventualmente descobrir o valor de alguma força em particular, que desconhecemos. Foi exatamente isso que fizemos para determinar a magnitude da força de tensão exercida por uma corda quando nela penduramos um corpo de massa m. O que a forma diferencial do Princípio do Momento nos diz sobre a relação entre a orientação (direção e sentido) de d p/ e a orientação de F res? Se dois vetores são iguais, eles devem ter tanto as magnitudes como as orientações iguais. Veja se entendeu essa afirmação: suponha que em um certo instante o momento de um objeto está mudando a uma taxa de 0; 0; 4 kg m/s 2. Nesse instante, qual é a força resultante no objeto? O que você pode concluir sobre a direção do momento do objeto nesse instante, se é que é possível concluir algo? Há ainda uma outra razão importante para utilizarmos o princípio do momento em sua forma diferencial: a aplicação do princípio do momento na sua forma diferencial se conhecemos a força resultante e somos capazes de escrever uma expressão para ela leva a um tipo de equação conhecida como equação diferencial (uma equação onde a incógnita é uma função x(t) por exemplo e que, além dessa função, envolve também suas derivadas). Se formos capazes de resolver essa equação isto é, descobrir a função x(t) que torna a igualdade verdadeira, encontramos o que é conhecido como uma solução analítica para o problema. Vamos exemplificar esse processo com o problema de um corpo preso a uma mola. 2 Um exemplo: o sistema massa mola Vimos, no Capítulo 2 do livro texto, como aplicar, iterativamente, o Princípio do Momento na forma tempo finito para prever o movimento de uma massa presa a uma mola. Agora podemos deduzir uma solução analítica (algébrica) para o movimento de um sistema massa mola ideal. Por ideal queremos dizer que a mola pode ser distendida ou comprimida quase indefinidamente, que a massa da mola é praticamente nula, que a mola nunca esquenta ou se deforma e não há atrito ou resistência do ar. Imagine um bloco de massa m ligado a uma mola de dureza k (ou seja, a força exercida pela mola é k s quando a mola é esticada ou comprimida de uma distância s). A outra ponta da mola está presa na parede. Nosso objetivo é deduzir uma equação para a posição x da massa como função do tempo t, que permita prever a posição do bloco em qualquer instante futuro. Essa equação teria a forma x(t) =..., e precisamos descobrir qual a função do tempo que deve aparecer no lugar dos. Vamos assumir que: (a) O bloco desliza sobre uma mesa praticamente sem atrito, sendo sustentado por ela; (b) a massa da mola é desprezível quando comparada com a massa do bloco; (c) a resistência do ar também é desprezível. Esse sistema (o modelo mais simples possível de um sistema oscilante) costuma ser chamado de sistema massa mola ou oscilador harmônico simples. 2

3 Podemos simplificar nossos cálculos, se escolhermos de forma adequada o sistema de coordenadas. Isso significa medir a posição do bloco não em relação à parede (como poderia parecer adequado), mas com relação a uma origem coincidente com a posição de equilíbrio do sistema, isto é, com a posição do bloco quando a mola está relaxada, de modo que a deformação da mola s seja exatamente igual à posição x do bloco. Na figura (1) vemos um esquema desse sistema. Estamos mantendo a notação empregada anteriormente, na qual L é o comprimento da mola em um certo instante, L 0 é o seu comprimento relaxado e s é a sua deformação (ou elongação). Figura 1 L = L 0 + x e portanto s = L L 0 = (L 0 + x) L 0 = x Assim, a componente x da força da mola sobre o bloco é F x = kx. Como seria essa expressão se a origem estivesse localizada na parede e o comprimento da mola, quando relaxada, fosse L 0? Vamos aplicar a esse sistema o Princípio do Momento na forma diferencial: nosso sistema é o bloco de massa m e os objetos relevantes do entorno são a mesa, a Terra e a mola (veja o diagrama de corpo livre na figura 1). O Princípio do momento diz que d p/ = F res. Como, nesse sistema, o bloco oscila apenas ao longo do eixo x, sabemos que a componente y do momento do bloco é zero e permanece zero (a força normal se ajusta para que isso aconteça!) Podemos, portanto, deduzir que a componente y da força resultante no bloco precisa ser zero e podemos nos concentrar somente na componente x da força e do momento. Lembrando que v x = dx/ temos: Pelo Princípio do Momento: dp x = d(mv x) = m d 2 x 2 dp 2 x = kx; portanto md x 2 = kx Equações que envolvem derivadas de funções, como a equação acima, são denominadas equações diferenciais. A equação acima nos informa que a função x(t), que nos indica a posição da massa como função do tempo e que resolve a equação, deve ser tal que sua segunda derivada, a menos de umas constantes, seja igual à função original com o sinal trocado. Funções x(t) que indicam a posição de um corpo como função do tempo ou seja, a sua evolução temporal são muitas vezes chamadas também de equação horária. Resolver essa equação diferencial, encontrando a sua solução analítica geral, assim como estudar em detalhes o movimento oscilatório de um sistema massa mola (oscilador harmônico) não faz parte do programa da disciplina de Física 1 e sim da disciplina de Física 2. Resolver equações diferenciais pode não ser uma tarefa fácil e muitas equações diferenciais não tem mesmo uma solução analítica ou seja, não é possível encontrar uma expressão que a torne verdadeira e que possa ser escrita em termos de funções conhecidas como polinômios, funções trigonométricas, logaritmos, exponenciais, etc. Os métodos mais gerais de solução de equações diferenciais serão estudados nas disciplinas de cálculo, mas muitos deles partem da ideia de tentar adivinhar uma função geral que torne a equação verdadeira. Teoremas matemáticos (como os da existência e unicidade) permitem assegurar 3

4 quando, eventualmente, uma solução adivinhada é a solução mais geral para o problema, ou seja, inclui todos os possíveis movimentos que um sistema pode ter, sob a ação de uma certa força resultante. Uma função x(t) que resolve a equação acima isto é, que descreve, de forma geral, o movimento de um sistema massa mola, é x(t) = A cos(ωt + φ 0 ) As constantes A, ω e φ 0 são necessárias para tornar a solução mais geral, já que a função cosseno oscila sempre entre +1 e 1 e com um período igual a 2π. A constante φ 0 é necessária para que possamos ter a liberdade de escolher como quisermos o instante inicial (note que, sem isso, em t = 0 a elongação sempre seria máxima). Para nos certificarmos de que essa expressão de x(t) é de fato uma solução, podemos substituí-la no lugar de x na equação diferencial: m d 2 2 (A cos(ωt)) = ka cos(ωt) = m d ( A ω sen(ωt)) = ka cos(ωt) e A mω 2 cos(ωt) = ka cos(ωt); como isso deve valer para qualquer valor de t, k mω 2 = k = ω = m k Isso significa que x(t) = A cos(ωt) só é solução da equação diferencial se o valor de ω for igual à m. A constante A é chamada amplitude do movimento. Ela é igual à deformação máxima da mola. Se a mola for esticada ou comprimida de 5 cm, por exemplo, e a massa liberada do repouso, então A terá o valor de 0,05 m. A constante ω é chamada de frequência angular e é medida em radianos por segundo. Quando ωt, o argumento do cosseno, aumenta de 2π rad, o movimento se repete (completa um ciclo), de forma que, se chamarmos de T o período (o tempo necessário para completar um ciclo, temos ωt = 2π, ou seja, T = 2π/ω. Uma outra grandeza frequentemente usada para descrever sistemas oscilatórios é a frequência f, que corresponde ao número de ciclos realizados por segundo: f = (1 ciclo) por T segundos. Ciclos por segundo também são chamados de hertz. O argumento do cosseno (ωt+φ 0 ) é chamado fase e a constante φ 0 é chamada fase inicial, sendo a elongação, no instante t = 0, igual à A cos φ 0. Em outras palavras, essa é a posição inicial da massa, x(t = 0) = A cos φ 0. Como um último comentário: você verá na disciplina de física 2 que a solução analítica obtida para o sistema massa mola também é solução de um outro problema parecido, o de uma massa pendurada em uma mola que tenha a velocidade inicial paralela à força da mola, de forma que o movimento seja retilíneo. Pense um pouco: não temos novamente uma massa e uma mola? O sistema é a mola, identifique os objetos relevantes do entorno e aplique nesse sistema o princípio do momento na forma diferencial. O que mudou? Tente fazer antes de continuar a ler o texto. A situação não é idêntica porque agora a massa não está mais em contato com nenhuma superfície e não temos uma força normal; a força da mola mudou de orientação e agora é paralela à força peso. Portanto, na massa, na direção de interesse (a do eixo y, por exemplo), além da força da mola, temos a força peso. No entanto é possível mostrar que, se em vez de colocarmos a origem do sistema de coordenadas no ponto de equilíbrio natural da mola (sem massa), a colocarmos no ponto de equilíbrio da mola com a massa pendurada (definido pela condição de que kx = mg), obtemos uma equação diferencial que pode ser resolvida pela mesma equação: y(t) = A cos(ωt + φ 0 ), onde y é o deslocamento do corpo em relação ao ponto de equilíbrio do sistema massa mola pendurada, não apenas da mola. Obviamente a situação é idêntica se temos um corpo colocado sobre uma mola. 3 Quais são as vantagens de uma solução analítica? Uma solução analítica permite que vejamos características importantes e gerais do comportamento do sistema. No caso do sistema massa mola ideal, ela permite perceber, por exemplo, que o período não depende da amplitude, mas que, se aumentarmos a massa, aumentaremos o período. Ou ainda, a mesma massa, sujeita à força de uma mola mais dura, vai oscilar com um período menor. Ou ainda demonstrar que o movimento 4

5 é sempre periódico e o período do movimento só depende das propriedades do bloco (sua massa) e da mola (sua constante). Embora pudéssemos ter percebido todas essas características experimentando usar, na solução iterativa, diferentes massas, diferentes molas ou diferentes elongações iniciais, é particularmente fácil ver essas propriedades do movimento examinando a solução analítica. Quando não havia computadores para fazer por nós os cálculos repetitivos, encontrar uma solução analítica, mesmo que apenas para situações ideais bem simplificadas, era a única possibilidade de entendermos as propriedades mais gerais do movimento em diversas situações de interesse. É sempre interessante buscar uma solução analítica, se ela existir, ou mesmo tentar simplificar um pouco a situação e verificar se com isso ela se torna matematicamente mais tratável. Mas embora tenha sido possível obter uma solução analítica para um sistema massa-mola ideal em 1D, essa é mais uma exceção do que uma regra. Infelizmente, bem poucas equações diferenciais podem ser integradas diretamente, como é o caso das equações diferenciais associadas ao movimento uniforme (força resultante zero) ou do movimento gerado por uma força resultante constante, que vamos discutir novamente, em mais detalhes, logo mais abaixo. A equação diferencial gerada pelo princípio do momento em muitos casos tem uma forma matemática complicada, que não permite uma solução analítica e deve necessariamente ser resolvida atráves de métodos numéricos em um computador. O poder da aplicação iterativa do princípio do momento é que ele pode ser usado sempre, mesmo em situações nas quais nenhuma solução analítica parece possível. Se temos uma mola que não obedece a lei de Hooke (F = kx 3, por exemplo) o que não é tão raro assim, se temos que levar em conta forças de atrito na descrição do sistema ou ainda se um sistema massa mola estiver pendurado, podendo se mover em todas as três dimensões, pode ser bem mais complicado ou mesmo impossível encontrar uma solução analítica e teremos que recorrer a soluções numéricas, já que qualquer equação diferencial pode ser resolvida numericamente, exatamente como fizemos para a equação do sistema massa mola. Dados x e p em um certo instante de tempo, podemos calcular a força resultante ( k s x 3 por exemplo) e determinar os novos valores de x e p depois de um intervalo t, repetindo este processo quantas vezes for necessário para atingir o instante de tempo de interesse. Note que, quando usamos o princípio do momento para prever o movimento futuro do sistema (ou seja, a sua evolução temporal), tanto uma previsão analítica quanto uma previsão numérica se aplicam apenas ao nosso modelo para o fenômeno verdadeiro (do mundo real) que queremos estudar. Se o nosso modelo é uma boa aproximação do mundo real, nossa previsão será uma boa aproximação para o que acontecerá de fato. Mas mesmo uma previsão analítica não é exata, pois há uma impossibilidade prática de sabermos exatamente quais eram as condições iniciais ou de conhecermos com precisão a força resultante devida à interação com todos os outros objetos do Universo. Ainda, lembre-se que para ambos os tipos de solução iterativa ou analítica precisamos conhecer as condições iniciais (posição e momento iniciais) para conseguirmos prever a posição e o momento do sistema em um instante futuro. 4 Relação entre a força, deslocamento e o conceito de integral Para sistemas de partículas sujeitos a alguns outros tipos de forças resultantes, a aplicação do princípio do momento leva a equações diferenciais que podem ser resolvidas simplesmente com técnicas básicas de integração. Esses sistemas costumam ser bastante explorados nos capítulos iniciais de vários livros de física básica universitária, pois permitem mostrar como o uso do cálculo diferencial e integral possibilita descrever movimentos mais complexos que os movimentos gerados por uma força constante, em geral o único estudado no ensino médio. Vamos discutir a seguir alguns deles, em particular aqueles onde a força resultante depende só do tempo, através de funções facilmente integráveis, como é o caso dos polinômios. Você deve ter encontrado, durante seus estudos de física no ensino médio, uma forma aproximada e simplificada do princípio do momento, a famosa equação F = ma. Essa equação é válida apenas se (a) F é a magnitude da força resultante; (b) O movimento ocorre em uma dimensão (em geral na direção do eixo x), ou seja é retilíneo; (c) a massa do sistema é constante e (d) a rapidez do sistema é muito menor que a magnitude da velocidade da luz, c. Na quase totalidade dos exemplos que deve ter estudado, essa força F ainda era constante (magnitude e orientação). Essa equação, muitas vezes chamada de segunda lei de Newton, pode ser deduzida a partir do 5

6 Princípio do Momento quando o momento p m v ( v << c). d(m v) d p d(m v ) = ( dm (supondo v c) ) v + m d v (regra do produto para derivadas) d(m v ) = 0 + m d v (supondo que a massa m seja constante) Como já vimos, a taxa de variação no tempo da velocidade é chamada aceleração e é geralmente representada por a. Com isto podemos obter uma forma aproximada para o Princípio do Momento: d p = F res m a (forma não relativística, massa constante) Se, ainda, esquecemos o caráter vetorial dessa equação obtemos F = ma, expressão válida quando o movimento é unidimensional (a força F res e a velocidade inicial v i são paralelas ou antiparalelas). Embora essa expressão, com frequência, seja apresentada aos alunos como a segunda lei de Newton, Newton sempre se referiu ao Princípio do Momento na forma como o apresentamos nesse texto, d p/ = F res e p = F res t. A definição de aceleração, porém, é útil também, porque pode ser importante conhecer a a taxa de variação da sua velocidade, e é a velocidade que está relacionada com a variação da posição. Porém, você verá que a forma mais geral do Princípio do Momento d p/ = F res, é mais adequada para nossas análises do movimento. A expressão d p/ = F res é relativisticamente correta (correta para qualquer valor da rapidez); a expressão d p/ = F res envolve o conceito de momento, uma grandeza que é conservada, permitindo analisar problemas como o da colisão entre duas partículas; d p/ = F res permanece correta mesmo quando a massa do sistema não é constante (como por exemplo ocorre quando o nosso sistema é um foguete queimando combustível e ejetando gases; d p/ = F res é um princípio vetorial, que contém informação sobre a orientação e não só a magnitude das grandezas envolvidas nos lembrando sempre de que temos, na verdade, três equações associadas com essa expressão, uma para cada componente x, y, e z; e finalmente d p/ = F res nos lembra que temos que somar todas as forças vetoriais (considerar todas as interações), por isso escrevemos F res, e não simplesmente F. Nas seções que seguem vamos fazer essa simplificação grande, pensando apenas em movimentos retilíneos em uma única direção, que vamos associar ao eixo x. Vamos fazer isso com o objetivo de mostrar, em alguns exemplos simples, como obter a equação horária x(t) a partir da aplicação do princípio do momento e do conceito de integral. O conceito de integral Dada a função x(t), que descreve a evolução no tempo da componente x da posição de um objeto, já vimos que é possível obter a componente x sua velocidade instantânea, v x (t), tomando a derivada de x em relação a t, isto é, v x (t) = d x(t). Já vimos também como resolver o problema inverso: dada a velocidade v x = v(t) 3, precisamos calcular o espaço percorrido entre um instante inicial t i e um instante final t f, isto é x = x(t f ) x(t i ) x f x i. A partir da definição de velocidade média, vimos que x f x i = v ti t f (t f t i ), ou seja, podemos calcular o valor da coordenada x em um instante futuro a partir da velocidade média e da sua posição agora : x f = x i + v ti t f (t f t i ). O problema é que em geral não conhecemos a velocidade média; para contornar esse problema, nos nossos cálculos iterativos, usamos a aproximação v v f para calcular x f e vimos que as previsões se tornavam cada vez melhores a medida que o intervalo de tempo t se tornava cada 3 Daqui para a frente vamos omitir indice x, para simplificar a notação, já que se trata sempre de um movimento na direção x. 6

7 vez menor, de modo a garantir que v constante nesse intervalo. E mesmo se o intervalo total de tempo não fosse tão pequeno, poderíamos obter um bom resultado subdividindo-o em N intervalos menores, de modo que N x f x i = v j t, j=1 v j é a velocidade média no j-ésimo intervalo t. Figura 2 A figura 2 exemplifica o significado da expressão acima para N = 4. Note que esta expressão continua exata, o problema continua sendo não conhecermos as velocidades médias v j e termos que aproximá-las por v j,f, a velocidade final no subintervalo de tempo j. Porém, no limite de N muito grande, quando t vai a zero, v j tende à velocidade instantânea v j v(t j ), e a soma das inúmeras parcelas, que se denomina integral definida, costuma ser escrita na forma x f x i = lim t 0 j=1 N v j t = lim t 0 j=1 N v j t tf t i v(t), Observe que a soma virou um S estilizado. Ao invés de um índice j que assume valores discretos, há uma variável de integração contínua em t (a velocidade média v j é substituída pela velocidade instantânea v(t), e t j passa a ser um intervalo infinitesimal ). À medida que N aumenta, é fácil perceber que a soma N j=1 v j t corresponde cada vez mais fielmente à área sob a curva do gráfico de v contra t. Nesse limite a soma, ou melhor, a integral definida, corresponde exatamente à área sob a curva da função v = v(t) entre t = t i e t = t f. Uma integral também é um caso particular de limite é um tipo de limite em que as parcelas de uma soma tendem a zero, mas o número de parcelas tende a infinito. Uma forma de calcular uma integral, portanto, é calcular a área sob a curva de v(t) por t. Já vimos dois exemplos sem usar a palavra integral. Velocidade constante movimento devido a uma força resultante nula Se v(t) = v 0 (é constante), qual o espaço x = x f x i, percorrido entre t i e t f? Graficamente, v(t) é dada pela figura 3. Então x f x i = tf t i v(t) = área hachurada = v 0 (t f t i ). Tomando x i = x 0 para t i = 0 e um ponto genérico x f = x para t f = t, temos x x 0 = v 0 t, ou seja, x = x 0 + v 0 t, que é a equação que descreve um movimento conhecido como movimento retilíneo uniforme. 7

8 Figura 3 Rapidez crescendo linearmente com o tempo força resultante constante e velocidade inicial paralela ao movimento Dado um movimento retilíneo com uma rapidez que varie linearmente com o tempo, v(t) = v 0 + at, onde v 0 e a são constantes, qual o espaço x = x f x i, percorrido entre os instantes t i e t f? Vamos observar o gráfico da figura 4, em que tan θ = d v(t) = a. Então x f x i = tf Usando a fórmula da área de um trapézio, temos t i Figura 4 v(t) = área hachurada. x f x i = área hachurada = v(t f ) + v(t i ) (t f t i ) 2 = 1 2 [v 0 + at f + v 0 + at i ](t f t i ) = v 0 (t f t i ) a ( t 2 f t2 i ). Tomando de novo x i = x 0 para t i = 0 e um ponto genérico x f = x para t f = t, obtemos uma equação horária que descreve um movimento chamado em muitos livros como movimento retilíneo uniformemente variado. x = x 0 + v 0 t at2. Velocidade e aceleração, em um movimento retilíneo, estão relacionadas exatamente da mesma forma que posição e velocidade, a = dv/. Como, nesses casos bem simplificados, a = F/m, podemos relacionar a força com a derivada da velocidade através de uma equação diferencial: F ( ) = m dv 2 = md x 2 8

9 Escrevemos F ( ) porque, a princípio, não sabemos como a força resultante varia. No caso ainda mais particular em que F = F (t), ou seja, a força resultante depende apenas do tempo (e não da posição, como é o caso, por exemplo, da força da mola), podemos usar o conceito de integral apresentado acima para resolver essa equação e encontrar v(t), calculando a área sob a curva a(t) t entre os dois instantes t i = 0 e t f = t. Se conseguirmos calcular essa área, e obter a função v(t), podemos repetir o processo calculando a área sob a curva v(t) para encontrar finalmente a equação horária x(t). Esse é o caminho para encontrarmos uma solução analítica para o movimento de um corpo sujeito a uma força que tem uma forma conhecida, cuja direção e sentido são constantes, e a magnitude varia apenas com o tempo. Um caso um pouco mais complicado Até agora vimos dois exemplos muito simples e não tivemos nenhuma dificuldade para calcular a área sob a curva (e encontrar o valor da integral definida). Mas, na prática, esse pode ser um problema bem complicado: há poucas figuras geométricas cujas áreas podem ser calculadas tão facilmente. Se a dependência da velocidade com o tempo fosse um pouco só mais complicada por exemplo se v(t) = ct 2, o gráfico de v(t) em função de t seria curvo e não sabemos como calcular diretamente a área sob a curva para calcular a integral e obter x. Na grande maioria das vezes temos que utilizar algumas propriedades gerais e um arsenal de truques para calcular diretamente as integrais definidas (e obter, portanto, o valor das áreas sob as curvas ). E isso é possível graças a um teorema conhecido como teorema fundamental do cálculo, que vamos enunciar mas não vamos demonstrar aqui. Você não precisa se preocupar pois todos esses conceitos que apresentamos serão vistos de forma mais precisa e rigorosa, com as demonstrações pertinentes, na disciplina de cálculo, ainda esse semestre. Porém, se quiser uma demonstração simplificada e um pouco mais de exemplos, pode consultar o livro introdutório de cálculo já citado. Teorema fundamental do cálculo Como o espaço percorrido é dado pela integral da velocidade (que, por sua vez, é a derivada do espaço), a integração deve corresponder a uma operação inversa da derivação. O teorema fundamental do cálculo torna esta ideia mais precisa. Teorema: Se a função A(x) for dada por A(x) = x a f(z) dz, onde a é uma constante arbitrária, então da(x) dx = f(x). Figura 5 A Figura 5 ilustra isso. O ponto z = a a é fixo; a área sob a curva A(x) é uma função de x a medida que z = x varia. A função A(x) se chama primitiva de f(x). A sua derivada coincide com o integrando f(z) no ponto z = x. E esse teorema nos diz que, se conseguimos adivinhar de algum modo qual a função A(x) cuja derivada seja igual ao integrando (a função que aparece dentro da integral), essa função permite calcular a área sob a curva de f(x) em função de x. Estamos tomando bastante cuidado com a notação como o intervalo de integração vai de a até x, estamos usando o símbolo z como variável de integração (no extremo inferior, z = a; no extremo superior, z = x ). É claro que poderíamos ter escolhido qualquer outra letra (y, x, t, etc.) como variável de integração. Você deve ver muito mais sobre integrais, suas propriedades e como calculá-las na disciplina de cálculo 1, até o fim desse semestre. Por enquanto, com essa introdução e o que sabe de derivada, você deve ser capaz de acompanhar o que estamos estudando em Física 1. A função primitiva é como o próprio nome diz uma função, e não é igual a nenhuma área (um número); Há uma família de funções primitivas, tais que da(x)/dx = f(x) e que diferem entre si apenas por uma constante, 9

10 já que a derivada de uma constante é zero. Por meio dessas funções conseguimos calcular as áreas sob curvas. A partir do teorema fundamental do cálculo temos A(x) = G(x) G(a) = x a f(z) dz, onde G(x) é uma primitiva genérica de f(x). Então, para x = b, vem G(b) G(a) = b a f(z) dz = área sob a curva de f(z) entre z = a e z = b. Para calcular uma integral definida, ou seja, a área sob a curva, basta achar uma primitiva genérica G(x) e encontrar os seus valores nos extremos do intervalo de integração. Força cuja magnitude cresce linearmente com o tempo Uma partícula de massa 1 kg, inicialmente em repouso na origem, move-se durante 10 s em linha reta, sob a ação de uma força crescente, cuja magnitude é dada por F (t) = m b t, onde t é o tempo, m a massa e b = 0, 6 m/s 3 é uma constante. (a) Qual é a expressão analítica para v(t) e qual é a velocidade da partícula em t = 10 s? (b) Qual é a expressão analítica para x(t) e qual é a posição da partícula no instante t = 10 s? (c) Trace o gráfico da aceleração a(t) como função do tempo e indique nele o intante t = 10 s. Calcule a área sob a curva desde t = 0 até t = 10 s. Qual a relação desta área com o resultado obtido no item (a)? (a) Cálculo de v(t): a = F m = b t; portanto dv = a = b t e v(t) v(0) = t 0 (bt ) É possível usar as regras de derivação ao contrário para garimpar a função v(t). De fato, é simples verificar que v(t) = 1 2 bt2 +k é tal que dv é igual ao integrando b t. Para achar o valor da constante k usamos a informação de que v(t = 0) = 0: no início a partícula estava parada na origem e portanto k = 0. A expressão analítica para a velocidade instantânea é portanto v(t) = b 2 t2 = 0, 3 t 2 e, no instante t = 10 s, v = 30 m/s. (b) Cálculo da posição x(t): v = dx = b 2 t2 = x(t) x(0) = t 0 ( b 2 t 2 ) Com um pouco mais de esforço percebemos que x(t) = bt3 + k é uma função tal que dx = v; novamente com a informação de que a partícula estava na origem em t = 0 obtemos o valor de k e a expressão analítica para x(t): x(t) = b 6 t3 = 0, 1 t 3 ; em t = 10 s x = 100 m. Deixamos para que faça sozinho o item (c). Chamamos a atenção de que a fórmula x = x 0 + v 0 t at2 não daria a resposta correta. Você deve se certificar de que entendeu porque! 10