PARTE ANÁLISE VETORIAL

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1 PARTE 1 ANÁLISE VETORIAL

2 CÓDIGOS DE ÉTICA A engenharia é uma profissão que contribui significativamente para a economia e para o bem-estar social das pessoas em todo o mundo. Espera-se que os engenheiros, como membros dessa importante profissão, apresentem os mais altos padrões de honestidade e de integridade moral. Infelizmente, o currículo de engenharia é tão denso que não há oportunidade, em muitas escolas de engenharia, para uma disciplina na área de ética. Apesar de existirem mais de 850 códigos de ética para diferentes profissões no mundo, aqui será apresentado o Código de Ética do Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (IEEE), para dar aos estudantes uma amostra da importância da ética nas profissões de engenharia. Nós, membros do IEEE, reconhecendo a importância do impacto de nossas tecnologias na qualidade de vida em todo o mundo e aceitando a responsabilidade pessoal perante nossa profissão, nossos colegas e as comunidades a que servimos, assumimos aqui nosso compromisso com os mais altos padrões de conduta ética e profissional e concordamos em: 1. Aceitar a responsabilidade de tomar decisões em engenharia condizentes com a segurança, a saúde e o bem-estar da população, e de prontamente tornar públicos fatores que possam pôr em perigo a população ou o meio ambiente. 2. Evitar conflitos de interesse reais ou aparentes, sempre que possível, e indicá-los às partes afetadas sempre que esses conflitos existirem. 3. Ser honestos e realistas ao fazer declarações ou estimativas com base em dados disponíveis. 4. Rejeitar qualquer forma de suborno. 5. Melhorar a compreensão da tecnologia, das suas aplicações apropriadas e de suas potenciais consequências. 6. Manter e melhorar a nossa competência técnica e empreender tarefas tecnológicas em benefício de terceiros somente se formos devidamente qualificados, por treinamento ou por experiência, ou após a plena exposição de nossas limitações pertinentes ao caso. 7. Procurar, aceitar e oferecer críticas honestas a trabalhos técnicos, reconhecer e corrigir erros e dar o devido crédito às contribuições de terceiros. 8. Tratar de modo justo todas as pessoas, independentemente de raça, religião, gênero, deficiências, idade ou nacionalidade. 9. Evitar causar danos a outras pessoas, seus bens, suas reputações ou seus empregos por meio de ações mal-intencionadas ou pelo uso de falsidade. 10. Ajudar engenheiros e colegas de trabalho no seu desenvolvimento profissional e apoiá-los no cumprimento deste código de ética. Cortesia do IEEE tradução livre.

3 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA VETORIAL O homem finito não tem significado sem um ponto de referência no infinito. JEAN P. SARTRE 1.1 INTRODUÇÃO O Eletromagnetismo (EM) pode ser considerado o estudo da interação entre cargas elétricas em repouso e em movimento. Envolve a análise, a síntese, a interpretação física e a aplicação de campos elétricos e magnéticos. O Eletromagnetismo (EM) é um ramo da Física, ou da Engenharia Elétrica, no qual os fenômenos elétricos e magnéticos são estudados. Os princípios do EM se aplicam em várias disciplinas afins, como: micro-ondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e sensoreamento remoto. 1,2 Em Física Médica, por exemplo, a energia eletromagnética, seja na forma de ondas curtas ou de micro-ondas, é utilizada para aquecer tecidos mais profundos e para estimular certas respostas fisiológicas, afim de aliviar a dor em determinadas patologias. Os campos eletromagnéticos são utilizados em aquecedores indutivos para fundir, forjar, recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimento de dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. A energia eletromagnética possibilita muitas aplicações novas e interessantes em agricultura. É utilizada, por exemplo, para alterar o sabor de vegetais, reduzindo sua acidez. Os dispositivos de EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/tv, telefone, motores elétricos, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto desses dispositivos requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo. 1.2 UMA VISÃO PRÉVIA DO LIVRO O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, feito neste livro, pode ser resumido nas Equações de Maxwell: D v (1.1) B 0 (1.2) 1 Para numerosas aplicações de eletrostática, consulte J. H. Crowley, Fundamentals of Applied Electrostatics. New York: John Wiley & Sons, Para outras áreas de aplicações de EM, consulte, por exemplo, D. Teplitz, ed., Electromagnetism: Paths To Rescarch. New York: Plenum Press, Este símbolo indica seções que podem ser suprimidas, expostas brevemente ou propostas como atividades extraclasse, caso se pretenda cobrir todo o texto em um só semestre.

4 4 Parte 1 Análise Vetorial (1.3) (1.4) onde o vetor operador diferencial D a densidade de fluxo elétrico B a densidade de fluxo magnético E a intensidade de campo elétrico H a intensidade de campo magnético v a densidade volumétrica de carga J a densidade de corrente Maxwell embasou essas equações em resultados já conhecidos, experimentais e teóricos. Uma olhada rápida nessas equações mostra que devemos operar com grandezas vetoriais. Consequentemente, é lógico que dediquemos algum tempo na Parte 1 para examinar as ferramentas matemáticas requeridas para esse curso. As derivações das equações (1.1) a (1.4), para condições invariantes no tempo, e o significado físico das grandezas D, B, E, H, J e v serão objeto de nosso estudo nas Partes 2 e 3. Na Parte 4 reexaminaremos as equações para o regime de variação temporal e as aplicaremos em nosso estudo de dispositivos do EM encontrados na prática. 1.3 ESCALARES E VETORES A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo (EM) são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos. Precisamos, primeiramente, aprender suas regras e técnicas antes de aplicá-las com segurança. Já que muitos estudantes fazem esse curso tendo pouca familiaridade com os conceitos de análise vetorial, uma considerável atenção é dada ao assunto neste e nos próximos dois capítulos. 3 Este capítulo introduz os conceitos básicos de álgebra vetorial, considerando apenas coordenadas cartesianas. O capítulo seguinte parte daí e estende esse estudo para outros sistemas de coordenadas. Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor. Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude. Grandezas como tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e população são escalares. Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação. Grandezas vetoriais incluem velocidade, força, deslocamento e intensidade de campo elétrico. Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos particulares. Na maior parte do tempo, estaremos trabalhando com escalares e vetores. 4 3 O leitor que não sinta necessidade de revisão da álgebra vetorial pode seguir para o próximo capítulo. 4 Para um estudo inicial sobre tensores, consulte, por exemplo, A. I. Borisenko e I. E. Tarapor, Vector and Tensor Analysis with Application. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968.

5 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 5 Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra com uma flecha sobre ela, tais como A e B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A, B, U e V. A teoria do EM é essencialmente um estudo de alguns campos particulares. Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região. Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é dito um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de campos escalares são: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro, o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exemplos de campos vetoriais. 1.4 VETOR UNITÁRIO Um vetor A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou A. Um vetor unitário a A ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade (isto é, 1) e a orientação é ao longo de A, isto é: (1.5) Observe que a A 1. Dessa forma, podemos escrever A como A Aa A (1.6) o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação a A. Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como (A x, A y, A z ) ou A x a x A y a y A z a z (1.7) onde A x, A y e A z são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x, y e z; a x, a y e a z são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z. Por exemplo, a x é um vetor adimensional de magnitude um na direção e sentido positivo do eixo dos x. Os vetores unitários a x, a y e a z estão representados na Figura 1.1(a), e as componentes de A, ao longo dos eixos coordenados, estão mostradas na Figura 1.1(b). A magnitude do vetor A é dada por: (1.8) e o vetor unitário ao longo de A é dado por: (1.9)

6 6 Parte 1 Análise Vetorial FIGURA 1.1 (a) Vetores unitários a x, a y e a z ; (b) componentes de A ao longo de a x, a y e a z. 1.5 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é: C A B (1.10) A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), C (A x B x )a x (A y B y )a y (A z B z )a z (1.11) A subtração de vetores é feita de modo similar: D A B A ( B) (A x B x )a x (A y B y )a y (A z B z )a z (1.12) Graficamente, a soma e a subtração de vetores são obtidas tanto pela regra do paralelogramo quanto pela regra do início de um-final de outro, como ilustrado nas Figuras 1.2 e 1.3, respectivamente. As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B e C, estão resumidas na tabela a seguir: Propriedade Soma Multiplicação Comutativa A B B A ka Ak Associativa A (B C) (A B) C k( A) (k )A Distributiva k(a B) ka kb onde k e são escalares. A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida na Seção 1.7. FIGURA 1.2 Soma de vetores C A B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do início de um-final de outro.

7 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 7 FIGURA 1.3 Subtração de vetores D A B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do início de um-final de outro. 1.6 VETOR POSIÇÃO E VETOR DISTÂNCIA Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesiano, pode ser representado por (x, y, z). O vetor posição r P (ou raio vetor) de um ponto P é um vetor que começa na origem O do sistema de coordenadas e termina no ponto P, isto é: r P OP xa x ya y za z (1.13) O vetor posição do ponto P é útil para definir sua posição no espaço. O ponto (3, 4, 5), por exemplo, e seu vetor posição 3a x 4a y 5a z são mostrados na Figura 1.4. O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro. Se dois pontos, P e Q, são dados por (x P, y P, z P ) e (x Q, y Q, z Q ), o vetor distância (ou o vetor separação) é o deslocamento de P a Q, como mostrado na Figura 1.5, isto é: r PQ r Q r P (x Q x P )a x (y Q y P )a y (z Q z P )a z (1.14) FIGURA 1.4 Representação gráfica do vetor posição r p 3a x 4a y 5a z. FIGURA 1.5 Vetor distância r PQ.

8 8 Parte 1 Análise Vetorial A diferença entre um ponto P e um vetor A deve ser ressaltada. Embora tanto P quanto A possam ser representados da mesma maneira como (x, y, z) e (A x, A y, A z ), respectivamente, o ponto P não é um vetor; somente seu vetor posição r P é um vetor. Entretanto, o vetor A pode depender do ponto P. Por exemplo, se A 2xya x y 2 a y xz 2 a z e P é (2, 1, 4), então A em P seria 4a x a y 32a z. Um campo vetorial é dito constante ou uniforme se não depende das variáveis de espaço x, y e z. Por exemplo, o vetor B 3a x 2a y 10a z é um vetor uniforme, enquanto o vetor A 2xya x y 2 a y xz 2 a z é não uniforme, porque B é o mesmo em qualquer ponto, enquanto A varia ponto a ponto. EXEMPLO 1.1 Se A 10a x 4a y 6a z e B 2a x, determine: (a) a componente de A ao longo de a y ; (b) a magnitude de 3A B; (c) um vetor unitário ao longo de A 2B. Solução: (a) a componente de A ao longo de a y é A y 4. (b) 3A B 3(10, 4, 6) (2, 1, 0) (30, 12, 18) (2, 1, 0) (28, 13, 18) Portanto, (c) Seja C A 2B (10, 4, 6) (4, 2, 0) (14, 2, 6). Um vetor unitário ao longo de C é a c ou Observe que a c 1, como esperado. a c 0,9113a x 0,1302a y 0,3906a z EXERCÍCIO PRÁTICO 1.1 Dados os vetores A a x 3a z e B 5a x 2a y 6a z, determine: (a) A B (b) 5A B (c) a componente de A ao longo de a y (d) um vetor unitário paralelo a 3A B Resposta: (a) 7, (b) (0, 2, 21), (c) 0, (d) ± (0,9117, 0,2279, 0,3419). EXEMPLO 1.2 Os pontos P e Q estão localizados em (0, 2, 4) e ( 3, 1, 5). Calcule: (a) o vetor posição P (b) o vetor distância de P até Q (c) a distância entre P e Q (d) um vetor paralelo a PQ com magnitude 10

9 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 9 Solução: (a) r p 0a x 2a y 4a z 2a y 4a z (b) r PQ r Q r P ( 3, 1, 5) (0, 2, 4) ( 3, 1, 1) ou r PQ 3a x a y (c) já que r PQ é o vetor distância de P até Q, a distância entre P e Q é a magnitude desse vetor, isto é: Alternativamente: (d) Seja o vetor requerido A, então: A Aa A onde A 10 é a magnitude de A. Já que A é paralelo a PQ, o vetor unitário deve ser o mesmo de r PQ ou r QP. Portanto, e EXERCÍCIO PRÁTICO 1.2 Dados os pontos P(1, 3, 5), Q(2, 4, 6) e R(0, 3, 8), determine: (a) os vetores posição de P e R, (b) o vetor distância r QR, (c) a distância entre Q e R. Resposta: (a) a x 3a y 5a z, 3a x 8a z, (b) 2a x a y 2a z, (c) 3. EXEMPLO 1.3 Um rio, no qual um barco navega com sua proa apontada na direção do fluxo da água, corre com orientação sudeste a 10 km/h. Um homem caminha sobre o convés a 2 km/h, do lado esquerdo para o lado direito do barco, em direção perpendicular ao seu movimento. Determine a velocidade do homem em relação à terra. Solução: Considere a Figura 1.6 como ilustração do problema. A velocidade do barco é: u b 10(cos 45 a x sen 45 a y ) 7,071a x 7,071a y km/h A velocidade do homem em relação ao barco (velocidade relativa) é: u m 2( cos 45 a x sen 45 a y ) 1,414a x 1,414a y km/h

10 10 Parte 1 Análise Vetorial FIGURA 1.6 Referente ao Exemplo 1.3. Dessa forma, a velocidade absoluta do homem é: isto é, 10,2 km/h a 56,3 o do leste para o sul. u ab u m u b 5,657a x 8,485a y u ab 10,2 l 56,3 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.3 Um avião tem uma velocidade em relação ao solo de 350 km/h exatamente na direção oeste. Se houver vento soprando na direção nordeste com velocidade de 40 km/h, calcule a velocidade real do avião no ar e a orientação em que ele se desloca. Resposta: 379,3 km/h; 4,275 do oeste para o norte. 1.7 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado tanto pode ser um escalar quanto um vetor, dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma, existem dois tipos de multiplicação vetorial: 1. produto escalar (ou ponto): A B 2. produto vetorial (ou cruzado): A B A multiplicação de três vetores A, B e C, entre si, pode resultar em: 3. um produto escalar triplo: A (B C) ou 4. um produto vetorial triplo: A (B C)

11 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 11 A. Produto escalar O produto escalar de dois vetores A e B, escrito como A B, é definido geometricamente como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do menor ângulo entre eles quando estiverem desenhados a partir do mesmo ponto de origem. Assim, A B AB cos AB (1.15) onde AB é o menor ângulo entre A e B. O resultado de A B é denominado de produto escalar, porque é um escalar, ou de produto ponto, devido ao ponto sinal que identifica a operação. Se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), então A B A x B x A y B y A z B z (1.16) que é obtido multiplicando-se A e B, componente a componente. Dois vetores, A e B, são ditos ortogonais (ou perpendiculares) entre si se A B 0. Observe que o produto ponto satisfaz as seguintes propriedades: (i) Propriedade comutativa: (ii) Propriedade distributiva: (iii) Observe também que: A B B A (1.17) A (B C) A B A C (1.18) A A A 2 A 2 (1.19) a x a x 0 a x a x 1 (1.20a) (1.20b) É fácil provar as identidades nas equações (1.17) a (1.20) aplicando a equação (1.15) ou (1.16). B. Produto vetorial O produto vetorial de dois vetores, A e B, escrito como A B, é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B (ver Figura 1.7) e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B. Assim, A B AB sen AB a n (1.21) onde a n é um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. A orientação de a n é tomada como a orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B, como mostrado na Figura 1.8(a). Alternativamente, a orientação de a n é tomada como a orientação do

12 12 Parte 1 Análise Vetorial A B B FIGURA 1.7 O produto de A por B é um vetor com magnitude igual à área de um paralelogramo e cuja orientação é a indicada. A FIGURA 1.8 Orientação de A B e a n usando: (a) regra da mão direita; (b) regra do parafuso de rosca direita. avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B, como mostrado na Figura 1.8(b). A multiplicação vetorial da equação (1.21) é denominada produto cruzado devido à cruz sinal que identifica a operação. É também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor. Se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), então (1.22a) (A y B z A z B y )a x (A z B x A x B z )a y (A x B y A y B x )a z (1.22b) a qual é obtida cruzando os termos em permutação cíclica. Daí o nome de produto cruzado. Observe que o produto cruzado, ou produto vetorial, tem as seguintes propriedades básicas: (i) Não é comutativo: A B B A (1.23a) É anticomutativo: A B B A (1.23b)

13 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 13 (ii) Não é associativo: A (B C) (A B) C (1.24) (iii) É distributivo: A (B C) A B A C (1.25) (iv) A A 0 (1.26) Também observe que a x a y a x a z a x (1.27) que são obtidas por permutação cíclica e estão representadas na Figura 1.9. As identidades nas equações (1.25) a (1.27) são facilmente verificadas aplicando a equação (1.21) ou (1.22). Deve ser observado que, ao obter a n, usamos a regra da mão direita ou do parafuso de rosca direita, porque queremos ser consistentes com nosso sistema de coordenadas representado na Figura 1.1, que é dextrógiro. Um sistema de coordenadas dextrógiro é aquele em que a regra da mão direita é satisfeita. Isto é, a x é obedecida. Em um sistema levógiro, seguimos a regra da mão esquerda, ou a regra do parafuso de rosca esquerda, e a x é satisfeita. Ao longo deste livro, consideraremos sistemas de coordenadas dextrógiros. Da mesma forma que a multiplicação de dois vetores nos dá um resultado escalar ou vetorial, a multiplicação de três vetores, A, B e C, nos dá um resultado escalar ou vetorial dependendo de como os vetores são multiplicados. Dessa forma, temos um produto escalar ou vetorial triplo. C. Produto escalar triplo Dados três vetores, A, B e C, definimos o produto escalar triplo como A (B C) B (C A) C (A B) (1.28) obtido em permutação cíclica. Se A (A x, A y, A z ), B (B x, B y, B z ) e C (C x, C y, C z ), então A (B C) é o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas. Esse volume é facilmente obtido encontrando o determinante de uma matriz 3 3, formada por A, B e C, isto é: (1.29) FIGURA 1.9 Produto cruzado utilizando permutação cíclica: (a) no sentido horário, para resultados positivos; (b) no sentido anti-horário, para resultados negativos.

14 14 Parte 1 Análise Vetorial Já que o resultado dessa multiplicação vetorial é um escalar, a equação (1.28) ou (1.29) é denominada de produto escalar triplo. D. Produto vetorial triplo Para os vetores A, B e C, definimos produto vetorial triplo como A (B C) B(A C) C(A B) (1.30) obtido usando a regra bac cab. Deve ser observado que: (A B)C A(B C) (1.31) mas (A B)C C(A B) (1.32) 1.8 COMPONENTES DE UM VETOR Uma aplicação direta do produto vetorial é seu uso para determinar a projeção (ou a componente) de um vetor em uma dada direção. A projeção pode ser escalar ou vetorial. Dado um vetor A, definimos a componente escalar A B de A ao longo do vetor B como [veja Figura 1.10(a)] ou A B A cos AB A a B cos AB A B A a B (1.33) A componente vetorial A B de A ao longo de B é simplesmente a componente escalar na equação (1.33) multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é: A B A B a B (A a B )a B (1.34) Tanto a componente escalar quanto a vetorial de A estão representadas na Figura Observe, na Figura 1.10(b), que o vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: uma componente A B paralela a B e a outra (A A B ) perpendicular a B. De fato, nossa representação cartesiana de um vetor consiste, essencialmente, em decompô-lo em suas três componentes mutuamente ortogonais, como mostrado na Figura 1.1(b). Consideramos até aqui a soma, a subtração e a multiplicação de vetores. Entretanto, a divisão de vetores A/B não foi considerada porque é indefinida, exceto quando os vetores são paralelos entre si, tal que A kb, onde k é uma constante. A diferenciação e a integração de vetores será tratada no Capítulo 3. FIGURA 1.10 Componentes de A ao longo de B: (a) componente escalar A B ; (b) componente vetorial A B.

15 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 15 EXEMPLO 1.4 Dados os vetores A 3a x 4a y e B 2a y 5a z, determine o ângulo entre A e B. Solução: O ângulo AB pode ser determinado usando ou o produto ponto ou o produto cruzado. Alternativamente: EXERCÍCIO PRÁTICO 1.4 Se A a x 3a z e B 5a x 2a y 6a z, determine AB. Resposta: 120,6. EXEMPLO 1.5 Três campos vetoriais são dados por: P 2a x Q 2a x 2a z R 2a x 3a y Determine: (a) (P Q) (P Q); (b) Q R P; (c) P Q R; (d) sen QR ; (e) P (Q R); (f) um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente; (g) a componente de P ao longo de Q.

16 16 Parte 1 Análise Vetorial Solução: (a) (P Q) (P Q) P (P Q) Q (P Q) P P P Q Q P Q Q 0 Q P Q P 0 2Q P 2(1 0) a x 2(4 2) a y 2(0 2) a z 2a x 12a y 4a z (b) O único modo em que Q R P faz sentido é: Alternativamente: Para encontrar o determinante da matriz 3 3, repetimos as duas primeiras linhas e multiplicamos cruzadamente. Quando a multiplicação cruzada for da direita para a esquerda, o resultado deve ser multiplicado por 1, como mostrado abaixo. Essa técnica de encontrar o determinante se aplica somente em matrizes 3 3. Dessa maneira, como obtido anteriormente. (c) Da equação (1.28) ou P (Q R) Q (R P) 14 P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4)

17 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 17 (d) (e) P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4) (2, 3, 4) Alternativamente, usando a regra bac cab : P (Q R) Q(P R) R(P Q) (2, 1, 2)(4 0 1) (2, 3, 1)(4 0 2) (2, 3, 4) (f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente, é dado por: Observe que a 1, a Q 0 a R. Qualquer uma dessas relações pode ser usada para conferir o valor de a. (g) A componente de P ao longo de Q é: EXERCÍCIO PRÁTICO 1.5 Sejam E 3a y 4a z e F 4a x 10a y 5a z. Determine: (a) a componente de E ao longo de F; (b) o vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente. Resposta: (a) ( 0,2837, 0,7092, 0,3546), (b) (0,9398, 0,2734, 0,205). EXEMPLO 1.6 Obtenha a fórmula dos cossenos, a 2 b 2 c 2 2bc cos A e a fórmula dos senos, usando, respectivamente, o produto ponto e o produto cruzado.

18 18 Parte 1 Análise Vetorial FIGURA 1.11 Referente ao Exemplo 1.6. Solução: Considere um triângulo, como mostrado na Figura Da figura, observamos que isto é, Portanto, a b c 0 b c a a 2 a a (b c) (b c) b b c c 2b c a 2 b 2 c 2 2bc cos A onde A é o ângulo entre b e c. A área de um triângulo é metade do produto entre sua altura e sua base. Portanto: Dividindo por abc, obtém-se: ab sen C bc sen A ca sen B EXERCÍCIO PRÁTICO 1.6 Demonstre que os vetores a (4, 0, 1), b (1, 3, 4) e c ( 5, 3, 3) formam os lados de um triângulo. Esse é um triângulo retângulo? Calcule a área desse triângulo. Resposta: Sim; 10,5. EXEMPLO 1.7 Demonstre que os pontos P 1 (5, 2, 4), P 2 (1, 1, 2) e P 3 ( 3, 0, 8) estão todos sobre uma linha reta. Determine qual a menor distância entre essa linha e o ponto P 4 (3, 1, 0). Solução: O vetor distância r P1P2 é dado por: r P1P 2 r P2 r P1 (1, 1, 2) (5, 2, 4) ( 4, 1, 6)

19 Capítulo 1 Álgebra Vetorial 19 De maneira similar, r P1P 3 r P3 r P1 ( 3, 0, 8) (5, 2, 4) ( 8, 2, 12) r P1P 4 r P4 r P1 (3, 1, 0) (5, 2, 4) ( 2, 3, 4) (0, 0, 0) mostrando que o ângulo entre r P1P 2 e r é zero (sen 0). Isso implica que P, P e P P1P estão sobre a mesma linha reta. Alternativamente, a equação vetorial da linha reta é facilmente determinada a partir da Figura 1.12(a). Para qualquer ponto P sobre a linha que une P 1 e P 2, r P1P r P 1P 2 onde é uma constante. Portanto, o vetor posição r P do ponto P deve satisfazer isto é, r P r P1 (r P2 r P1 ) r P r P1 (r P2 r P1 ) (5, 2, 4) (4, 1, 6) r P (5 4, 2, 4 6 ) Essa é a equação vetorial da linha reta que une P 1 e P 2. Se P 3 está sobre essa linha, o vetor posição de P 3 deve satisfazer essa equação; r 3 satisfaz essa equação quando 2. A menor distância entre a linha e o ponto P 4 (3, 1, 0) é a distância perpendicular do ponto até a linha. Da Figura 1.12(b) é evidente que: Qualquer ponto sobre a linha pode ser usado como ponto de referência. Dessa forma, em vez de usar P 1 como ponto de referência, poderíamos usar P 3 tal que: d r P3P 4 sen ' r P3P 4 a P3P 1 FIGURA 1.12 Referente ao Exemplo 1.7.

20 20 Parte 1 Análise Vetorial EXERCÍCIO PRÁTICO 1.7 Se P 1 é (1, 2, 3) e P 2 é ( 4, 0, 5), determine: (a) a distância P 1 P 2 ; (b) a equação vetorial da linha P 1 P 2 ; (c) a menor distância entre a linha P 1 P 2 e o ponto P 3 (7, 1, 2); Resposta: (a) 9,644; (b) (1 5 )a x 2(1 ) a y (8 3) a z ; (c) 8,2. MATLAB 1.1 % Este script permite ao usuário inserir dois vetores e calcular % o produto escalar, o produto vetorial, a soma e a diferença entre eles clear va = input ('Insira o vetor A no formato [x y z]... \n '); if isempty(va); va = [0 0 0]; end % Se a entrada foi inserida % incorretamente, iguale o vetor a 0. vb = input ('Insira o vetor B no formato [x y z]... \n '); if isempty(vb); vb = [0 0 0]; end disp('módulo de A:') disp(norm(va)) % O operador "norm" determina o módulo de um vetor % multidimensional disp('módulo de B:') disp(norm(vb)) disp('vetor unitário na orientação de A:') disp(va/norm(va)) % O vetor unitário é o próprio vetor dividido por % seu módulo. disp('vetor unitário na orientação de B:') disp(vb/norm(vb)) disp('soma A+B: ') disp(va+vb) disp('diferença A-B: ') disp(va-vb) disp('produto escalar (A. B): ') disp(dot(va,vb)) % O operador dot realiza o produto escalar entre os % vetores disp('produto vetorial (A x B): ') disp(cross(va,vb)) % O operador cross realiza o produto vetorial % entre os vetores RESUMO 1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade no espaço. Por exemplo, A(x, y, z) é um campo vetorial, enquanto que V(x, y, z) é um campo escalar. 2. Um vetor A é univocamente especificado pela sua magnitude e por um vetor unitário ao longo de sua orientação, isto é, A Aa A. 3. A multiplicação entre dois vetores A e B resulta em um escalar A B AB cos AB ou em um vetor A B AB sen AB a n. A multiplicação entre três vetores A, B e C resulta em um escalar A (B C) ou em um vetor A (B C).

21 Capítulo 1 Álgebra Vetorial A projeção escalar (ou componente) de um vetor A sobre B é A B A a B, enquanto que a projeção vetorial de A sobre B é A B A B a B. QUESTÕES DE REVISÃO 1.1 Identifique qual das seguintes grandezas não é um vetor: (a) força, (b) momentum, (c) aceleração, (d) trabalho, (e) peso. 1.2 Qual das seguintes situações não representa um campo escalar? (a) Deslocamento de um mosquito no espaço. (b) A luminosidade em uma sala de estar. (c) A distribuição de temperatura em uma sala de aula. (d) A pressão atmosférica em uma dada região. (e) A umidade do ar em uma cidade. 1.3 Os sistemas de coordenadas retangulares, representados na Figura 1.13, são dextrógiros (seguem a regra da mão direita ). Quais não seguem essa regra? 1.4 Qual das expressões abaixo não está correta? (a) A A A 2 (b) A B B A 0 (c) A B C B C A 1.5 Qual das seguintes identidades não é válida? (a) a(b c) ab bc (b) a (b c) a b a c (c) a b b a 1.6 Quais das seguintes afirmações não têm significado? (a) A B 2A 0 (b) A B 5 2A (d) a x (e) a k a x onde a k é um vetor unitário. (d) c (a b) b (a c) (e) a A a B cos AB (c) A(A B) 2 0 (d) A A B B Sejam F 2a x 6a y 10a z e G a x G y a y 5a z. Se F e G tem o mesmo vetor unitário, G y é: (a) 6 (b) 3 (c) 0 (d) 6 FIGURA 1.13 Referente à questão de revisão 1.3.

22 22 Parte 1 Análise Vetorial 1.8 Dado que A a x a y e B a x, se A e B são perpendiculares entre si, é igual a: (a) 2 (b) 1/2 (c) 0 (d) 1 (e) A componente de 6a x 2a y 3a z ao longo de 3a x 4a y é: (a) 12a x 9a y 3a z (d) 2 (b) 30a x 40a y (e) 10 (c) 10/ Dado A 6a x 3a y 2a z, a projeção de A ao longo de a y é igual a: (a) 12 (b) 4 (c) 3 (d) 7 (e) 12 Respostas: 1.1d; 1.2a; 1.3b,e; 1.4b; 1.5a; 1.6a,b,c; 1.7b; 1.8b; 1.9d; 1.10c. PROBLEMAS 1.1 Determine o vetor unitário ao longo da direção OP, se O for a origem e P o ponto (4, 5,1). 1.2 Dados os vetores A 2a x 5a z e B a x 3a y 4a z, determine A B A B. 1.3 Os vetores posição dos pontos M e N são a x 4a y 2a z e 3a x 5a y, respectivamente. Determine o vetor distância orientado de M a N. 1.4 Considere A a x, B a x, C 2a z e determine: (a) A (B C) (b) (A B) C (c) A (B C) (d) (A B) C 1.5 Se os vetores posição dos pontos T e S são 3a x 2a y e 4a x 6a y 2a z, respectivamente, determine: (a) as coordenadas de T e S; (b) o vetor distância de T até S; (c) a distância entre T e S. 1.6 Considere A a x 3a y 2a z e B 4a x a y 8a z e determine: (a) os valores e se A e B forem paralelos (b) a relação entre e se B for perpendicular a A 1.7 (a) Demonstre que (A B) 2 A B 2 (AB) 2 (b) Demonstre que 1.8 Se A 4a x 6a y e B 2a x 5a z, determine: (a) A * B 2 B 2 (b) O vetor unitário perpendicular a ambos os vetores A e B. 1.9 Determine o produto ponto, o produto cruzado e o ângulo entre os vetores: P 2a x 6a y 5a z e Q 3a y

23 Capítulo 1 Álgebra Vetorial Simplifique as seguintes expressões: (a) A (A B) (b) A [A (A B)] 1.11 Demonstre que os sinais de ponto e de vezes podem ser intercambiados no produto escalar triplo, isto é, A (B C) (A B) C Os pontos P, Q e R estão localizados em ( 1, 4, 8), (2, 1, 3) e ( 1, 2, 3), respectivamente. Determine: (a) a distância entre P e Q; (b) o vetor distância de P até R; (c) o ângulo entre QP e QR; (d) a área do triângulo PQR; (e) o perímetro do triângulo PQR Dois pontos P(2, 4, 1) e Q(12, 16, 9) formam um segmento de linha reta. Calcule o tempo necessário para que um sinal de sonar, saindo da origem e viajando a 300m/s, atinja o ponto médio de PQ. *1.14 (a) Prove que P cos 1 a x sen 1 a y e Q cos 2 a x sen 2 a y são vetores unitários no plano xy fazendo, respectivamente, ângulos 1 e 2 com o eixo dos x. (b) Usando o produto ponto, obtenha a fórmula para cos( 2 1 ). De maneira similar, obtenha a fórmula para cos( 2 1 ). (c) Se é o ângulo entre P e Q, determine ½ P Q em função de Dados os vetores T 2a x 6a y 3a z e S a x 2a y, determine: (a) a projeção escalar de T sobre S; (b) o vetor projeção de S sobre T; (c) o menor ângulo entre T e S Se H 2xya x (x z)a y z 2 a z, determine: (a) o vetor unitário paralelo a H em P(1, 3, 2) (b) a equação da superfície sobre a qual H Considere A 2xa x ya y z 2 a z e B 3x 2 a x 6a y. No ponto (1, 2, 4): (a) calcule A B; (b) determine o ângulo entre A e B; (c) encontre o vetor projeção de A sobre B Determine a componente escalar, no ponto P(1, 0, 3), do vetor H ya x xa z, que está orientado em direção ao ponto Q( 2, 1, 4). * Este asterisco indica problemas de dificuldade intermediária.