ANÁLIsE VETORIAL PARTE 1

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1 ANÁLIsE VETORIAL PARTE 1

2 Capítulo 1 ÁLGEBRA VETORIAL Em uma vida longa, uma coisa eu aprendi: que toda a nossa ciência, comparada com a realidade, é primitiva e infantil e, mesmo assim, é o que temos de mais precioso. ALBERT EINSTEIN 1.1 INTRODUÇÃO O Eletromagnetismo (EM) pode ser considerado como o estudo da interação entre cargas elétricas em repouso e em movimento. Envolve a análise, a síntese, a interpretação física e a aplicação de campos elétricos e magnéticos. O Eletromagnetismo (EM) é um ramo da Física, ou da Engenharia Elétrica, no qual os fenômenos elétricos e magnéticos são estudados. Os princípios do EM se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de energia, meteorologia por radar e sensoreamento remoto 1,2. Em Física Médica, por exemplo, a energia eletromagnética, seja na forma de ondas curtas ou de microondas, é utilizada para aquecer tecidos mais profundos e para estimular certas respostas fisiológicas, afim de aliviar a dor em determinadas patologias. Os campos eletromagnéticos são utilizados em aquecedores indutivos para fundir, forjar, recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimento de dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. A energia eletromagnética possibilita muitas aplicações novas e interessantes em agricultura. É utilizada, por exemplo, para alterar o sabor de vegetais, reduzindo sua acidez. Os dispositivos do EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/tv, telefone, motores elétricos, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto desses dispositivos requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo. 1.2 UMA VISÃO PRÉVIA DO LIVRO O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, feito neste livro, pode ser resumido nas Equações de Maxwell: D r v B 0 (1.1) (1.2) 1 2 Para numerosas aplicações de eletrostática, consulte J. H. Crowley, Fundamentals of Applied Electrostatics. New York: John Wiley & Sons, Para outras áreas de aplicações de EM, consulte, por exemplo, D. Teplitz, ed., Electromagnetism: Paths To Rescarch. New York: Plenum Press, Este símbolo indica seções que podem ser suprimidas, expostas brevemente ou propostas como atividades extraclasse, caso se pretenda cobrir todo o texto em um só semestre.

3 20 Elementos de Eletromagnetismo onde o vetor operador diferencial; D a densidade de fluxo elétrico; B a densidade de fluxo magnético; E a intensidade de campo elétrico; H a intensidade de campo magnético; a densidade volumétrica de carga; e J a densidade de corrente. E B t H J D t (1.3) (1.4) Maxwell embasou essas equações em resultados já conhecidos, experimentais e teóricos. Uma olhada rápida nessas equações mostra que devemos operar com grandezas vetoriais. Conseqüentemente, é lógico que dediquemos algum tempo na Parte I para examinar as ferramentas matemáticas requeridas para esse curso. As derivações das equações (1.1) a (1.4), para condições invariantes no tempo, e o significado físico das grandezas D, B, E, H, J e serão objeto de nosso estudo nas partes II e III. Na parte IV reexaminaremos as equações para o regime de variação temporal e as aplicaremos em nosso estudo de dispositivos do EM encontrados na prática. 1.3 ESCALARES E VETORES A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo (EM) são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos. Precisamos, primeiramente, aprender suas regras e técnicas antes de aplicá-las com segurança. Já que muitos estudantes fazem esse curso tendo pequena familiaridade com os conceitos de análise vetorial, uma considerável atenção é dada a essa análise neste e nos próximos dois capítulos. 3 Este capítulo introduz os conceitos básicos de álgebra vetorial, considerando apenas coordenadas cartesianas. O capítulo seguinte parte daí e estende esse estudo para outros sistemas de coordenadas. Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor. Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude. Grandezas como tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e população são escalares. Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação. Grandezas vetoriais incluem velocidade, força, deslocamento e intensidade de campo elétrico. Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos particulares. Na maior parte do tempo, estaremos trabalhando com escalares e vetores. 4 Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra com uma flecha sobre ela, tais como S Ae S B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A, B, U e V. A teoria do EM é essencialmente um estudo de campos particulares. Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região. 3 4 O leitor que não sinta necessidade de revisão de álgebra vetorial pode seguir para o próximo capítulo. Para um estudo inicial sobre tensores, consulte, por exemplo, A. I. Borisenko e I. E. Tarapor, Vector and Tensor Analysis with Application. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968.

4 Álgebra Vetorial 21 Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é dito um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de campos escalares são: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro, o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exemplos de campos vetoriais. 1.4 VETOR UNITÁRIO Um vetor A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou 0 A0. Um vetor unitário a A ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade (isto é, 1) e a orientação é ao longo de A, isto é: a A A 0A 0 A A (1.5) Observe que a A 1. Dessa forma, podemos escrever A como A Aa A o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação a A. Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como (1.6) (A x, A y, A z ) ou A x a x A y a y A z a z (1.7) onde A x, A y e A z são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x, y e z; a x, a y e a z são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z. Por exemplo, a x é um vetor adimensional de magnitude um na direção e sentido positivo do eixo dos x. Os vetores unitários a x, a y e a z estão representados na Figura 1.1(a), e as componentes de A, ao longo dos eixos coordenados, estão mostradas na Figura 1.1(b). A magnitude do vetor A é dada por: A 2A x 2 A y 2 A z 2 (1.8) e o vetor unitário ao longo de A é dado por: g a A A xa x A y a y A z a z 2A x 2 A y 2 A z 2 (1.9) Figura 1.1 (a) Vetores unitários a x, a y e a z ; (b) componentes de A ao longo de a x, a y e a z.

5 22 Elementos de Eletromagnetismo 1.5 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é: C A B (1.10) A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), A subtração de vetores é feita de modo similar: C (A x B x )a x (A y B y )a y (A z B z )a z D A B A ( B) (A x B x )a x (A y B y )a y (A z B z )a z (1.11) (1.12) Graficamente, a soma e a subtração de vetores são obtidas tanto pela regra do paralelogramo quanto pela regra do início de um final de outro, como ilustrado nas Figuras 1.2 e 1.3, respectivamente. As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B e C, estão resumidas na tabela a seguir: Propriedade Comutativa Associativa Distributiva Soma A B B A A (B C) (A B) C k(a B) ka kb Multiplicação ka Ak k( A) (k )A onde k e l são escalares. A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida na Seção 1.7. Figura 1.2 Soma de vetores C A + B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do início de um-final de outro. Figura 1.3 Subtração de vetores D A B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do início de um-final de outro.

6 Álgebra Vetorial VETOR POSIÇÃO E VETOR DISTÂNCIA Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesiano, pode ser representado por (x, y, z). O vetor posição r P (ou raio vetor) de um ponto P é um vetor que começa na origem O do sistema de coordenadas e termina no ponto P, isto é: r P OP xa x ya y za z (1.13) O vetor posição do ponto P é útil para definir sua posição no espaço. O ponto (3, 4, 5), por exemplo, e seu vetor posição 3a x + 4a y + 5a z são mostrados na Figura 1.4. O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro. Se dois pontos, P e Q, são dados por (x P, y P, z P ) e (x Q, y Q, z Q ), o vetor distância (ou o vetor separação) é o deslocamento de P a Q, como mostrado na Figura 1.5, isto é: r PQ r Q r P (x Q x P )a x (y Q y P )a y (z Q z P )a z (1.14) A diferença entre um ponto P e um vetor A deve ser ressaltada. Embora tanto P quanto A possam ser representados da mesma maneira como (x, y, z) e (A x,a y, A z ), respectivamente, o ponto P não é um vetor; somente seu vetor posição r P é um vetor. Entretanto, o vetor A pode depender do ponto P. Por exemplo, se A 2xya x + y 2 a y xz 2 a z e P é (2, 1, 4), então A em P deveria ser 4a x + a y 32a z. Um campo vetorial é dito constante ou uniforme se não depende das variáveis de espaço x, y e z. Por exemplo, o vetor B 3a x 2a y + 10a z é um vetor uniforme, enquanto que o vetor A 2xya x + y 2 a y xz 2 a z é não uniforme, porque B é o mesmo em qualquer ponto, enquanto A varia ponto a ponto. Figura 1.4 Representação gráfica do vetor posição r p 3a x + 4a y + 5a z. Figura 1.5 Vetor distância r PQ.

7 24 Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 1.1 Se A 10a x 4a y + 6a z e B 2a x + a y, determine: (a) a componente de A ao longo de a y ; (b) a magnitude de 3A B; (c) um vetor unitário ao longo de A + 2B. Solução: (a) a componente de A ao longo de a y é A y 4. (b) 3A B 3(10, 4, 6) (2, 1, 0) (30, 12, 18) (2, 1, 0) (28, 13, 18) Portanto, 03A B ( 13) 2 (18) ,74 (c) Seja C A 2B (10, 4, 6) (4, 2, 0) (14, 2, 6). Um vetor unitário ao longo de C é a c C 0C 0 (14, 2, 6) ( 2) ou Observe que 0ac 0 1, como esperado. a c 0,9113a x 0,1302a y 0,3906a z EXERCÍCIO PRÁTICO 1.1 Dados os vetores A a x 3a z e B 5ax 2a y 6a z, determine: (a) (b) (c) (d) 0A B 0; 5A B; a componente de A ao longo de a y ; um vetor unitário paralelo a 3A B. Resposta: (a) 7, (b) (0, 2, 21), (c) 0, (d) (0,9117, 0,2279, 0,3419). EXEMPLO 1.2 Os pontos P e Q estão localizados em (0, 2, 4) e ( 3, 1, 5). Calcule: (a) o vetor posição P; (b) o vetor distância de P até Q; (c) a distância entre P e Q; (d) um vetor paralelo a PQ com magnitude 10. Solução: (a) r p 0a x + 2a y + 4a z 2a y + 4a z (b) r PQ r Q r P ( 3, 1, 5) (0, 2, 4) ( 3, 1, 1) ou r PQ 3a x a y + a z (c) já que r PQ é o vetor distância de P até Q, a distância entre P e Q é a magnitude desse vetor, isto é:

8 Álgebra Vetorial 25 d 0r PQ ,317 Alternativamente: d 2(x Q x P ) 2 (y Q y P ) 2 (z Q z P ) ,317 (d) Seja o vetor requerido A, então: A Aa A, onde A 10 é a magnitude de A. Já que A é paralelo a PQ, o vetor unitário deve ser o mesmo de r PQ ou r QP. Portanto, a A r PQ 0r PQ 0 ( 3, 1, 1) 3,317 e 10( 3, 1, 1) A ( 9,045a x 3,015a y 3,015a z ) 3,317 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.2 Dados os pontos P(1, 3, 5), Q(2, 4, 6) e R(0, 3, 8), determine: (a) os vetores posição de P e R, (b) o vetor distância r QR, (c) a distância entre Q e R. Resposta: (a) a x 3a y 5a z, 3a x 3a y, (b) 2ax a y 2a z. EXEMPLO 1.3 Um rio, no qual um barco navega com sua proa apontada na direção do fluxo da água, corre com orientação sudeste a 10 km/h. Um homem caminha sobre o convés a 2 km/h, do lado esquerdo para o lado direito do barco, em direção perpendicular ao seu movimento. Determine a velocidade do homem em relação à terra. Figura 1.6 Referente ao Exemplo 1.3.

9 26 Elementos de Eletromagnetismo Solução: Considere a Figura 1.6 como ilustração do problema. A velocidade do barco é: u b 10(cos 45 a x sen 45 a y ) 7,071a x 7,071a y km/h A velocidade do homem em relação ao barco (velocidade relativa) é: u m 2( cos 45 a x sen 45 a y ) 1,414a x 1,414a y km/h Dessa forma, a velocidade absoluta do homem é: isto é, 10,2 km/h a 56,3 o do leste para o sul. u ab u m u b 5,657a x 8,485a y 0u ab 0 10,2l 56,3 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.3 Um avião tem uma velocidade em relação ao solo de 350 km/h exatamente na direção oeste. Se houver vento soprando na direção nordeste com velocidade de 40 km/h, calcule a velocidade real do avião no ar e a orientação em que ele se desloca. Resposta: 379,3 km/h; 4,275 do oeste para o norte. 1.7 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado tanto pode ser um escalar quanto um vetor, dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma, existem dois tipos de multiplicação vetorial: 1. produto escalar (ou ponto): A B 2. produto vetorial (ou cruzado): A B A multiplicação de três vetores A, B e C, entre si, pode resultar em: ou 3. um produto escalar triplo: A (B C) 4. um produto vetorial triplo: A (B C) A. Produto ponto O produto ponto de dois vetores A e B, escrito como A B, é definido, geometricamente, como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles. Assim, A B AB cos v AB (1.15)

10 Álgebra Vetorial 27 onde v AB é o menor ângulo entre A e B. O resultado de A B é denominado de produto escalar, porque é um escalar, ou de produto ponto, devido ao ponto sinal que identifica a operação. Se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), então A B A x B x A y B y A z B z (1.16) que é obtido multiplicando-se A e B, componente a componente. Dois vetores, A e B, são ditos ortogonais (ou perpendiculares), um em relação ao outro, se A B 0. Observe que o produto ponto satisfaz as seguintes propriedades: (i) Propriedade comutativa: A B B A (1.17) (ii) Propriedade distributiva: A (B C) A B A C A A 0A 0 2 A 2 (1.18) (1.19) (iii) Observe também que: a x a y a y a z a z a x 0 a x a x a y a y a z a z 1 (1.20a) (1.20b) É fácil provar as identidades nas equações (1.17) a (1.20) aplicando a equação (1.15) ou (1.16). B. Produto cruzado O produto cruzado de dois vetores, A e B, escrito como A B, é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B (ver Figura 1.7) e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B. Assim, A B AB sen v AB a n (1.21) onde a n é um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. A orientação de a n é tomada como a orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B, como mostrado na Figura 1.8(a). Alternativamente, a orientação de a n é tomada como a orientação do avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B, como mostrado na Figura 1.8(b). A multiplicação vetorial da equação (1.21) é denominada produto cruzado devido à cruz sinal que identifica a operação. É também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor. Se A (A x, A y, A z ) e B (B x, B y, B z ), então a x a y a z A B 3A x A y A z 3 B x B y B z (1.22a) (A y B z A z B y )a x (A z B x A x B z )a y (A x B y A y B x )a z a qual é obtida cruzando os termos em permutação cíclica. Daí o nome de produto cruzado. (1.22b)

11 28 Elementos de Eletromagnetismo A B B Figura 1.7 O produto de A por B é um vetor com magnitude igual à área de um paralelogramo e cuja orientação é a indicada. A Figura 1.8 Orientação de A B e a n usando: (a) regra da mão direita; (b) regra do parafuso de rosca direita. Observe que o produto cruzado tem as seguintes propriedades básicas: (i) Não é comutativo: A B B A É anticomutativo: A B B A (ii) Não é associativo: A (B C) (A B) C (iii) É distributivo: A (B C) A B A C (iv) A A 0 Também observe que (1.23a) (1.23b) (1.24) (1.25) (1.26) a x a y a z a y a z a x (1.27) a z a x a y

12 Álgebra Vetorial 29 Figura 1.9 Produto cruzado utilizando permutação cíclica: (a) no sentido horário, para resultados positivos; (b) no sentido anti-horário, para resultados negativos. que são obtidas por permutação cíclica e estão representadas na Figura 1.9. As identidades nas equações (1.25) a (1.27) são facilmente verificadas aplicando a equação (1.21) ou (1.22). Deve ser observado que, ao obter a n, usamos a regra da mão direita, ou do parafuso de rosca direita, porque queremos ser consistentes com nosso sistema de coordenadas representado na Figura 1.1 que é dextrógiro. Um sistema de coordenadas dextrógiro é aquele em que a regra da mão direita é satisfeita. Isto é, a x a y a z é obedecida. Em um sistema levógiro, seguimos a regra da mão esquerda, ou a regra do parafuso de rosca esquerda, e a x a y a z é satisfeita. Ao longo desse livro, consideraremos sistemas de coordenadas dextrógiros. Da mesma forma que a multiplicação de dois vetores nos dá um resultado escalar ou vetorial, a multiplicação de três vetores, A, B e C, nos dá um resultado escalar ou vetorial, dependendo de como os vetores são multiplicados. Dessa forma, temos um produto escalar ou vetorial triplo. C. Produto escalar triplo Dados três vetores, A, B e C, definimos o produto escalar triplo como A (B C) B (C A) C (A B) (1.28) obtido em permutação cíclica. Se A (A x, A y, A z ), B (B x, B y, B z ) e C (C x, C y, C z ), então A (B C) é o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas. Esse volume é facilmente obtido encontrando o determinante de uma matriz 3 3, formada por A, B e C, isto é: A x A y A z A (B C) 3B x B y B z 3 C x C y C z (1.29) Já que o resultado dessa multiplicação vetorial é um escalar, a equação (1.28) ou (1.29) é denominada de produto escalar triplo. D. Produto vetorial triplo Para os vetores A, B e C, definimos produto vetorial triplo como A (B C) B(A C) C(A B) (1.30) obtido usando a regra bac cab. Deve ser observado que: mas (A B)C A(B C) (A B)C C(A B). (1.31) (1.32)

13 30 Elementos de Eletromagnetismo 1.8 COMPONENTES DE UM VETOR Uma aplicação direta do produto vetorial é seu uso para determinar a projeção (ou a componente) de um vetor em uma dada direção. A projeção pode ser escalar ou vetorial. Dado um vetor A, definimos a componente escalar A B de A ao longo do vetor B como [veja Figura 1.10(a)] A B A cos v AB 0A 00a B 0 cos v AB ou A B A a B (1.33) A componente vetorial A B de A ao longo de B é simplesmente a componente escalar na equação (1.33) multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é: A B A B a B (A a B )a B (1.34) Tanto a componente escalar quanto a vetorial de A estão representadas na Figura Observe, na Figura 1.10(b), que o vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: uma componente A B paralela a B e a outra (A A B ) perpendicular a B. De fato, nossa representação cartesiana de um vetor consiste, essencialmente, em decompô-lo em suas três componentes mutuamente ortogonais, como mostrado na Figura 1.10(b). Consideramos até aqui a soma, a subtração e a multiplicação de vetores. Entretanto, a divisão de vetores A/B não foi considerada porque é indefinida, exceto quando os vetores são paralelos entre si, tal que A kb, onde k é uma constante. A diferenciação e a integração de vetores será tratada no Capítulo 3. Figura 1.10 Componentes de A ao longo de B: (a) componente escalar A B ; (b) componente vetorial A B. EXEMPLO 1.4 Dados os vetores A 3a x + 4a y + a z e B 2a y 5a z, determine o ângulo entre A e B. Solução: O ângulo v AB pode ser determinado usando ou o produto ponto ou o produto cruzado. cos v AB A B 0A 00B 0 A B (3, 4, 1) (0, 2, 5) A B ( 5) ,1092 2(26)(29) v AB cos 1 0, ,73

14 Álgebra Vetorial 31 Alternativamente: a x a y a z A B sen v AB ( 20 2)a x (0 15)a y (6 0)a z ( 22, 15, 6) 0A B 0 2( 22) A B 0 0A 00B ,994 2(26)(29) v AB cos 1 0,994 83,73 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.4 Se A = a x + 3a z e B = 5a x + 2a y 6a z, determine v AB. Resposta: 120,6. EXEMPLO 1.5 Três campos vetoriais são dados por: P 2a x a z Q 2a x a y 2a z R 2a x 3a y a z Determine: (a) (P + Q) (P Q); (b) Q R P; (c) P Q R; (d) sen v QR ; (e) P (Q R); (f) um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente; (g) a componente de P ao longo de Q. Solução: (a) (P Q) (P Q) P (P Q) Q (P Q) P P P Q Q P Q Q 0 Q P Q P 0 2Q P a x a y a z (1 0) a x 2(4 2) a y 2(0 2) a z 2a x 12a y 4a z

15 32 Elementos de Eletromagnetismo (b) O único modo em que Q R P faz sentido é: Alternativamente: Para encontrar o determinante da matriz 3 3, repetimos as duas primeiras linhas e multiplicamos cruzadamente. Quando a multiplicação cruzada for da direita para a esquerda, o resultado deve ser multiplicado por 1, como mostrado abaixo. Essa técnica de encontrar o determinante se aplica somente em matrizes 3 3. Dessa maneira, como obtido anteriormente. (c) Da equação (1.28) a x a y a z Q (R P) (2, 1, 2) (2, 1, 2) (3, 4, 6) Q (R P) Q (R P) ou P (Q R) Q (R P) 14 P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4) (d) (e) sen v QR 0Q R 0 0Q 00R 0 0(5, 2, 4) 0 0(2, 1, 2) 00(2, 3, 1) , P (Q R) (2, 0, 1) (5, 2, 4) (2, 3, 4) Alternativamente, usando a regra bac cab : P (Q R) Q(P R) R(P Q) (2, 1, 2)(4 0 1) (2, 3, 1)(4 0 2) (2, 3, 4) (f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente, é dado por: Q R (5, 2, 4) a 0 Q R (0,745, 0,298, 0,596)

16 Álgebra Vetorial 33 Observe que 0 a 0 1, a Q 0 a R. Qualquer uma dessas relações pode ser usada para conferir o valor de a. (g) A componente de P ao longo de Q é: P Q 0P 0 cos v PQ a Q (P Q)Q (P a Q )a Q 2 0Q 0 (4 0 2)(2, 1, 2) 2 (2, 1, 2) (4 1 4) 9 0,4444a x 0,2222a y 0,4444a z. EXERCÍCIO PRÁTICO 1.5 Sejam E 3a y 4a z e F 4a x 10a y 5a z. Determine: (a) a componente de E ao longo de F; (b) o vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente. Resposta: (a) ( 0,2837, 0,7092, 0,3546), (b) (0,9398, 0,2734, 0,205). EXEMPLO 1.6 Obtenha a fórmula dos cossenos, a 2 b 2 c 2 2bc cos A e a fórmula dos senos, usando, respectivamente, o produto ponto e o produto cruzado. Solução: sen A a sen B sen C b c Considere um triângulo, como mostrado na Figura Da figura, observamos que isto é, a b c 0 b c a Portanto, onde A é o ângulo entre b e c. A área de um triângulo é metade do produto entre sua altura e sua base. Portanto: Dividindo por abc, obtém-se: a 2 a a (b c) (b c) b b c c 2b c a 2 b 2 c 2 2bc cos A a b b c c a 0 ab sen C bc sen A ca sen B sen A a sen B sen C b c

17 34 Elementos de Eletromagnetismo Figura 1.11 Referente ao Exemplo 1.6. EXERCÍCIO PRÁTICO 1.6 Demonstre que os vetores a (4, 0, 1), b (1, 3, 4) e c ( 5, 3, 3) formam os lados de um triângulo. Esse é um triângulo retângulo? Calcule a área desse triângulo. Resposta: Sim; 10,5. EXEMPLO 1.7 Demonstre que os pontos P 1 (5, 2, 4), P 2 (1, 1, 2) e P 3 ( 3, 0, 8) estão todos sobre uma linha reta. Determine qual a menor distância entre essa linha e o ponto P 4 (3, 1, 0). Solução: O vetor distância r P1 P 2 De maneira similar, é dado por: r P1 P 2 r P2 r P1 (1, 1, 2) (5, 2, 4) ( 4, 1, 6) r P1 P 3 r P3 r P1 ( 3, 0, 8) (5, 2, 4) ( 8, 2, 12) r P1 P 4 r P4 r P1 (3, 1, 0) (5, 2, 4) ( 2, 3, 4) a x a y a z r P1 P 2 r P1 P (0, 0, 0) mostrando que o ângulo entre r P1 P 2 e r P1 P 3 é zero (sen v 0). Isso implica que P 1, P 2 e P 3 estão sobre a mesma linha reta. Alternativamente, a equação vetorial da linha reta é facilmente determinada a partir da Figura 1.12(a). Para qualquer ponto P sobre a linha que une P 1 e P 2, onde l é uma constante. Portanto, o vetor posição r P do ponto P deve satisfazer isto é, r P1 P lr P1 P 2 r P r P1 l(r P2 r P1 ) r P r P1 l(r P2 r P1 ) (5, 2, 4) l(4, 1, 6) r P (5 4l, 2 l, 4 6l) Essa é a equação vetorial da linha reta que une P 1 e P 2. Se P 3 está sobre essa linha, o vetor posição de P 3 deve satisfazer essa equação; r 3 satisfaz essa equação quando l 2.

18 Álgebra Vetorial 35 Figura 1.12 Referente ao Exemplo 1.7. A menor distância entre a linha e o ponto P 4 (3, 1, 0) é a distância perpendicular do ponto até a linha. Da Figura 1.12(b) é evidente que: d r P1 P 4 sen v 0r P1 P 4 a P1 P 2 0 0( 2, 3, 4) ( 4, 1, 6) 0 0( 4, 1, 6) , Qualquer ponto sobre a linha pode ser usado como ponto de referência. Dessa forma, em vez de usar P 1 como ponto de referência, poderíamos usar P 3 tal que: d 0r P3 P 4 0 sen v 0r P3 P 4 a P3 P 1 0 EXERCÍCIO PRÁTICO 1.7 Se P 1 é (1, 2, 3) e P 2 é ( 4, 0, 5), determine: (a) a distância P 1 P 2 ; (b) a equação vetorial da linha P 1 P 2 ; (c) a menor distância entre a linha P 1 P 2 e o ponto P 3 (7, 1, 2); Resposta: (a) 9,644; (b) (1 5l)a x 2(1 l) a y (8l 3) a z ; (c) 8,2. RESUMO 1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade no espaço. Por exemplo, A(x, y, z) é um campo vetorial, enquanto que V(x, y, z) é um campo escalar. 2. Um vetor A é univocamente especificado pela sua magnitude e por um vetor unitário ao longo de sua orientação, isto é, A Aa A. 3. A multiplicação entre dois vetores A e B resulta em um escalar A B AB cos v AB ou em um vetor A B AB sen v AB a n. A multiplicação entre três vetores A, B e C resulta em um escalar A (B C) ou em um vetor A (B C). 4. A projeção escalar (ou componente) de um vetor A sobre B é A B A a B, enquanto que a projeção vetorial de A sobre B é A B A B a B.

19 36 Elementos de Eletromagnetismo QUESTÕES DE REVISÃO 1.1 Identifique qual das seguintes grandezas não é um vetor: (a) força, (b) momentum, (c) aceleração, (d) trabalho, (e) peso. 1.2 Qual das seguintes situações não representa um campo escalar? (a) Deslocamento de um mosquito no espaço. (b) A luminosidade em uma sala de estar. (c) A distribuição de temperatura em uma sala de aula. (d) A pressão atmosférica em uma dada região. (e) A umidade do ar em uma cidade. 1.3 Os sistemas de coordenadas retangulares, representados na Figura 1.13, são dextrógiros, com exceção de: Figura 1.13 Referente à questão de revisão Qual das expressões abaixo não está correta? (a) (b) (c) (d) (e) 2 A A 0A 0 A B B A 0 A B C B C A a x a y a z a k a x a y onde a k é um vetor unitário. 1.5 Qual das seguintes identidades não é válida? (a) (b) (c) (d) a(b c) ab bc a (b c) a b a c a b b a c (a b) b (a c) (e) a A a B cos v AB 1.6 Quais das seguintes afirmações não têm significado? (a) A B 2A 0 (b) A B 5 2A

20 Álgebra Vetorial 37 (c) A(A B) 2 0 (d) A A B B Sejam F 2a x 6a y + 10a z e G a x + G y a y + 5a z. Se F e G tem o mesmo vetor unitário, G y é: (a) 6 (c) 0 (b) 3 (d) Dado que A a x + aa y + a z e B aa x + a y + a z, se A e B são perpendiculares entre si, a é igual a: (a) 2 (d) 1 (b) 1/2 (e) 2 (c) A componente de 6a x + 2a y 3a z ao longo de 3a x 4a y é: (a) 12a x 9a y 3a z (b) 30a x 40a y (c) 10/7 (d) 2 (e) Dado A 6a x + 3a y + 2a z, a projeção de A ao longo de a y é igual a: (a) 12 (b) 4 (c) 3 (d) 7 (e) 12 Respostas: 1.1d; 1.2a; 1.3b,e; 1.4b; 1.5a; 1.6b,c; 1.7b; 1.8b; 1.9d; 1.10c. PROBLEMAS 1.1 Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2, 4, 4) ao ponto ( 3, 2, 2). 1.2 Sejam A 2a x + 5a y 3a z, B 3a x 4a y e C a x + a y + a z. (a) Determine A + 2B. (b) Calcule 0 A 5C 0. (c) Para quais valores de k é 0 kb 0 2? (d) Determine (A B)/(A B). 1.3 Se A 2a x a y 3a z B a y a z C 3a x 5a y 7a z determine: (a) (b) (c) A 2B C C 4(A B) 2A 3B 0C 0 2 (d) A C 0B 0 (e) 1 2B 1 1 3A 1 4C2

21 38 Elementos de Eletromagnetismo 1.4 Se os vetores posição dos pontos T e S são 3a x 2a y + a z e 4a x + 6a y + 2a z, respectivamente, determine: (a) as coordenadas de T e S; (b) o vetor distância de T até S; (c) a distância entre T e S. 1.5 Se A 5a x 3a y 2a z B a x 4a y 6a z C 8a x 2a y determine os valores de a e b, tais que aa + bb + C seja paralelo ao eixo y. 1.6 Dados os vetores A aa x a y 4a z B 3a x ba y 6a z C 5a x 2a y ga z determine a, b e g, tais que os vetores sejam mutuamente ortogonais. 1.7 (a) Demonstre que (A B) 2 (A B) 2 (AB) 2 (b) Demonstre que a x a y a z a x a y a z, a y a z a x a x a y a z, a z a x a y a x a y a z 1.8 Dado que P 2a x a y 2a z Q 4a x 3a y 2a z C a x a y 2a z determine: (a) 0P Q R 0 ; (b) P Q R ; (c) Q P R ; (d) (P Q) (Q R) ; (e) (P Q) (Q R) ; (f) cos v PR ; (g) sen v PQ. 1.9 Dados os vetores T 2a x 6a y + 3a z e S a x + 2a y + a z, determine: (a) a projeção escalar de T sobre S; (b) o vetor projeção de S sobre T; (c) o menor ângulo entre T e S Se A a x + 6a y + 5a z e B a x + 2a y + 3a x, determine: (a) a projeção escalar de A sobre B; (b) o vetor projeção de B sobre A; (c) o vetor unitário perpendicular ao plano contendo A e B Calcule os ângulos que o vetor H 3a x + 5a y 8a z faz com os eixos x, y e z Determine o produto escalar triplo de P, Q e R dado que P 2a x a y a z e Q a x a y a z R 2a x 3a z

22 Álgebra Vetorial Simplifique as seguintes expressões: (a) A (A B) (b) A [A (A B)] 1.14 Demonstre que os sinais de ponto e de vezes podem ser intercambiados no produto escalar triplo, isto é, A (B C) (A B) C Os pontos P 1 (1, 2, 3), P 2 ( 5, 2, 0) e P 3 (2, 7, 3) formam, no espaço, um triângulo. Calcule a área do triângulo Os vértices de um triângulo estão localizados em (4, 1, 3), ( 2, 5, 4) e (0, 1, 6). Determine os três ângulos desse triângulo Os pontos P, Q e R estão localizados em ( 1, 4, 8), (2, 1, 3) e ( 1, 2, 3), respectivamente. Determine: (a) a distância entre P e Q; (b) o vetor distância de P até R; (c) o ângulo entre QP e QR; (d) a área do triângulo PQR; (e) o perímetro do triângulo PQR Se r é o vetor posição do ponto (x, y, z) e A é um vetor constante, demonstre que: (a) (r A) A 0 é a equação de um plano constante. (b) (r A) r 0 é a equação de uma esfera. (c) Demonstre, também, que o resultado da parte (a) é da forma Ax + By + Cz + D 0, onde D (A 2 + B 2 + C 2 ), e que o resultado da parte (b) é da forma x 2 + y 2 + z 2 r (a) Prove que P cos v1 a x + sen v 1 a y e Q cos v 2 a x + sen v 2 a y são vetores unitários no plano xy fazendo, respectivamente, ângulos v 1 e v 2 com o eixo dos x. (b) Usando o produto ponto, obtenha a fórmula para cos(v 2 v 1 ). De maneira similar, obtenha a fórmula para cos(v 2 + v 1 ). 1 (c) Se v é o ângulo entre P e Q, determine 0P Q 0 em função de v Considere um corpo rígido girando, com uma velocidade angular constante de q radianos por segundo, em torno de um eixo fixo que passa pela origem, como mostrado na Figura Seja r o vetor distância de O até P (ponto no interior do corpo). A velocidade u do corpo em P é dada por 0 u 0 dq 0 r 0 sen v 0 0 ou u r. Se o corpo rígido gira a uma velocidade de 3 radianos por segundo em torno de um eixo paralelo a a x 2a y + 2a z, passando pelo ponto (2, 3, 1), determine a velocidade do corpo em (1, 3, 4). Figura 1.14 Referente ao Problema Um asterisco indica problemas de dificuldade média.

23 40 Elementos de Eletromagnetismo 1.21 Dado A x 2 ya x yza y + yz 2 a z, determine: (a) a magnitude de A no ponto T(2, 1, 3); (b) o vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 unidades de distância afastado de T e com a mesma orientação de A em T; (c) o vetor posição de S E e F são campos vetoriais dados por E 2xa x + a y + yza z e F xyax y 2 a y + xyza z. Determine: (a) 0E0 em (1, 2, 3); (b) a componente de E ao longo de F em (1, 2, 3); (c) um vetor perpendicular tanto a E quanto a F em (0, 1, 3), cuja magnitude seja um.