Resseguro quantitativo: precificação, retenções e títulos de catástrofe

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1 quantitativo: precificação, retenções e títulos de catástrofe Florian Voigtländer Allianz Versicherungs-AG, Munique 8CBA, Rio de Janeiro, 12 de agosto de / 47

2 Definição: é a transferência de uma parte dos riscos, assumidos por uma seguradora (primária), a um segundo carregador de risco que não se encontra numa relação direta com o segurado. 2 / 47

3 Definição: é a transferência de uma parte dos riscos, assumidos por uma seguradora (primária), a um segundo carregador de risco que não se encontra numa relação direta com o segurado. O segundo carregador de risco se chama resseguradora. 2 / 47

4 Definição: é a transferência de uma parte dos riscos, assumidos por uma seguradora (primária), a um segundo carregador de risco que não se encontra numa relação direta com o segurado. O segundo carregador de risco se chama resseguradora. A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscos transferidos para ela. 2 / 47

5 Seja Z = (Z 1,..., Z N ) um vetor aleatório representando o sinistro original da seguradora. Uma família (r N ) N N de funções mensuráveis r N : R N + R + tal que N r N (Z 1,..., Z N ) é chamada uma família de funções de retenção ou uma forma de resseguro. Do ponto de vista da seguradora primária, a decomposição N Z i = r N (Z 1,..., Z N ) + t N (Z 1,..., Z N ) i=1 é uma divisão de risco, i=1 Z i 3 / 47

6 onde t N (Z 1,..., Z N ) := N Z i r N (Z 1,..., Z N ) i=1 é o sinistro cedido (transferido) para a resseguradora e r N (Z 1,..., Z N ) o sinistro retido na própria carteira. 4 / 47

7 Quota-parte (QS) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistros e prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma proporcional como os sinistros menos uma comissão reembolsada pela resseguradora. 5 / 47

8 Quota-parte (QS) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistros e prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma proporcional como os sinistros menos uma comissão reembolsada pela resseguradora. A seguradora retém de cada sinistro a mesma porcentagem q, chamada quota de retenção. O sinistro retido é e o sinistro cedido rq QS (Z) := q Z tq QS (Z) = Z rq QS (Z) = (1 q) Z. 5 / 47

9 Excedente de responsabilidade (SPL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira. Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linha de retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (importância segurada, perda máxima provável) menor ou igual a m permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscos com v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradora e a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v m v. 6 / 47

10 Excedente de responsabilidade (SPL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira. Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linha de retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (importância segurada, perda máxima provável) menor ou igual a m permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscos com v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradora e a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v m v. A quota de retenção do sinistro Z(v) dum risco com exposição v é q v,m = 1 m v = min{1, m v } e a quota de cessão é 1 q v,m = ( 1 m v ) + v m = 1 v {v>m}. 6 / 47

11 Excesso de danos por risco (XL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem que calcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independente do prêmio original. 7 / 47

12 Excesso de danos por risco (XL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem que calcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independente do prêmio original. A resseguradora assume uma parte de cada sinistro individual X em excesso de um determinado limite d > 0, chamado dedutível ou prioridade, típicamente dentro de uma faixa limitada (d, d + c] com cobertura limitada c > 0 e a seguradora volta a pagar para sinistros acima de d + c. Se c =, se fala de cobertura ilimitada. A notação para esse tipo de contrato é c xs. d. 7 / 47

13 Excesso de danos por risco (XL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Formalmente, em caso de cobertura ilimitada, o sinistro retido é e o sinistro cedido rd, XL (X ) := X d = min{x, d} t XL d, (X ) := X X d = (X d)+ = (X d)1 {X >d}. 8 / 47

14 Excesso de danos por risco (XL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Em caso de cobertura ilimitada, pode decompor X = ( X d + (X (d + c)) +) + (X d) + c de que segue a identidade de faixas limitadas para o sinistro cedido t XL d,c (X ) := (X d)+ c = (X d) + (X (d + c)) +. A seguradora volta a pagar para sinistros acima de d +c e seu sinistro retido vira rd,c XL (X ) := X txl d,c (X ) = ( X d + (X (d + c)) +). 9 / 47

15 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Excesso de danos por ocorrência (CatXL) Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradora retém uma prioridade d e > 0 por evento 1 e n (terremoto, tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original do evento e é Z Cat e = N e X i,e i=1 onde X i,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e N e seu número de sinistros. 10 / 47

16 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Excesso de danos por ocorrência (CatXL) Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradora retém uma prioridade d e > 0 por evento 1 e n (terremoto, tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original do evento e é Z Cat e = N e X i,e i=1 onde X i,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e N e seu número de sinistros. O sinistro cedido de todos eventos com o vetor de prioridades d = (d 1,..., d n ) e coberturas c = (c 1,..., c n ) é Z CatXL d,c = n e=1 t XL d e,c e (Z Cat e ) = n e=1 (Z Cat e d e ) + c e. 10 / 47

17 Excesso de danos agregado (SL) proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Se trata de um contrato XL coletivo aplicado ao sinistro agregado anual Z = N i=1 X i da seguradora onde X i é o i-ésimo sinistro individual e N o número de sinistros num determinado período. O sinistro cedido é t SL ( N + D,C (Z) = X i D) C i=1 com prioridade agregada anual D > 0 e cobertura agregada anual C > / 47

18 misto proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Se trata de uma composição de várias funções de retenção, i.e. essas combinações são da forma r(z) = (r (k) r (k 1)... r (1) )(Z) para funções de retenção r (i) : R N i + R +, 1 i k. Existem combinações com funções proporcionais, com não-proporcionais ou uma mistura de funções proporcionais com funções não-proporcionais: Quota-parte com excedente de responsabilidade (SPL-QS) Por-quota com excesso de danos agregado (SL-QS) Quota-parte com excesso de danos (XL-QS) Excesso de danos após excedente de responsabilidade (SPL-XL) Excesso de danos agregado após excesso de danos por risco (SL-XL) 12 / 47

19 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Zero coupon bond com recuperação parcial O tempo de parada τ D é o instante quando o processo que descreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resulta num sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e. N(t) τ D := inf{t > 0 : X i > D}. i=1 13 / 47

20 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Zero coupon bond com recuperação parcial O tempo de parada τ D é o instante quando o processo que descreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resulta num sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e. N(t) τ D := inf{t > 0 : X i > D}. Pode considerar também o processo indicador (M D (t)) t R+ com valores em {0, 1} definido por i=1 M D (t) := 1 { N(t) i=1 X i >D} = 1 {τ D t} com E[M D (t)] = F N(t) i=1 X (D) = P(τ D t) e vale i 1 {τd >t} = 1 M D (t). 13 / 47

21 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Zero coupon bond com recuperação parcial O comprador do título recebe no final do contrato em t = T o valor nominal completo, se até a maturidade nenhum evento catastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e até T a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenas recebe o valor parcial q V 0 do valor nominal com q [0, 1] e a seguradora pode usar o valor (1 q) V 0 retido para pagar os sinistros que resultam do evento catastrófico. 14 / 47

22 proporcional não-proporcional misto Títulos de catástrofe (Cat Bonds) Zero coupon bond com recuperação parcial O comprador do título recebe no final do contrato em t = T o valor nominal completo, se até a maturidade nenhum evento catastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e até T a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenas recebe o valor parcial q V 0 do valor nominal com q [0, 1] e a seguradora pode usar o valor (1 q) V 0 retido para pagar os sinistros que resultam do evento catastrófico. O fluxo de caixa em t = T com recuperação q V é dado por V D (T ) = V 0 1 {τd >T } + q V 0 1 {τd T } = V 0 (1 + (q 1)M D (T )) onde V 0 é o valor nominal. 14 / 47

23 Distribuição induzida Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Seja {N(t) t R+, (X n ) n N } um modelo coletivo da seguradora. número do sinistro cedido é dado por O N d = N i=1 1 {Xi >d}. 15 / 47

24 Distribuição induzida Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Seja {N(t) t R+, (X n ) n N } um modelo coletivo da seguradora. número do sinistro cedido é dado por O N d = N i=1 1 {Xi >d}. A distribuição de N d é p Nd (n) = k N onde p N (k) = P(N = k). ( ) n F k X (d)f n k k X (d)p N (k) 15 / 47

25 Distribuição induzida Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função geratriz de probabilidade de N d é g Nd (ξ) = E[ξ N d ] = g N (F X (d)ξ + F X (d)). 16 / 47

26 Distribuição induzida Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função geratriz de probabilidade de N d é g Nd (ξ) = E[ξ N d ] = g N (F X (d)ξ + F X (d)). O valor esperado de N d λ d := E[N d ] = F X (d)e[n]. é chamado frequência de excessos com E[N d ] < E[N]. 16 / 47

27 Distribuição induzida Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função geratriz de probabilidade de N d é g Nd (ξ) = E[ξ N d ] = g N (F X (d)ξ + F X (d)). O valor esperado de N d λ d := E[N d ] = F X (d)e[n]. é chamado frequência de excessos com E[N d ] < E[N]. N d é um p-emagrecimento de N com p = F X (d). 16 / 47

28 Estabilidade distribucional Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição 1. Se N Pois λ com λ > 0, então N d Pois λd onde λ d = F X (d)λ. 3. Se N = NegBin α,β com α > 0 e β > 0, então onde β d = βf X (d) 1 β+βf X (d). N d NegBin α,βd 3. Se N Bin n,φ com n 1 e φ (0, 1), então onde φ d = F X (d)φ. N d Bin n,φd 17 / 47

29 Distribuições induzidas Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A distribuição do sinistro retido sob resseguro excesso de danos é dada pela mistura L (0,d] [Z] := Z d = min{z, d} F L(0,d] [Z](z) = F Z (z)1 {Z<d} + 1 {z d}. Em particular, L (0,d] [Z] não é contínuo, independente do sinistro original Z, com átomo em d > 0 tal que P(L (0,d] [Z] = d) = F Z (d). Seu valor esperado LEV Z (d) := E[L (0,d] [Z]] = é chamado valor esperado limitado. d 0 F Z (z)dz 18 / 47

30 Distribuições induzidas Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A distribuição do sinistro cedido sob resseguro excesso de danos é a mistura L (d, ) [Z] := (Z d) + = (Z d)1 {Z>d} F L(d, ) [Z](z) = F Z (d)1 {z=0} + F Z (z + d)1 {z>0}. Em particular, L (d, ) [Z] não é contínuo, independente do sinistro original Z, com átomo em zero tal que P(L (d, ) [Z] = 0) = F Z (d). Seu valor esperado SLT Z (d) := E[L (d, ) [Z]] = é chamado transformada stop-loss. d F Z (z)dz 19 / 47

31 Distribuição de excessos Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição O modelo coletivo {(N(t)) t R+, (E (d, ) [Z n ]) n N } tem a desvantagem para a resseguradora que ela típicamente não pode observar o processo original N. Por isso é melhor considerar o sinistro observável pela resseguradora, o excesso da prioridade d > 0 dado por E (d, ) [Z] := Z d Z > d que é o indenização na faixa ilimitada (d, ). Vale e sua distribuição é E (d, ) [Z] = L (d, ) [Z] (L (d, ) [Z] > 0) F d (z) := F E(d, ) [Z](z) = F Z (d + z) F Z (d). F Z (d) 20 / 47

32 Excesso médio Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição O par {(N d (t)) t R+, (E (d, ) [Z n ]) n N } é um modelo coletivo tal que N(t) L (d, ) [Z i ] = i=1 N d (t) j=1 E (d, ) [Z j ]. 21 / 47

33 Excesso médio Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição O par {(N d (t)) t R+, (E (d, ) [Z n ]) n N } é um modelo coletivo tal que N(t) L (d, ) [Z i ] = i=1 N d (t) j=1 E (d, ) [Z j ]. O valor esperado ME Z (d) := E[E (d, ) [Z]] = SLT Z (d) F Z (d) = 1 F Z (d) d F Z (z)dz é chamado excesso médio. 21 / 47

34 Excesso médio Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Vale a relação SLT Z (d) = F Z (d)me Z (d). 22 / 47

35 Excesso médio Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Vale a relação SLT Z (d) = F Z (d)me Z (d). Se F Z (0) = 1 e F Z é contínua, vale ( F Z (d) = ME Z (0) ME Z (d) exp d 0 ) dz. ME Z (z) 22 / 47

36 Excesso médio Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Vale a relação SLT Z (d) = F Z (d)me Z (d). Se F Z (0) = 1 e F Z é contínua, vale ( F Z (d) = ME Z (0) ME Z (d) exp Se F Z é contínua e d lim ME Z (d) = d 0 ) dz. ME Z (z) segue que a distribuição F Z possui uma "cauda pesada". 22 / 47

37 Modelo de Pareto Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Teorema de Pickands-Balkema-deHaan: Se F Z é de suporte infinito, existe um ξ R e uma função β : R + R + tal que lim sup F d (z) GP ξ,β(d) (z) = 0 d z 0 sse F Z pertence ao domínio de atração de uma distribuição de valor extremo onde { 1 (1 + ξ 1 GP ξ,β (z) := β z) ξ se ξ 0 1 exp( z β ) se ξ = 0 é a distribuição de Pareto generalizada. Sob as condições acima é justificado de supor que para uma prioridade suficientemente alta, a distribuição de excessos é aproximadamente Pareto generalizada. 23 / 47

38 Modelo de Pareto Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo de Pareto (generalizado) se para cada z 0 F z0 (z) = GP ξ,β (z) para um ponto de observação z 0 > 0 suficientemente alto. 24 / 47

39 Modelo de Pareto Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo de Pareto (generalizado) se para cada z 0 F z0 (z) = GP ξ,β (z) para um ponto de observação z 0 > 0 suficientemente alto. Estabilidade distribucional: Sob o modelo de Pareto com ponto de observação z 0 > 0, a distribuição de excessos sobre toda prioridade d > z 0 é Pareto generalizada, i.e. para todo z 0, com F d (z) = GP ξ,βd (z) β d := β + (d z 0 )ξ > / 47

40 Extrapolação de frequência Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Seja d > x 0 > 0 onde x 0 é o ponto de observação com experiência suficiente. Então N x0 = N i=1 1 {Xi >x 0 } é o número de excessos de x 0. O número de excessos de d > x 0 é N d = com valor esperado N N x0 1 {Xi >d} = i=1 i=1 1 {Xi >d X >x 0 } E[N d ] = E[N x0 ]P(X > d X > x 0 ). 25 / 47

41 Extrapolação de frequência Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Para o fator vale ϕ x0 (d) := E[N d] E[N x0 ] ϕ x0 (d) = P(X > d X > x 0 ) = F X (d) F X (x 0 ) = F x 0 (d x 0 ) onde F x0 é a distribuição de excessos. Disso segue a fórmula de extrapolação de frequência E[N d ] = ϕ x0 (d) E[N x0 ] = F x0 (d x 0 ) E[N x0 ]. Sob o modelo de Pareto generalizado com ξ > 0, ( ϕ x0 (d) = GP ξ,β (d x 0 ) = 1 + (d x 0 ) ξ ) 1 ξ. β 26 / 47

42 Extrapolação de frequência Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador do número de excessos de d, basta conhecer o número de excessos de x 0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E (x0, )[X ] e não de E (d, ) [X ] onde possívelmente não existe um número suficiente de observações ou até experiência nenhuma. 27 / 47

43 Extrapolação de frequência Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador do número de excessos de d, basta conhecer o número de excessos de x 0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E (x0, )[X ] e não de E (d, ) [X ] onde possívelmente não existe um número suficiente de observações ou até experiência nenhuma. Se existe um estimador λ x0 da frequéncia dos sinistros de x 0 e estimadores ξ e β baseados nas observações dos sinistros acima de x 0, a fórmula sugere um estimador empírico λ d para a frequência de sinistros acima de d λ d = ( 1 + (d x 0 ) ξ ) 1 ξ λx0. β 27 / 47

44 Curva de exposição Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função E Z (d) := LEV Z (d) E[Z] = 1 d F Z (z)dz E[Z] 0 é chamada curva de exposição. 28 / 47

45 Curva de exposição Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função E Z (d) := LEV Z (d) E[Z] = 1 d F Z (z)dz E[Z] 0 é chamada curva de exposição. E Z (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistro original esperado com prioridade d > / 47

46 Curva de exposição Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição A função E Z (d) := LEV Z (d) E[Z] = 1 d F Z (z)dz E[Z] 0 é chamada curva de exposição. E Z (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistro original esperado com prioridade d > 0. E Z (d) é uma função de distribuição com cauda E Z (d) = 1 E Z (d) = SLT Z (d) E[Z] = 1 E[Z] d F Z (z)dz. 28 / 47

47 Curva de exposição Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Vale a relação F Z (d) = E Z (d) E Z (0). Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponencialidade de F Z em geral não são herdadas por E Z sem condições adicionais. 29 / 47

48 Curva de exposição Número de excessos Severidade Excesso Extrapolação de frequência Curva de exposição Vale a relação F Z (d) = E Z (d) E Z (0). Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponencialidade de F Z em geral não são herdadas por E Z sem condições adicionais. Em caso de cobertura ilimitada vale E[L (d, ) (Z)] = SLT Z (d) = E Z (d)e[z] e em caso de cobertura limitado por c > 0, E[L (d,d+c] (Z)] = (E Z (d + c) E Z (d)) E[Z]. 29 / 47

49 por exposição por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico A história de várias companhias é agregada em segmentos diferentes: 1. Os segmentos deveriam ser suficientemente homogênios tal que a companhia individual não seja muito diferente do seu segmento industrial. Por outro lado, os segmentos deveriam ser suficientemente grandes para garantir estabilidade. 2. Para determinar o prêmio dum contrato de uma companhia particular o segmento integral da indústria ao qual a companhia pertence é considerado. Na base dessa exposição, o prêmio é calculado. 3. A vantagem é que fornecemos de mais informação do passado e assim a incerteza em faixas altas é menor do que na precificação por experiência. 30 / 47

50 por exposição por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico 4. A desvantagem é que não descrevemos a companhia específica para a qual queremos calcular o prêmio, mas o segmento completo da indústria. Possívelmente existem fatores individuais da companhia que não são refletidos no resto dos membros do segmento. Assim temos incerteza constante em cada faixa. Isto implica que em faixas baixas, a incerteza na precificação por exposição é maior do que na precificação por experiência. 5. Dependendo do ramo de seguro, existem métodos diferentes: Danos materiais e incêndio: curvas de exposição (analíticas (MBBEFD) ou empíricas) Responsabilidade civil: curvas ILF (fator de limite aumentado) Riscos naturais: modelos geofísicos 31 / 47

51 por exposição por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Se LR[Z] := Z P[Z] é a sinistralidade de Z segue a relação E[L (d,d+c] [Z]] = (E Z (d + c) E Z (d)) E[LR[Z]] P[Z]. 32 / 47

52 por exposição por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Se LR[Z] := Z P[Z] é a sinistralidade de Z segue a relação E[L (d,d+c] [Z]] = (E Z (d + c) E Z (d)) E[LR[Z]] P[Z]. O prêmio original P[Z] é determinado prospectivamente no início do período segurado, enquanto o sinistro Z é realizado futuramente. Se LR 0 [Z] é a realização de LR[Z] no fim do período anterior (ou uma outra estimativa melhor), o prêmio de exposição com cobertura limitada é P[L (d,d+c] [Z]] := (E Z (d + c) E Z (d)) LR 0 [Z] P[Z]. 32 / 47

53 Carregamento de segurança por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Suponha que não exista risco de modelo e apenas risco de processo e de parâmetros. Para incorporar esses tipos de risco, é natural considerar o carregamento de segurança SL[Z] := P[Z] E[Z] > 0 o que representa a diferença entre o prêmio pago P[Z] e o valor esperado (princípio de equivalência), assim, P[Z] = E[Z] + SL[Z]. 33 / 47

54 Princípios de prêmios por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O prêmio puro é P θ [Z] := E[Z] + θ E[Z] com fator de carregamento de segurança θ > / 47

55 Princípios de prêmios por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O prêmio puro é P θ [Z] := E[Z] + θ E[Z] com fator de carregamento de segurança θ > 0. O princípio de desvio-padrão P α [Z] := E[Z] + α Var[Z] com fator de carregamento de segurança α > / 47

56 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O princípio de Esscher define o prêmio como P κ [Z] := E Qκ [Z] = E[ZeκZ ] m Z (κ) com κ > 0 tal que os valores esperados sejam finitas. Se Z é contínuo com densidade f Z, isto é o valor esperado sob uma medida equivalente Q κ com distribuição 1 F Qκ Z (z) := m Z (κ) z 0 e κx f Z (x)dx chamada transformada de Esscher da distribuição F Z. 35 / 47

57 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O carregamento de segurança é explícitamente dado por SL κ [Z] = E Qκ [Z] E[Z] = Cov[Z, eκz ] E[e κz. ] 36 / 47

58 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O carregamento de segurança é explícitamente dado por SL κ [Z] = E Qκ [Z] E[Z] = Cov[Z, eκz ] E[e κz. ] Para a função geratriz de momentos vale a relação m Qκ Z (ξ) = m Z (ξ + κ). m Z (κ) Em particular, para o modelo coletivo (Poisson-composto) com Z = N i=1 X i com N Pois λ e X F X tal que m X (ξ) < segue ( )) m Qκ Z (λ (ξ) = exp mx (ξ + κ) m X (κ) 1. m X (κ) 36 / 47

59 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada de Esscher, N Qκ Pois λqκ e X Qκ F Qκ X com frequência e sinistro individual médio λ Qκ = λ m X (κ) > λ E Qκ [X ] = E[XeκX ] m X (κ) > E[X ]. 37 / 47

60 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada de Esscher, N Qκ Pois λqκ e X Qκ F Qκ X com frequência e sinistro individual médio λ Qκ = λ m X (κ) > λ E Qκ [X ] = E[XeκX ] m X (κ) > E[X ]. Princípio de equivalência sob Q κ : O processo é um Q κ -martingal se M(t) := Z(t) P[Z(t)] E Qκ [Z(t)] = P[Z(t)] = E[Z(t)] + SL[Z(t)]. 37 / 47

61 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial sob a transformada de Esscher como medida de precificação num mercado incompleto com taxa de juros determinística em tempo t = 0 com maturidade T é ( ) P0,T CaT := e rt E Qκ [V D (T )] = e rt V (q 1)F Qκ Z(T ). 38 / 47

62 Transformada de Esscher por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial sob a transformada de Esscher como medida de precificação num mercado incompleto com taxa de juros determinística em tempo t = 0 com maturidade T é ( ) P0,T CaT := e rt E Qκ [V D (T )] = e rt V (q 1)F Qκ Z(T ). A transformada de Esscher minimiza a entropia a respeito da medida física P. 38 / 47

63 Medidas de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Valor em rsico: ρ α [Z] := VaR α [Z] := F Z (α) 39 / 47

64 Medidas de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Valor em rsico: ρ α [Z] := VaR α [Z] := F Z (α) Valor em rsico da cauda: ρ α [Z] := E[Z Z > VaR α [Z]] = VaR α [Z] + ME Z (VaR α [Z]) Se Z é contínuo, ρ α [Z] = E α [Z] := 1 1 α 1 α VaR x [Z]dx e vale a subaditividade (diversificação positiva) n n D ρα [Z 1,..., Z n ] := E α [Z i ] E α [ Z i ] 0. i=1 i=1 39 / 47

65 Alocação de capital de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Sejam Z 1,..., Z n sub-coletivos de sinistros e Z = n i=1 Z i o sinistro agregado com diversificação D ρ [Z 1,..., Z n ] / 47

66 Alocação de capital de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Sejam Z 1,..., Z n sub-coletivos de sinistros e Z = n i=1 Z i o sinistro agregado com diversificação D ρ [Z 1,..., Z n ] 0. Covariança proporcional: ρ[z i Z] := Cov[Z i, Z] Var[Z] ρ[z] 40 / 47

67 Alocação de capital de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Sejam Z 1,..., Z n sub-coletivos de sinistros e Z = n i=1 Z i o sinistro agregado com diversificação D ρ [Z 1,..., Z n ] 0. Covariança proporcional: Co-TVaR: ρ[z i Z] := Cov[Z i, Z] Var[Z] ρ[z] ρ α [Z i Z] := E[Z i Z > VaR α [Z]] 40 / 47

68 Alocação de capital de risco por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Sejam Z 1,..., Z n sub-coletivos de sinistros e Z = n i=1 Z i o sinistro agregado com diversificação D ρ [Z 1,..., Z n ] 0. Covariança proporcional: Co-TVaR: ρ[z i Z] := Cov[Z i, Z] Var[Z] ρ[z] ρ α [Z i Z] := E[Z i Z > VaR α [Z]] Esscher: ρ κ [Z i Z] := Cov[Z i, e κz ] E[e κz ] 40 / 47

69 RAC, RoRAC, EVA e CoC por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O capital de risco ajustado de Z é definido por RAC[Z] := ρ[z] P[Z] onde ρ é uma medida de risco. 41 / 47

70 RAC, RoRAC, EVA e CoC por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O capital de risco ajustado de Z é definido por RAC[Z] := ρ[z] P[Z] onde ρ é uma medida de risco. Seja RoRAC[Z] := P[Z] Z RAC[Z] = P[Z] Z ρ[z] P[Z] o renda do capital de risco ajustado. 41 / 47

71 RAC, RoRAC, EVA e CoC por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico O capital de risco ajustado de Z é definido por RAC[Z] := ρ[z] P[Z] onde ρ é uma medida de risco. Seja RoRAC[Z] := P[Z] Z RAC[Z] = P[Z] Z ρ[z] P[Z] o renda do capital de risco ajustado. O valor econômico adicionado é definido por (de maneira simplificada) EVA[Z] := (P[Z] Z) λ RAC[Z] = (P[Z] Z) CoC[Z] 41 / 47

72 RAC, RoRAC, EVA e CoC por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico onde é o custo de capital e CoC[Z] := λ RAC[Z] λ = r + s é a renda exigida sobre o capital de risco com r > 0 a taxa de juros sem risco e s > 0 a sobretaxa (compensação) para a possível perda do capital. Assim E[RoRAC[Z]] = P[Z] E[Z] ρ[z] P[Z] = E[EVA[Z]] + λ. RAC[Z] 42 / 47

73 RAC, RoRAC, EVA e CoC por exposição Carregamento de segurança Princípios de prêmios Prêmio econômico Da condição E[RoRAC[Z]] λ resp. E[EVA[Z]] 0 segue a equação implícita para o prêmio mínimo P[Z] = E[Z] + λ RAC[Z] = E[Z] + λ (ρ[z] P[Z]). Disso segue o prêmio econômico P[Z] = E[Z] + λ (ρ[z] E[Z]) λ + 1 o que corresponde a um princípio de prêmios com carregamento especificado em termos econômicos. Esse princípio pode ser generalizado para o caso de diversificação. 43 / 47

74 RIEVA RIEVA Se EVA Brut [Z] := (P[Z] Z) λ RAC[Z] é o valor econômico adicionado antes de resseguro e EVA Liq [Z] := ((P[Z] P[t(Z)]) r(z)) λ RAC[r(Z)] o valor econômico adicionado após resseguro, RIEVA[Z] := EVA Liq [Z] EVA Brut [Z] é o valor econômico adicionado por resseguro. 44 / 47

75 RIEVA Vale RIEVA onde E[RIEVA[Z]] = λ (RAC[Z] RAC[r(Z)]) SL[t(Z)] SL[t(Z)] = P[t(Z)] E[t(Z)] > 0 é o carregamento de segurança do prêmio de resseguro, dado pelo mercado, representando o custo de resseguro para a seguradora. Pela preservação de ordem de riscos de ρ vale RAC[Z] > RAC[r(Z)] e assim λ (RAC[Z] RAC[r(Z)]) > 0 45 / 47

76 RIEVA RIEVA que é o custo marginal do capital de risco, i.e. a redução do capital de risco por resseguro multiplicado pela renda exigida sobre o capital de risco. Se o custo de resseguro é menor que o custo marginal do capital de risco, resseguro cria um valor econômico adicionado positivo, ou seja, o contrato de resseguro tem que cumprir a condição E[RIEVA[Z]] > 0 para gerar valor econômico para a seguradora. 46 / 47

77 OBRIGADO PELA ATENÇÃO! 47 / 47